МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к контрольной работе по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для студентов I курса заочного отделения специальности: 230203 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
к контрольной работе
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
для студентов I курса
заочного отделения
специальности:
230203 Техническое обслуживание и ремонт
автомобильного транспорта
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания созданы в помощь студентам I курса заочного отделения специальности:
230203 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».
В данном пособии указаны основные требования, предъявляемые к оформлению и выполнению домашней контрольной работы. Даны задания по вариантам для студентов, представлены примеры решения типовых задач, указана рекомендуемая литература и вопросы для самостоятельного изучения.
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа должна содержать:
Титульный лист
Оглавление
Содержание работы
Список используемой литературы
Работа выполняется вручную.
Контрольная работа может быть выполнена по усмотрению студента:
- либо в обычной ученической тетради,
- либо на листах формата А4.
На титульном листе указывается название учебного заведения; дисциплина; номер группы; номер варианта;
Ф. И. О студента, выполнившего контрольную работу;
Ф. И. О. преподавателя, проверяющего контрольную работу; год выполнения контрольной работы.
Оглавление содержит перечень заданий с указанием номеров страниц.
Каждый вариант контрольной работы содержит 5 заданий. Задания выполняются в указанном порядке. Условия заданий должны быть записаны полностью. Каждое задание начинается с новой страницы. В решении задач необходимо указать все используемые формулы; решение должно содержать комментарии или пояснения, указаны все расчеты и показаны все преобразования выполняемые с алгебраическими выражениями.
Литературные источники приводятся в следующем порядке: по алфавиту фамилии и инициалы авторов, точное название, место издания, издательство, год издания.
Номер варианта выбирается по последней цифре зачетной книжки.
Вопросы для самостоятельного изучения:
Определение предела. Теоремы о вычислении пределов.
Правила вычисления пределов. I замечательный предел.
Избавление от неопределенностей вида , .
Производная. Формулы дифференцирования.
Правила дифференцирования.
Дифференцирование сложной функции.
Производные I и II порядков, их приложение.
Схема исследования функции с помощью производной.
Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Формулы интегрирования.
Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной.
Площадь криволинейной трапеции.
Дифференциальное уравнение. Определение. Общее и частное решение.
Однородное дифференциальное уравнение I порядка.
Линейное однородное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами.
Случайная величина. Закон распределения случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Методические указания
к выполнению контрольной работы.
I. Теория определителей
1.1. Определители второго и третьего порядка
Определителем второго порядка называется число .
Определителем третьего порядка называется число
Основные свойства определителей: 1. Если строки определителя поменять местами с соответственными столбцами, то значение определителя не изменится.
2. Если переставить две строки (столбца) определителя местами, то значение определителя изменится на противоположное.
3. Если элементы строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
4. Если две строки (столбца) определителя содержат соответственно пропорциональные элементы, то значение определителя равно нулю.
5. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.
Пример.
Вычислить определитель:
Упростив определитель согласно перечисленным свойствам, найдем его значение:
1) вынесем множитель 3 из второй строки за знак определителя;
2) сложим соответственные элементы первой и второй строки;
3) сложим соответственно элементы второго и третьего столбца;
4) вынесем множитель 2 из второго столбца за знак определителя;
5) вынесем множитель 3 из первой строки за знак определителя;
6) вычислим определитель по правилу.
1.2. Разложение определителя по элементам строки или столбца
, aij – общий элемент определителя,
где i – номер строки, j – номер столбца.
Минором элемента aij определителя D называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиваниемстроки и столбца, содержащих взятый элемент.
Обозначение: Mij.
Пример.
– минор элемента а12.
– минор элемента а33.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор этого элемента, умноженный на коэффициент (–1)i+j.
Обозначение: Аij = (–1)i+j Mij.
Пример.
.
.
Теорема:
Если , то
, где i – номер строки,
или
, где j – номер столбца.
Пример. Вычислить определитель разложением по элементам:
1) второй строки; 2) третьего столбца.
