Методические рекомендации для студентов по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика»
Департамент образования и науки Кемеровской области
ГБОУ СПО «Новокузнецкий техникум строительных технологий
и сферы обслуживания»
УТВЕРЖДАЮ:
Заместитель директора по УПР
_____________ Ю.В. Сметанникова
«_____» ______________ 2014.
Методические рекомендации
для студентов по выполнению
внеаудиторной самостоятельной работы
по учебной дисциплине «Математика»
для специальностей:
43.02.11 Гостиничный сервис;
21.02.05 Земельно-имущественные отношения;
21.02.06 Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности;
11.02.12 Почтовая связь;
11.02.10 Радиосвязь, радиовещание и телевидение;
22.02.06 Сварочное производство;
38.02.02 Страховое дело (по отраслям);
08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений.
2014г.
Учебно-методические рекомендации предназначены для студентов, изучающих математику за курс средней (полной) общей школы. В рекомендациях представлены задания для самостоятельной внеаудиторной работы, требования к их выполнению, критерии оценки выполненной работы.
Рекомендации подготовлены на основании законодательных и иных нормативно-правовых актов в сфере начального и среднего профессионального образования, а также методических рекомендаций ГБОУ СПО «Новокузнецкий техникум строительных технологий и сферы обслуживания».
Составитель: Н.В. Винтер, преподаватель математики ГБОУ СПО «НТСТ и СО».
Рассмотрены и рекомендованы к использованию в образовательном процессе на заседании методического объединения преподавателей естественно-математических дисциплин."__" _______________2014 г., протокол ___.
Председатель МО ____________Е.В. РепниковаСодержание
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Toc337651382 \h 4Методические рекомендации к выполнению ВСР……………………………………………5
План внеаудиторной самостоятельной работы……………………………………………….......6
Самостоятельная работа № 1:8
Самостоятельная работа №29
Самостоятельная работа №3 .10
Самостоятельная работа №4 ………...………………………………………………………..10
Самостоятельная работа №5:11
Самостоятельная работа №6 12
Самостоятельная работа № 716
Самостоятельная работа №8 17
Самостоятельная работа №921
Самостоятельная работа №1023
Самостоятельная работа №11 :25
Самостоятельная работа №1227
Самостоятельная работа №1329
Самостоятельная работа №1431
Самостоятельная работа №1533
Самостоятельная работа №16 34
Самостоятельная работа №1737
Самостоятельная работа №1839
Самостоятельная работа №1941
Самостоятельная работа №2046
Самостоятельная работа №2146
Самостоятельная работа №22 PAGEREF _Toc337651409 \h 541
Самостоятельная работа №2352
Самостоятельная работа №2453
Самостоятельная работа №2554
Самостоятельная работа №2656
Самостоятельная работа №2757
Самостоятельная работа №2859
Самостоятельная работа №2962
Литература:64
Интернет - ресурсы64
Введение Внеаудиторная самостоятельная работа учащихся – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.
Целью самостоятельной работы студентов является:
обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;
формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.
Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентов, в образовательной среде техникума являются:
систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
развитие исследовательских умений.
Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:
Изучение материала по учебнику.
Выполнение еженедельных домашних заданий.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР).
В сборнике Вам предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые вы должны выполнить в течение учебного года.
При выполнении (ВСР) студент может обращаться к преподавателю для получения консультации.
Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, составляет 145 часов по специальностям «Гостиничный сервис»; «Земельно-имущественные отношения»; «Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности»;
«Почтовая связь»; «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»; «Сварочное производство»; «Страховое дело (по отраслям)»; «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».
Контроль результатов самостоятельной работы студентов осуществляется в урочное время и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением продукта творческой деятельности.
Методические рекомендации к выполнению ВСР
ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
После получения проверенной преподавателем работы обучающийся должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.
Любая самостоятельная работа дается на определенный срок (день, неделя,…). Если работа в срок не выполнена, то она оценивается меньшим количеством баллов.
Критериями оценки результатов самостоятельной работы студента являются:
уровень усвоения студентом учебного материала;
умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
сформированность ключевых (общеучебных) компетенций;
обоснованность и четкость изложения материала;
уровень оформления работы.
Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).
Процент результативности (правильных ответов) Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
балл (отметка) вербальный аналог
90 ÷ 100 5 отлично
80 ÷ 89 4 хорошо
70 ÷ 79 3 удовлетворительно
менее 70 2 неудовлетворительно
Выполнение ВСР способствует формированию общих компетенций:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.
ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.
ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.
Виды самостоятельной работы студентов по математике:
решение заданий по образцу;
опережающие домашние задания;
выполнение заданий по алгоритму;
типовые расчеты;
решение экзаменационных вариантов, в том числе ЕГЭ;
составление алгоритмов для типовых заданий;
составление и решение самостоятельно составленных заданий;
выполнение расчетно-графических работ;
составление и заполнение таблиц для систематизации учебного материала;
составление теста и эталона к нему;
ответы на контрольные вопросы;
составление или решение математического кроссворда на математические понятия, определения и т.п.;
творческие работы (реферат, доклад, сообщение, эссе);
изготовление информационных моделей (изготовление геометрических фигур);
разработка проекта, включающего элементы самостоятельного исследования и направленного на поиск новых методов решения поставленных задач (например, «Математика в моей профессии»).
План внеаудиторной самостоятельной работы:
Специальности:
43.02.11 Гостиничный сервис;
21.02.05 Земельно-имущественные отношения;
21.02.06 Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности;
11.02.12 Почтовая связь;
11.02.10 Радиосвязь, радиовещание и телевидение;
22.02.06 Сварочное производство;
38.02.02 Страховое дело (по отраслям);
08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений.
