Методические указания к выполнению практических заданий по теме Тела вращения
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«ПЕРЕВОЗСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Методические указания
к выполнению практических заданий
по дисциплине «Математика»
Перевоз, 2013
Составитель: Е.В. Исайчева
Тела вращения: Методические указания к выполнению практических заданий по дисциплине «Математика»/ Перевозский строит. колледж; Сост.: Е.В. Исайчева. - Перевоз, 2013. - 42 с
Методические указания по теме "Тела вращения" предназначены для организации самостоятельной работы обучающихся 1 курса всех специальностей. Их цель - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач, а также помочь при подготовке к ЕГЭ.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
ЦИЛИНДР 5
КОНУС 12
Тестовые вопросы 23
Ответы к тестам 31
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 32
Контрольная работа 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 42
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания включают в себя краткий теоретический материал по теме "Тела вращения", практический блок, состоящий из решенных задач и заданий для самостоятельного решения. Методические указания предназначены для обучающихся 1 курса всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика», но ими могут воспользоваться и обучающиеся старших курсов при подготовке к ЕГЭ.
Цель методических указаний - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач.
Попыткой достигнуть этой цели и определяется структура данного пособия: в начале каждого параграфа кратко изложен теоретический материал (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать пособие, не прибегая к учебникам. Далее указываются методы решения задач какого-либо вида и разбираются конкретные примеры на использование этих методов. Приведенные решения также могут служить иллюстрацией правильного оформления решения в письменных работах. После этого даны задания для самостоятельного решения, причем расположены они по возрастанию их сложности. В конце пособия приведены тестовые вопросы и варианты контрольной работы по данной теме.
Если после изучения темы с использованием данных методических указаний останутся невыясненные моменты, следует обратиться за консультацией (устной или письменной) к преподавателю.
ЦИЛИНДР
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы цилиндра, сечение цилиндра, формулы площади боковой и полной поверхности цилиндра научиться решать задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
Изучите теоретический материал:
Понятие цилиндра
Определение : Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Цилиндр получается при вращении прямоугольника OBB13 EMBED Equation.3 1415O13 EMBED Equation.3 1415 вокруг стороны OO13 EMBED Equation.3 1415.
прямая OO13 EMBED Equation.3 1415 - ось цилиндра
отрезок OO13 EMBED Equation.3 1415- высота,
отрезок АА13 EMBED Equation.3 1415= ВВ13 EMBED Equation.3 1415 - образующая
круг (О,ОВ) =кругу (O13 EMBED Equation.3 1415, O13 EMBED Equation.3 1415В13 EMBED Equation.3 1415) – основание цилиндра
рис1.
Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 2,а), две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси, то сечение является
в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, то сечение является кругом (рис. 2,б)
13EMBED PBrush1415 13EMBED PBrush1415
а) рис. 2 б)
Развёртка цилиндра состоит из двух кругов (основания цилиндра) и прямоугольника (боковая поверхность) (рис 3). Длины окружностей равны длине прямоугольника.
рис. 3
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
2 Рассмотрите задачи с решениями:
Задача 1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72
·, а диаметр основания 9. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Значит,
Ответ: 8
Задача 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64
·, а высота 8 . Найдите диаметр основания.
Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Найдём радиус основания:
Диаметр равен двум радиусам. Значит,
Ответ: 8
Задача 3.
Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .
Решeние:
Площадь боковой поверхности цилиндра , поэтому
Ответ: 12.
Задача 4.
Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решeние:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна , где C – длина окружности основания. Поэтому
Ответ: 6.
Задача 5.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.
Решение.
Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то
CD = AC cos 30°
Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos
·ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] найдем из таблицы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
CD = 8 *
·3/2 = 4
·3
Аналогично,
AD = AC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
AD = 8 * 1/2 = 4
Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см
Площадь основания цилиндра, соответственно, равна S1 =
·R2 = 4
·
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть:
S2 = 2
·Rh = 2
· * 2 * 4
·3 = 16
·
·3
Общая площадь поверхности цилиндра равна:
S1 + S2 = 4
· + 16
·
·3
Ответ: 4
· + 16
·
·3
Задача 6.
