Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: Определители. Способы вычисления определителей

Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа №2
Тема: «Определители»
Цель: получение практических навыков при вычислении определителей второго и третьего порядков.
Методические указания и теоретические сведения к практической работе
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Пусть дана матрица
.
Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символами (det A, ):
==-.
Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу: произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца, числа , , , – элементы определителя. Правило вычисления определителя второго порядка можно представить схематически:
.
Количество строк и столбцов в определителе всегда совпадает. Кроме определителей второго порядка существуют определители 3-го, 4-го и т. д. порядков. Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца:
.
Для вычисления определителя 3-го порядка существует несколько правил.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
2.1.ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Для вычисления определителя надо повторить запись первого и второго столбцов. Проведем три левые диагонали, начиная с верхнего левого угла, и три правые диагонали. Три первые слагаемые получаются как результат произведения элементов, стоящих на каждой из левых диагоналей. Следующие три слагаемые получаются при умножении элементов, стоящих на каждой из правых диагоналей. Три последние произведения берутся с противоположным знаком.
Пример 1.

.
2.2. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА


(1) (2)
Перемножаются элементы, стоящие на левых диагоналях. Одна диагональ, главная, проходит через три элемента, и две диагонали побочные проходят через два элемента, третьим элементом для них является элемент, стоящий в вершине треугольника (схема 1). Аналогично находим произведения элементов, стоящих на правых диагоналях (схема 2). Эти произведения берутся с обратным знаком.
.

Пример 2.

.
2.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ
ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ
Прежде чем перейти к следующему правилу вычисления определителя, введем понятие минора и алгебраического дополнения. В определителе
=
вычеркнем одну строку и один столбец, останется определитель второго порядка, который принято называть минором. Например, при вычеркивании первой строки и первого столбца получим минор
.
При вычеркивании “i”-й строки и “j”-го столбца получим минор . Через обозначим алгебраическое дополнение элемента . Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, взятый со знакос «плюс», если сумма i+j - четное число, и со знаком «минус» если эта сумма нечетная т.е.
.
По свойствам определителя его можно представить в виде суммы:
,
что соответствует разложению определителя по элементам первой строки. Аналогично можно разложить по элементам любой строки или столбца.
Пример 3.
.
Вычислим определитель разложением по элементам строки. Для определенности выберем первую строку.
Тогда , , .
.
– получен вычеркиванием первой строки и первого столбца.
.
– получен вычеркиванием первой строки и второго столбца.
.
Тогда .
Вывод: Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).
Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти:
Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой ,а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .
Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа №2
Тема: «Определители»
Содержание практической работы
Вариант 1.
Задание 1. Запишите миноры М11, М13, М22, М23, М31, М32 и алгебраические дополнения А11, А13, А22, А23, А31, А32 определителя:

Задание 2. Вычислить определители:
1) ; 2) ; 3)
4) ; 5) ; 6)
7)
Справка. Число i определяется равенством i2=-1. Называется мнимой единицей.
Задание 3. Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки:

Задание 4. Вычислить определитель, разложив его по элементам третьей строки:

Задание 5. Вычислить определитель по правилу треугольника и, разложив его по элементам первого столбца:

Задание 6. Вычислить определитель:

Задание 7. Вычислить определитель: