МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ по дисциплине «Математика» специальность 100116.01 Парикмахер

Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства



















МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
по дисциплине «Математика»
(наименование дисциплины по примерному учебному плану
специальность 100116.01 Парикмахер
(код, наименование)





















Тольятти
2012


Пояснительная записка
В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке студентов в колледже. Задача образования не может сводиться только к вооружению обучающихся определённой суммой знаний. Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях.
Изучение математике создает предпосылки для развития логического мышления, овладения навыками дедуктивных рассуждений, формирование точности и лаконичности речи. Однако успешность реализации этих предпосылок во многом зависит от того, насколько эффективно организован в этом направлении учебный процесс. Поэтому одно из требований подготовки студентов к творческому труду и самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний состоит в такой организации учебной деятельности обучающихся на уроках и при выполнении домашних заданий, которая обеспечивает осуществление целенаправленной и систематической работы по формированию интеллектуальных умений обучающихся и развитию их речи.
Под самостоятельной работой понимают работу выполняемую «извне» без активной помощи. Провести более четкую границу между самостоятельными работами и работами, выполняющими под руководством преподавателя довольно трудно. Но для практики знание этого вопроса не имеет существенного значения. Более важным представляется знание смысла использования самостоятельной работы при обучении математике. Самостоятельная работа в обучении математике не самоцель, она необходима для перевода знаний «извне», во внутреннее достояние обучающегося, необходима для овладения этими знаниями, а также для осуществления контроля со стороны преподавателя за их усвоением.
Самостоятельная деятельность обучающихся можно и нужно организовывать на различных уровнях, от воспроизведения действий по образцу и узнавание объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.
Виды самостоятельных работ:
- обучающие;
- тренировочные,
- закрепляющие,
- повторительные;
- развивающие;
- творческие;
- контрольные.
В результате выполнения самостоятельных работ обучающийся должен знать:
- значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
- значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
- универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
- вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
В результате выполнения самостоятельных работ обучающийся должен уметь:
- выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;
- находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;
- выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
- вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;
- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;
- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
- использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;
- находить производные элементарных функций;
- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
- применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;
- решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;
- использовать графический метод решения уравнений и неравенств;
- изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;
- составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах;
- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
-вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
- распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
- описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
- анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;
- изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
- строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
- использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
-проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.
Критерии оценивания:
задания сделаны на 75% - удовлетворительно;
задания сделаны на 80% - хорошо;
задания сделаны на 90% - отлично.
Содержание:
титульный лист
пояснительная записка
перечень работ
самостоятельные работы









ПЕРЕЧЕНЬ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

№ п\п
Наименование темы
Наименование работы
Кол-во часов

1
Развитие понятия о числе
Действия с целыми и рациональными числами (отчет)

6

2
Корни, степени и логарифмы
Преобразование алгебраических выражений (отчет)

6

3
Корни, степени и логарифмы
Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений (отчет)

6

4
Прямые и плоскости в пространстве
Использование теоремы о трех перпендикулярах при решении задач (доклад)

6

5
Элементы комбинаторики
Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний (проект)

6

6
Координаты и векторы
Использование координат и векторов при решении математических задач (отчет)

6

7
Основы тригонометрии
История тригонометрии (сообщение)

6

8
Основы тригонометрии
Решение тригонометрических уравнений (отчет)

6

9
Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции
Построение графиков функций, заданных различными способами (сообщение)

6

10
Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции
Применение геометрических преобразований при построении графиков (отчет)

6

11
Многогранники
Изготовление геометрических тел

6

12
Многогранники
Изготовление геометрических тел

6

13
Тела и поверхности вращения
Изготовление геометрических тел

6

14
Тела и поверхности вращения
Изготовление геометрических тел

6

15
Начала математического анализа
Нахождение производных функций (отчет)

6

16
Начала математического анализа
Понятие о производной (доклад)

6

17
Начала математического анализа
Нахождение первообразных функций и интегралов (отчет)

6

18
Измерения в геометрии
Вычисление объема изготовленного геометрического тела - многогранника (отчет)

6

19
Измерения в геометрии
Вычисление объема изготовленного геометрического тела - многогранника (отчет)

6

20
Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики
Развитие теории вероятностей (сообщение)

6

21
Уравнения и неравенства
Решение различных видов уравнений и систем (отчет)

6

22
Уравнения и неравенства
Решение различных видов неравенств (отчет)

6

23
Уравнения и неравенства
Применение математики в моей профессии (сообщение)

5


























Самостоятельная работа № 1
Действия с целыми и рациональными числами
Цель занятия: закрепить навыки выполнения действий с целыми и рациональными числами
Теоретическая часть:
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов
Если m, n, k - натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; при m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное, число m называют также кратным числа n, а число n - делителем числа m, Если число m - кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.
Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называется значением выражения.
Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.
Если натуральное число m не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m = kn, то рассматривают деление с остатком: m = np + r, где m - делимое, n - делитель (m>n), p - частное, r - остаток.
Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым: если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).
Если числа a и b взаимно простые, т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab .
Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.
Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z {n:m}, где m - целое число, а n - натуральное число.
Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел - это дробь со знаменателем 1.
Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен степени с основанием 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить - получиться равная ей дробь. Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической.
Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.
Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных
Действия над рациональными числами
Определение: Выражение вида ba или a : b, где а и b целые числа, b=0 , называется дробью
Число a называется числителем дроби. Число b называется знаменателем дроби
Если a < b, то выражение ba правильная дробь
Если a > b , то выражение ba неправильная дробь. Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть. Примеры: 67=161, 518=353
Основное свойство дроби: Две дроби ba и cd называются равными если ad=bc .
Действия над дробями (ba и cd):
ba=bkak - Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число
Если b = d, то bacd=bac
Если b=d  , то дроби нужно привести к общему знаменателю: bacd=bdadcb. Общим знаменателем будет НОК (b, d)
Если k целое число, то kba=bka или ba:k=abk
Две дроби можно умножать bacd=acbd или делить ba:cd=bcad