№п/п Наименование глав и тем Количество часов Вид работы
1 курс
Раздел 1: Введение. - 2
1 Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике 2 Написание эссе
Раздел 2: Развитие понятия о числе-4 2 Действительные числа. Комплексные числа 4 Типовые расчёты
Раздел3: Корни, степени, логарифмы - 15
3 Степенная функция 4 Типовые расчёты
4 Решение иррациональных уравнений 4 Решение задач
5 Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции 3 Решение задач
6 Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств 4 Решение задач
Раздел 4: Прямые и плоскости в пространстве - 10 7 Параллельность прямых и плоскостей 2 Типовые расчёты
8 Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями 2 Решение задач
9 Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах 3 Решение задач
10 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 3 Составление кроссворда на тему
Раздел 5: Комбинаторика. -2
11 Задачи комбинаторики 2 Решение задач
Раздел 6: Координаты и векторы. - 6 12 Действия над векторами в координатной форме 2 Решение задач
13 Биографии ученых 4 Подготовка сообщений, презентаций
Раздел7: Основы тригонометрии - 14
14 Тригонометрические формулы 4 Решение задач
15 Тригонометрические функции 4 Типовые расчёты
16 Тригонометрические уравнения 6 Решение задач
Раздел 8: Функции, их свойства и графики. - 10
17 Построение графиков функции 5 Решение задач
18 Вычисление пределов 5 Решение задач
Раздел 9: Многогранники и круглые тела.-14
19 Многогранники и их поверхности 8 Решение задач
20 Выполнение моделей многогранников 6 Изготовление информационных моделей
Всего за 1 курс 77
Раздел 10: Повторение пройденного за 1 курс - 0
Раздел 11: Тела и поверхности вращения. - 6
21 Площадь поверхности и объемы фигур вращения 6 Решение задач
Раздел 12: Начала математического анализа. - 14
22 Геометрический смысл производной 3 Решение задач
23 Применение производной к исследованию функции и построению графиков 7 Решение задач
24 Прикладные задачи 4 Написание конспекта
Раздел 13: Интеграл и его применение. - 12
25 Вычисление площадей плоских фигур 12 Решение задач
Раздел 14: Измерения в геометрии. - 8
26 Геометрия Евклида 8 Сообщения, презентации
Раздел 15: Элементы теории вероятности и математической статистики.-6
27 Элементы теории вероятностей и математической статистики 6 Решение задач
Раздел 16: Уравнения и неравенства-12
28 Решение алгебраических уравнений и неравенств с одной переменной 12 Раздел 17: Обобщающее повторение. Подготовка к экзамену. - 10
29 Домашняя контрольная работа 10 Всего за 2 курс
68
Итого часов 145 Раздел 1: Введение
Самостоятельная работа №1 на тему: Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с широтой и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
Задание для учащихся. Написать эссе на заданную тему «Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике»
Написание эссе- это вид внеаудиторной самостоятельной работы по написанию сочинения небольшого объёма и свободной композиции на частную тему, трактуемую субъективно и обычно не полно. Обучающийся должен раскрыть не только суть проблемы, привести различные точки зрения, но и выразить собственные взгляды на неё. При раскрытии темы, необходимо проявить оригинальность подхода к решению проблемы, реалистичность и значимость предложенных идей, яркость , образность, художественную оригинальность изложения.
Этапы подготовки эссе:
1. Подобрать и изучить источники по теме, содержащуюся в них информацию.
2. Выбрать главное и второстепенное.
3. Составить план эссе.
4. Лаконично, но ёмко раскрыть содержание проблемы и свои подходы к её решению.
5. Оформить эссе и сдать в установленный срок.
Контроль: Эссе может быть представлено на занятии в устной форме, либо сдано преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ.
Интернет - ресурсы
1.Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm2.Открытая математика. http://www.mathematics.ru/courses/index.htmРаздел 2: Развитие понятия о числе
Самостоятельная работа № 2 на тему: Действительные числа . Комплексные числа.
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при алгебраических вычислениях.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М.: Академия,2012.
№ п\пНазвание работы Страница в задачнике № заданий
1 Действия с дробями 6 1.1:А;
Б.
1.2:А,Б1.3:А,Б1.5:А
1.9 А2 Приближенные вычисления, погрешность 10 1.124
1.13
3 Комплексные числа.
12
19 1.17
1.29 АКонтроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел3: Корни, степени, логарифмы
Самостоятельная работа № 3 на тему: Степенная функция
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний на применение свойств степени.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
№ п\пНазвание работы Страница в задачнике № заданий
1 Вычисление значений выражений 24 2.1 А: 1)
2)
3)
Б:1)- 11)2 Сравнение значений выражений 29 2.6 А: 1)- 8)
3 Степени и корни 40 2.18 АВ
4 Построение графиков 159
165 7.1 А7.11
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №4 на тему: Решение иррациональных уравнений
Цель: Закрепить навыки решения иррациональных уравнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения:
a+b2=a2+2∙a∙b+b2;
a-b2=a2-2∙a∙b+b2;
Решение квадратных уравнений:
a∙x2+bx+c=0D=b2-4ac,
Если D>0, то x1,2=-b±d2aЕсли D=0, то x=-b2aЕсли D<0, то корней нет
Вариант 1
Решить уравнения
х2-4х = 6-3х ;
х2+х-3 = 1-2х ;3х+1 = х-1 ;х-2+2х+6 =4 ;2х - 4х = 1;
х2+3х- х2+3х -2 =0;
При каких значениях х функция у= 3х2-1 принимает значение равное 2?
Вариант 2
Решить уравнения
1. х2-10 = -3х ;х2-4х+3 = 1-х ;2х+4=х-2 ;
х-1+х+2 =3 ;3х +2 4х = 5;
х2-8х- 2х2-8х - 3 =0 ;При каких значениях х функция у= 3х2+2 принимает значение равное 3?
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 5 на тему: Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции.
Цель: применение основного логарифмического тождества и свойств логарифмов при решении упражнений.
Теоретический материал:
Основное логарифмическое тождество: alogab=b.Свойство логарифмов:
logab+logac=logab∙c;logab-logac=logabc;
logabr=r∙logab.
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Вычислить:
1.1. 5,1log5,19; 1.2. 7log716; 1.3. 121+log124; 1.4. log2132; log279 ; 1.6.31+log35;.
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
log124-х; 2.2. log23х2-16; 2.3. log37-3хх-4; Вычислить:
22+log25; 3.2. 23log24; 3.3. log725log75 .
Вычислить:
log155+log153; log0,15+log0,12;log550-log52;log287;log135169;12log100,81-2log103;Вариант 2
Вычислить:
1.1. 6,3log6,37; 1.2. 5log513; 1.3. 72+log74; 1.4. log3127; 1.5. log168 ; 1.6. 5log50,2.
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
log0,27-х; 2.2. log23х2-16; 2.3. log57+2хх-3; Вычислить:
31+log38; 3.2. 52log53; 3.3. log436log46; Вычислить:
log123+log124;log164+log169;log4192-log43;log3910;log153225; 12log3181-13log3827;Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №6 на тему: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Цель: Знать методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Степени чисел от 0 до 10
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4n1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 5n1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 6n1 6 36 216 1296 7776 46656 279936 7n1 7 49 343 2401 16807 117649 8n1 8 64 512 4096 32768 9n1 9 81 729 6561 59049 10n1 10 100 1000 10000 Решение квадратных уравнений:
a∙x2+bx+c=0D=b2-4ac,
Если D>0, то x1,2=-b±d2aЕсли D=0, то x=-b2aЕсли D<0, то корней нет
Формулы сокращенного умножения:
a+b2=a2+2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2a2-b2=a-b∙a+ba+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 Свойства степеней Свойства корней n-ой степени
am∙an=am+naman=am-namn=am∙nan∙bn=a∙bnamn=nama-n=1ana0=1abn=ba-nnam=amnnab=na∙nbnab=nanbnma=n∙manam=namn∙kan∙k=namnan=aamn=namПоказательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Решение показательных уравнений. Метод выноса за скобки
Образцы решения
Решить уравнение: 3х+1-2∙3х-2=25 В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть 3х-2. В результате получим:
3х-23х+13х-2- 2∙3х-23х-2=25
3х-23х+1-(х-2)-2=253х-23х+1-х+2-2= 253х-233 -2= 253х-2∙25=253х-2=1 , 3х-2=30, отсюда следует, что х=2.Ответ: х = 2.