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
Дано:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а) h; б) r; в) Sосн
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 7.
Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
Дано:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найти: SABCD
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 64
Задача 8.
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра
Решение.
1. Проведем диагональ АС сечения АВСD.
2. (ADC – равнобедренный, прямоугольный, АD=DC, h = 2r,
( (CAD = (ACD=45(, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найдем радиус основания
13 EMBED Equation.3 1415
4. Найдем площадь основания
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 9.
Осевое сечение цилиндра
· квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Дано: цилиндр, квадрат
· осевое сечение цилиндра, Sквадрата = Q.
Найти: Sосн.цил.
Решение:
Сторона квадрата равна 13EMBED Equation.31415. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна 13EMBED Equation.31415.
Ответ: Sосн.цил. = 13EMBED Equation.31415
Задача 10.
Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Найти: Sсеч.
Решение:
Sсеч.= КМЧКС,
ОЕ = 4 см, КС = 6 см.
Треугольник ОКМ
· равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),
треугольник ОЕК
· прямоугольный.
Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:
ЕК = 13EMBED Equation.31415,
КМ = 2ЕК = 2Ч3 = 6,
Sсеч.= 6Ч6 = 36 см2.
Ответ: Sсеч.= 36 см2.
Задача 11.
Диаметр основания цилиндра 1м.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.
Найти: Sбок.ц.
Решение:
Sбок. = 2
·Rh,
R = 13EMBED Equation.31415= 0,5 м,
Sбок. = 2
·R Ч 2
·R = (2
·R)2 = 4
·2 Ч0,25 =
·2
Ответ: Sбок. =
·2 (м2).
3 Задания для самостоятельной работы обучающихся
Решите следующие задачи, используя теоретический материал и примеры, приведенные выше:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота 1. Найдите диаметр основания.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2
·, а диаметр основания 1. Найдите высоту цилиндра.
3. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, где радиус основания равен 5см, а высота 15 см.
4. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 80
·, а высота цилиндра 10.
5. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен 5 см, а площадь полной поверхности цилиндра равна 90
· см2.
6. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь осевого сечения цилиндра равна 64 дм2, а высота цилиндра 16 дм.
7. Радиус основания цилиндра 1,5 см, а высота – 4 см. Чему равна диагональ осевого сечения?
8. Осевое сечения цилиндра квадрат, площадь которого 36 дм2. Чему равна площадь основания цилиндра?
9. Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг одной из своих сторон. Чему равна площадь основания полученного тела?
10. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 1 см. Чему равна площадь осевого сечения?
11. В равностороннем цилиндре радиус основания равен 7,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?
12. Определите площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра, высота которого 8 см.
13. Площадь боковой поверхности 75
· см2. Найдите площадь его полной поверхности, если радиус основания равен 5 см.
14. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности цилиндра, радиус основания которого 2 см, а высота- 10 см?
15. Какова площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра с радиусом основания 5 см?
16. Высота цилиндра 20 см, радиус основания 10 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см от неё.
17. Высота цилиндра – 12 см, радиус основания – 7 см. Цилиндр пересечён плоскостью так, что в сечении оказался квадрат. Найдите расстояние от сечения до оси.
Тестовые вопросы к теме «Цилиндр»
1 вариант
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.
а) 13 EMBED Equation.3 1415см; б) 12 см; в) 5 см; г) 13 EMBED Equation.3 1415 см;
д) 13 EMBED Equation.3 1415 см;
2. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 4 смІ. Найдите площадь основания цилиндра.
а) 2
· смІ; б)
· смІ; в) 4
· смІ; г) 0,5
· смІ;
д) определить нельзя.
3. Радиус цилиндра равен х, его высота – 2, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности – 2у. Найдите х и у.
а) х = 2, у = 8
·; б) х = 1, у = 4
·; в) х = 2, у = 8;
г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16
·
4. Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна 8
·3, она наклонена к плоскости основания под углом 60°. Это сечение в основании отсекает дугу в 120°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
а) определить нельзя; б) 48; в) 16
·3; г) 96
·3;
д) 96.
5. Выберите верное утверждение.