Контрольные вопросы:
1.Какие числа называются целыми?
2. Какие числа называются рациональными?
3. Как сложить две дроби с одинаковыми знаменателями?
4. Как сложить две дроби с разными знаменателями?
5. Как умножить две обыкновенные дроби?
6. Как дробь разделить на дробь?

Практическая часть:

№1.




















№2.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.











































Самостоятельная работа № 2.
Преобразование алгебраических выражений

Цель занятия: закрепить навыки преобразования алгебраических выражений

Теоретическая часть:
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения:
13 EMBED Equation.3 1415 квадрат суммы (разности)
13 EMBED Equation.3 1415 разность квадратов
13 EMBED Equation.3 1415 куб суммы (разности)
13 EMBED Equation.3 1415 сумма (разность) кубов
Пример № 1:
Упростите выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
Разложением многочлена на множители называется представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Способы разложения многочлена на множители:
1. Вынесение общего множителя за скобку
Пример № 2:
Упростите выражение:
4ab-12bc=4b(a-3c)
2. Способ группировки:
Пример № 3:
Упростите выражение:
a4-5a3-2a+10=(a4-5a3)-2(a-5)=a3(a-5) -2(a-5)=(a-5)(a3-2)
3. Применение формул сокращенного умножения:
Пример № 4:
Упростите выражение:
8x3-y6=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)

Контрольные вопросы:
Перечислите способы разложения на множители?
Что называется алгебраическим выражением?

Практическая часть:
1. Разложите на множители:
a) a2+b2+2a-2b-2ab;
б) x3+(y-1)x+y;
в) a6-8;
2. Сократите дробь:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Упростите выражение:
а)13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415;

б)13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.



















Самостоятельная работа № 3.
Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений

Цель занятия: закрепить навыки преобразования рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений

Теоретическая часть:
Корнем n-й степени из числа a называется число b, такое что bn = a
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-четное 13 EMBED Equation.3 1415-нечетное
1) 13 EMBED Equation.3 1415существует 2 корня всегда существует один корень
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415корней нет
Свойства корня n-й степени:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415)
Степень с рациональным показателем:
13 EMBED Equation.3 1415
Равенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Логарифмом числа c по основанию a называется такое число b, что ab = c, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить c: b = logac.
Основное логарифмическое тождество:
13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства логарифмов:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Контрольные вопросы:
Назовите свойства корня n-й степени?
Перечислите основные свойства логарифмов?

Практическая часть:
1. Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equat
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·.3 1415

2. Вычислите:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Исключите иррациональность в знаменателе:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4. Упростите выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.












Самостоятельная работа № 4.
Использование теоремы о трех перпендикулярах при решении задач

Цель занятия: продолжить освоение использования теоремы о трех перпендикулярах при решении задач

Теоретическая часть:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка:
- перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости;- конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра;- расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
- наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости;- конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной;
- отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке из точки А проведены к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость13 EMBED Equation.3 1415.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Теорема о трех перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], перпендикулярна ее [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], то она перпендикулярна [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.


Пример № 1
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение:
Пусть А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности и S – точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SА=13 EMBED Equation.3 1415, где r – радиус вписанной окружности. Аналогично находим: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.


Контрольные вопросы:
Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
Что такое проекция наклонной?



Практическая часть:
Написать доклад по данной теме, применяя требования к написанию доклада и включить в него решения следующих задач:
1. Даны прямая а и плоскость 13 EMBED Equation.3 1415. Проведите через прямую, а плоскость, перпендикулярную плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 20 см больше другой. Проекции наклонных равны 10 см и 30 см. Найдите наклонные.
4. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находиться на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.
5. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
7. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол АСВ равен 90о, АС = 4, МD=3. Найти МС.
8. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС ВС, МD АВ. Найти MC.
9. Катеты прямоугольного треугольника ABC (С =90°) равны 4 см и 3 см. Точка М находится на расстоянии
·6 см от плоскости треугольника ABC и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.



























Самостоятельная работа № 5.
Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний

Цель занятия: освоить методы решения задач на расчет количества выборок

Теоретическая часть:
Комбинаторика часть математики, которая посвящена решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами, т.е. комбинаторика решает задачи выбора элементов из конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке.
Размещениями из n – элементов по m – элементов (13 EMBED Equation.3 1415) называются комбинации, составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами либо порядком элементов.
13 EMBED Equation.3 1415=n(n-1)(n-2)(n-m+1)
Пример № 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр от 19?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415=504
Перестановками из n – элементов называется число размещений из этих n – элементов по n – элементов.
13 EMBED Equation.3 1415n(n-1)(n-2)1=n!
Пример № 2. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 =5!=120
Сочетаниями из n – элементов по m – элементов называются комбинации, составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 3. В группе 30 студентов. Для сдачи зачета их необходимо разбить на три группы. Сколькими способами это можно сделать?
n= 30
m=10
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
1. Обозначьте цели комбинаторики.
2. Что называется числом сочетаний из n элементов по m?
3. Что называется числом размещений из n элементов по m?
4. Что называется перестановкой из n элементов?