Решение:
1) i =2, .
.
.
.
.
2) i = 3, .
.
.
.
.
Ответ: .
1.3. Решение систем линейных уравнений методом определителей
(метод Крамера)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: x1, x2, x3:
(коэффициенты aij и свободные члены bi считаются заданными).
Составим определители :
, , , ,
где называют определителем системы, а определители xi получены из основного определителя заменой свободными членами bi элементов соответствующего столбца.
Особые случаи:
1) если 0, то система имеет единственное решение;
2) если = 0, xi 0, то система несовместна;
3) если = xi = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений,
либо она решений не имеет.
Пример.
Решить систему линейных уравнений:
Решение: составим определители , x, y, z и найдем их значения.
( 0, следовательно, система имеет единственное решение).
. . .
Найдем решение системы:
Ответ: (3; 2; –1).
II. Введение в теорию пределов функций
2.1 Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство .
Обозначение: .
Основные свойства пределов:
Функция f(x) называется непрерывной в данной точке a, если выполняется равенство:
Замечательные пределы:
1. – первый замечательный предел.
2. – второй замечательный предел.
2.2 Техника вычисления пределов
Пример 1.
Найти .
Решение.
Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:
.
Ответ: –8.
Пример 2.
Найти
При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида.
Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:
,
и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0.
Тогда
Ответ: 7.
Пример 3.
Найти .
Решение:
Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида .
Разложим числитель и знаменатель на множители:
и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом
.
Ответ: .
Пример 4.
Найти: .
Решение: При непосредственно подстановкой имеем неопределенность
вида . Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда
Поскольку , то .
Ответ: 2.
Пример 5.
Найти:
Решение.
Непосредственно подстановкой имеем неопределенность . Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби:
.
Тогда
Ответ: 4.
Пример 6.
Найти: .
Решение:
Найдем пределы, используя первый замечательный предел
Таким образом: .
Замечание:
, так как если , то .
Значит .
Ответ:
Пример 7.
Найти: .
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду , и используем второй замечательный предел .
Если , то . Значит:
Ответ: .
III. Дифференциальное исчисление
3.1. Производная функции
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
Справедливы следующие правила:
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Основные формулы дифференцирования:
Пример 1. Найти значение производной функции f(x) в точке ,
если .
Решение.
Функция f(x) представляет собой алгебраическую сумму двух функций:
Следовательно: по правилу 2.
Функция p(x) есть композиция логарифмической и тригонометрической функций, а значит, по правилу 5
Функция q(x) есть композиция степенной и тригонометрической функций, следовательно, по правилам 1, 5
Таким образом:
при
Ответ: .
Пример 2. Найти значение производной функции f(x) в точке x0 = 2, если .
Решение:
Функция f(x) представляет собой произведение двух функций: .
Следовательно, по правилу 3 .
Согласно правилу 2, .
Функция q(x) есть композиция функций: логарифмической и линейной, так как
При преобразовании функции q(x) были использованы свойства степени и свойства логарифма.
Таким образом:
по правилам 1, 5.
Найдем :
При x0 = 2
Ответ:
3.2. Производные высших порядков функции
Производная f'(x) называется производной первого порядка от функции f(x).
Производная (f'(x))' называется производной второго порядка от функции f(x).
Обозначение: fII(x).
(fII(x))' = fIII(x) – производная третьего порядка от f(x).
(fIII(x))' = fIV(x) – производная четвертого порядка от f(x) и т. д.
Если f(n–1)(x) – производная (n – 1) порядка функции от f(x), то (f(n–1)(x))' = f(n)(x) – производная n-го порядка от f(x).
Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции f(x) = cos2x.
Решение:
(правило 5).
(правило 5).
Ответ:
3.3. Исследование функции и построение графиков
Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения D(f) функции.
2. Установить четность или нечетность функции, ее периодичность.