а) Длина образующей цилиндра называется радиусом цилиндра;
б) цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;
в) сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, называется осевым;
г) площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415;
д) цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг одной из сторон.
6. Сечение проведено параллельно оси цилиндра и отстает от нее на расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра равен 5, а его высота равна 10.
а) 40; б) 80; в) 60; г) 30; д) 13 EMBED Equation.3 1415
7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?
а) 2,0 кг; б) 2,1 кг; в) 2 кг; г) 1,9 кг; д) 2,03 кг.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.
а) 7,283; б) 0,159; в) 1,318; г) 1,159; д) 0,318.
9. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Найдите площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.
а) 40
·; б) 40 ; в) 32
·; г) 20
·; д) 32.
10. Радиус r основания цилиндра в3 раза меньше его высоты h. Площадь полной поверхности цилиндра равна 288
· смІ. Найдите r и h.
а) r = 18 cм, h = 6 cм; б) r = 6 см, h = 18 см; в) r = 2 см, h = 6 см;
г) определить нельзя; д) r = 12 см, h = 36 см.
2 вариант
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.
а) 13 EMBED Equation.3 1415см; б) 8 см; в) 4 см; г) 13 EMBED Equation.3 1415 см;
д) 16 см.
2. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2
· смІ. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
а) 8
· смІ; б) 8 смІ; в) 2 смІ; г) 4 смІ; д) определить нельзя.
3. Радиус цилиндра равен 2, его высота – х, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности равна 2у. Найдите х и у.
а) х = 2, у = 8
·; б) х = 1, у = 4
·; в) х = 2, у = 8; г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16
·
4. Сечения цилиндра плоскостью, параллельное оси, удалено от нее на
·3. Это сечение отсекает в основании дугу в 60°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь данного сечения равна 8.
а) определить нельзя; б) 8; в) 16
·3; г) 8
·3; д) 16.
5. Выберите верное утверждение.
а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра;
б) площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади основания цилиндра на его высоту;
в) сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра, называется осевым;
г) площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415;
д) цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
6. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
а) 3; б) 4; в) 8; г) 5; д) 13 EMBED Equation.3 1415
7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,44 м и высоту 1,25 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?
а) 2,0 кг; б) 2,2 кг; в) 2,3 кг; г) 2,1 кг; д) 2,23 кг.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.
а) 5,141; б) 0,159; в) 4,637; г) 2,159; д) 0,318.
9. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной, равной 4, и углом 60°. Высота параллелепипеда равна 5. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед цилиндра.
а) 20
·
·3; б) 10
·3; в) 10
·; г) 20
·; д) 10
·
·3.
10. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256
· смІ. Найдите радиус r и высоту цилиндра h.
а) r = 8 cм, h = 6 cм; б) r = 6 см, h = 6 см; в) r = 6 см, h = 8 см;
г) r = 8 см, h = 8 см. д) определить нельзя.
Ответы к тестам
Ответы
Вариант
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
в
б
а
д
б
б
а
г
А
Б
2
в
б
а
д
д
а
б
в
д
Г
КОНУС
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы конуса, сечение конуса, формулы площади боковой и полной поверхности конуса ,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
1 Изучите теоретический материал:
Понятие конуса
Определение: Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.
точка S – вершина конуса
круг(О,ОА) – основание конуса
SA=SB – образующие конуса
Отрезок SO – высота конуса
Прямая SO – ось конуса
Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник (рис. 4 ,а), основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг (рис. 4 ,б).
а) рис. 4 б)
Боковую поверхность конуса, как и боковою поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор ( рис 5), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса.
рис.5
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
13 EMBED Equation.3 1415
Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
13 EMBED Equation.3 1415
Усеченный конус
Определение : Усеченным конусом – называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
13 EMBED Equation.3 1415
2 Рассмотрите задачи с решениями:
Задача 1
Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение.
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами:
S1 = пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей
S2 = пr2 - площадь круга, то есть основания конуса
Таким образом, площадь поверхности конуса составит
S = S1+ S2
Поскольку S1= пrl , найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то
l2= h2+ r2
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 300п
· 942,48 см2.
