Математический марафон. Задачи и их решение
6 класс
Дорогие ребята!
Предлагаем вам задачи «Математического марафона
На доске написаны натуральные числа от 1 до 2010. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число? Какое это число – четное, или нечетное?
Пять Маленьких Поварят решили разделить между собой большую прямоугольную шоколадку. Но она упала на пол, и когда они развернули ее, то увидели, что шоколадка разбилась на 7 кусков. Николай съел самый большой кусок. Света и Маша съели одно и тоже количество шоколада, но Света съела три куска, а Маша только один кусок. Белла съела 1/7 часть целой шоколадки, и Катя съела все остальное. Какой кусок шоколадки достался Кате?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы – 143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько страниц выпало из книги?
Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду-с одной третью оставшейся части, за третью секунды-с четвертью того, что еще сохранилось, за четвертую-с одной пятой остатка. И тут настиг его могучий Антивирус. Какая часть памяти удалена?
Как расположить на плоскости 9 отрезков, чтобы каждый имел общие точки ровно с четырьмя другими?
Если в числовой автомат ввести какое-то число, то он может за один шаг прибавить к нему 2 или 3 или умножить его на 2 или на 3. В автомат ввели число 1 и заставили его перебрать все возможные комбинации из трех ходов. Сколько раз при этом в результате получились четные числа?
Имеется 6 палочек, длины которых равны 1см, 2см, 3см, 2008см, 2009см, 2010см. Надо выбрать три палочки и составить из них треугольник. Каким числом способов можно подобрать подходящие тройки палочек?
Старший брат идет от дома до школы 12 мин, а младший брат – 16 мин. Сколько минут потребуется старшему брату, чтобы догнать младшего, который вышел на одну минуту раньше?
Решение
математического марафона
6 класс
№1.
Ответ: 2009 раз нужно выполнить операцию. Нечетное число останется.
Всего 2010 чисел.
Уберем любые два числа и вместо них запишем их разность. Чисел стало 2009.
Уберем еще любые два числа и вместо них запишем их разность. Чисел стало 2008.
Если эти действия повторять далее, то чисел каждый раз становится на одно меньше.
Заметим: 1 действие - 2009 чисел,
2 действие - 2008 чисел,
3 действие - 2007 чисел,
,
2008 действие -2 числа,
2009 действие - 1 число.
Вывод: 2009 раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число
1,2,3,4,5,6,7,,8.9,10,,2009, 2010. Всего 2010 чисел.
1005 пар чисел или 1005 действий, каждое из которых равно 1:
1 действие: 2-1=1,
2 действие: 4-3=1,
3 действие: 5-4=1,
4 действие: 7-6=1.
,
1005 действие: 2010-2009=1,
из результата 2-го действия вычесть результат 3-го действия, то есть 1-1=0,
из результата 4-го действия вычесть результат 5-го действия, то есть 1-1=0,
,
из результата 1005-го действия вычесть результат 1004-го действия, то есть 1-1=0
Продолжим выполнение действий далее: вычитаем 0 из 0, заменяем 0 и т.д. Получим в результате ноль.
из результата 1-го действия вычесть результат последнего действия, то есть 1-0=1
Вывод: 1 - нечетное число
Ответ: 2009 раз нужно выполнить операцию; нечетное число останется.
№2.
Ответ: 2-й кусочек шоколадки достался Кате.
Посчитаем площадь каждого кусочка шоколада. Треугольник достраиваем до прямоугольника. Находим площадь прямоугольника: умножаем ширину на длину. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, так как диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника, площади, которых тоже равны Получим:
№
кусочка шоколада
Площадь
шоколада
Кто съел
шоколад
Условие задачи
1
2 кв.ед.
Света
первый кусочек
2
6 кв.ед.
Катя
остальное
3
5 кв.ед.
Маша
1 кусочек
4
4 кв.ед.
Белла
1/7 часть всего шоколада
5
2 кв.ед.
