Программа элективного курса по теме Решение уравнений и неравенств с параметрами
Департамент общего и профессионального образования
Брянской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Дятьковский индустриальный техникум»
Программа элективного курса по математике
«Решение задач с параметрами»
1 курс
Рекомендовано к использованию студентам первого и второго курсов всех специальностей подготовки составитель: Манихина Т.А.
преподаватель математики
ГБОУ СПО « ДИТ»
Дятьково
2015 год
Пояснительная записка
На первый курс техникума приходят выпускники 9-х классов общеобразовательных школ с базовой математической подготовкой. И, хотя они уже встречались с параметрами при решении линейных и квадратных уравнений, этот материал требует дополнительной отработки.
Программа по математике для наших студентов не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми обучающимися, и поэтому их изучение возможно только на внеклассных занятиях. Для обучающихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры обучающихся. Уравнение (неравенство) с параметром представляет собой не одно уравнение (неравенство), а целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Решение таких задач связано с исследовательской деятельностью, а для этого необходимо иметь определённый уровень сформированности компетенций.
Данный элективный курс построен как расширенное изучение темы «Задачи с параметрами». На первых занятиях с целью повторения и систематизации знаний повторяются те темы, в которых присутствует сама идея параметра. Затем обучающимся предлагаются простые задачи, которые решаются по алгоритму, с последующим их усложнением, чтобы развивать умения решать задачи, требующие более высокой математической культуры.
Материал курса способствует формированию и функциональной грамотности: умению воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, и универсальных учебных действий: наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
Они учатся разбираться в условиях задачи, понимать, насколько эти условия достаточны для её решения, переходить от аналитической постановки задачи к её наглядной интерпретации и наоборот, отыскивать примеры и контрпримеры для подтверждения или опровержения некоего утверждения, и также видеть применение рассматриваемых задач в будущей профессии.
Одна из задач изучения курса – помочь обучающимся увидеть внутренние связи, соотношение компонентов изучаемого, сходство и различие между известным и вновь усваиваемым.
В процессе овладения курсом студенты получают первоначальные навыки исследовательской работы, подготавливая себя к последующей научно-исследовательской работе на старших курсах. Исследовательский подход позволяет применять конкретные знания к различным вариантам ситуаций, одновременно вооружая обучающихся общими методами исследования на доступном им уровне.
Место курса в учебном плане: данный курс рассчитан на 34 часа и предназначен для изучения на 1 курсе студентами, обучающимися по всем специальностям.
Цели курса:
- формирование компетентной личности, способной к жизнедеятельности и самоопределению в информационном обществе, ясно представляющей свои потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути;
- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средства моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- формирование учебных умений: наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать и делать выводы;
- развитие навыков исследовательской работы;
-развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности;
- овладение различными приёмами и методами решения задач с параметрами.
Результаты освоения курса:
личностные:
обучающиеся:
- способны к жизнедеятельности и самоопределению, представляют свои возможности и готовы к изучению выбранной профессии;
- умеют увидеть внутренние связи, соотношение компонентов изучаемого, сходство и различие между известным и вновь усваиваемым;
- умеют работать с учебной и справочной литературой, интернет ресурсами.
метапредметные:
- умеют определить необходимые теоретические сведения и грамотно их применить;
- умеют выполнить необходимые обоснования и вычисления;
- имеют опыт коллективного сотрудничества с преподавателем и сверстниками;
- владеют необходимыми умениями организовать учебно – познавательную деятельность и деятельность по выполнению творческих заданий;
предметные:
обучающиеся должны уметь:
- решать уравнения, неравенства с параметрами и их системы, используя аналитический и графический методы;
- строить графики функций;
- выполнять необходимые обоснования и вычисления;
обучающиеся должны знать:
- понятие параметра;
-различные методы решения задач с параметром (аналитический, графический);
- зависимость количества решений от значений параметра;
- свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
- свойства функций в задачах с параметрами.
СОДЕРЖАНИЕ
элективного курса по математике «Решение задач с параметрами»
для студентов 1 курса техникума
34 часа
Тема 1. Повторение. (4часа)
Введение. Повторение свойств линейной и квадратичной функций и их графиков. Решение линейных уравнений и сводящихся к ним. Решение линейных неравенств. Решение квадратных уравнений и неравенств.