Практическая часть:
1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно – практическую конференцию?
2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?
4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?
5. Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
6. Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
7. Вычислите: 5! + 6!
8. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.
9. Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
10. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?
11. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?
12. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
13. Вычислите значение выражения:
13 EMBED Equation.3 1415
14. Вычислите значение выражения:
13 EMBED Equation.3 1415
15. Сколькими способами можно составить список из десяти человек?

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
































Самостоятельная работа № 6.
Использование координат и векторов при решении математических задач.

Цель занятия: освоить операции над векторами, вычисление модуля и скалярного произведения.

Теоретическая часть:
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
13 EMBED Equation.3 1415
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.
Суммой векторов является вектор: 13 EMBED Equation.3 1415
Произведение: 13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарен 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлен с вектором 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415((13 EMBED Equation.3 1415), если ( > 0.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 противоположно направлен с вектором 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415((13 EMBED Equation.3 1415), если ( < 0.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то 13 EMBED Equation.3 1415.
Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415находится по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415
Скалярным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = (13 EMBED Equation.3 1415((13 EMBED Equation.3 1415(cos(
Пример № 1.
Найти скалярное произведение (313 EMBED Equation.3 1415 - 213 EMBED Equation.3 1415)((513 EMBED Equation.3 1415 - 613 EMBED Equation.3 1415), если 13 EMBED Equation.3 1415
1513 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415- 1813 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415- 1013 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415+ 1213 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = 1513 EMBED Equation.3 1415
+ 12(36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример № 2.
Найти скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)(13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Пример № 3.
При каких значениях m длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 равна 10?
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
Какие направленные отрезки называются равными?
Что называется вектором?
Что называется длиной вектора?

Практическая часть:
1. Отметить точку А (2,3,1) в декартовой системе координат
2. Даны точки А (2,-4,0), В (0,5,0), С (0,0,-1), К(-4,0,-2), Е (3,4,5)
Укажите среди них точки, которые лежат на оси z, в плоскости xy
3. Даны точки А (2,-1,0) и В (-4,2,2). Найдите длину отрезка АВ
4. Даны точки А (2,4,0) и В (-4,1,2). Найдите координаты точки С, если точка В – середина отрезка АС.
5. Даны вектор 13 EMBED Equation.3 1415(2, 2,6), число 13 EMBED Equation.3 1415=-5. Найдите вектор 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
6. При каких значениях m длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 равна 5?
7. Найти длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415по заданным координатам его концов 13 EMBED Equation.3 1415(1, 2, -1) и 13 EMBED Equation.3 1415(3, -1, -2).
8. Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415(1, 5, 6), 13 EMBED Equation.3 1415(0, 2, -3) и 13 EMBED Equation.3 1415=313 EMBED Equation.3 1415-713 EMBED Equation.3 1415. Определить длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
9. Найти длину основания равнобедренного треугольника с вершинами в точках A(2,3,1), B(1,3,3), C(2,4,3)
10. Даны точки А (2,-4,0), В (0,5,0), С (0,0,-1), К(-4,0,-2), Е (3,4,5)
Укажите среди них точки, которые лежат на оси y, в плоскости xz
11. Даны точки А (5,-2,0) и В (-1,4,3). Найдите длину отрезка АВ
12. Даны точки А (5,3,0) и В (-1,2,3). Найдите координаты точки С, если точка В – середина отрезка АС.
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

















Самостоятельная работа № 7.
История тригонометрии.

Цель занятия: познакомиться с историей тригонометрии

Теоретическая часть:
Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.
Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи  sin
·/ sin
· <
·/
· < tan
·/ tan
·, где 0° <
· <
· < 90°, совместно с другими теоремами.
Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.
Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны («соразмерный», «соответствующий»), если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая»», известную также как «правило шести величин».
Позднее Клавдий Птолемей (90  168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида.
Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.
Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как
sin 2
· + cos 2
· = 1
sin 13 EMBED Equation.3 1415 = cos (9013 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415)
sin (13 EMBED Equation.3 1415) = sin 13 EMBED Equation.3 1415 cos 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 cos 13 EMBED Equation.3 1415 sin 13 EMBED Equation.3 1415
Индийцы также знали формулы для кратных углов sin n, cos n, где n = 2,3,4,5.
Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.
Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа
·. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.
В 8 в. Учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Практическая часть:
Составьте сообщение об истории тригонометрии, основываясь на информации, данной в теоретической части.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.




















Самостоятельная работа № 8.
Решение тригонометрических уравнений

Цель занятия: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений

Теоретическая часть:
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла
13 EMBED Equation.3 1415
радианы

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

sin 13 EMBED Eq
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
радианы

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

sin 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equ
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

ctg 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-

Основные тригонометрические тождества:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы сложения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы суммы и разности синусов (косинусов):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы двойного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы половинного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формулы приведения:
Аргумент
Функция


sin
cos
tg
ctg

13 EMBED Equation.3 1415
- sin 13 EMBED Equation.3 1415
cos 13 EMBED Equation.3 1415
- tg13 EMBED Equation.3 1415
- ctg13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
cos 13 EM
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415

Тригонометрические уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, синус которого равен а.
Пример № 1
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 2
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;13 EMBED Equation.3 1415] , косинус которого равен а .

