Математикадан олимпиадалы? есептерді шы?ару

Атырау облысы
Жылыой ауданы
«№23 жалпы орта білім беретін мектеп»
мемлекеттік мекемесі.







МатематикалыK индукция ж‰не теSсіздіктерді д‰лелдеу.




Баймaхашева Лиза Jожантаевна.
математика п‰ні мaCалімі



Jaлсары Kаласы- 2013ж.




Жоспары:
1.Кіріспе ------------------------------------------------------------------2-3бет
2.Негізгі б™лім:
а)МатематикалыK индукция ‰дісіне берілген олимпиадалыK есептерді шыCару жолдары------------------------------------------3-10 бет
б)ТеSсіздіктерді д‰лелдеуге берілген олимпиадалыK есептерді шыCару жолдары-------------------------------------------------------11-23 бет
3.Jорытынды.----------------------------------------------------------23 бет.
4.ПайдаланылCан ‰дебиеттер-----------------------------------------24 бет.











Jазіргі кезде Cылым мен техниканыS даму деSгейі ‰рбір адамды сапалы ж‰не тереS білім мен іскерліктіS болуын, ойлау KабілетініS жоCары, шыCармашылыKпен жaмыс істеуін талап етеді. ОKушылардыS математика-лыK білімін жоCары деSгейде оKыту, яCни тереSдету ‰р aстаздыS алдындаCы міндет.
МaCалім шеберлігініS негізгі к™рсеткіштерініS бірі-‰дістеме саласындаCы Cылыми жаSалыKтар мен озыK т‰жірибені жетік игеру.
ОKушылардыS білімділік ж‰не т‰рбиелік деSгейі шешуші д‰режеде мaCа-лімге байланысты, яCни мaCалім ізденісін Kажет етеді. Дарынды балалардыS Kабілетін дамытудыS жолдары к™п. СоныS ішінде олимпиадалардыS ролі ерекше. ОKушылардыS п‰нге KызыCушылыCын оятатын, олардыS математи-калыK ой-™рісініS, шыCармашылыK KабілетініS дамуына д‰некер болатын Kосымша таKырыптар к™п ‰серін тигізеді. Атап айтKанда,«МатематикалыK индукция ‰дісі», «Диофант теSдеулері», «Параметрлі теSдеулер мен теSсіз-діктер», «Комбинаторика», «ТригонометриялыK ™рнектерді т_рлендіру», «ТеSсіздіктерді д‰лелдеу» ж‰не таCы да басKа таKырыптарды айтуCа болады. Бaндай таKырыптар математикалыK п‰н олимпиадаларында ™з _лесін Kосары с™зсіз.
ОлимпиадаCа дайындалу кезінде ‰рбір тараудыS есептерін шешудіS бірне-ше т‰сілдерін Kарастырамыз. ОлимпиадалыK есептерді алып Kарайтын болсаK, KиындыCы ™те жоCары. Мaндай есептерді шыCару оKушылардан тереS ізденуді, тереS ойлануды, еSбекKорлыKты, шыдамдылыKты талап етеді ж‰не соCан т‰рбиелейді. Олимпиадада кездесетін есептер мектеп к™лемінде наKты оKылмайды, сондыKтан оCан Kосымша ізденіп, еSбектену керек.
JарастырCалы отырCан таKырыптар: «ТеSсіздіктерді д‰лелдеу» ж‰не «МатематикалыK индукция ‰дісі» . ТеSсіздіктерді д‰лелдеу кезінде матема-тикалыK индукция ‰дісін KолдануCа болады. МатематикалыK индукция ‰дісін пайдаланып натурал сан немесе натурал санCа байланысты aCымдары бар математикалыK негіздеуді Kажет ететін с™йлемдер д‰лелденеді. ТеSбе-теSдік-терді д‰лелдеуге, шектеулі Kосындыларды есептеуге ж‰не теSсіздіктерді шешуге к™птеген д‰лелдеу жолымен к™з жеткізуге болады. МатематикалыK индукция ‰дісіне ж‰не теSсіздіктерді д‰лелдеу таKырыптарына KысKаша Cана тоKталып, мектепаралыK, аудандыK, облыстыK, республикалыK, халыKаралыK олимпиадаларда осы таKырыптар бойынша шыCарылCан Kиын есептерге тоKталмаKпын.

