Интегрированный урок по теме Интеграл в геометрии, физике, электротехнике

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Самарской области «Технологический колледж им. Н.Д.Кузнецова»









Интегрированный урок по теме:
Интеграл в геометрии, физике, электротехнике


Преподаватель Сазонова О.Б.









Самара, 2015
Тема урока: Интеграл в геометрии, физике, электротехнике.
Интегрированный урок-практикум
Цели:
- обобщить и систематизировать знания по теме «Интеграл», применять их к решению задач геометрии, физики, электротехники;
- формирование основ интегративного мышления;
- воспитание интереса к предмету; формирование мотивации обучения профессии; воспитание инициативности, самостоятельности, ответственности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с элементами профессионального профилирования по специальности «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».
90 минут.
Оборудование:
- компьютер;
- проектор;
- таблица первообразных;
- форматки с формулами;
- игра «Математическое лото».
План урока
1. Повторение темы:
( определение первообразной;
( техника интегрирования (игра «Математическое лото»);
( определение интеграла. Формула Ньютона-Лейбница;
( геометрический смысл интеграла.
2. Применение интеграла:
( в геометрии;
( в физике;
( в электротехнике
3. Подведение итога урока.
4. Оценки с комментариями.
5. Задание на дом.
Ход урока
Учитель математики: Мы заканчиваем изучение темы «Интеграл». Сегодня заключительный урок по теме.
Наша цель: повторить основные понятия и рассмотреть некоторые применения интеграла при решении задач геометрии, физики, электротехники. Это даст нам возможность оценить профессиональную направленность изученной темы, увидеть взаимосвязь математики, физики, электротехники. С этой целью на урок приглашены учителя физики и электротехники. Они расскажут вам о специфических применениях и интеграла.
Эвристическая беседа по теме:
1. Вопрос: Что такое первообразная?
Ответ: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка
F((x) =f(x).
2. Разминка по технике интегрирования в виде игры «Математическое лото». Играют 2 человека, их оценки зависят от количества правильных ответов. Ответы комментируются.
3. Вопрос: Что такое интеграл?
Ответ: Интеграл от функции f (x) есть приращение её первообразной. Это определение можно записать в виде формулы Ньютона-Лейбница: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Вычислить: 13 QUOTE 1415 +1 = 113 QUOTE 1415.
4. Вопрос: В чём состоит геометрический смысл интеграла?
Ответ: Интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена графиком подынтегральной функции, отрезком [a;b] оси 0Х, прямыми х = а и х = b, где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования (приложение 1).
Учитель математики:
Интеграл имеет самые разнообразные практические применения. Русский математик П.Л. Чебышев сказал: «Сближение теории с практикой даёт самые благотворительные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под её влиянием, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных».
Так с помощью интеграла можно вычислить такие физические величины, как работа, она равна интегралу от силы, затраченной при перемещении тела; масса однородного стержня равна интегралу от линейной плотности этого стержня; величина заряда равна интегралу от силы тока; количество теплоты равно интегралу от теплоёмкости (приложение 2).
Выведем с помощью интеграла несколько геометрических формул. Одна из древнейших задач математики – нахождение длины окружности и площади круга.
Пример 1. Вывести формулу длины окружности (приложение 3). Здесь:
R - радиус окружности,
dС - элемент окружности,
( - центральный угол, соответствующий dС.
Вопрос: От чего зависит длина дуги?
Ответ: От радиуса окружности и от величины соответствующего центрального угла.
Вопрос: Как зависит?
Ответ: Прямо пропорционально.
Вопрос: Какой из параметров (R или () будет являться переменным для данной окружности?
Ответ: Переменным будет являться центральный угол (, так как радиус есть величина постоянная для данной окружности.
Вопрос: В каких единицах измеряется параметр (?
Ответ: В радианах.
Запишем элемент данной окружности с помощью символов dC=R13 QUOTE 1415d(.
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до 2(
С= 13 QUOTE 1415 (приложение 5).
На решении этой задачи можно проследить схему применения интеграла, которая сводится к следующему:
Записать часть изменения искомой величины с помощью дифференциала.
Проинтегрировать полученное равенство.
Найти первообразную для подынтегральной функции и вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 2. Вывести формулу площади круга (приложение 4). Здесь:
R - радиус круга,
( - центральный угол,
dC - элемент окружности,
dS - элемент искомой площади круга.
Вопрос: от каких величин зависит площадь круга?
Ответ: площадь круга зависит от R и (.
Рассмотрим элемент площади круга ds, он имеет форму близкую к форме треугольника, у которого высота равна радиусу, а основание равно dC.
dS = 13 QUOTE 1415
S = 13 QUOTE 1415
Итак, S= (13 QUOTE 1415(приложение 7).
Пример 3. Вывести формулу призмы.
Здесь: S - площадь основания, H - высота, h- элемент высоты.
Схема рассуждения:
Вопрос: от чего зависит объём призмы?
Ответ: объём призмы зависит от S и h.
Вопрос: какой параметр (S или h) будем считать постоянным, а какой переменным для данной призмы?
Ответ: S – величина постоянная для данной призмы, h- переменная.
Запишем уравнение в дифференциалах: dV = Sdh.
Проинтегрируем по h от 0 до H: V = 13 QUOTE 1415