Пример № 3
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 4
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арктангенсом числа а называется такое число из интервала13 EMBED Equation.3 1415, тангенс которого равен а.
Пример № 5
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 6
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; 13 EMBED Equation.3 1415), котангенс которого равен а.
Пример № 7
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 8
Arcctg (-1)=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
sin x = a
при 13 EMBED Equation.3 1415 >1 решений нет, так как 13 EMBED Equation.3 1415 (1.
Пример № 9
sin x = 2
13 EMBED Equation.3 1415 >1
Ответ: решений нет.
при 13 EMBED Equation.3 1415 <1 , x = (-1)13 EMBED Equation.3 1415arcsin a+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример № 10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи:
при а=0 , x = 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
Пример № 11
sinx=0
Ответ x=13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z

при a=1 , sinx =1 , 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 12
sin x = 1
Ответ: x =13 EMBED Equation.3 1415 +213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
при а = - 1 , sin x = - 1 , x = -13 EMBED Equation.3 1415+ 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 13
sin x = - 1
Ответ: x = - 13 EMBED Equation.3 1415+ 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
cos x = a
при 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
Пример № 14
cosx = 3
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: решений нет.
при 13 EMBED Equation.3 1415 <1 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 15
cosx= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи:
при 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 16
сos x = 0
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415= 1 , x = 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 17
сos x = 1
Ответ: x = 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
при а = - 1 , x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 18
сos x = -1
Ответ : x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 2 13 EMBED Equation.3 1415n
tgx=a , x=arctga + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 19
tgx=1
x=arctg1 + 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
x = 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
Ответ: x =13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
ctgx = a, x=arcctga + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 20
ctgx= 13 EMBED Equation.3 1415
x=arctg13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
x=13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Ответ: x=13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Контрольные вопросы:
Что называется арксинусом числа?
Что называется арккосинусом числа?
Что называется арктангенсом числа?
Что называется арккотангенсом числа?

Практическая часть:
1. Решите уравнение: 2 sin x – cos 2x = 0
2. Решите уравнение: sin (13 EMBED Equation.3 1415- cos (13 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.




















Самостоятельная работа № 9.
Построение графиков функций, заданных различными способами

Цель занятия: освоить построение графиков функций, заданных различными способами

Теоретическая часть:
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.
График функций вида: y=Af(x+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:
- осевой симметрии относительно оси 0X;
- осевой симметрии относительно оси 0Y;
- центральной симметрии относительно начала координат точки 0;
- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;
Отметим, что:
- при осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);
- при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);
- при центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);
- при параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;
- при параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b – некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;
- при растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p
·1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);
- при растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q
·1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования, использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций.
Пример 1. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y .
Пример 2. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X

Контрольные вопросы:
1. Что называют графиком функции?
2. Дайте определение понятиям: область определения и значения функции?
3. Как осуществить построение графика функции f(x)+b?

Практическая часть: Составьте сообщение о построении графиков функций, основываясь на информации, данной в теоретической части и в качестве примера постройте один из графиков функций с помощью параллельного переноса и растяжения.
1. y = tg (2x+13 EMBED Equation.3 1415)
2. y = 2 tg x-1
3. y = tgx
4. y = ctg 3x – 1
5. y= cos (13 EMBED Equation.3 1415+2x)
6. y = -sin (4x+13 EMBED Equation.3 1415)
7. y = tg (x+13 EMBED Equation.3 1415)
8. y = 2 tg x -3
9. y = tgx
10. y = ctg 3x

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.




































Самостоятельная работа № 10.
Применение геометрических преобразований при построении графиков

Цель занятия: закрепить умение построения графиков функций

Теоретическая часть:
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.
График функций вида: y=Af(x+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:
- осевой симметрии относительно оси 0X;
- осевой симметрии относительно оси 0Y;
- центральной симметрии относительно начала координат точки 0;
- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
- параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
- растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;
Отметим, что:
- при осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);
- при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);
- при центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);
- при параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;
- при параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b – некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;
- при растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p
·1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);
- при растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q
·1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования, использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций.
Пример 1. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y .
Пример 2. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X

Контрольные вопросы:
1. Что называют графиком функции?
2. Дайте определение понятиям: область определения и значения функции?
3. Как осуществить построение графика функции f(x)+b?

Практическая часть:
Постройте графики функций с помощью параллельного переноса и растяжения.
1. y = tg (x+13 EMBED Equation.3 1415)
2. y = ctg 3x
3. y= cos (13 EMBED Equation.3 1415+x)
4. y = -sin (2x+13 EMBED Equation.3 1415)
5. y = tgx -8
6. y= cos (13 EMBED Equation.3 1415+5x)
7. y = -sin (10x+13 EMBED Equation.3 1415)

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.







































Самостоятельная работа № 11.
Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:
Многогранник–это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.
  Призма – это многогранник, две грани которой (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани- параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой. Параллелограммы называются боковыми гранями; рёбра называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.
Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда  d  и его рёбра  a, b, c  связаны соотношением:  d 2 = a 2+ b 2 + c 2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.
  Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) – это произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной,  четырёхугольной,  пятиугольной,  шестиугольной и т.д. Треугольная  пирамида является  тетраэдром  (четырёхгранником), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота  боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Контрольные вопросы:
Что называется призмой?
Что называется правильной призмой?
Что называется прямой призмой?
Дайте определение многограннику.
Дайте определение параллелепипеду.
Охарактеризуйте пирамиду?
В каком случае пирамида называется усеченной?
Дайте определение апофемы.