Математика индукция ‰дісі
МатематикалыK индукция принципініS м‰нісі т™мендегідей : егер Kайсыбір тaжырым (формула) n=1 болCанда (немесе бaл aйCарымныS маCынасы бар n-ніS басKа м‰ндерінде ) аKиKат болса ж‰не n=k Kандай бір натурал м‰ні _шін аKиKат деп aйCарылуынан келесі натурал n=k+1 _шін де тaжырымныS аKиKаттыCы шыCатын болса, онда тaжырым n-ніS барлыK натурал м‰нінде аKиKат. МатематикалыK индукция принципін KолдануCа негізделген д‰лелдеу ‰дісі математикалыK индукция ‰дісі деп аталады.
МатематикалыK индукция ‰дісімен д‰ледеу т‰сілі т™мендегі келесі кезеSдерден тaрады:1) n=1 болCанда тaжырымныS (формуланыS) аKиKаттаCы тікелей тексеріледі немесе д‰лелденеді; 2) Kайсыбір натурал n=k _шін тaжырым аKиKат, тура деп aйCарылып, тaжырымныS аKиKаттаCы n=k+1 _шін д‰лелденеді. МатематикалыK индукция ‰дісін , натурал n-ге т‰уелді тaжырымдарды д‰лелдеуге Cана KолдануCа болатыны айKын. Негізінен ол есептіS екі т_рін шешуге Kолданылады: 1)жекелеген баKылаулардан ой т_йіп , кейбір заSдылыKты таCайындайды ж‰не одан кейін оныS дaрыстыCын математикалыK индукция ‰дісімен д‰лелдейді; 2) кейбір формулалардыS аKиKаттыCын математикалыK индукция ‰дісімен д‰лелдейді.
Жалпы орта білім беретін мектептіS 9- сыныбына арналCан алгебра оKулы- Cында «математикалыK индукция ‰дісі» KарастырылCан. ОKулыK авторлары: А.Е. €білKасымова , Н.П. Майкотов, J.И. JаSлыбаев ,
€.С. Кенеш. Осы оKулыKтыS 162 бетіндегі KиыныраK есептерді мектепішілік олимпиадаларCа алуCа болады. Сол есептердіS шыCарылуына тоKталып ™тейін.
Мектепішілік олимпиада:
№8 есеп.
13 EMBED Equation.3 1415 Kосындысын табыSдар.
Шешуі: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Жауабы: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№9 есеп.
13 EMBED Equation.3 1415 Kосындысын табыSдар.
Шешуі:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Жауабы: 13 EMBED Equation.3 1415.

№10 есеп.
13 EMBED Equation.3 1415Kосындысын табу керек.
Шешуі: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, мaнда
13 EMBED Equation.3 1415 тепе-теSдігі математикалыK индукция ‰дісімен д‰лелденген (68 бет 2-мысал), ал 13 EMBED Equation.3 1415.
Сонда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Жауабы: 13 EMBED Equation.3 1415.


№11 есеп.
13 EMBED Equation.3 1415 Kосындысын табыSдар.
Шешуі:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415
Жауабы: 13 EMBED Equation.3 1415 .
№19 есеп.
13 EMBED Equation.3 1415 Kосындысын есептеSдер, 13 EMBED Equation.3 1415.
Шешуі:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Жауабы: 13 EMBED Equation.3 1415.