Правило: 1) если f(–x) = f(x) на всей области определения, то f(x) – четная;
если f(–x) = – f(x) на всей области определения, то f(x) – нечетная;
2) если f(x) = f(x ±Т) на всей области определения, то f(x) – периодическая, число Т является периодом f(x).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Правило: 1) точки пересечения с осью ОХ устанавливаются решением уравнения f(x) = 0;
2) точки пересечения с осью ОУ устанавливаются нахождением значения функции в точке x = 0.
4. Найти стационарные точки функции.
Правило: стационарные точки функции определяются из решения уравнения f'(x) = 0;
точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x), не существуют или являются стационарными.
5. Найти промежутки монотонности функции.
Правило: исследовать знак f'(x) в промежутках, на которые стационарные точки делят область определения f(x) – функции.
В тех интервалах, где f'(x) > 0, функция возрастает, а где f'(x) < 0, – убывает.
6. Найти точки экстремума.
Правило: 1) найти f''(x) функции;
2) вычислить значение f''(x) в стационарных точках функции;
3) если f''(x) > 0, то в данной точке функция имеет минимум,
если f''(x) < 0 – то максимум;
если f''(x) = 0, то исследование проводится с помощью f'(x).
7. Найти возможные точки перегиба графика функции.
Правило: 1) найти точки, в которых f''(x) = 0 или f''(x) не существует;
2) исследовать знак f''(x) в некоторой окрестности каждой из точек:
если f''(x) изменяет знак при переходе через такие точки, то они являются точками перегиба;
если знак f''(x) не изменяется, то такие точки не являются точками перегиба графика функции.
8. Найти направления выпуклости графика функции.
Правило: исследовать знак f''(x) в интервалах, на которые делят область определения функции f(x) возможные точки перегиба:
если f''(x) > 0 на рассматриваемом интервале, то график функции выпуклый вниз;
если f''(x) < 0 на рассматриваемом интервале, то график выпуклый вверх.
9. Найти асимптоты графика функции.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Для того чтобы прямая x = b была вертикальной асимптотой к кривой графика функции f(x), необходимо и достаточно выполнение условия .
Для того чтобы прямая была наклонной асимптотой к кривой графика функции f(x), необходимо и достаточно выполнение условия
,
10. Построить график функции.
Пример 4. Исследовать и построить график функции
Решение:
1. .
2. f(x) не является четной и не является нечетной, непериодическая: ,
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОХ: уравнение решается методом разложения на множители:
Таким образом, – корни уравнения, следовательно, значения функции в точках :
С осью ОУ: найдем значение функции в точке x = 0:
4. Решая уравнение , определим стационарные точки функции.
5. Промежутки монотонности функции найдем, исследуя знак на интервалах
При >0 на интервалах – возрастает;
при <0 на интервале (–1;1) – убывает.
6. Точки экстремума находим с помощью второй производной функции – .
7. Решая уравнение = 0, определим возможные точки перегиба графика функции:
8. Исследовав знак на числовой оси при переходе через точку x = 0, определим направления выпуклости графика функции.
При < 0 на интервале (–; 0) график выпуклый вверх.
При > 0 на интервале (0; +) график выпуклый вниз.
При x = 0 О(0; 2) – точка перегиба графика функции.
9. Асимптот у графика функции нет, поскольку
10. Построение графика выполняется в соответствии с исследованием функции.
Пример 5. Исследовать и построить график функции .
Решение:
1.
2. f(x) не является четной и не является нечетной, непериодическая: , .
3. График функции пересекает ось ординат в точке О(0;0),
так как .
4. Найдем стационарные точки функции:
5. Промежутки монотонности определим по знаку производной функции на интервалах . При > 0 на интервалах – возрастает; при < 0 на интервале (–2;0) – убывает.
6. Точки экстремума найдем с помощью второй производной функции
7. Точек перегиба у графика функции нет, так как .
8. Направления выпуклости графика будем искать на интервалах (–; –1) и (–1; +), исследуя знак . При < 0 на интервале (–; –1) график выпуклый верх. При > 0 на интервале (–1; +) график выпуклый вниз.