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Образцы решения
Решить уравнение: 4х+ 2х+1- 24=0.
Решение: Заметив, что 4х= 22х= 22х=2х2, а 2х+1=2∙2хПерепишем заданное уравнение в виде:
2х2+ 2∙2х-24=0Вводим новую переменную: t=2x, тогда уравнение примет вид:
t2+2t-24=0Решив квадратное уравнение, получим: t1=4, t2=-6. Но так как t=2x, то надо решить два уравнения:
2х=4 и 2х≠ -6 Решим первое уравнение:
2х=22 отсюда следует, что х=2.Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как 2х >0 для любых значений х.
Ответ: 2.
Образцы решения логарифмических уравнений
Решить уравнение:
log3х-2+log3х+2=log32х-1Решение: Используя формулу: logax+logay=logax∙y, заменим сумму логарифмов произведением: log3(х-2∙х+2)=log32х-1х2-4=2х-1х2-4-2х+1=0
х2-2х-3=0х1=3; х2=-1.
Проверка:
х1=3log33-2+log33+2=log32∙3-1log35=log35х2=-1log3-1-2+log3-1+2=log32∙(-1)-1 - не существует.
Ответ: х=3Решить уравнение:
log42x+log4x-2=0. Используем метод замены.
log4x=t ⟹ t2+t-2=0
t1=1, t2=-2. Подставим в замену.
log4x=1⇒x= 41=4, log4x=-2⟹x= 4-2=142=116.
Ответ: x=4; х=116.
Образцы решения показательных неравенств
Решить неравенство 2х-2х-2≤3. Решение:
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. 2х-2.
Получим: 2х-222-1≤3, 2х∙3≤3, 2х≤1, так как 20=1 то 2х≤20Так как основание 2>1, то неравенство равносильно неравенству того же смысла х≤0.Ответ: х ϵ -∞;0.
Решить неравенство 72х-8∙7х+7>0Решение.
Заменим : 7х=t, t>0;Получим неравенство: t2-8t+7>0. Трехчлен t2-8t+7 разложим на множители: t-7t-1>0.
t<7;t>1. 7x<7, a=7>1, то x<17x>1, 7x > 70, a=7>1, то x>0.
Ответ: х ϵ -∞;1∪0;∞.
Образцы решения логарифмических неравенств.
Решить неравенство:
№п/п Вариант 1 Вариант 2
1 3х+2- 3х=722х-2х-4=152 2∙3х+3-5∙3х-2=1443 3х-1+3х-2+ 3х-3=31593 22х+3∙2х-10=02∙4х-5∙2х+2=04 162х-5∙16х-6=04∙116х+15∙14х-4=05 log32x-2log3x-3=0log42x-4log4x+3=06 log72=log7х2-log78log2х2=log22+log2187 log0.7x+3+log0.7x-3=log0.72x-1log11x+2+log11x-2=log11(2х-1)Показательные и логарифмические неравенства
1 2х+ 2х+2≤20153х+4+153х+5>62 7х≥7х-1+62х+2-2х>963 72х-8∙7х+7>09х-6∙3х<274 0,22х-1,2∙0,2х+0,2>0172х-8∙17х+7<05 log72-х≤log7(3х+6) log2,54х-5≥log2,53х-66 log131-2х>log13(5х+25)
log0,8(2х-3)<log0,8(3х-5)Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 4: Прямые и плоскости в пространстве
Самостоятельная работа № 7 на тему: Параллельность прямых и плоскостей.
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач на применения свойств параллельности прямых и плоскостей.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
№ п\пНазвание работы Страница в задачнике № заданий
1 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 51 А :3.1;
3.2;
3.3;
3.4;
В :3.7.
2 Параллельность прямых и плоскостей 53 А:3.19;
3.20;
3.21;
3.24;
В:3.31.
3 Проектирование 60 А: 3.78;
3.83;
3.84;
В:3.92
4 Матричный тест 66 А: 3.133
5 Самостоятельная работа 69 А:3.138
Б:3.139
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №8 на тему: Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостямиЦель: Уметь находить угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.
Теоретические сведения
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.
Определим понятие угла между плоскостями.
Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
-6096010541000Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями .
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.
Решить самостоятельно. Ответы обосновать.
Вариант 1
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.
В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB1C1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1B1C.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.
Вариант 2
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.
38671513398500
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB1.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 9 на тему: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярахЦель: рассмотреть понятие- расстояния от точки до плоскости; изучить теорему о трёх перпендикулярах; рассмотреть типичные ситуации её применения на примерах решения задач.
Теоретический материал
15240000Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость
Вопросы для закрепления.
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?
Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?
Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?
Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах
Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?
Что называется углом между прямой и плоскостью?
Решить самостоятельно.
Вариант 1
Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 42 см.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.
Отрезок SA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС=10 см, АВ=6 см.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.
Вариант 2
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.
Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ=2дм, АВ=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4см. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см2.
Отрезок SA длиной 6 см – перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС=82 cм.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскости квадрата равны.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №10 . Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространствеЦель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.
Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.
Правила составления кроссвордов
В общем случае определение должно состоять из одного предложения.
Определения должны быть по во возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.
Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.
В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.
Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.
Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.
В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.
Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).
Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.
Образец оформления и составления кроссвордов:
По горизонтали:
5334016192500
1. Сторона прямоугольного треугольника.
4. Он есть у функции и последовательности.
8. Его штаны равны во все стороны.
10. Полный круг вращения.
13. Французский математик, специалист теории вероятностей.
14. Арифметическое действие.
16. Гектар — ... площади.
17. Часть матрицы.
18. Свойство углов.
19. Полупрямая.
22. Нейтральный элемент относительно умножения.
23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.
24. Наибольший общий ...
По вертикали:
2. Бублик как математический объект.
3. Положение, нуждающееся в доказательстве.
4. Поверхность, имеющая 2 измерения.
5. Линейное алгебраическое уравнение.
6. Тригонометрическая функция.
7. Один из двух экстремумов.
9. Функция по своей сути.
11. Часть прямой.
12. Линия.
15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.
17. Полный квадрат первого двузначного числа.
18. Для него необходимы натуральные числа.
20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.
21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.