АудандыK олимпиадада берілген есептер:
9-сынып.
№1.Кез-келген n натурал саны _шін n(n2-1)(5n+2) ™рнегініS 24-ке б™лінетіндігін д‰лелдеSдер.
Д‰лелдеуі: 5n+2=(5n+10)-8 теSдігін ескеріп ™рнекті т_рлендіріп жазайыK:
n(n2-1)(5n+2)=5n(n2-1)(n+2)-8n(n2-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) ™рнегі т™рт тізбектес натурал санныS к™бейтіндісі болCандыKтан , ‰рі 3-ке б™лінеді, ‰рі 8-ге б™лінеді. 8 бен 3 ™зара жай сан болCандыKтан бaл ™рнек 24-ке б™лінеді.
8(n-1)n(n+1) ™рнегі де 24-ке б™лінеді , себебі (n-1)n(n+1) к™бейтіндісі 3-ке б™лінеді.
10-сынып.
№1. а мен в сандары х2-6х+1=0 теSдеуініS т_бірлері.Кез-келген натурал саны _шін аn+вn ™рнегініS б_тін сан болатындыCын ж‰не 5-ке б™лінбейтіндігін д‰лелдеSдер.
Д‰лелдеуі:
МатематикалыK индукция т‰сілін KолданайыK. Виет теоремасына с_йеніп жазайыK:
ав=1 Сонымен n=1 болCанда аn+вn ™рнегі б_тін ж‰не 5-ке
а+в=6 б™лінбейді n=k болCанда
аk+вk ™рнегі б_тін болып 5-ке б™лінбейтін болсын n=k+1 болCанда ak+1 +вk+1 ™рнегініS б_тін болып ж‰не 5-ке б™лінбейтінін д‰лелдейік.
(ak+вk)(а+в) = ak+1+авk+ ваk+ в k+1= (ak+1+вk+1 )+ав (вk-1+ ak-1)
Осыдан мынадай ™рнекке келеміз.
ak+1+вk+1=(ak+вk)(а+в)- ав (вk-1+ ak-1)
Индукция болжамы бойынша ak+вk єZ; вk-1+ ak-1є z ж‰не ав=1 , а+в =6. Олай болса , ak+1 +вk+1 ™рнегі б_тін ж‰не 5-ке б™лінбейді. Онда математикалыK индукция принципі бойынша аn+вn ™рнегінде кез-келген n натурал саны _шін б_тін болады ж‰не 5-ке б™лінбейді.


РеспубликалыK олимпиада есептері:
9-сынып.
№1.(1+
·2)1981 саныныS а+ в13 EMBED Equation.3 1415 т_рінде ™рнектелетінін д‰лелдеSдер, мaндаCы a мен в ™зара жай сандар
Шешуі: Индукция бойынша д‰лелдейміз. АйталыK, (1+13 EMBED Equation.3 1415)n=a+в13 EMBED Equation.3 1415
мaндаCы а ж‰не в – ™зара жай сандар. n=1 бaл тура болсын. Сонда (1+13 EMBED Equation.3 1415)n+1= (a+в13 EMBED Equation.3 1415)
·(1+13 EMBED Equation.3 1415)= (a+2в)+(а+в) 13 EMBED Equation.3 1415
а+2в=а1 ж‰не а+в=в1 сандары ™зара жай, ™йткені олай болмаса а=2 в1- а1 , в=а1-в1 сандарыныS да ортаK d>1 б™лгіші бар болар еді. Сонымен, есеп Kортындысы кез-келген натурал n _шін тура , демек n=1981 _шін де тура.
№2.Екі бала мынандай ойын ойнайды. Бастаушы бірінші ж_рісімен берілген n
·2 тастан тaратын _ймені ™зініS Kалауынша 2 немесе 3 _ймеге б™леді. Ары Kарай кезектесіп ж_реді ж‰не ‰рKайсысы ™з ж_ріс кезеSінде кез-келген _ймені таSдап алып, ™з Kалауынша оны 2 немесе 3 _ймеге б™леді. СоSCы м_мкін ж_рісті жасаCан бала aтады. Дaрыс ойнаса кім aтады.
Шешуі:Дaрыс ойнаса ‰рKашанда бастаушы aтады. Ол _шін aту стратегиясын к™рсетейік. Екі жаCдайды Kарастырамыз.
1)n- жaп сан. Бірінші ж_рісімен бастаушы тастарды теS 2 _ймеге б™леді. Сонан соS ™з кезегінде KарсыласыныS ж_рісіне симметриялы ж_ріс жасап отырады.
2)n=2m+1-таK сан. Бірінші ж_рісімен бастаушы тастарыныS саны m, m ж‰не 1 болатын _ш _ймеге б™леді. Бір тастан тaратын _ймені KарастырмасаK та болады. €ры Kарай «СимметриялыK» ‰дісті Kолданады.

