Олимпиада по математике (10 класс). Школьный этап.

Школьный тур олимпиад по математике
10 класс
Составитель: Хлыбова Т.В., учитель математики МКОУ АГО «Заринская СОШ»
Задача 1.
Упростите . (2 балла)
Задача 2.
Дан кусок проволоки длиной 120см. Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы изготовить каркас куба с ребром 10см?
3 балла
Задача 3.
Корни и уравнения таковы, что . Найдите .
3 балла
Задача 4.
Найдите множество значений функции . (4 балла)

Задача 5.
Расстояние между серединами сторон АВ и СD выпуклого четырехугольника АВСD равно расстоянию между серединами его диагоналей. Найдите угол, образуемый прямыми ВС и АD при их пересечении. (4балла)


Решение

Ответ:
Т.к. у куба 12 ребер, а каждое ребро 10см, то проволоку придется ломать 11 раз.
Ответ: 11.

D




р=1, р=-1.
Ответ: р=-1, р=1.
Знаменатель дроби – число положительное, значит график функции расположен выше
оси х. Исследуя эскиз графика, множество значений функции
93345155575D
С
N
В
L
М
A
К
D
С
N
В
L
М
A
К


Обозначим за М, N, К, L середины отрезков АВ, СD, АС и ВD. В треугольнике АВС отрезок МК – средняя линия, поэтому МК параллельна ВС и МК=ВС. В треугольнике ВСD отрезок LN параллелен ВС и LN=ВС. Тогда МКLN – параллелограмм. Но так как КL=МN, то МКLN- прямоугольник. Тогда угол между прямыми ВС и АD равен углу между параллельными им прямым МК и МL, а КМL=, значит, и угол между прямыми ВС и АD есть прямой.