Результаты обучения:
- знают определение линейной функции и её свойства, умеют строить график, знают расположение графика в зависимости от углового коэффициента;
- знают определение квадратичной функции, её свойства, умеют строить график, знают расположение графика в зависимости от коэффициентов;
-умеют решать линейные уравнения и неравенства;
- умеют решать квадратные уравнения, различными методами;
- умеют решать квадратичные неравенства различными методами.
Тема 2. Первоначальные сведения о параметрах. (2час)
Понятия: уравнение, неравенство, переменные величины, корни уравнения и решения неравенства, область определения уравнения (неравенства), соотношение, равносильность, ограничения к значениям переменной, семейство функций.
Параметр, решение соотношений с параметром, примеры решения уравнений с параметром.
Результаты обучения:
- знают основные понятия, связанные с уравнениями и неравенствами с параметрами.
Тема 3. Решение линейных уравнений и неравенств, содержащих параметр (7часов)
Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к ним. Дробно- линейные уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений и неравенств. Аналитические и графические способы решения линейных уравнений и неравенств. Определение числа корней уравнения в зависимости от параметра.
Результаты обучения:
- знают методы решения линейных уравнений, неравенств.
- умеют решать линейные уравнения и неравенства, дробно- рациональные уравнения и неравенства;
Тема 4. Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр (7часов)
Квадратные уравнения. Взаимное расположение корней уравнения. Квадратичные неравенства. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. Системы уравнений и неравенств. Уравнения, приводимые к квадратным. Аналитические и графические способы решения квадратных уравнений и неравенств. Определение числа корней уравнения в зависимости от параметра.
Результаты обучения:
- знают взаимное расположение корней квадратного уравнения,
- умеют решать квадратные и биквадратные уравнения и неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из которых задача имеет решение, с заданными свойствами;
Тема 5. Решение уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр (4часов)
Понятие модуля. Методы решения уравнений с модулем. Графический и аналитические методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Результаты обучения:
- знают понятие модуля;
- знают методы решения уравнений и неравенств с модулем;
- умеют решать уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение или неравенство имеет решение, с заданными свойствами.
Тема 6. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром (2 часа)
Различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств в зависимости от условия.
Результаты обучения:
- знают определения иррациональных уравнений и неравенств;
- знают методы решения иррациональных уравнений и неравенств;
- умеют решать иррациональные уравнения и неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из которых иррациональное уравнение или неравенство имеет решение, с заданными свойствами.
Тема 7. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром (4 часа)
Методы решения. Нестандартные приёмы решения. Использование свойств показательной и логарифмической функций.
Результаты обучения:
- знают определения показательного и логарифмического уравнения и неравенства;
- знают методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;
- умеют решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из которых данное уравнение или неравенство имеет решение, с заданными свойствами.
Тема 8. «Решение задач с параметром из ЕГЭ (С5)»
Итоговая контрольная работа (2часа)
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№ Тема занятия Количество
часов Учебная деятельность обучающихся1. Введение. 1 Осмысливают и формулируют цели элективного курса, уточняют критерии оценивания
2. Линейные уравнения и неравенства 1 Участвуют в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
3. Квадратные уравнения 1 Участвуют в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
4. Квадратичные неравенства 1 Участвуют в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
5. Уравнения и неравенства с параметром. Основные понятия 2 Слушают преподавателя, работают с учебником, составляют конспект, исследуют условие учебной задачи, формируют новые понятия
6. Решение линейных уравнений с параметром 2 Исследуют условие учебной задачи, решают уравнения разными способами, сравнивают методы решения, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения
7. Решение линейных неравенств с параметром 2 Проводят коллективное исследование, конструируют новый способ действий, решают неравенства разными способами, сравнивают методы решения
8. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1 Слушают преподавателя, исследуют условие учебной задачи, формируют новые понятия
9. Системы уравнений и неравенств с параметром 1 Слушают преподавателя, исследуют условие учебной задачи, формируют новые понятия
10. Самостоятельная работа №1по теме «Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами» 1 Выполняют индивидуальную самостоятельную работу с последующей самопроверкой, анализируют допущенные ошибки
11. Решение квадратных уравнений с параметром 2 Проводят коллективное исследование, конструируют новый способ действий, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения, решают уравнения разными способами, сравнивают методы решения
12. Решение уравнений, содержащих параметр, сводящихся к квадратным1 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
13. Решение систем уравнений с параметром 1 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
14. Решение квадратичных неравенств с параметром 2 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, решают неравенства разными способами, сравнивают методы решения, делают выводы
15. Самостоятельная работа №2 по теме «Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром» 1 Выполняют индивидуальную самостоятельную работу с последующей взаимопроверкой, анализируют допущенные ошибки
16. Решение уравнений с модулем, содержащих параметр 2 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
17. Решение неравенств с модулем, содержащих параметр 1 Проводят коллективное исследование, конструируют новый способ действий.