ХалыKаралыK олимпиада есептері:
11-сынып.
№1. Кез-келген n натурал сан _шін теSдеуді шешіSіздер: cosnx-sinnx=1
Шешуі: ^ш жаCдай Kарастырамыз:
1)n жaп болсын, яCни n=2m.Онда cos2mx=1+sin2mx , cos2mx
·1
·1+sin2mx болCандыKтан sinx=0 ж‰не cosx=±1, яCни x=k
· , kєZ.
2) n-таK , яCни n=2m+1(m
·1). Онда cos2m+1x-sin2m+1x=1.Бaл жаCдайда теSдеудіS шешімі мынадай т_рде жазылады: x=2k
·, не x=2 k
·-13 EMBED Equation.3 1415,kєZ
3) n=1. Бaл жаCдайда теSдеу cosx-sinx=1т_рінде жазылады, немесе cos(x+13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415. Бaл жаCдайдаCы шешім екінші жаCдайдаCымен бірдей болады.


ТеSсіздіктерді д‰лелдеу.

І. Jарапайым теSсіздіктерді д‰лелдеу
Мектеп к™лемінде Kарапайым теSсіздіктер д‰лелденеді, сол теSсіздіктер арKылы к_рделі теSсіздіктерде д‰лелденеді.
№1 а2 + b2
· 2ab.
Д‰лелдеуі:
a2+ b2 - 2аb = (а – b)2
· 0.
№2
кез келген a ж‰не b _шін.
Д‰лелдеуі:
Берілген теSсіздіктен , біз мына теSсіздікті аламыз бaдан немесе соны мына т_рде жазамыз бaдан
II. Штурм ‰дісін Kолданып теSсіздікті д‰лелдеу
Бaл ‰дісті неміс математигі Р.Штурм aсынCан. Бaл ‰дістіS к™мегімен бірнеше теSсіздікті д‰лелдейік:
№3 Егер Kосындысы 1-ге теS болса, онда д‰лелдеу керек
Д‰лелдеуі:
Егер онда .
Jаралатын сандардыS ішінде еS болмаCанда екі сан бір-біріне теS болмаса, онда сандардыS ішінен екі сан табылады, сонын біреуі - нан _лкен болады, ал екіншісі кіші болады. Осы сандар болсын, ж‰не де болсын, онда - ді -ні - мен алмастырып, мынандай теSсіздік аламыз ж‰не олардыS Kосындысы 1-ге теS.
болCандыKтан, осыдан
.
Осы амалды бірнеше рет Kайталап, шыKKан тізбектіS кез келген м_шесі -ге теS, ал олардыS квадраттарыныS Kосындысы берілген сандардыS квадраттарыныS Kосындысынан кіші болады.

III. АрифметикалыK, геометриялыK, квадраттыK, гармониялыK орталардыS ара Kатынасын Kолдану ‰дісі
Кейбір теSсіздіктерді д‰лелдегенде, оS a ж‰не b сандары _шін арифметикалыK, геометриялыK, квадраттыK, гармониялыK орталардыS ара Kатынасын Kолданады: .
Мына ™рнекте гармониялыK орта,
– геометриялыK орта,
– арифметикалыK орта,
– квадраттыK орта.
Бaл теSсіздікті д‰лелдеу ‰дісі к_рделі теSсіздіктерді д‰лелдеуде к™п Kолданылады.
№4 теSсіздікті д‰лелде , мaндаCы
Д‰лелдеуі: егер , онда - ны Kолданып,
-ны (1) аламыз ж‰не осыдан (2)
(1) ж‰не (2) Kосып аламыз.
IV. Коши-Буняковский ‰дісін Kолдану
Коши-Буняковский ‰дісін бірінші сандар _шін д‰лелдейміз. ж‰не векторлары берілсін, мектеп к™лемінде белгілі