9. Найдем асимптоты графика функции:
а) вертикальная асимптота: x = –1, потому как по определению вертикальной асимптоты;
б) наклонная асимптота: , потому как
и по определению наклонной асимптоты.
10. График функции строится в соответствии с её исследованием.
IV. Интегральное исчисление
4.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех точек этого промежутка выполняется равенство
F'(x) = f(x).
Если F(x) – первообразная для функции f(x) и С – некоторая постоянная, то (F(x) + C) также есть первообразная для f(x).
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество функций (F(x) + C), являющихся первообразными для f(x).
Обозначение:
Основные свойства определенного интеграла:
4.2. Таблица основных интегралов
4.3. Методы интегрирования
4.3 Непосредственное интегрирование.
Нахождение интегралов с помощью таблицы интегралов и основных свойств интеграла
Пример 1. Найти интеграл: .
Решение:
Согласно свойствам 1, 2, 3 интеграл примет вид:
По таблице интегралов находим:
Следовательно,
Обычно сумму всех неопределенных постоянных обозначают одной буквой: С = С1 + С2 + С3.
Пример 2.
Найти интеграл .
Решение:
Рассмотрим подынтегральную функцию . Представим ее в виде композиции двух функций: степенной и линейной .
Согласно свойству 4 и формуле (1) таблицы интегралов, определяется интеграл:
4.4 Метод замены переменной
При нахождении интегралов вводится новая переменная, с помощью которой значительно упрощаются подынтегральные функции и интегралы принимают табличный вид. Определив интеграл по новой переменной, обратной подстановкой возвращаются к исходной переменной.
Пример 3.
Найти интеграл .
Решение.
Интеграл является не табличным. Выполним замену переменной: .
Найдем дифференциалы от левой и правой частей равенства и выразим из него xdx.
Таким образом, подынтегральная функция по переменной у имеет упрощенный вид, а интеграл сводится к табличному интегралу:
Возвращаясь к переменной х, имеем:
Следовательно: .
4.5 Определенный интеграл и его свойства
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b].
Разобьем [a; b] на n равных частей точками: a = x0 < x1 < x2 <…< xn–1 < xn = b.
На каждом элементарном отрезке [xi; xi + 1] выберем произвольную точку i и обозначим .
Тогда называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b].
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы функции при , стремящемся к нулю.
Обозначение:
Основные свойства:
4. Если a < c < b, то
4.6 Методы вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона — Лейбница:
Пример 4.
Вычислить интеграл
Решение:
Согласно свойствам 1, 2, интеграл запишем в виде:
Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим интегралы:
Следовательно, окончательно имеем
.
2. Метод замены переменной.
Пример 5.
Вычислить интеграл
Решение:
При введении новой переменной у = х2 – 3 и определении подынтегральной функции по переменной у пределы интегрирования также будут изменяться.
Найдем пределы интегрирования по переменной у:
– нижний предел;
– верхний предел;
следовательно,
Применив формулу Ньютона — Лейбница, вычислим последний интеграл:
И, значит, .
Пример 6.
Вычислить .
Решение:
Введем переменную . Дифференцируя обе части равенства и выражая x2dx, будем иметь:
Найдем пределы интегрирования по переменной у:
Таким образом,
.
Задания для контрольной работы
Вариант № 1
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 2
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 3
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в)б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 4
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить схематично её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 5
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в)
б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить схематично её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 6
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в)
б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить схематично её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 7
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить схематично её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 8
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 9
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
Вариант № 10
1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2. Найти указанные пределы функций.
а) в) б) г)
3. Найти производные функций при заданном значении аргумента
а)
б)
4. Исследовать функцию f(x) и построить схематично её график:
5. Вычислить определенный интеграл:
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРАБогомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов. - М.: Дрофа, 2013. - 395 с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высш. шк., 2010. - 495 с.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2010. - 208 с.