Конспект урока по геометрии «Признак перпендикулярности плоскостей».

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса
Тема урока: «Признак перпендикулярности плоскостей».Цель урока: введение понятия угла между плоскостями.
Задачи:
Образовательная: дать определение перпендикулярных плоскостей, доказать признак перпендикулярности двух плоскостей;
Развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;
Воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: объяснительно-иллюстративныйОборудование: компьютер, интерактивная доска.
Литература:
Геометрия. 10-11 классы : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 255 с.
План урока:
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (5 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Закрепление изученного материала (21 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Подведение итогов (3 мин)
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель: Точка А лежит на ребре двугранного угла. Верно ли, что ∠ABC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру?
Ученики: Нет.
Учитель: Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла?
Ученики: Нет.
Учитель: Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру, а точки В а С лежат на гранях угла? 
Ученики: Да.
Учитель: Линейный угол двугранного угла равен 80°. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани?
Ученики: Нет.
Учитель: ∠ABC - линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC?Ученики: Да.
Учитель: ∠ABC - линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC?Ученики: Да.
Учитель: Что называется двугранным углом?
Ученики: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
3.Изучение нового материала.
Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока.
Запись на доске и в тетрадях:
15.12.14.
Признак перпендикулярности плоскостей.
Учитель: При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

Учитель: Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

Учитель: Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей.
Ученики: Плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты.
Учитель: Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2). Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.
Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3). Доказать: α ⊥ β.

 
Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.
Запись на доске и в тетрадях:
Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3). Доказать: α ⊥ β.

 
Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β.
4.Закрепление изученного материала.
Учитель: При решении задач используются утверждения:
Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).
Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).
Учитель: Решим №172 у доски.
Ученик: №172
Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4). Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника , ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:  
Из ΔВКС:  
Ответ: 6√3 см.
Запись на доске и в тетрадях:
№172
Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4). Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника , ∠ВСК = 60°.
Из ΔВСА:
Из ΔВКС:  
Ответ: 6√3 см.
5.Подведение итогов.
Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Ученики: Узнали какие плоскости называются перпендикулярными, признак перпендикулярности плоскостей.
6.Домашнее задание.
Запись на доске и в дневниках: п. 23, №173, №174.