немесе

Бaл Коши-БуняковскийдіS теSсіздігі сандары _шін орындалатын дербес жаCдайы болады.
Коши-БуняковскийдіS теSсіздігі сандары _шін келесі жалпы т_рде жазылады:

№5. Д‰лелдеу керек :

Д‰лелдеуі:


V. ЖаSа айнымалы енгізу ‰дісі
Кейбір теSсіздіктерді д‰лелдеу _шін жаSа айнымалы енгізу арKылы маKсатKа жетуге болады.
№6. ТеSсіздікті д‰лелде

Д‰лелдеуі:


VI. СимметриялыK ж‰не біртекті Kасиеттерді Kолдану
№7 ТеSсіздікті д‰лелде:


Д‰лелдеуі:
ТеSсіздікті т_рлендіре отырып келесі т_рге к™шеміз

x, y, z айнымалы арKылы симметриялыK теSсіздік аламыз, бaдан x13 EMBED Equation.3 1415y13 EMBED Equation.3 1415z

VII. МатематикалыK индукция т‰сілін Kолдану
ТеSсіздіктерді д‰лелдеуде математикалыK индукция т‰сілін KолдануCа болады. МатематикалыK индукция принциптерін келесі берілген тaжырымдамада барлыK натурал n сандары p-дан кіші емес _шін аKиKат, егер:
1) n=p _шін тaжырымдама аKиKат болса,
2) n=k(k13 EMBED Equation.3 1415p) тaжырымдама аKиKат деп, n=k+1 _шін тaжырымдама аKиKат екенін д‰лелдеу керек.

№8. Д‰лелдеу керек:
13 EMBED Equation.3 1415 мaндаCы n>1, n13 EMBED Equation.3 1415N
Д‰лелдеуі:
n=2 , 13 EMBED Equation.3 1415 аKиKат
n=k тaжырымдама аKиKат деп алып
13 EMBED Equation.3 1415
n=k+1 тaжырымдаманыS аKиKат екенін д‰лелдейміз
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
n(n>1)
VIII. Бір теSсіздікті бірнеше рет Kолдану т‰сілі
№9. Jос теSсіздікті д‰лелдеу керек:
13 EMBED Equation.3 1415,
a>0, b>0, c>0, d>0.
Д‰лелдеуі:
13 EMBED Equation.3 1415
x>0, y>0
осы теSсіздікті бірнеше рет Kолданып д‰лелдейміз
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
IX. Туынды мен интегралды Kолданып д‰лелдеу т‰сілі
Егер функция f(x) ж‰не g(x) І аралыCында аныKталса, ж‰не _здіксіз болса, онда, f(x)13 EMBED Equation.3 1415g(x) теSсіздігін [a,b]=I немесе [a, +
·)=I аралыCында д‰лелдеу _шін, келесі теореманы KолдануCа болады:
Теорема: Егер f(x) ж‰не g(x) І аралыCында дифференциалданса,
f(a)13 EMBED Equation.3 1415g(a) осы аралыKта ж‰не h’(x) 13 EMBED Equation.3 14150, мaндаCы h(x)= f(x) – g(x), онда
f(x)13 EMBED Equation.3 1415g(x) теSсіздігі осы аралыKта орындалады.
№1. 2x+1>x+2, x13 EMBED Equation.3 14151 теSсіздікті д‰лелде.
Д‰лелдеуі: функция h(x)=2x+1-x-2 [1,+
·) аралыCындаCы функцияны Kарастырамыз.
h(1)=1 ж‰не h/(x)=2x+1ln2-1 функциясы y=2x [1, +13 EMBED Equation.3 1415) аралыCында ™спелі болады, ендеше h/(x) 13 EMBED Equation.3 14154ln2-1>0 бaдан x13 EMBED Equation.3 14151, h(x)13 EMBED Equation.3 1415h(1) болса немесе
2x+113 EMBED Equation.3 1415x+3,
2x+1>x+2 онда орындалады.