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: призма, прямая призма, правильная призма, параллелепипед, прямой параллелепипед, куб, пирамида, усеченная пирамида.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.







































Самостоятельная работа № 12.
Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:
Многогранник называется правильным, если все его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число граней. Известно только 5  правильных многогранников. Правильные многогранники следующие:
- тетраэдр ( 4 грани, рис.1 );
- куб ( 6 граней, рис.2 )
- октаэдр ( 8 граней, рис.3 );
- додекаэдр ( 12 граней,  рис.4);
- икосаэдр ( 20 граней, рис.5 ).
 
13 EMBED PBrush 1415
Контрольные вопросы:
Какой многогранник называется правильным?
Сколько граней у тетраэдра?
Сколько граней у куба?
Сколько граней у октаэдра?
Сколько граней у додекаэдра?
Сколько граней у икосаэдра?

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.

Самостоятельная работа № 13.
Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:
Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус  конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус  конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота высоте цилиндра и двух кругов.

Контрольные вопросы:
Дайте определение конуса.
Дайте определение цилиндра.

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.







Самостоятельная работа № 14.
Изготовление геометрических тел

Цель занятия: научить изготовлению геометрических тел из подручных материалов

Теоретическая часть:
Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус  конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус  конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота высоте цилиндра и двух кругов.

Контрольные вопросы:
Дайте определение конуса.
Дайте определение цилиндра.

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр, усеченный конус

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.







Самостоятельная работа № 15.
Нахождение производных функций

Цель занятия: закрепить навыки нахождения производной функции

Теоретическая часть:
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Если функция f имеет производную в точке x13 EMBED Equation.3 1415, а функция g имеет производную в точке у13 EMBED Equation.3 1415 = f(x13 EMBED Equation.3 1415), то сложная функция h (x) = g (f ( x)) также имеет производную в точке x13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415( x13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415 (f (x13 EMBED Equation.3 1415)) 13 EMBED Equation.3 1415( x13 EMBED Equation.3 1415)
Основные правила дифференцирования:
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ( v)( = u( ( v(
2) (u(v)( = u(v( + u((v
3)13 EMBED Equation.3 1415, если v ( 0
Производные основных элементарных функций.
1)С( = 0; 9) 13 EMBED Equation.3 1415
2)(xm)( = mxm-1; 10) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 11) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 12) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 13) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 14) 13 EMBED Equation.3 1415
7)13 EMBED Equation.3 1415 15) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415 16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) (ln(x()(= 13 EMBED Equation.3 1415,
Пример № 1. Найти производную функции13 EMBED Equation.3 1415.

Сначала преобразуем данную функцию: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 2. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
Дайте определение понятию «производная функции».
Перечислите основные правила дифференцирования.
Продолжите (cos x13 EMBED Equation.3 1415 = ?
Продолжите (sin x13 EMBED Equation.3 1415 = ?
Продолжите (x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = ?

Практическая часть:
Найдите производную функции:
1. f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415 + 3x13 EMBED Equation.3 1415

2. f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415(4x + 2x -x13 EMBED Equation.3 1415)

3. f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415(2x13 EMBED Equation.3 1415 - 2x)

4. f(x) = (2x – 2) (1 - x13 EMBED Equation.3 1415)

5. f(x) =13 EMBED Equation.3 1415

6. f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415

7. f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 - 413 EMBED Equation.3 1415
8. f(x) = (x – 8)13 EMBED Equation.3 1415

9. f(x) = (x + 5)13 EMBED Equation.3 1415+ sin13 EMBED Equation.3 1415x

10. f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415sinx

11. f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415 + tg (-2x)

12. 13 EMBED Equation.3 1415
13. y = tg (x+13 EMBED Equation.3 1415)
14. y = 2 tg x -3
15. y = tgx
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009
Самостоятельная работа № 16.
Понятие о производной

