«Пікірлер алгебрасын логикалы? есептерді шешуде ?олдану » та?ырыбында?ы ?ылыми ма?аласы


№ 28 Құсмұрын орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі
Арайлым Досымханқызы Игіліктің
«Пікірлер алгебрасын логикалық есептерді шешуде қолдану »
тақырыбындағы ғылыми мақаласы
Пікірлер алгебрасы «логикалық» деп аталатын біртипті есептерді шешу үшін табысты түрде қолданылуы мүмкін. Осы есептерді пайыммен шешуге болады, бірақ мұндай пайымдаулардың жолы әрқашан айқын бола бермейді. Пікірлер алгебрасын қолдану берілген есептерді шешетін жалғыз және жеткілікті жалпы әдістерін береді.
Пікірлер алгебрасы әдісімен шығатын логикалық есептердің кейбір ерекшеліктерін белгілейік. Осындай есептерде пікірлердің қатары бар болады. Олардың кейбіреулері ақиқат, кейбіреулері жалған болады, бірақ қайсыс ақиқат, я жалған екені белгісіз. Мысалы, QUOTE үш пікір бар, олардың екеуі ақиқат, ал біреуі жалған. Ақиқат (немесе жалған) болатынын біле отырып, бұл шарттарды ескеріп, пікірлерден әлдебір күрделі пікір құру керек. Содан соң логикалық заңдылықтарын қолдана отырып, есептердің сұрағына жауап анықтайтындай түрге түрлендіреміз. Мәндес түрлендірулер кезінде есептердің басқа да шарттарын қолданамыз. Қарастырылып отырған мысалда мұндай күрделі пікірлер келесідей ойлардан шығып құрастырылады. QUOTE пікірлерінің екеуі ақиқат болғандықтан, онда олардың барлық дизъюнкция жұптары да ақиқат: QUOTE . Осылайша бұл пікірлердің конъюнкциясы да ақиқат: QUOTE Бұл пікірлердің мәндес түрлендіруі QUOTE пікірлерінің құрылымына тәуелді. Келесі мысалды қарастырайық.[1].
Мысал: Ақбаев, Сарыбаев және Қарабаев қатысатын мектеп шахмат турнир финалының басталмай жатып бір жанкүйер бірінші орында Ақбаев ие болады, ал екінші жанкүйер Сарыбаев соңғы орынға ие болмайтынын, үшінші жанкүйер Қарабаев бірінші орынға ие болмайды деп айтты. Ойын біткен соң бір жанкүйер қателесіп, екеуі дұрыс тапты. Егер ешқандай екі қатысушы бір орынға ие болмаса, орындар қалай бөлінді?[1].
Шешу үшін келесі пікірлерді енгіземіз (i= 1, 2, 3):
QUOTE : «Ақбаев i-ші орын ға ие»;
QUOTE : «Сарыбаев i-ші орын ға ие»;
QUOTE : «Қарабаев i-ші орын ға ие»;
Онда жанкүйерлердің келесі пікірлерін келесі түрде жазамыз:
1-ші жанкүйер QUOTE : QUOTE ;
2-ші жанкүйер QUOTE : QUOTE ;
3-ші жанкүйер QUOTE : QUOTE ;
Көрінеу ақиқат болатын күрделі пікір құрастырамыз. QUOTE пікірлерінің екеуі ақиқат болғандықтан, онда олардың дизъюнкциясы да ақиқат: QUOTE . Осылайша бұл пікірлердің конъюнкциясы да ақиқат: QUOTE Бұл пікірлерді мәндес түрде түрлендірейік:


Кейбір пікірлердің дизъюнкциясы боп келетін алынған пікір ақиқат. Осылайша ақиқат кемдегенде бір қосылғыш болып табылады. Барлық жағдайларды тізбекті түрде қарастырайық:
QUOTE =1. Онда және QUOTE =1, яғни QUOTE =0. Біз орындардың келесідей үлестірімдерін аламыз: АСВ;
QUOTE =1. Онда және QUOTE =1, яғни QUOTE =0. Осында біз екі мүмкін болатын орындардың үлестірімін аламыз: АВС және АСВ;
QUOTE . Онда QUOTE және QUOTE =1, яғни QUOTE =0. Осында үлестіру варианттары келесідей болады: АСВ, САВ, СВА.
Қорыта келе келесідей жауап варианттарын аламыз: АСВ, АВС, САВ, СВА. Бірінші вариантты тексере отыра барлы үш QUOTE жанкүйер пікірлері де ақиқат болып шыққанын көреміз, ал бұл есептін шартына сәйкес келмейді. Нәтижесінде үш шешімін аламыз: АВС, САВ, СВА.
Қарастырылған шешу әдісі «артық түбір» - дің пайда болуына әкеледі. Бұл есептің шартына сәйкес алынған варианттардың тексеруін қажет етеді. Тек қана есептің шартын қанағаттандыратын жауаптарды беретін қысқа да нұсқа әдісті қарастырайық. Ол QUOTE пікірлерінің орнына есептің шартын дәл орындайтын пікірлерді құрастыру негізінде орындалады.
Осындай пікірлерді құру үшін QUOTE пікірлерінен басқа келесідей пікірлерді қарастырамыз:
X: « 1-ші жанкүйер дұрыс тапты»;Y: « 2-ші жанкүйер дұрыс тапты»;Z: « 3-ші жанкүйер дұрыс тапты»;
Онда QUOTE және QUOTE екі пікірдің біреуі ақиқат екені айқын көрініп тұр. Онда олардың дизъюнкциясы да ақиқат QUOTE . Осыдан 2-і және 3-ші жанкүйерлермен байланысты пікірлер де ақиқат: QUOTE және QUOTE . Осылайша бұл үш пікірдің конъюнкциясы да ақиқат: QUOTE
Бұл пікірді түрлендіру үшін дизъюнкцияға қатысты конъюнкцияның дистрибутивтік заңын қолдану керек. Қорытындысында айнымалыларына ДНФ болады. Бірақ оның нормаланған конъюнктивті бірмүшелері есептің шартына сәйкес 0-ге тең болады. үш пікірдің екеуі ақиқат болғандықтан, QUOTE QUOTE өзара көбейткіштері бар конъюнктивті бірмүшелері де 0-ге айналады. QUOTE үш пікірдің біреуі жалған болғандықтан QUOTE өзара көбейткіштерінен тұратын кнъюнктивті бірмүше де 0-ге тең. Сонымен ДНФ формасының өзара көбейткіштері бар тек үш нормаланған конъюнктивті бірмүшесі қалады: QUOTE . ДНФ формасының түрі QUOTE қарастырылып отырған есептің ДНФ формасының түрі: QUOTE
Бұл пікірдің ақиқаттылығы бұл- кемдегенде бір қарапайым конъюнктивтің ақиқат болуы. Барлық жағдайларды тізбекті түрде қарастырайық:
. Онда және QUOTE =1, осылайша QUOTE =0 және QUOTE = 1. Бұл жағдай орынға ие бола алмайды, себебі А және В бірінші орынға ие болады.
QUOTE Онда QUOTE , QUOTE =1, QUOTE , және осылайша QUOTE =0 және QUOTE = 0, яғни, орын үлестіру үшін екі мүмкіндік пайда болады: CAB, CBA;
Онда QUOTE =1, QUOTE , яғни QUOTE және орындардың келесідей үлестірімі пайда болады: ABC.
Нәтижесінде үш шешім аламыз: АВС, СВА, САВ.
Мысал:
Төрт дос – Ақылбаев (А), Балғынбаев (В), Серікбаев (С) және Дүйсенбаев (D) жазғы демалысқа төрт әртүрлі қалаларға Астана, Орал, Семей және Талдықорғанға баруды шешті. Әрбіреуі қай қалаға барады, егер келесі шектеулер болса:
P) егер А Астанағ бармаса, онда С Оралға бармайды;
Q) егер В Астанаға да, Талдықорғанға да бармаса, онда А Астанаға барады;
R) егер С Талдықорғанға бармаса, онда онда В Семейге барады;
S) егер D Астанаға бармаса, онда В Астанаға барады;
T) егер D Оралға бармаса, онда В Астанаға бармайды;[2].
Шешуі: QUOTE белгісімен «А Астанаға барады», ал QUOTE белгісімен «А Астанаға бармайды»деп белгілейік. Соған сәйкес әріптермен келесі достарды да белгілейміз. Онда шектеулер төмендегідей болады:
P QUOTE QUOTE
Q QUOTE ( QUOTE QUOTE ) QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE
R QUOTE QUOTE QUOTE ;
S QUOTE
T QUOTE
Осылайша әрбіреуі ақиқат болатындай пікірлердің конъюнкциясын құрамыз:





QUOTE QUOTE



Бірнеше түрлендіруден соң, біз бір адамның екі әртүрлі қалаға немесе екі әртүрлі адамның бір қалаға бару конъюнкциялары жалған екенін көреміз. Осылайша QUOTE конъюнкциясы ақиқат, яғни QUOTE пікірлері ақиқат болып табылады. Т шарты мен QUOTE ақиқаттылығынан QUOTE – ақиқат, яғни QUOTE жалған болады. Онда QUOTE - ақиқат, осылайша QUOTE -те ақиқат. Сонымен А-Оралға, В-Астанаға, С- Талдықорғанға және QUOTE - Семейге барады.
Математикалық логика пәнін меңгеру барысында пікірлер алгебрасын қолданып әртүрлі логикалық есептерді шешуді жүзеге асыруда мүмкіндіктерді есептеудің тәсілдерін көрсетуді жөн көрдім. Логикалық есептер жоғары сыныптарда, математикалық олимпиадаларда, әр түрлі жарыстарда жиі қолданылады.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:
Игошин В. И . «Математическая логика и теория алгоритмов»,Москва,
2008г.
Игошин В. И . «Задачи и упражнения по математической логике», Москва, 2007 г.
Досанбай П. Т. «Математикалық логика», Алматы, 2011 ж.