Мектепішілік олимпиада
№1.ТеSсіздікті д‰лелдеSдер.
(a+в+c)( 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)
·9 (мaндаCы а>0, в>0,с>0)
ТеSсіздіктіS сол б™лігін т_рлендірейік:
(a+в+c)(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)=1+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+1+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415+1=3(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)+(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)+(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415)
·

·3+2+2+2=9 (себебі ‰р жаKшаныS ішіндегі Kосынды 2-ге теS немесе одан _лкен).
№2.
13 EMBED Equation.3 1415
·а1 а2 а3 а4 (мaндаCы а1 >0,а2>0, а3>0, а4 >0 )
НaсKау.Екі оS санныS арифметикалыK орташасы мен геометриялыK орташасын екі рет салыстыруды Kолданамыз.
№3.Егер а2+в2 =1 болса ,
·а+в
·
·13 EMBED Equation.3 1415 онда екенін д‰лелдеSіздер.
13 EMBED Equation.3 1415ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415 екені есептіS шартынан шыCады. Сондай –аK а2+в2 =1 болCандыKтан, а мен в-ны синуспен ж‰не косинуспен ауыстыруCа болады: a=sin
· , в=cos
·. Онда а+в=sin
·+cos
·=sin
·+sin13 EMBED Equation.3 1415= =2sin13 EMBED Equation.3 1415cos 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415cos13 EMBED Equation.3 1415.
cos13 EMBED Equation.3 1415
·1.Демек ,
·а+в
·
·13 EMBED Equation.3 1415.
БасKаша талKылап к™релік: 1=а2+в2
·213 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415; 2
·а2+в2+213 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415.


АудандыK олимпиада
11-сынып
№1.ТеSсіздікті шеш:
13 EMBED Equation.3 1415>0
ТеSсіздіктіS сол жаCын ортаK б™лімге келтіріп ыKшамдап жазайыK.
13 EMBED Equation.3 1415>0
Сонда берілген теSсіздікке м‰ндес теSсіздік 13 EMBED Equation.3 1415>0 болады.
- + - + - + - +
-7 13 EMBED Equation.3 1415 -5 0 5 13 EMBED Equation.3 1415 7
13 EMBED Equation.3 1415.


№2.Теріс емес, а,в,с сандары _шін теSсіздікті д‰лелдеSдер: (а+в)(в+с)(с+а)
·813 EMBED Equation.3 1415
НaсKау:Мынадай _ш теSсіздікті к™бейту керек 13 EMBED Equation.3 1415.
10-сынып.
№1.х-кез-келген сан болсын, д‰лелдеSдер: 13 EMBED Equation.3 1415
Д‰лелдеуі: x(x+3)(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=((x2+3x+1)-1)((x2+3x+1)+1)=(x2+3x+1)2-1
·-1


ОблыстыK олимпиада
10-сынып
№1.ТеSсіздікті д‰лелдеSдер.
13 EMBED Equation.3 1415
Шешуі: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
11-сынып
№2.ТеSсіздікті д‰лелдеSдер.
13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
Д‰лелдеуі:ТеSсіздікті К
·999 натурал сандар _шін д‰лелдейік:
13 EMBED Equation.3 1415>
>13 EMBED Equation.3 1415
СондыKтан, 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415... 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Бaл теSсіздіктерді м_шелеп к™бейтіп, д‰лелденілген теSсіздікке келеміз.
9-сынып
№1. a>в>0 сандары _шін 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415 теSсіздігін д‰лелдеSдер.
Д‰лелдеуі: Д‰лелденетін теSсіздік мынадай теSсіздікпен м‰ндес:
13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415
немесе 13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415
немесе 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415
немесе 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
немесе 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
СоSCы теSсіздік тура болCандыKтан д‰лелденілетін теSсіздік те тура болады.