18. Самостоятельная работа №2 по теме
« Решение уравнений и неравенств с модулем».
1 Выполняют самостоятельную работу в паре, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения
19. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром 1 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы.
20. Самостоятельная работа №2 по теме «Иррациональные уравнения и неравенства с параметром» 1 Выполняют самостоятельную работу в паре, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения
21. Показательные уравнения и неравенства с параметром 2 Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
22. Логарифмические уравнения и неравенства с параметром 1 Участвуют в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы.
23. Самостоятельная работа №2 по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» 1 Выполняют самостоятельную работу в паре, с последующей проверкой. Анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения
24. Решение задач С5 из ЕГЭ 2 Проводят коллективное исследование, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения,
25. Итоговая контрольная работа 2 Выполняют индивидуальную контрольную работу. Проводят самоанализ достигнутых результатов.
Итого 34 часа
Учебно-методическое и материально- техническое обеспечение
Литература для преподавателя:
Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. – Брянск: Издательство БГПУ, 1999.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005,- 328 с.
Дятлов В.И. Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами»: лекции 1-4.- М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014.- 80 с.
Дятлов В.И. Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами»: лекции 5-8.- М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014.- 72 с.
Литература для обучающихся:
Мордкович А.Г., Смирнова И.М. и др. Математика. 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2011. – 416 с.
Рыжик В.И., Черкасова Т.Х.Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями для 10-11 классов. Учебное пособие для профильной школы. – СПб: СМИО Пресс, 2008. – 428 с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. : учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 205. – 395 с.
Материально- техническое обеспечение:
Персональный компьютер.
Интерактивная доска.
Проектор.
Справочные таблицы.
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа №1
по теме «Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами»
1.Решите уравнение (относительно х): а2 х- 4х = а-2.
2. При каких значениях параметра а уравнение ах – х +1 = а2:
а) не имеет корней;
б) имеет ровно один корень;
в) имеет более одного корня?
3.Решите неравенство (относительно х): в2х – вх ≥в2 +в -2.
4. Решите систему уравнений ах+у=а;х+2а+1=а+2.Самостоятельная работа №2
по теме « Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами»
При каких значениях параметра а уравнение ах2 +4х – а + 5 =0 :- имеет два различных корня;
- имеет ровно один корень;
- не имеет действительных корней?
2. При каком значении а прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком функции у = х2 +а?
3. При каких значениях а неравенство ах2 + 4х – 3 + а > 0:
- выполняется при любых х;
- не имеет решений?
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств 3+х- х2 ≥0,х2- 7х+10 ≤0 имеет единственное решение?
Самостоятельная работа №3
по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем».
Решите уравнение 1- х2 = ах.Решите неравенство х+а< х.
Решите неравенство х-а ≥х-2а.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х-1- 2 = 2 + 3х-а имеет единственное решение.
Самостоятельная работа №4
по теме « Иррациональные уравнения и неравенства»
Решите уравнение относительно х:(х – а)х-1 = 0.
Решите уравнение относительно х:х2-1 = а – х.
Решите неравенство относительно х: х-2 х-а≥ 0.
Самостоятельная работа №5
по теме « Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
32х+2- 6х+1 + а∙ 4х=0 имеет единственное решение.Решите неравенство log2х-1х-3+ log2х-2х-3 < а.
Итоговая контрольная работа
1. Решите неравенство ах – 1 < 0.
а) При каких значениях а решением неравенства является х = 2?
б) При каких значениях а любое решение данного неравенства меньше 1?
в) При каких значениях а любое число, модуль которого меньше 1, является решением данного неравенства?
2. Определите значения а, при которых график функции у = 2х2 + х + а лежит выше оси абсцисс.
3. При каких значениях параметра а корни уравнения ах2 + х + 1 = 0 удовлетворяют условию х≤1?4. При каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение х+2 – 2х+8 = ах ?5. При каких значениях а не имеет решений неравенство
logха-х <1?
6.При каких значениях в система уравнений имеет: единственное решение, бесконечное множество решений, не имеет решений
в+3х-2у=5,в+1х+у=7.