Ответы:
По горизонтали:
1-катет;
4-предел;
8-пифагор;
10-оборот;
13-пуассон;
14-умножение;
16-мера;
17-строка;
18-смежность;
19-луч;
22-единица;
23-период;
24-делитель;
По вертикали:
2-тор;
3-теорема;
4-плоскость;
5-лау;
8-синус;
7-максимум;
9-отображение;
11-отрезок;
12-кривая;
15-угол;
17-сто;
18-счёт;
20-цепь;
21-цикл.
Контроль: представить кроссворд в разгаданном виде на учебном занятии
Раздел 5: Комбинаторика
Самостоятельная работа №11 на тему: Задачи комбинаторики
Цель: закрепить навыки решения комбинаторных задач.
Теоретический материал.
Комбинаторика (комбинаторный анализ, комбинаторная математика) – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами
Число размещений из п элементов по т определяется по формуле:
Произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1•2•3•......•n , называется «факториалом» (англ. factorial, от лат. factor – делающий, производящий) и обозначается n! Термин ввёл Л. Арбогаст (1800), обозначение n! –К. Крамп (1808).
№1 Например, из 32 букв русского алфавита можно составить
двухбуквенные комбинации, не содержащие повторений букв.
№2 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день из 4 различных предметов?
Решение: Речь идёт о размещении из 8 элементов по 4. Имеем:
А48=8!/(8-4)!=8!/4!=8*7*6*5=1680
Ответ: расписание можно составить 1680 способами.
Для нахождения числа перестановок используют формулу Pn = n!
№3 Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц забега на восьми беговых дорожках?
Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.
Р8=8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320.
Ответ: существует 40320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.
Размещениями с повторениями, находится по формуле
№4 На пример, из 30 букв русского алфавита (исключая ь и ъ) можно составить 302 = 900 двухбуквенных серий (например, для денежных знаков) и 303 = 27 000 трехбуквенных серий.
Число этих перестановок вычисляется по формуле
Pnn1 , n2 , ... nk = , где п — общее количество элементов, входящих в перестановку, a n1, n2,, nk — количество одинаковых элементов в первой, второй, ..., k-й группах.
№5 Определим число перестановок с повторениями, которое можно получить из букв, составляющих словоформу математика. Всего в перестановках участвует десять букв, т. е. n = 10; буква м повторяется два раза, поэтому если бы все остальные буквы были различными, то искомое число перестановок, было бы равно P210= 10! / 2!. На самом деле, кроме двух одинаковых м в нашем слове имеются три а и два т. Поэтому общее число перестановок, полученных из букв, входящих в словоформу математика, равно
144018017780~
00~
P 102,2,3 =
Группы комбинаций, различающиеся только элементами, называются сочетаниями из п элементов по т. Их число равно :
№6 имеется пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет изтрёх гвоздик разного цвета.
Решение:С35=5!/3!*(5-3)!=5!/3!*2!=4*5/1*2=20/2=10.
Решите задачи:
Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?
Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?
Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
В магазине продаётся 8 различных наборов марок, спортивной тематики. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Сколькими способами может разместится семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 6: Координаты и векторы.
Самостоятельная работа №12 на тему: Действие над векторами в координатной форме
Цель: закрепить знания учащихся по теме в ходе решения задач.
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим i, j, k векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.
Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде a=xi+yj+zk/
Вариант 1
№п/п Название операции Формулы
1 Найти сумму векторов a1;-2;3, b4;0;-1
a+bx1+x2 ; y1+y2 ; z1+z2
2 Найти разность векторов a4;1;-3, b0;-5;2
a-bx1-x2 ; y1-y2 ; z1-z2
3 Найти произведение вектора на число a-1;3;1, δ-число δ=-3δaδ∙x; δy ;δz 4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A1;2;-3 Точка B (-3;4;-1) Точка С- середина отрезка АВ. С(xc; yc; zc)xc=x1+x22, yc=y1+y22, zc=z1+z22 5 Найти координаты вектора Точка A5;0;-3. Точка B (-1;4;-7).Находим координаты вектора АВ. Из координат конца вычислить координаты начала вектора
АВ x2-x1 ;y2-y1; z2-z1
6 Найти длину вектора a5;1;-1
a=x2+y2+z2
7 Вычислить скалярное произведение векторов a-2;3;7, b-9;0;2
a∙b=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2
8 Найти косинус угла между векторами a2;0;1, b-3;1;2
cosα=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2x12+y12+z12∙x22+y22+z229 При каких значениях m и n векторы коллинеарны? am;3;1, b1;n;2
x1x2=y1y2=z1z2=k 10 Проверьте перпендикулярность векторов a-4;0;1, b2;7;8
x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2=0 - условие перпендикулярности векторов
Вариант 2
№п/п Название операции Формулы
1 Найти сумму векторов a2;-3;4, b-1;2;0
a+bx1+x2 ; y1+y2 ; z1+z2
2 Найти разность векторов a4;-5;7, b3;-1;2
a-bx1-x2 ; y1-y2 ; z1-z2
3 Найти пароизведение на число a-2;4;0, δ-число δ=-4δaδ∙x; δy ;δz 4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A-3:1;2 Точка B (2;-3;1) Точка С- середина отрезка АВ. С(xc; yc; zc)xc=x1+x22, yc=y1+y22, zc=z1+z22 5 Найти координаты вектора Точка A6;-3;4. Точка B (1;-4;7).
Находим координаты вектора АВ. Из координат конца вычислить координаты начала вектора
АВ x2-x1 ;y2-y1; z2-z1
6 Найти длину вектора a7;2;-1
a=x2+y2+z2
7 Вычислить скалярное произведение векторов a-3;2;9, b-7;0;3
a∙b=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2
8 Найти косинус угла между векторами a4;1;0, b-5;3;1
cosα=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2x12+y12+z12∙x22+y22+z229 При каких значениях m и n векторы коллинеарны? am;5;3, b2;n;4
x1x2=y1y2=z1z2=k 10 Проверьте перпендикулярность векторов a0; -3;2, b9;4;6
x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2=0 - условие перпендикулярности векторов
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 13 на тему: Жизнь и деятельность математиков-ученых
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с жизнью и деятельностью математиков – ученых.
Задание для учащихся.
1.Написать сообщение на заданную тему.
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Выполнить самостоятельно:
Написать сообщение на тему: «Математики - известные ученые» (на выбор).
Николай Лобачевский;
Софья Ковалевская;
Николай Боголюбов;
Григорий Перельман;
Пафнутий Чебышев;
Виктор Садовничий;
Леонтий Магницкий;
Владимир Брадис;
Константин Поссе;
Андрей Колмогоров;
Интернет - ресурсы
http://www.lapl.org/newsroom/http://www.osp.ru
http://kvant.mirror1.mccme.ruhttp://ru.Wikipedia.org/wiki
2.Отгадай кроссворд
Угадав все слова и записав их в клеточки по горизонтали, в выделенном вертикальном столбце вы прочтете фамилию известного ученого-математика Древней Греции.