РеспубликалыK олимпиада
11-сынып
№1.а+в+с=1, (a,в,с
·0) шарттарын KанаCаттандыратын а,в,с сандары _шін теSсіздікті д‰лелдеSіздер. (1+а)(1+в)(1+с)
·8(1-а)(1-в)(1-с).
Д‰лелдеуі: 1+а=(1-в)+(1-с) онда 1+13 EMBED Equation.3 1415. Осы сияKты 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.Бaл теSсіздіктерді м_шелеп к™бейтсек , д‰лелденілетін теSсіздік шыCады.
9-сынып
№1.ОS x,y,z сандары _шін теSсіздікті д‰лелдеSдер:
x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)
·613 EMBED Equation.3 1415
Д‰лелдеуі:Белгілі а+в
·213 EMBED Equation.3 1415 теSсіздігін (а,в,
·0) пайдаланып x+yz
·213 EMBED Equation.3 1415, y+xz
·213 EMBED Equation.3 1415, z+xy
·213 EMBED Equation.3 1415 теSсіздіктерін аламыз. Осы _ш теSсіздікті Kосып
x+yz+y+xz+z+xy=x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)>613 EMBED Equation.3 1415теSсіздігін аламыз.
10-сынып.
№1.Теріс емес а,в _шін 13 EMBED Equation.3 1415
·а+в теSсіздігін д‰лелдеSдер.
Бізге 13 EMBED Equation.3 1415 теSсіздігінен 13 EMBED Equation.3 1415
шыCатыны аныK.СоSCы теSсіздіктіS екі жаCын 13 EMBED Equation.3 1415 -Kа к™бейтсек, бізге керекті теSсіздік шыCа келеді.



ХалыKаралыK олимпиада
№1. а,в,с оS сандар болып ж‰не авс=1. Мынадай теSсіздікті д‰лелдеSіздер:
13 EMBED Equation.3 1415
Д‰лелдеуі:ЖаSа белгілер енгізейік: 13 EMBED Equation.3 1415
ЕсептіS шарты бойынша xyz=1.Енді д‰лелденілетін теSсіздік мынадай теSсіздікпен м‰ндес болады.
S=13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Біз оS сандардыS арифметикалыK ортасы мен геометриялыK ортасыныS арасындаCы байланысты Kолданамыз:13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Енді Коши-Буняковский теSсіздігін Kолданамыз:
13 EMBED Equation.3 1415
бaл теSсіздікті 13 EMBED Equation.3 1415ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415 векторларына Kолданып жазамыз:13 EMBED Equation.3 1415 немесе 13 EMBED Equation.3 1415
Енді 2) теSсіздікті Kолданып табамыз
13 EMBED Equation.3 1415
№2. Ауданы S келетін _шбaрыштыS KабырCалары а,в,с болсын. Мынадай теSсіздікті д‰лелдеSіздер: а2+в2+с2
·4S13 EMBED Equation.3 1415. ТеSдік Kашан болады?
Д‰лелдеуі: Герон формуласын жазайыK.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 к™бейтіндісын баCалау _шін мынадай теSсіздікті KолданайыK 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 немесе xyz13 EMBED Equation.3 1415. Белгілеулер енгізейік: 13 EMBED Equation.3 1415. Енді мынадай теSсіздіктерді жазуCа болады:



теSдік а=в=с болCанда орындалады.

Jорытындылай келе, Kазіргі уаKытта білім беру KызметкерлерініS алдында тaрCан басты маKсат- еліміздегі білім беруді халыKаралыK деSгейге к™теру ж‰не білім сапасын к™теру, жеке тaлCаны Kалыптастыру, KоCам Kажеттілігін ™теу, оны ‰лемдік білім кеSістігіне кіріктіру болмаK. СондыKтан, математика п‰нінен деSгейі жоCары оKушылармен олимпиадалыK есептерді дайындыK ретінде KарастыруCа болады деп ойлаймын.









ПайдаланылCан ‰дебиеттер.

1.Алгебра оKулыCы 9-кл. А.Е. €білKасымова, Н.Р.Майкотов , J.И.JаSлыбаев.
2. Т.Т.Абылайханов , Т.Т. Абылайханов «Математика есептері»
3. «Математика в школе» №3; 1991
4.Информатика, физика, математика №6; 1998
5.Информатика, физика, математика №3; 2001
6.Математика,физика №2; 2003






13 EMBED Equation.3 1415









13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115



13 EMBED Equation.3 1415



Математикадан олимпиадалыK Kиын
есептерді тиімді шешу жолдарыTimes New RomanRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native