Света
второй кусочек
6
8 кв.ед.
Николай
самый большой
7
1 кв.ед.
Света
третий кусочек
Ответ: Второй кусочек шоколада съела Катя.
№3.
Ответ: 172 страницы выпало из книги
Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Так первая страница 143- нечетная, то последняя страница всегда будет четной. По условию задачи номером последней страницы будет число 314.
Найдем количество выпавших страниц:
314 – 143 +1 = 172.
Ответ: 172 страницы выпало из книги
№4
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 памяти удалено вирусом.
Всю память компьютера примем за единицу.
Время
Количество памяти, оставшееся в компьютере
Количество памяти, съеденное вирусом
1секунда
1-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2секунда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3 секунда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4 секунда
13 EMBED Equation.3 1415
(1+2+3+4) секунды
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 памяти удалено вирусом.
№5
Ответ:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
На плоскости девять точек, соединенных девятью отрезками через одну.
Соединяем точки с нечетными номерами с 1 по 9 , затем 9-ую точку соединяем со 2, далее соединяем точки с четными номерами , 8-ую соединяем с 1.
Получили 9 отрезков. Каждый отрезок имеет общие точки ровно с четырьмя другими.
Фигура напоминает многоугольник
№6
Ответ: 54 раза получились четные числа.
Данное число 1
Количество четных и нечетных чисел
Первый шаг
+2=3
+3=4
·2=2
·3=3
2ч. и 2неч.
Второй шаг
+2
+3
·2
·3
+2
+3
·2
·3
+2
+3
·2
·3
+2
+3
·2
·3
=5
=6
=6
=9
=6
=7
=8
=12
=4
=5
=4
=6
2чет. и 2 нечет.
3чет. и 1 нечет.
2чет. и 2 нечет
По аналогии
3чет. и 1 нечет
10ч. и 6неч
Вывод: из нечетного получается 2 четных и 2 нечетных,
из четного получается 3 четных и 1 нечетное
Третий шаг
Каждое число дает 4 новых числа, поэтому отметим только количество четных и нечетных чисел
+2,+3,
·2,
·3
+2,+3,
·2,
·3
+2,+3,
·2,
·3
+2,+3,
·2,
·3
2(3ч+1неч) +2(2ч+2неч)=
10ч+6неч
3(3ч+1неч)+1(2ч+2неч)=
11чет+5неч
10ч+6неч
11чет+5неч
42чет.+22неч.
Найдем количество всех появившихся четных чисел: 2чет. + 10чет + 42чет. = 54 чет. Итого: 54 четных числа
Ответ: 54 раза получились четные числа.
№7
Ответ: 6 треугольников.
Пусть а, в и с – стороны треугольника, где а – большая сторона и а < в + с. Тогда получим треугольники со сторонами:
2010, 2009, 2008;
2010, 2009, 2;
2010, 2009, 3;
2009, 2008, 2;
2009, 2008, 3;
2010, 2008, 3.
Всего треугольников 6.
Ответ: 6 треугольников.
№8
Ответ: 3 минуты.
х мин. – время движения старшего брата,
(х+1) мин. – время движения младшего брата.
1-расстояние до школы,
13 EMBED Equation.3 1415- скорость старшего брата,
13 EMBED Equation.3 1415- скорость младшего брата,
13 EMBED Equation.3 1415х мин –время движения старшего брата до встречи
13 EMBED Equation.3 1415(х+1) мин. время движения старшего брата до встречи.
Так как до встречи они прошли одно и тоже расстояние, составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415х = 13 EMBED Equation.3 1415(х+1),
16х = 12(х+1),
16х = 12х + 12,
4х =12,
х =12:4
х = 3
3минуты старший брат догоняет младшего, вышедшего на 1 минуту раньше.
Ответ: потребуется 3 минуты старшему брату, чтобы догнать младшего брата.
4
6
7
5
3
2
9
1
8
Root Entry