1.Отрезок прямой, образующий прямой угол с данной прямой и имеющий одним из своих концов их точку пересечения, есть ... к данной прямой. 2. Элемент прямоугольного треугольника. 3. Треугольник есть геометрическая ... . 4. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 5. Два луча, исходящие из одной точки. 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 7. Замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки O.
Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.
Рене Декарт;
Эварист Галуа;
Карл Вейерштрасс;
Пьер Ферма;
Джон Непер;
Жан Даламбер;
Клаус Мёбиус;
Евклид;
Пифогор;
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц.
Раздел 7: Основы тригонометрии
Самостоятельная работа №14 на тему: Тригонометрические формулы
Цель: способствовать закреплению навыков преобразования тригонометрических выражений.
Основные формулы тригонометрии
sin2x+cos2x=1;
sin2x=1-cos2x;
cos2x=1-sin2x;
tgx=sinxcosx ; ctgx=cosxsinx ; tgx∙ctgx=1; tgx=1ctgx ; ctgx=1tgx.
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
sinα+β=sinαcosβ+sinβ+cosαsinα-β=sinαcosβ-sinβ+cosαcosα+β=cosαcosβ-sinαsinβcosα-β=cosαcosβ+sinαsinβtg(α+β)=tgα+tgβ1-tgα∙tgβФормулы двойного аргумента:
sin2α=2sinαcosαcos2α=cosα2-cosα2 tg2α=2∙tgα1-tg2αФормулы понижения степени:
sinα2=1-cos2α2cosα2=1+cos2α2Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα- cosβ=-2sinα+β2sinα-β2Вариант 1
Вариант 2
Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
sin1050Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
cos150Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
2.1. sinπ3+α-12sinα2.2. sinαsinβ+cosα+β2.3. cosα-β- cosαcosβ2.4. sinα+β+ sinα-βУпростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
2.1. cosπ4+α+22sinα2.2. sinα+β-sinαsinβ2.3. sinαcosβ-sinα-β2.4. cosα-β-cosα+βНайдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
3.1. cos1070cos1070+sin1070sin1703.2. sin630cos270+cos630sin2703.3. cosπ12cosπ4-sinπ12sinπ43.4. sinπ12cosπ4-cosπ12sinπ43.5. cos1050cos50+sin1050cos850sin950cos50-cos950sin1850Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
3.1. cos360cos240-sin360sin2403.2. sin510cos210-cos510sin2103.3. cos5π8cos3π8+sin5π8sin3π83.4. sin2π15cosπ5+cos2π15sinπ53.5. sin750cos50-cos750cos850cos3750cos50-sin150sin3650Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
4.1. sinα+β+ sin-αcos-β==sinβcosα 4.2. sin300-α-cos600-α=-3sinαДокажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
4.1. cosα+β+sin-αsin-β== cosαcosβsin300-α +sin300+α=cosαУпростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
5.1. sin2αcosα= sinα5.2. cos2αcosα-sinα=-sinα5.3. 2sin150cos1505.4. cos150+sin15025.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
5.1. cosα2-cos2α5.2. sin6αcos3α25.3. cos750-sin75025.4. cos1502-sin15026.Известно, что sinα=513,
π2<α<πНайдите: sin2α, cos2α6.Известно, что cosα=0,8,
0<α<π2Найдите: sin2α, cos2α7.Известно, что cosα=23. 0<α<π2Найдите: sinα2, cosα27.Известно, что cosα=34. 0<α<π2Найдите: sinα2, cosα2Представить в виде произведения:
8.1. sin400+ sin160 8.2. sin200-sin400 8.3. cos150+cos450 8.4. cos460-cos7408.Представить в виде произведения:
8.1. sin100+ sin500 8.2. sin520-sin360 8.3. cos200+cos400 8.4. cos750-cos150Представить в виде произведения:
9.1. 1 2- cosαcosα+ sinα9.3. cos680-cos220sin680-sin2209.Представить в виде произведения:
9.1. 3 2+ sinα9.2. sinα - cosα9.3. sin1300+sin1100cos1300+cos110010.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
sin200+sin400 -cos100=010.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
cos850+ cos350-cos250=0Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 15 на тему: Тригонометрические функции
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при выявлении свойств тригонометрической функции.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
№ п\пНазвание работы Страница в задачнике № заданий
1 Чётность функции 164 7.10
А 8)- 10)Б 8)
В 8)
2 Свойства функции 176 7.29 А 1)-6)
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №16 на тему: Тригонометрические уравнения
Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения
arcsin(- a) = - arcsin a
arccos (-a) = π-arccosaarctg (-a) = - arctg a
arcctg (-a) = π- arcctg a
Общие формулы решения тригонометрических уравнений
I. sinх=а, а ≤1;
х х= -1narcsina+ πn, n ϵ zII. cosx=а, а ≤1 x= ±arccosa+2πn, n ϵ z II tg x = a, a – любое число
T x = arctg x + πn, nϵzI ctg x = a, a – любое число
х= arcctgx + πn, nϵzЧастные решения тригонометрических уравнений
sin x=0
х=πn, nϵz sin x=1
x= π 2+2πn, nϵz sin x=-1 x= -π2+2πn, nϵzcos x=0
x= π2+πn, nϵzcos x=1
x= 2πn, nϵzcos x=-1
x=π+2πn, nϵzЗначение тригонометрических функций
град 00 300 450 600 900
радиан 0 π6π4π3π2sinα0 1222321
cos α1 3222120
tg α0 331 3не существ
ctg αНе существ 31 330
Формулы для повторения:
ax2+bx+c=0, D=b2-4∙a∙c.
Если D>0, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
х1,2=-b±b2-4ac2aОбразцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:
Образец№1
Решить уравнение:
2sin2x-5sinx+2=0Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 = 1 2.
Значит, либо sin x = 2, либо sin x = 1 2. Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим
х= -1narcsin12+ πn, nϵzx=-1nπ6+ πn, nϵzОбразец №2
Решить уравнение:
cos2x- sin2 x-cosx=0Решение:
Воспользуемся тем, что sin2x=1- cos2x
Тогда заданное уравнение можно записать в виде:
cos2x-1-cos2x- cosx=0После преобразования получим:
2cos2x-cosx-1=0Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:
2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =- 1 2Значит, либо cos x = 1, либо cos x = - 1 2Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение
x=2πn, nϵz .
Решая второе уравнение, находим решение:
x=±arccos -12+ 2πn, nϵzx= ±π-arccos12 +2πn, nϵz x= ±(π-π3) + 2πn, nϵz x=±2π3 + 2πn, nϵzОбразец №3
Решить уравнение:
3sin2x-23 sinxcosx+5cosx=2Решение:
С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что sin2x+cos2x=1 - это тождество верно для любого значения х.