Цель занятия: дать представление о производной

Теоретическая часть:
Пусть величина u зависит от аргумента х как u=f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x2, x1, то мы получаем величины u1=f(x1), и u2=f(x2). Разность двух значений аргумента x2, x1 назовём приращением аргумента и обозначим как
·x=x2-x1 (следовательно, x2=x1+
·x). Если аргумент изменился на
·x=x2-x1, то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u1=f(x1), u2=f(x2) на величину приращения функции
·f. Записывается обычно так:
·f=u1-u2=f(x2)-f(x1). Или с учётом что x2=x1+
·x, можно записать, что изменение функции равно
·f= f(x1+
·x)-f(x1). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x2 и x1. Считается, что если величины x2 и x1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда
·x=x2-x1, - бесконечно мало.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции
·f в этой точке к приращению аргумента
·х, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так:13 EMBED Equation.3 1415. Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.
Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t0 – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента
·t стремится к нулю.
Если функция f имеет производную в точке x13 EMBED Equation.3 1415, а функция g имеет производную в точке у13 EMBED Equation.3 1415 = f(x13 EMBED Equation.3 1415), то сложная функция h (x) = g (f ( x)) также имеет производную в точке x13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415( x13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415 (f (x13 EMBED Equation.3 1415)) 13 EMBED Equation.3 1415( x13 EMBED Equation.3 1415)
Основные правила дифференцирования:
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ( v)( = u( ( v(
2) (u(v)( = u(v( + u((v
3)13 EMBED Equation.3 1415, если v ( 0
Производные основных элементарных функций.
1)С( = 0; 9) 13 EMBED Equation.3 1415
2)(xm)( = mxm-1; 10) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 11) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 12) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 13) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 14) 13 EMBED Equation.3 1415
7)13 EMBED Equation.3 1415 15) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415 16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) (ln(x()(= 13 EMBED Equation.3 1415,
Пример № 1. Найти производную функции13 EMBED Equation.3 1415.

Сначала преобразуем данную функцию: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 2. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
Дайте определение понятию «производная функции».
Перечислите основные правила дифференцирования.

Практическая часть:
Подготовить сообщение о производной, опираясь на теоретическую часть

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.

















Самостоятельная работа № 17.
Нахождение первообразных функций и интегралов

Цель занятия: закрепить навыки нахождения первообразных функций и интегралов

Теоретическая часть:
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если производная ее F'(x)=f(x).
Таблица первообразных для некоторых элементарных функций.
 
 Функция
  Первообразная

 a
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]      
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Правило 1
Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.
По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2
Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.
Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).
Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:
Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5cos x. Для функции cos x одна из первообразных будет являться функция sin x. Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5sin x.
Пример 2. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3x-2). Для функции sin x одной из первообразных будет являться функция –cos x. Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = -1/3cos(3x-2)
     Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     Таблица основных интегралов:     1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].                     Следствие: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].      6. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].      7. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     9. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     10. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     Основные свойства интегралов     1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]       2.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     Пример. Вычислить интегралы:     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     .    
Формула Ньютона – Лейбница
     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],     где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).     Пример.      1. Вычислить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по формуле Ньютона – Лейбница.     Решение. Имеем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     2. Вычислить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].     Решение. Положим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если х=1, то t= 0, если х=е, то t= 1. Следовательно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), [f1(x)
·f2(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x2, y=–x–2.     Решение. Сделаем чертеж.     Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:     –x2=–x–2 или x2–x–2=0,x1=–1,x2=2.     Значит,      [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]     =–3+1,5+4+2=4,5.    Контрольные вопросы:
1.Сформулируйте определение первообразной функции.
2.Что называется неопределенным интегралом?
3.Напишите формулу Ньютона – Лейбница.
Практическая часть:
1. Найти первообразные следующих функций:
1) f(x) = Ѕ x – 2; 2) f(x) = 2cosx ; 3) f(x) = 8 – 5x + 10х2 ; 4) f(x) = x + 3;
5) f(x) = (4 – 3х)9; 6) f(x) = -4sin3x; 7) f(x) = 12 + 15x; 8) f(x) = 4x;
9) f(x) = x – 2 + х2
2. Вычислить интегралы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


3.Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], прямыми [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и осью Ox  

4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и осью Ox   

5.  Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и осью Ox




Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.











Самостоятельная работа № 18.
Вычисление объема изготовленного геометрического тела

Цель занятия: закрепить навык вычисления объема изготовленного тела

Теоретическая часть:
Многогранник–это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.
  Призма – это многогранник, две грани которой (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани- параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой. Параллелограммы называются боковыми гранями; рёбра называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.
Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда  d  и его рёбра  a, b, c  связаны соотношением:  d 2 = a 2+ b 2 + c 2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.
  Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) – это произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной,  четырёхугольной,  пятиугольной,  шестиугольной и т.д. Треугольная  пирамида является  тетраэдром  (четырёхгранником), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота  боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды.
Объемы многогранников:
1. Объем призмы:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Объем параллелепипеда:
13 EMBED Equation.3 1415
3.Объем пирамиды:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
4. Объем усеченной пирамиды:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 1:
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 0,5 и 16 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Решение:
Объем параллелепипеда:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415см
Объем параллелепипеда равен объему куба.
13 EMBED Equation.3 1415
8=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
Как вычислить объем призмы?
Как вычислить объем параллелепипеда?
Как вычислить объем пирамиды?
Как вычислить объем усеченной пирамиды?

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: призма, прямая призма, правильная призма, параллелепипед, прямой параллелепипед, куб, пирамида, усеченная пирамида и вычислите его объем.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.



















Самостоятельная работа № 19.
Вычисление объема изготовленного геометрического тела

Цель занятия: закрепить навык вычисления объема изготовленного тела

Теоретическая часть:
Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус  конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус  конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро, консервная банка, пенал, кусок проволоки круглого сечения и т. д. Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник. Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота высоте цилиндра и двух кругов.
Объемы тел вращения:
1. Объем цилиндра:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Объем конуса:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Объем усеченного конуса:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Объем шара:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 1
Вычислите объем цилиндра, если известно что его радиус равен 2 см, а высота 8 см.
Решение:
Объем цилиндра:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольные вопросы:
Как вычислить объем цилиндра?
Как вычислить объем конуса?
Как вычислить объем усеченного конуса?
Как вычислить объем шара?

