Конспект лекции по дисциплине ОУД.03 Математика: Алгебра и начала математического анализа геометрия по теме Прямая на плоскости и в пространстве
Прямая на плоскости и в пространстве
Уравнения прямой на плоскости:
- Общее уравнение прямой;
- Уравнения с угловым коэффициентом;
- Уравнение в канонической и параметрической форме;
- Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;
Уравнение прямой в пространстве:
- Канонические уравнения прямой;
- Параметрические уравнения;
- Уравнения прямой, проходящей через две точки;
- Общие уравнения прямой.
Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y, то есть уравнение вида Ax+By+C=0, где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат. Это общее уравнение прямой.
Рассмотрим частные случаи этого уравнения:
Значение коэффициентов
уравнение прямой
положение прямой
1.
С=0, А
·0,В
·0
ax+by+c=0
проходящей через начало координат
2.
А=0, В
·0,С
·0
y=b, где b=-c/b
параллельно Ох
3.
В=0, А
·0,С
·0
x=a, где a=-c/a
параллельно Oy
4.
А=С=0
y=0
совпадает с осью Ох
5.
В=С=0
x=0
совпадает с осью Oy
Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициент k, который определяется как тангенс угла наклона
· этой прямой к оси Ох, то есть k=tg
·. Исключение составляет прямая, перпендикулярно Ох, которая не имеет углового коэффициента.
Уравнение прямой c угловым коэффициентом k и пересекающей ось Oy в точке, у которой ордината равна b, записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Угловой коэффициент k прямой, заданной общим уравнением Ax+By+C=0, находится как коэффициент при х: 13 EMBED Equation.3 1415, где В
·0.
Угловой коэффициент k прямой, заданной двумя точками A(xa,ya), B(xb,yb) вычисляется так:
13 EMBED Equation.3 1415
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) параллельно направляющему вектору q(l,m):
13 EMBED Equation.3 1415
Параметрические уравнения прямой:
13 EMBED Equation.3 1415
r0(x0,y0)-радиус вектор точки M0(x0,y0)
q(l,m)-направляющий вектор прямой.
Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки A(xa,ya), B(xb,yb) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(3;1) и М2(5;4).
Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через 2 точки:
13 EMBED Equation.3 1415 или 3x - 2y – 7 = 0
Составить уравнение прямой, отсекающей на оси oy отрезок b=3 и образующей с осью ox угол 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим угловой коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения прямой в пространстве
Каноническое уравнение прямой, проходящих через точку M0(x0,y0,z0) и параллельной вектору s(l,m,n) записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
M(x,y,z)-текущая точка прямой
s(l,m,n)- направляющий вектор.
Параметрические уравнения прямой:
13 EMBED Equation.3 1415,
или в векторной форме r(t)=r0+qt, r0(x0,y0,z0)-радиус-вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, и q(l,m,n)-направляющий вектор прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Общее уравнение прямой записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415
A1, B1, C1 не пропорциональны A2, B2, C2.
Угол между 2 прямыми 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Расстояние d от данной точки M0(x0,y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0 определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения прямой, заданной точкой M0(x0,y0) и угловым коэффициентом
13 EMBED Equation.3 1415
Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты
13 EMBED Equation.3 1415
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны k1=k2.
Примеры.
Показать, что прямые 3x – 5y +7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 перпендикулярны.
После приведения уравнений к виду уравнений с угловым коэффициентом, получаем
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то прямые перпендикулярны.
Прямые заданы уравнениями y = 2x + 3 и y = -3x + 2. Найти угол между прямыми.
Очевидно, k1 =2, k2=-3, поэтому по формуле находим
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен 13 EMBED Equation.3 1415, другой угол равен 13 EMBED Equation.3 1415.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native