Тогда 2(sin2x+cos2x)=2sin2x+2cos2x=2.
Заменив в первом уравнении 2 на 2sin2x+2cos2x , получим: 3sin2x-23 sinx∙cosx + 5cos2x=2sin2x+2cos2x3sin2x-23 sinx∙cosx + 5cos2x-2sin2x-2cos2x=0sin2x-23 sinxcosx+3 cos2x=0Обе части уравнения разделим на cos2 x почленноsin2xcos2x- 23 sinxcosxcos2x+3 cos2xcos2x=0Так как sinхcosх=tgх, то полученное уравнение запишем в виде:
tg2x - 23 tgx+3=0 Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:
t2-23 t +3=0, решая уравнение, получим: t = 3 Итак, tg x=3 x= arctg 3 + πn, x= π3+πn, nϵZ.
Решить самостоятельно
Вариант 1
1. Решить уравнения:
2cosх – 2 = 0
tg2x + 1= 0
sinx3+π4 = 1
2. Определить число корней уравнения
3ctg 2x - 3 = 0 принадлежащих отрезку π6 ; π. Вариант 2
Решить уравнения:
3 tgx – 1 = 0
2sin -x2 = 1
2cos (2x + π4) = -2Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin x-π6 = -32.
Решить уравнения:
3sin2x – 5sinx – 2 = 0
3cos22x + 10cos2x + 3 = 0
3cos2x + 10cosx + 3 = 0
2sin2x + 3cosx = 0
3tg2x + 2tgx – 1 = 0
2sin2x-5sinxcosx+2cos2x=02cos2x-sinxcosx+5sin2x=3Решить уравнения:
6cos2x + cosx – 1 = 0
2sin22x – 3sin2x + 1 = 0
3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
5cos2x + 6sinx – 6 = 0
2tg2x + 3tgx – 2 = 0
3cos2x+10sinxcosx+3sin2x=0 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x=4Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 8: Функции, их свойства и графики. Самостоятельная работа №17 на тему: Построение графиков функцииЦель: способствовать формированию умения по графику функции определить ее свойства, а также строить графики функций.
Вариант 1
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определите промежуток убывания функции:
-∞;5; 2.-6;4; 3. -6;4; 4.[4;∞).
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, указать промежутки, где f(x)>0 .
22669535814000
Найти область определения функции y=x-4.
1. 4;∞); 2. 4;∞; 3.(-∞;4; 4.(-∞;4) Укажите наибольшее значение функции y=2x-10 на отрезке -1;2.
1. -12; 2. 8; 3. -6; 4. -2.При каких значениях x функция y=2x-4 принимает положительные значения?
1. -2;∞); 2.2;∞; 3.-∞;0,5; 4. (-∞;2.Найдите нули функции y=x2+2x.
1. -1; -2; 2. 0 ; 3. 0;2; 4. 0;-2.Постройте график функции: y=x-22+3Вариант 2
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определите промежуток возрастания функции.
1.(-∞;4; 2. -5;4; 3.-5;4; 4. 4;∞).По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.
По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, указать промежутки, где f(x)>0 .
23241031559500
5. Найти область определения функции y=5x+4.
1. -∞;-4⋃-4;∞; 2. -4;∞; 3. 4; ∞); 4. (-∞;-4⋃4; ∞).6. Укажите наименьшее значение функции y=2х+2 на отрезке 0;2.
1. -1; 2. -12; 3.1; 4.0,5.7. При каких значениях x функция y=3x+6 принимает отрицательные значения?
1. -2; ∞; 2. 2; ∞); 3. -∞; -2; 4. -∞;2.
8. Найдите нули функции y=3x-x2.
1. -1; 3; 2. 0; -3 ; 3. 0; 4. 0;3.9.Постройте график функции: y=x+22+1.Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №18 на тему: Вычисление предела функцииЦель: Знать понятие предела функции в точке, уметь вычислять пределы и раскрывать неопределённости вида: 00 и ∞∞.
Теоретический материал
Формулы для повторения
, где С = constСледующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.
при
Образец решения:
1. Найти предел: limх→2(5х2-2х+1)=5∙22-2∙2+1=5∙4-4+1=17.2. Найти предел:
limх→∞2х3-х+5х3+х2-1=∞∞ Имеем неопределенность ∞∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень числа х, т.е. на х3.
Получим:
limх→∞2х3х3-хх3+5х3х3х3+х2х3-1х3. Применяя теоремы о вычислении предела, получим:
limx→∞2x3x3-limx→∞xx3+limx→∞5x3limx→∞x3x3+limx→∞x2x3-limx→∞1x3=limx→∞2-limx→∞1x2+limx→∞5x3limx→∞1+limx→∞1x-limx→∞1x3=21=23. Найти предел:
1. lim х→-25х2+13х+63х2+2х-8=00Решение:
Имеем неопределенность 00. Чтобы раскрыть ее, разложим на множители числитель и знаменатель.
limх→-25х2+13х+63х2+2х-8=limх→-2х+25х+3х+23х-4=limх→-25х+33х-4=710=0,7Примечание:
limx→∞1x2=0 limx→∞5x3=0;
limx→∞1x=0; limx→∞1x3=0Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти указанные пределы:
1. limх→2(2х2-4х+4)2. limх→4х+5х3. limх→1х2-1х-14. limх→-6х2-36х+65. lim х→2х3-8х-2Вариант 2
Найти указанные пределы:
1. lim х→-1(5-3х-х2)2. lim х→32хх+63. lim х→4х2-4хх2-164. lim х→0х2-2х5х5. limх→-2х3+8х+2Вариант 3
Найти указанные пределы:
1. lim х→3(х2+7х-3)2. lim х→4х+52х3. lim х→2х2-4х-24. lim х→-5х2+5хх+55.limх→3х3-27х-3Вариант 4
Найти указанные пределы:
1. lim х→-2(3-4х-х2) 2. lim х→13х2х+143. lim х→3х2-9х-34. lim х→44-х16-х25. limх→-3х3+27х+3Дополнительное задание:
Найти указанные пределы:
1. lim х→2х2-7х+10х2-4 2. lim х→3х2-9х2+2х-15 3.lim х→∞х3+2х2-42х3-х-14. lim х→∞2х4+7х3-12х5+3Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 9: Многогранники и круглые тела
Самостоятельная работа № 19 на тему: Многогранники и их поверхностиЦель: Знать формулы вычисления площади боковой и полной поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
Теоретический материал
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Основные формулы
№п/п Наименование многогранника Изображение Площадь боковой и полной поверхности
1 Куб
Sп=6a22 Прямоугольный параллелепипед
Sп=2ab+2ac+2ac
3 Призма Sб=p∙НSп=Sб+2So4 Пирамида Sб=12p∙hSп=Sб+SoРешить самостоятельно.