Практическая часть:
Изготовьте из любого материала фигуру по выбору: конус, цилиндр и вычислите его объем.

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.





































Самостоятельная работа № 20.
Вычисление вероятности события

Цель занятия: освоить методы вычисления вероятностей событий

Теоретическая часть:
Вероятность события А равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных из несовместных случаев: P(A)=13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Условной вероятностью P(A/B) события A относительно события B, так если вероятность события B не равна нулю, называется отношение вероятности произведения событий A и B к вероятности события B:13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них умноженной на условную вероятность другого:13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 1. В коробке 12 шаров, из них 5 белых и 7 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение:
A – событие, состоящее в том, что первый шар белый
B- второй шар белый
Вычислим: P(A)=13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим P(B/A). Найдем вероятность того, что второй шар будет белый при условии, что первый шар белый. P(B/A)=13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольные вопросы:
1.Дайте определение вероятности событий

Практическая часть:
1. Вероятность получения выпускником одного места работы равна 0,3, вероятность получения другого места работы равна 0,1. Какова вероятность получения хотя бы одного места работы?
2. Из трех маршрутов трамваев № 8, № 10 и № 15 для служащего попутными являются маршруты № 8 и №10. Вычислите вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай попутного для него номера, если по линиям маршрутов № 8, № 10 и № 15 курсируют соответственно 7, 9 и 12 вагонов. Протяженность маршрутов считается одинаковой.
3. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа в первой корпорации равна 0,45, а у второй равна 0,9. Какова вероятность, что фирма получит оба заказа?
4. В коробке 24 шара, из них 10 белых и 14 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
5. У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероятность, что выбранные арбузы спелые?
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
























Самостоятельная работа № 21.
Решение различных видов уравнений и систем

Цель занятия: освоить методы решения рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем

Теоретическая часть:
Дробно – рациональные уравнения:
В уравнение входят дробные выражения, например:13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Схема решения:
- переносим все дроби в одну сторону приравнивая к нулю;
- находим общий знаменатель дробей;
- выписываем числитель дроби, приравниваем к нулю;
- решаем уравнение;
- если корень образует в нуль общий знаменатель, то этот корень отбрасывается;
- проверка.
Пример №1:Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-11x + 2 = 0
-11x = -2
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Иррациональные уравнения:
уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная, называют иррациональным.
Схема решения уравнения:
- возведём обе части уравнения в ту степень в которой находиться корень;
- решим уравнение;
- проверим корни уравнения.
Пример № 2.
13 EMBED Equation.3 1415= 5-x
(13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415 = (5-x) 13 EMBED Equation.3 1415
x-3=513 EMBED Equation.3 1415-213 EMBED Equation.3 14155x+x13 EMBED Equation.3 1415
x+10x-x13 EMBED Equation.3 1415-25-3=0
-x13 EMBED Equation.3 1415+11x-28=0
x13 EMBED Equation.3 1415-11x+28=0
D=121-112=9
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=7; 13 EMBED Equation.3 1415=4
Проверка
13 EMBED Equation.3 1415=5-x
13 EMBED Equation.3 1415=5-7
13 EMBED Equation.3 1415=-2
2(-2
x=7 не является корнем уравнения
13 EMBED Equation.3 1415=5-4
1=1
x=4 является корнем уравнения
Ответ: x = 4
Показательные уравнения:
Функция вида 13 EMBED Equation.3 1415, где а – постоянное число, a >0 и a (1 , называются показательной функцией. Число а называют основанием показательной функции.
Схема решения.
13 EMBED Equation.3 1415=b, b>0
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
x=m
Пример № 3
Решим уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем
13 EMBED Equation.3 1415
Функция y=13 EMBED Equation.3 1415непрерывная и монотонная, значит:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
D=13 EMBED Equation.3 1415-4ac
D=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = 16-12=4
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Свойства показательных функций D(f)=R – определена на всей числовой оси
E(f)=(0;()= R + показательная функция принимает значение из множества положительных чисел R+
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Используя свойства показательных функций можно упростить уравнение и привести к виду a13 EMBED Equation.3 1415=b
Пример № 4
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Смотрите свойство 3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Смотрите свойство 4
13 EMBED Equation.3 1415
х=3
Ответ: х=3
Тригонометрические уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, синус которого равен а.
Пример № 5
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 6
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0;13 EMBED Equation.3 1415] , косинус которого равен а .
Пример № 7
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 8
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арктангенсом числа а называется такое число из интервала13 EMBED Equation.3 1415, тангенс которого равен а.
Пример № 9
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 10
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0;13 EMBED Equation.3 1415), котангенс которого равен а.
Пример № 11
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


Пример № 12
arcctg (-1)=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
sin x = a
при 13 EMBED Equation.3 1415 >1 решений нет, так как 13 EMBED Equation.3 1415 (1.
Пример № 13
sin x = 2
13 EMBED Equation.3 1415 >1
Ответ: решений нет.
при 13 EMBED Equation.3 1415 <1 , x = (-1)13 EMBED Equation.3 1415arcsin a+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример № 14
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи:
при а=0 , x = 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
Пример № 15
sinx=0
Ответ x=13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
при a=1 , sinx =1 , 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 16
sin x = 1
Ответ: x =13 EMBED Equation.3 1415 +213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
при а = - 1, sin x = - 1, x = -13 EMBED Equation.3 1415+ 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 17
sin x = - 1
Ответ: x = - 13 EMBED Equation.3 1415+ 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
cos x = a
при 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
Пример № 18
cosx = 3
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: решений нет.
при 13 EMBED Equation.3 1415 <1 13 EMBED Equation.3 1415