Задача 2.
Площадь основания конуса 36
· см2 , а его образующая 10 см. Вычислить боковую поверхность конуса.
Решение. Зная площадь основания, найдем его радиус. S =
·R2 36
· =
·R2 R2 = 36 R = 6 Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: S =
·Rl где R - радиус основания l - длина образующей откуда S =
· * 6 * 10 = 60
· Ответ: 60
· см2 .
Задача 3.
Высота конуса равна 57, а диаметр основания 152. Найдите образующую конуса.
Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:
Ответ: 95
Задача 4.
Высота конуса равна 21, а длина образующей 75 . Найдите диаметр основания конуса.
Решение:
Диаметр основания конуса равен двум радиусам. Радиус мы можем найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:
Следовательно, диаметр основания конуса равен 144.
Ответ: 144
Задача 5.
Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей 100 . Найдите высоту конуса.
Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:
Ответ: 96
Задача 6.
Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решeние:
Площадь боковой поверхности конуса равна , где – длина окружности основания, а – образующая. Тогда
Ответ: 3.
Задача 7.
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
Решeние:
Площадь боковой поверхности конуса равна , где – длина окружности основания, а – образующая. При увеличении образующей в 3 раза площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.
Ответ: 3.
Задача 8.
Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной 2r.Найдите площадь сечения , проведенного через две образующие конуса,угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
Решение:
а)
·BSC=30 ° ;SC=SB=2r
SBSC = Ѕ
·SB
·SC
·sin30 °,
SBsc =2r
·2r/4=r2
б)
·BSC=45°;
SBSC =2r
·2r
·
·2/4=r2
·2
в)
·BSC=60 °;
SBSC =2r
·2r
·
·3/4=r2
·3
Задача 9.
Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость
· перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центом О1 радиуса r1, где О1-точка пересечения плоскости
· с осью РО,
·
Дано:
Доказать:
Доказательство:
·РО1М1~
·РОМ (острый <Р) =>13 EMBED Equation.3 1415
=> 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
=> (·) М лежит на окружности основания конуса, => РМ образующая конуса.
2)
·РО1М1~
·РОМ => 13 EMBED Equation.3 1415
=> окружность радиуса r1 с центром О1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью
·, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью
·.
Задача 10.
Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
Дано:
АВС- прямоугольный треугольник
С=90
АС=6 см.
СВ=8 см.
АВ- образующая
АВ=L
Найти:
Sбок. пов.-?
Sпол. пов.-?
Решение:
1. АВ-?
АВС- прямоугольный =>
АВ2 = АС2 + СВ2
АВ=
·100 =10
2. Sбок. пов. -?
Sбок. пов. =ПRL
S= П*8*10= 80П см2
3. Sпол. пов. -?
S пол. пов. =ПR*(R+L)
S=8П(8+10)=8П*18= 144П см2
Задача 11.
Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3см и 4см, а высота равна 4 см
Дано: усеченный конус, OB=3см, АО1=4см, ОО1=4см
Найти: АВ – ?
Решение:
AB – образующая
Осевое сечение – трапеция (ABCD)
BC = 2OB = 6 см
AD = 2AO1 = 12 см
AB1 = (AC - BC)/2 = 3 см т.к. р/б трапеция
(АB)2 = (AB1)2 + (BB1)2 = 9 + 14 = 25 (смІ)
АB = 5 см
Ответ: 5 см
3 Задания для самостоятельной работы обучающихся
Решите следующие задачи, используя теоретический материал и примеры, приведенные выше:
1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания 6. Найдите образующую конуса.
2. Высота конуса равна 4, а длина образующей 5. Найдите диаметр основания конуса.
3. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей 5. Найдите высоту конуса.
4. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а высота равна 6 см.
5. Найдите площадь сечения проходящего через вершину конуса, если угол между образующими в сечении равен 30° и образующая равна 5см.
6. Найдите высоту конуса, если радиус основания конуса равен 6 см, а площадь боковой поверхности равна 60
· см2.
7. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°. Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?
8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 36 см2, а высота конуса 12 см. Найдите радиус основания.
9. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности конуса, у которого радиус равен 4 см, а высота равна 3 см?
10. Найдите площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если радиус основания равен 7 см.
11. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если его образующая равна 12 см?
12. Определите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиусу оснований равны 6 см и 8 см, а образующая равна 5 см.
13. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна площадь осевого сечения?
14. Площадь полной поверхности конуса равна 136
· см2, радиус основания конуса – 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
15. Площадь развёртки полной поверхности усечённого конуса 150
· см2. Чему равна площадь его боковой поверхности, если радиусы оснований 3 см и 6 см?
Тестовые вопросы к теме «Конус»
1 вариант
1. Выберите верное утверждение.
а) Конус может быть получен в результате вращения равностороннего треугольника вокруг его стороны;
б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;
в) разверткой боковой поверхности конуса является круговой сегмент;
г) площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению суммы длин окружностей оснований на образующую;
д) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг.
2. Образующая конуса, равная 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса.
а) 2
·3 смІ; б) 4
·3 смІ; в) 16
·3 смІ; г) 8
·3 смІ д) 32
·3 смІ.
3. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 5625
· смІ д) 9
· смІ
4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
а) 2
· смІ; б) 2
·
·2 смІ; в) 4
· смІ; г) 4
·
·2 смІ; д) 8
· смІ
5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 12
·(7 - 4
·3) смІ; в) 13 EMBED Equation.3 1415
г)
· смІ; д) 13 EMBED Equation.3 1415
6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту усеченного конуса.
а) 4 см; б) 3 см; в) 12 см;
г) определить нельзя; д) 6 см.
7. Полукруг свернут в конус. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°.
8. Длина образующей усеченного конуса равна 29 см, высота – 20 см, радиусы оснований относятся, как 5:9. Найдите периметр осевого сечения усеченного конуса.
а) 205 см; б) 102,5 см; в) 47,25 см; г) 26,25 см; д) 73,5 см.
9. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 4, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
а) Определить нельзя; б) 9
·; в) 72
·; г) 18
·; д) 36
·.
10. Радиус верхнего основания, высота, образующая и радиус нижнего основания усеченного конуса составляют арифметическую прогрессию с разностью 4. Вычислите площадь полной поверхности усеченного конуса.
а) 144
·; б) 1256
·; в) 1584
·; г) 1440
·; д) 360
·.
2 вариант
1. Выберите неверное утверждение.
а) Конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;
б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;
в) площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле 13 EMBED Equation.3 1415;
г) осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция;
д) конус называется равносторонним, если его осевое сечение – правильный треугольник..
2. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.
а) 8
·3 смІ; б)
·3 смІ; в) 16
·3 смІ; г) 4
·3 смІ д) 2
·3 смІ.
3. Радиус основания конуса и его высота равны 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей параллельно основанию на расстоянии 4 см от его вершины.
а) 16
· смІ б) 12
· смІ в) 8
· смІ г) 49
· смІ д) 3,0625
· смІ
4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 60°. Угол между образующими в сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
а) 2
· смІ; б) 2
·
·2 смІ; в) 4
· смІ; г) 4
·
·2 смІ; д) 8
· смІ
5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его радиуса и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
а)
· смІ б) 4
·(2
·3 + 3) смІ; в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 4
· смІ;
6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 10
·3 см и 6
·3 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту усеченного конуса.
а) 4 см; б) 6 см; в) 12 см;
г) определить нельзя; д) 3 см.
7. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.
а) 120°; б) 90°; в) 60°; г) 45°; д) 30°.
8. Длина образующей усеченного конуса равна 13 см, высота – 12 см. Найдите радиусы оснований, если периметр осевого сечения усеченного конуса равен 56 см..
а) 6 см и 12 см; б) 5 см и 10 см; в) 5 см и 15 см; г) 10 см и 12 см; д) 12 см и 13 см.
9. В усеченный конус, образующая которого равна 6, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
а) Определить нельзя; б) 9
·; в) 72
·; г) 18
·; д) 36
·.
10. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если его радиусы равны 21 и 11, а длина диагонали осевого сечения равна 40.