Вариант 1
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.
Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
Вариант 2
Объем куба равен 8 м3. Найдите площадь его поверхности.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.
Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №20 на тему: Выполнение моделей многогранниковЦель: Закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.
Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.
Раздел 11: Тела и поверхности вращения.
Самостоятельная работа № 21 на тему: Площади поверхности и объем фигур вращенияЦель: Знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.
Теоретический материал
№п/п Наименование фигуры Изображение Формула площадей полной и боковой поверхности
1 Цилиндр Sб=2πRHSп=2πRH+2πR2So=πR2V=πR2∙H2 Конус Sб=πRlSп=πRl+πR2So=πR2V=13πR2∙H3 Сфера, шар Sп=4πR2V=43πR3Решить самостоятельно:
Вариант 1
Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в)объемы?
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.
Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.
Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, равной 5см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100π см2. Найдите площадь прямоугольника.
Вариант 2
Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.
Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.
Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.
Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей? в)объемы?
Как изменится площадь поверхности и объем шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.
Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5см, вращается вокруг неизвестной стороны. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60π см2. Найдите площадь прямоугольника.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 12: Начала математического анализа
Самостоятельная работа № 22 на тему: Геометрический смысл производнойЦель: Иметь понятие о геометрическом смысле производной. Уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.
Теоретический материал
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=3x2, x0=1. fx=12x2, x0=2. fx=4x, x0=4.fx=5cosx, x0=π6.fx=sin3x, x0=π12.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.fx=x5-x3+3x-1, x0=0.fx=x3-2x, x0=2.
Вариант 2
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=2x3, x0=1. fx=14x4, x0=2. fx=3x, x0=9.fx=4sinx, x0=π3.fx=cos5x, x0=π20.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0fx=x4-x3+5x-2, x0=0.fx=x3+3x, x0=2.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 23 на тему: Применение производной к исследованию функцииЦель: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.
Признак возрастания функции: Если f/(x)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Признак убывания функции: Если f/(x)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x)убывает.
Признак максимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)>0 на интервале a;x0 и f/(x)<0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)<0 на интервале a;x0 и f/(x)>0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой минимума
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Схема исследования функции.
Находим область определения;
Вычисляем производную;
Находим стационарные точки
Определяем промежутки возрастания и убывания;
Находим точки максимума и минимума;
Вычисляем экстремум функции;
Данные заносят в таблицу.
На основании такого исследования строится график функции.
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=2x2-1fx=-x2+2xfx=x3+2x2fx=x3-6x2+9x-1Найти экстремум функции
fx=3x2-2xfx=cos2xИсследовать функцию и построить график
fx=x3-3x2+2Вариант 2
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=-x2+1fx=x2-4xfx=x3+3x2fx=2x3-3x2-12x+5Найти экстремум функции
fx=3x-5x2fx=sin3xИсследовать функцию и построить график
fx=x3+3x2-1Вариант 3
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=-2x2+32fx=x2-4xfx=-x3+6x2fx=2x3-6x2-18x+4Найти экстремум функции
fx=6x-x3fx=x2∙lxИсследовать функцию и построить график
fx=-x3+6x2+2Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 24 на тему: Прикладные задачи
Цель: рассмотреть, как используются в приложениях понятие производной.
Написание конспекта - представляет собой вид внеаудиторной работы по созданию образа информации, содержащейся в объекте конспектирования, в более краткой форме. В конспекте должно быть отражены основные принципиальные положения источника. Ценность конспекта значительно повышается, если обучающийся излагает мысли своими словами, в лаконичной форме.
Конспект должен начинаться с указанием реквизитов источника(фамилии автора, полного наименование работы, места и года издания). Особо значимые места, примеры выделяются цветным подчёркиванием, взятием в рамку, пометками на полях, чтобы акцентировать на них внимание и прочнее запоминать.
Работа выполняется письменно, озвучиванию подлежат главные положения и выводы работы в виде краткого устного сообщения в рамках занятия
Критерии оценки:
содержательность конспекта (основные типы задач);
обработка задач в привычном для учащихся виде;
наличие поясняющих чертежей;
грамотность изложения;
сопровождение выступления презентациями;
выполнение задания в срок.
Задание: написать конспект занятия №7 Прикладные задачи из учебника: Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012. Стр 185-190.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 13: Интеграл и его применение
Самостоятельная работа № 25 на тему: Вычисление площадей плоских фигурЦель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;
Теоретический материал
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: fxdx=Fx+C, где Fx- есть некоторая первообразная функции fx на этом промежутке, С – const. При этом знак ∫называется знаком интеграла, fx - подынтегральной функцией, fxdx - подынтегральным выражением, x - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.
Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Таблица неопределенных интегралов
dx=x+Csinxdx=-cosx+Cdxa2+x2=1aarctgxa+Cxndx=xn+1n+1+Ccosxdx=sinx+Ctgxdx=-lncosx+Cdxx=lnx+Cdxsin2x=-ctgx+Cctgxdx=lnx+Caxdx=axlna+Cdxcos2x=tgx+cdxa2-x2=arcsinxa+Clxdx=lx+Cdx1+x2=arctgx+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+CСвойства неопределенного интеграла:
dFx=Fx+C;
kfxdx=kfxdx;
f(x)±g(x)dx=fxdx±gxdx;fax+bdx=1aFax+b+C;
Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.
1524013525500 S=abfxdx=F(x)ab=Fb-F(a).
Образец решения:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
у = 4 - х² и у=0
Решение:
1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: x2-4=0;
x2=4, x=2, x=-2.3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
S=-224-x2dx=4x-x332-2=4∙2-233-4∙(-2)-(-2)33==8-83+8-83=16-163=16-513=1023(ед.2)Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1 fx=16-x2, fx=0.
1.2. fx=1+x2, y= 2.
1.3. fx=x-12, y=0, x=3.
1.4. fx=5cosx, fx=3cosx.
1.5. fx=x2+2, fx=3x+2.
Вариант 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
fx=9-x2, fx=0.
fx=3+x2, y= 41.3. fx=x-22, y=0, x=3.
1.4. fx=5sinx, fx=3sinx.
1.5. fx=x2+3, fx=2x+3.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 14: Измерения в геометрии
Самостоятельная работа № 26 на тему: Геометрия Евклида
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с трудами великого математика Евклида.
Задание для учащихся.
Написать сообщение на заданную тему.
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Выполнить самостоятельно:
Написать сообщение на тему: (на выбор).
Геометрия Евклида;
Аксиоматика Евклида;
Современная аксиоматика Евклида;
Неевклидова геометрия;
От геометрии к логике.