Пример № 19
cosx= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Частные случаи:
при 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 20
сos x = 0
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415= 1 , x = 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 21
сos x = 1
Ответ: x = 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
при а = - 1 , x =13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 22
сos x = -1
Ответ : x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n
tgx=a , x=arctga + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 23
tgx=1
x=arctg1 + 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
x = 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n, n ( Z
Ответ: x =13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
ctgx = a, x=arcctga + 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Пример № 24
ctgx= 13 EMBED Equation.3 1415
x=arctg13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
x=13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Ответ: x=13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415n , n ( Z
Контрольные вопросы:
Что называется арксинусом числа?
Что называется арккосинусом числа?
Что называется арктангенсом числа?
Что называется арккотангенсом числа?

Практическая часть:
Решите уравнения:
1. 2 sin x – cos 2x = 0
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 3(x-2)-5=4-(5x-1)
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
Решите системы уравнений:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.


























Самостоятельная работа №22
Решение различных видов неравенств
Цель занятия: закрепить навыки решения рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических неравенств
Теоретическая часть:
Рациональные неравенства
Рассмотрим выражение вида:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(1)

(Вместо знака < могут стоять знаки >,
·,
·.)
Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.
Отсюда следуют полезные замечания.
Многочлен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).
Многочлен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.
Вывод. Многочлены вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Многочлен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.
При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

f (x) > g (x),

где f (x) и g (x)
· рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.
Итак,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.
Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x)
· в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).
Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.
Привести неравенство к стандартному виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).
Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя
· кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).
Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.
Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».
Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]           [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.
Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени
· в куб и т. д. Однако, преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3
· верное неравенство, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1
· неравенство верное, неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]уже верным не является.
Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.
Неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если x лежит в ОДЗ: f (x) 
· 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ОДЗ данного неравенства f (x) 
· 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x
· решения, так как при этих x левая часть определена (x [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.
Для других x из ОДЗ g (x) 
· 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) 
· 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ибо полный квадрат всегда неотрицателен.
Неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ОДЗ данного неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Заметим, что из неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.
Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Следовательно, в ОДЗ

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства
·. Отсюда можно сделать полезное заключение:
Знак разности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]совпадает со знаком выражения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]в ОДЗ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ОДЗ данного неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(*)

1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Если g (x) 
· 0, то выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]может иметь любой знак, но выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Таким образом, в ОДЗ
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Значит, при g (x) 
· 0, знак разности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]совпадает со знаком разности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]в ОДЗ.
Получаем следующие условия равносильности.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.
Тригонометрические неравенства
При решении тригонометрических неравенств вида f (x) 
· 0, где f (x)
· одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример 1 Решите неравенство
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]



Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для x [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [0; 2
·]  решением данного неравенства будут [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2
·n, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] то sin x также будет не меньше [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2
·n, где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]



Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол
· с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует помнить, что показательная функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]возрастает при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и убывает при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Значит, в случае, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует переходить к неравенству того же смысла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В случае же, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует переходить к неравенству противоположного смысла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Логарифмические неравенства
Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:
простейших неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то функция возрастает, а если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства.
или неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];

Контрольные вопросы:
1.Неравенства какого вида называются рациональными?
2.Неравенства какого вида называются иррациональными?
3.Неравенства, какого вида называются тригонометрическими?
4.Неравенства, какого вида называются показательными и логарифмическими?

Практическая часть:
Решите неравенства:
1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
5. sin x > 0.5 .
6. tg x< 1
7. 52x+1 >5x+4.
8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
9. log3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]x+2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.






















Самостоятельная работа №23
Применение математики в моей профессии
Цель занятия: понимать назначение и применение математики в своей профессиональной деятельности
Теоретическая часть:
«Нам не дано предугадать, как слово наше отзовется» - эти слова Федора Тютчева настраивают на мысль о том, что любому из нас трудно себе представить, какую роль сыграют математические знания в дальнейшей работе и жизни. Опыт свидетельствует о том, что научиться конкретным применениям математики, которые встречаются в профессиональной жизни, достаточно просто. Если ясно, что и как нужно применять, то несложно найти современные пути овладения математической техникой. Для этого необходимо заранее позаботиться о том, чтобы быть готовым к осознанию и восприятию тех целей, того «технического задания», которые поставит профессия и жизнь, а именно:
ознакомиться с прикладными возможностями основных математических понятий;
овладеть навыками работы в «стандартных» прикладных ситуациях;
приобрести опыт длительной «проектной» работы по построению и использованию математических моделей.
Необходимые знания вами получены в ходе изучения математики.
Практическая часть:
составьте сообщение о применении математики в вашей профессии, основываясь на знаниях, полученных в ходе изучения математики

Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.




Рисунок 1Рисунок 3Рисунок 4Рисунок 5Рисунок 6Рисунок 7Рисунок 9Рисунок 11Рисунок 23Рисунок 24Рисунок 25Рисунок 26Рисунок 27Рисунок 29Рисунок 31Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativegEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native