Заметьте, насколько вывод этой формулы с помощью интеграла короче и «изящней» традиционного метода, который рассматривается в курсе геометрии. Рассуждая аналогично можно вывести формулы для вычисления объемов тел вращения (шара, цилиндра, конуса, произвольного тела вращения и т.д.). С помощью интеграла решаются задачи других наук, в частности физики, электротехники.
Учитель физики:
Основной составной частью любых радиотехнических устройств являются конденсаторы.
Вопрос: устройство, принцип действия, назначение, основные характеристики конденсатов. (Ответ учащихся у доски).
Решить задачи:
Задача 1. Вычислить работу, совершаемую при зарядке конденсатора.
Решение: A = qEd Ed = U A = qU q – const dA=CU13 QUOTE 1415dU
A = 13 QUOTE 1415 = C13 QUOTE 1415 = C 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
Ответ: A = 13 QUOTE 1415
Задача 2. Дано: C, U. Найти: W. Решение: W = qU, q-const, dW = qdU, C = 13 QUOTE 1415, q=CU, dW=CudU, W=13 QUOTE 1415 = C13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415.
Вывод: Таким образом, с помощью интегрирования, можно вывести формулы: A = 13 QUOTE 1415 (приложение 6); W = 13 QUOTE 1415; W = 13 QUOTE 1415.
Учитель электротехники:
Такой математический аппарат как дифференцирование и интегрирование находит широкое применение для решения задач электротехнического профиля. И прежде, чем мы решим задачи на применение интеграла, вспомним некоторые понятия темы «Цепи постоянного тока», которую мы изучали на первом курсе, а также изучаете на уроках физики.
Из курса физики вы знаете, что электрическим током называется упорядоченное, направленное движение заряженных частиц. Если мы говорим о проводниках, то электрический ток возникает при упорядочении перемещения свободных электронов.
При изучении темы «Цепи постоянного тока» мы говорим о том, что основная электрическая характеристика проводника при заданном напряжении. Сопротивление проводника представляет собой как бы меру противодействия проводника, установления в нем электрического тока.
С помощью закона Ома можно определить сопротивление проводника.
Вопрос: сформулируйте закон Ома для участка цепи.
Ответ: сила тока для участка однородной цепи прямо пропорциональна сопротивлению того же участка: I = 13 QUOTE 1415; R = 13 QUOTE 1415.
Для этого нужно измерить напряжение силы тока. Проводники каких материалов обладают наименьшим электрическим сопротивлением?
Это серебро, медь, алюминий.
Сопротивление зависит от материала проводника и его геометрических размеров и формы.
Вопрос: Как выглядит зависимость сопротивления цилиндрического проводника от материала, геометрических размеров?
Ответ: R = (13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 [ом], где R - сопротивление,
(13 QUOTE 1415- удельное сопротивление проводника, зависящее от рода вещества и состояния,
S - постоянная площадь поперечного сечения для данного проводника,
l - длина проводника.
Задача: Вывести формулу сопротивления конического проводника.
Рассмотрим чертеж. Проводник имеет форму конуса, основание проводника S0, L - длина проводника (или высота конуса).
Вопрос: от чего зависит сопротивление данного проводника при постоянном сечении?
Ответ: сопротивление зависит от длины проводника, то есть длина – меняющаяся величина. Изменяется элемент длины dl, а длине l соответствует площадь S. Обозначим изменяющийся элемент длины dl и запишем уравнение в дифференциалах: dR = (13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 (1)
Вопрос: что можно сказать об этих конусах?
Ответ: эти конусы подобны.
Вопрос: из геометрии известна зависимость между площадями подобных конусов и их высотами. Что это за зависимость?
Ответ: площади оснований подобных конусов относятся как квадраты их высот, то есть можно записать: 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415; S = 13 QUOTE 1415.
Подставим эту величину в дифференциальное уравнение (1), получим:
dR = 13 QUOTE 1415 , (2)
Проинтегрируем его.
Вопрос: по какой величине производим интегрирование?
Ответ: по величине l, т.к. длина является аргументом в данной задаче.
Вопрос: каковы пределы интегрирования, в каких пределах меняется высота конуса или длина проводника является от 0 до L.
R = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 dl = 13 QUOTE 1415 (0L = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 14150L = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + (
При стремлении знаменателя к 0, дробь стремиться к бесконечности.
Подведение итога урока:
Итак, мы рассмотрели лишь малую часть применения интеграла в геометрии, физике, электротехнике, но и она дает представление о том, какую роль играет дифференциальное и интегральное исчисление в науке и технике; дает возможность оценить профессиональную направленность темы; показывает взаимосвязь между изучаемыми предметами.
Выставление оценок с комментариями.
Здание на дом: Вывести формулу объема цилиндра.

























Приложение 1


Площадь криволинейной трапеции

y


S(x)


a 0 b x


13 EMBED Equation.3 1415


Приложение 2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Приложение 3








d C
Приложение 4








d C

Приложение 5



13 EMBED Equation.3 1415


Приложение 6
13 EMBED Equation.3 1415
Приложение 7
13 EMBED Equation.3 1415









R d 13 EMBED Equation.3 1415





R d 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415





R d 13 EMBED Equation.3 1415

d S 13 EMBED Equation.3 1415





R d 13 EMBED Equation.3 1415

d S 13 EMBED Equation.3 1415



Root Entry