Контроль: работу представить на занятии в установленный срок
Раздел 15: Элементы теории вероятностей и математической статистики
Самостоятельная работа № 27 на тему: Элементы теории вероятностей и математической статистики
Цель: закрепить навыки решения задач на вычисление вероятностей.
В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.
Результат или исход каждого испытания назовём событием. Каждое событие, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Мерой возможности появления события A при осуществлении комплекса условий является вероятность P(А) этого события. Если результаты испытания можно представить в виде полной системы n равновозможных и попарно несовместимых событий и если случайное событие появляется только в m случаях, то вероятность события A равна Р(A) = m/n, т. е. отношению количества случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех случаев.
Правило сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) =Р(А)+ Р(В).
Таблица факториалов
1! = 1 6! = 720
2! = 2 7! = 5 040
3! = 6 8! = 40 320
4! = 24 9! = 362 880
5! = 120 10! = 3 628 800
Примеры решения задач.
№1 На полке 6 видеокассет. Найдите вероятность того, что все кассеты окажутся на свеем месте.
Решение : N=6!=720- число всех событий ,
N(А)=1- число благоприятствующих событий.
Р(А)=1/720 =0,0014.
Ответ : 0,0014
№2 Слово апельсин написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что это слово спаниель
Решение: : N=8!=40320 - число всех событий ,
N(А)=1- число благоприятствующих событий.
Р(А)=1/40320 =0,000025.
Ответ : 0,000025
№3. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
А - выиграть не менее 20 руб.,
А1 - выиграть 20 руб.,
А2 - выиграть 100 руб.,
А3 - выиграть 500 руб.
Очевидно, А= А1 +А2+А3.
По правилу сложения вероятностей:
Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061
Решите задачи:
№1 Найдите вероятность того , что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера- это цифры 2,3.1. в произвольном порядке.
№2 Для участие в телевикторине случайным образом выбирают 3 игрока из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1-й, 4-й, и 8-й игрок
№3 Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
№4
№5
№6
№7
№8
№9
Ответы(№2-0,018;№3-0,45;№4-0,545, 0,364, 0,091; №5-0, 559; №6-,417, 0, 152; №7-0,56; №9- 0,72)
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 16: Уравнения и неравенства.
Самостоятельная работа №28 на тему: Решение алгебраических уравнений и неравенств с одной переменной.Цель: Знать методы решения линейных, квадратных уравнений и неравенств. Применять их при решении упражнений.
Теоретический материал:
Простейшее линейное уравнение: ax+b=0.
21628102921000
x=-ba, если a≠0;
x∈-∞;∞, если a=0,
нет решения, если a=0, b≠0.
Приведенное квадратное уравнение: x2+px+q=0
14166851333500Теорема Виета: x1+x2=-p, x2∙x2=q.Решение квадратных уравнений:
a∙x2+bx+c=0D=b2-4ac,
Если D>0, то x1,2=-b±d2aЕсли D=0, то x=-b2aЕсли D<0, то корней нет
Алгоритм решения квадратного уравнения
Решить квадратное уравнение
Найдите коэффициенты квадратного уравнения
Запишите формулу для нахождения дискриминанта квадратного уравнения
Найдите дискриминант
Запишите формулу для нахождения корней квадратного уравнения
Найдите корни квадратного уравнения
Запишите ответ 2х2+5х-7=0 a= , b= , c=
D=
D=
х1,2=
х1=
х2=
Ответ:
Решить самостоятельно уравнения:
№п/п Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1 x2=3xx2+3x=03x-x2=02 2x2+4=02x2-4=03x2+27=03 -3x2+27=0x23=3x2-4x=54 x2-14x=-48105+x2=22x4x+x2=-155 x2+8x+7=0x2x+3=xx+3;x2-6xx-5=55-x6 x2-6xx-5-5x-5=0x2-4x=3+2x28x=3x+27 x2-9x+8=0x2+x-6=0x2+38=5x48 x2+13=7x62x2+3=x2-x2+4x=39 3x+1x+2=1+x-1x-22x-2x+3-x+33-x=549x2-1-43х+1=51-3х10 4x+3+1=1x-3+53-x3x-41-x=5-xx2-13x-2x+12-x=3x+4x2-2xРешение линейных и квадратных неравенств
Теоретический материал
248221521971000-84201021971000Алгоритм решения квадратного неравенства ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0
Решить самостоятельно:
№п/п Вариант 1 Вариант 2
1 4х+2<0-8х-6>02 -5х-1≤05х-6≤-23 -10х+4>-65х+9<-104 6х-3≥-6+8х-3х+2<4+3х5 4(2+х)≤13(-4-х)≤96 5-2(-3х+5)>1-2-3+7х+6х≤-87 х2+8х+12<0х2+3х-40>08 х2 -48х-21≥0х2+5х-36≤0Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 17: Обобщающее повторение. Подготовка к экзамену
Самостоятельная работа №29 на тему: Домашняя контрольная работа Цель: Контроль знаний учащихся
Выбор варианта (№1,4,7,10,13,16,19,22,25- ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ)
(№2,5,8,11,14,17,20,23,26- ВТОРОЙ ВАРИАНТ)
(№3,6,9,12,15,18,21,24,27- ТРЕТИЙ ВАРИАНТ)
Вариант 1
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 16 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 12 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: 2sin2x-3cosx-3=0Решить систему уравнений: x-y=5log54x+y=2Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=2x3-x+3 в точке с абсциссой x0=-1.
Решить уравнение: log122x-1-log1216=5Решите уравнение: cos3π+x-sinπ2-x=2Найдите все первообразные функции: fx=x5-x2-sin3xРадиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg4-5xx-3.
Вариант 2
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:2, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 15 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 18 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: 2sin2x+ cos2x-3sinx-5=0Решить систему уравнений: x-y=4log43x+y=2Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=4x2+7x+1 в точке с абсциссой x0=-2.
Решить уравнение: log123x+2-log12164=2Решите уравнение: sinπ+x+cos(3π2-x)=2Найдите все первообразные функции: fx=x7-x9-cos5xРадиус основания цилиндра равен 3 см, площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg3-2xx+1.
Вариант 3
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 20 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 24 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: sin2x+2cos2x-5cosx-7=0Решить систему уравнений: x+y=17log33x+y=3Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=4x3-3x+1 в точке с абсциссой x0=-2.
Решить уравнение: log25-2x+log28=4Решите уравнение: sin3π2+x-cos2π-x=1Найдите все первообразные функции: fx=x3-x9-cos4xРадиус основания цилиндра равен 6 см, площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg7+2xx-5.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Литература:Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.Интернет - ресурсыhttp://catalog.alledu.ru/predmet/math/Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm
Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:
http://matemathik.narod.ru/
Мир Геометрии: http://geometr.info/Страна Математика: http://www.bymath.net/Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htmГрафики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/Виртуальная школа юного математикаhttp://math.ournet.md/indexr.html