Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: Матрицы и действия с ними

Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа №1
Тема: «Матрицы и действия с ними»
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами.
Методические указания и теоретические сведения к практической работе
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:
.
Для обозначения матрицы используют заглавные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.
Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).
При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j-й столбец – обозначение Aj.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка. Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Например, - единичная матрица 4-го порядка.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали треугольной. Например, среди квадратных матриц размера 3x3
, , ,
матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.
Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.
Действия над матрицами.
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):
Пример 1. + =
Умножение на число
Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля действительное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:
.
Пример 2. Найти 2A-B, если , .
Решение. Сначала умножаем матрицу A на число 2, затем матрицу B на число -1, и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы Аmxn=(aij) на матрицу Вnxp=(bjk) называется матрица Сmxp=(cik) такая, что элемент i-ой строки и k-ого столбца произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существует.
Пример 3. Найти произведение матриц и .
Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы - В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается AT .
Так, если , то .
Если , то .
Пример 4. Найти АВ+СТ , если

Решение. Воспользовавшись вычислениями примера 3, также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:
АВ+СТ =.
Практическая работа №1
Тема: «Матрицы и действия с ними»
Содержание практической работы
Вариант 1.
Найти сумму и разность матриц А и В, где


Найти СТ, где
Найти матрицы:
а) 2А;
б) 8ВТ;
в) 2А+5В;
г) -3А-7,5В, где


Найти произведения матриц АВ и ВА, где

Найти А3 , где
Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е, где


Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:
1) , , ;
2) , , .
Дополнительные задания
8. Выполнить арифметические действия с матрицами:
1) ; 2) ;
3) ;4) ;
5) ;
6);
7)
9. Доказать равенство для матриц (АВ)С=А(ВС)
, , ;
10. Найти: 1) ; 2) ; 3) .