а) 1394
·; б) 832
·; в) 1273
·; г) 953
·; д) 562
·.
Ответы к тесту
Ответы
Вариант
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
б
в
а
б
б
д
в
а
д
Г
2
в
г
а
б
г
в
д
б
д
А
СФЕРА И ШАР
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы сферы и шара, сечение шара, формулу площади сферы ,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
1 Изучите теоретический материал:
Шар – тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.
Сфера – граница шара.
Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси
2. т. О – центр шара
ОА=ОВ – радиус шара
АВ – диаметр
3. а) Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
б) плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.
4. Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А – плоскостью касания.
а) многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
б) многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.
2 Рассмотрите задачи с решениями:
Задача 1.
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Решeние:
Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы – как . Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга.
Ответ: 12.
Задача 2.
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решeние:
По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2r равна
.
Площадь поверхности шара радиуса равна , то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.
Ответ: 12.
Задача 3.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Решeние:
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 22 = 4 раза.
Ответ: 4.
Задача 4.
Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решeние:
Объемы шаров соотносятся как
,
Откуда Площади их поверхностей соотносятся как
.
Ответ: 9.
Задача 5.
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решeние:
Из условия найдем, что радиус такого шара
.
Ответ: 10.
1. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.
2. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16
· см2.
3. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.
4. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.
5. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16
· см2. Чему равен радиус шара?
6. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.
7. Шар с центром в т.О касается плоскости в т.В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.
8. Найдите координаты центра сферы и радиус сферы, если она задана
Сфера и шар
1 вариант
1. Найдите расстояние от центра шара с радиусом 6 см до плоскости сечения, радиус которого равен 3
·3 см.
а) 2
·3 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 3
·3 см; д) 6 см.
2. Даны шары с радиусами 4 см и 3 см, расстояние между их центрами равно 5 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
а) Определить нельзя; б) 2,4 см; в) 4,8
· см; г) 1,2 см; д) 2,4
· см.
6. Выберите неверное утверждение.
а) Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра;
б) тело, ограниченное сферой, называется шаром;
в) сечение шара плоскостью есть круг;
г) площадь сферы можно вычислить по формуле S = 4
·rІ;
д) если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.
8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
а) Определить нельзя; б) 3
·; в) 4
·
·3; г) 12
·; д) 36
·.
9. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144
· и 25
·. Найдите площадь сферы, если расстояние между сечениями равно 17.
а) 100
·; б) 169
·; в) 676
·; г) 576
·; д) 119
·.
10. Диаметр шара разделен на три части в отношении 1:3:2, через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если сумма площадей сечений равна 52
· смІ.
а) 36
· смІ; б) 144
· смІ; в) 72
· смІ; г) 324
· смІ; д) 100
· смІ.
2 вариант
1. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см, а радиус сечения равен
·7 см.
а) 3
·2 см; б) 3 см; в)
·2 см; г) 4 см; д) 2 см.
2. Даны шары с радиусами 8 см и 6 см, расстояние между их центрами равно 10 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
а) 9,6
· см; б) 2,4 см; в) Определить нельзя; г) 4,8 см; д) 4,8
· см.
6. Выберите неверное утверждение.
а) В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром 13 EMBED Equation.3 1415имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415;
б) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы есть окружность;
в) плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере;
г) радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, параллелен касательной плоскости;
д) радиус шара совпадает с радиусом сферы, ограничивающей данный шар.
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
а) 32
·; б) 64
·; в) 16
·
·2; г) 16
·; д) Определить нельзя.
9. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10
· и 24
·, расстояние между сечениями равно 7, их центры лежат на одном радиусе. Найдите площадь сферы.
а) 100
·; б) 169
·; в) 144
·; г) 576
·; д) 676
·.
10. Радиус сферы разделен на три равные части и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если разность длин сечений равна 6(2
·2 -
·5)
· см.
а) 36
· смІ; б) 144
· смІ; в) 324
· смІ; г) 72
· смІ; д) 100
· смІ.
Ответы
Вариант
Задание
1
2
3
4
5
6
1
б
в
д
г
в
Б
2
г
а
г
а
д
В
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Root EntryEquation NativeEquation Native