Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: Комплексные числа

Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа № 11
Тема: Комплексные числа и действия с ними.
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Методические указания для практической работы
Теоретические сведения к практической работе
1. Понятие комплексного числа
Комплексными числами называются числа вида
, (1.1)
где x, y – действительные (вещественные) числа, а число i определяемое равенством i2= – 1 (), называется мнимой единицей.
Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (используется обозначение ); y – мнимой частью комплексного числа z ().
Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексногочисла.
Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если , то получается вещественное число .
Два комплексных числа и называются сопряженными. Используя формулу разности квадратов, получаем, что .
Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:, т.е. ; .
Два комплексных числа и равны друг другу, если и ; комплексное число z считается равным нулю, если .
100965493395Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел:
хЧисло z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости.
Число называется модулем комплексного числа и обозначается или .
2. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси Oх располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси Oх. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию .
При этом выражение вида
(1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что φ – аргумент комплексного числа z можно найти, решив систему
или (1.3)
Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.
φ – аргумент комплексного числа z можно найти формул , (1.3) или в силу того, что , .
Пример 2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:
6i; b) 1-i3, указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. a) Здесь х=0, у=6 z=6 .
Поскольку число 6i лежит на положительной полуоси Оу, то значение аргумента φ=π2 , поэтому 6i=6(cosπ2+i sinπ2)).Здесь х=1, у=-3 .
По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .
Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число .
Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно, точка находится во второй четверти: .
Подставляя в формулу (1.2) найденные r и φ, имеем .
3. Действия над комплексными числами
1) Сумма двух комплексных чисел и определяется согласно формуле .
2) Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число , если , является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда .
Пример 4. Выполнить действия: а) (4+2i)+(1+5i); b) (3+5i)-(6+3i).
а) По правилу сложения комплексных чисел получим
(4+2i)+(1+5i)=(4+1)+(2+5) i =5+7i.
b) По правилу вычитания комплексных чисел получим
(3+5i)-(6+3i)=(3-6)+(5-3)i=-3+2i.
3) Произведение двух комплексных чисел и определяется по формуле . В частности.
Можно получить формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Имеем .
Пример5. Выполнить действия: а) 2i ∙3i; b) (2-3i)-(2+3i); с) (5-4i)-(3+2i).
а) 2i ∙3i=6i2=-6;
b) (2-3i)-(2+3i)=4-9i2=4+9=13;
с) (5-4i)-(3+2i)=(5∙3-(-4)∙2)+ i(5∙2+3(-4)=23-2i.
Можно выполнить умножение по правилу умножения многочленов:
(5-4i)-(3+2i)=15+10i -12 i +8=23-2i.
4) Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число называется частным от деления z1 на z2, если . Тогда
.
Окончательно .
B тригонометрической форме:
.
Операция деления возможна только в случае, когда ).Пример 6. Выполнить действия: а) 23i ; b) 11+i ; с) 1+i1-i; d) 2-7i3+4iи указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение.
а)Умножаем делимое и делитель на i, получим 23i=2i3i∙i=2i-3=-23i .

b) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: 11+i=11-i1+i(1-i)=1-i1-i2=1-i2=12-12i.с) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: 1+i1-i=1+i(1+i)1-i(1+i)=1+2i+i21-i2=2i2=i.
d) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:
;
Вещественная и мнимая части равны: , .
5) Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра
. (1.4)
6) Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
, k=0,1,…,n-1. (1.5)
Пример 7. Вычислить: .
Решение. Чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме.
Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая, что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:
.
Пример 8. Возвести число в пятую степень.
Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. . Отсюда , а . Тогда по формуле Муавра получим:
.
Пример 9. Вычислить: .
Тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)
, k=0,1,2.
Выписываем три искомых корня:
;
;
.
Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа № 11
Тема: Комплексные числа и действия с ними.
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Задание 1. Выполните сложение комплексных чисел, выпишите вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел:
а) (5+3i)+(1+10i); б) (3+i)+(-3-8i); в) (-6+2i)+(-6-2i).
Задание 2. Выполните действия:
а) (2-3i)+(5+6i)+(-3-4i); б) (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i).
Задание 3. Выполните умножение комплексных чисел:
а) (5-3i)∙2i ; б) -i5 ∙4i5 в) (5+3i)(2-5i); г)(3+4i)(3-4i).
Задание 4. Выполните деление комплексных чисел:
а) 1i ; б) 11-i ; в) 1-i1+i; г) 3-2i1+3i .
Задание 5. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
а) 3i ; б) -2+23i; в) 2-2i; г) -3-iЗадание 6. Решите уравнения:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; е) .
Задание 7. Выполните действия:
а)(1-i)12; б) -1+i323; в)cosπ6+i sinπ66; г) 32-32i10