Олимпиада по математике 5 класс. Школьный этап.
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ.
Школьный этап. 2016-2017 гг.
КЛАСС
1. Найдите значение выражения:
2012 ‒ 2011 + 2010 ‒ 2009 + 2008 ‒ … + 2 – 1.
2. Как разложить 9 гирь массой 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 граммов на 3 части, равных по массе?
3. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.
4. Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на каждом из них пересекались только две дороги.
5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?
Критерии оценивания
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.
В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Баллы Правильность (ошибочность) решения
7 Полное верное решение
6-7 Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6 Решение в целом верное. Однако решение содержит влияющие существенные ошибки либо пропущены случаи, не на логику рассуждений.
4 Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев + пример), или в задаче типа «оценка верно получена оценка.
2-3 Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1 Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0 Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0 Решение отсутствует.
Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Ответы и указания к решению
5 класс.
Найдите значение выражения:
2012 ‒ 2011 + 2010 ‒ 2009 + 2008 ‒ … + 2 ‒ 1.
Решение.
Заметим, что разность чисел 2012 и 2011 равна 1, аналогично разность чисел 2010 и 2009 равна 1 и т. д. Всего таких разностей будет 2012:2=1006. В результате получается, что значение выражения равно 1006.
2. Как разложить 9 гирь массой 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 граммов на 3 части, равных по массе?
Решение.
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 (г) общая масса гирь.
45:3=15 (г) – в одной части.
Гири разложили так:(2+9+4) г; (1+8+6) г; (3+5+7) г.
В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.
Решение.
5 лет - возраст ребёнка детского сада. Самый младший ребёнок - девочка в возрасте 5 лет.
Зная, что Аня старше Бори, получаем, что Ане либо 13, либо 15 лет.
Так как сумма лет Ани и Веры делится на 3, то получаем три случая:
Ане 15 лет, Вере 5 лет. 15+5=20, не делится на 3.
Ане 15 лет, Вере 8 лет. 15+8=23, не делится на 3.
Ане 13 лет, Вере 5 лет. 13+5=18, делится на 3.
Значит, Боре-8 лет, Гале-15 лет.
Ответ: Вере-5 лет, Боре-8 лет, Ане-13 лет, Гале-15 лет.
4. Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на каждом из них пересекались только две дороги.
Решение 1.
Рисуем 6 крепостей (на каждой надписываем цифру 1,2,3,4 и т.д.) От крепости номер 1 проводим дорогу к номеру 3, от 2 к 4, от 3 крепости проводим дорогу к 5 и от четвертой к шестой. При таком соединении образуется 3 перекреста и на каждом из них пересекутся 2 дороги.
Решение 2.
0-крепость— -дорога 0—00—00—0
5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?
Решение.
Кошка = 6 мышек; жучка = 5 кошек = 30 мышек; внучка = 4 жучки = 120 мышек; бабка = 3 внучки = 360 мышек; дедка = 2 бабки = 720 мышек. Все вместе дедка+бабка+внучка+жучка+кошка+мышка= 720+360+120+30+6+1=1237 мышек.
Есть идея все выражать в мышках, но не доведено до конца или неправильно доведено (например, посчитано, что дедка - это 720 мышек и в ответ записано 720 ) – 2 балла. Вычислительная ошибка – минус 1 балл (если вычислительных ошибок несколько, соответственно вычитается больше).