Методическое руководство по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике по теме: «Векторы на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическое руководство
по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
по математике
по теме: «Векторы на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости»

для студентов 1 курса
по специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин

Председатель ПЦК
_____________
Векторы на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.
Вектором называется направленный отрезок.
Обозначения: a, , .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
Замечание. Таким образом, мы изучаем так называемые свободные векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно. Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединенными (связанными) и используются в некоторых разделах физики.
Линейные операции над векторами.
Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.
80010013017500114300130175001143001301750080010013017500 b
1143001778000а+в а
Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Свойства сложения.
1.a + b = b + a.
22860067119500914400671195005715006711950022860014712950022860067119500Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу и рассмотрим параллелограмм
AOBC. Из определения и треугольника ОВС следует, что ОС=b+a, а из треугольника
В С ОАС – ОС=а+b. Свойство 1 доказано.
в а+в=в+а Замечание. При этом сформулировано еще одно правило
О а А сложения векторов – правило параллелограмма: сумма
векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.
2. (a+b)+c=a+(b+c).
Доказательство. Из рисунка видно, что
571500539750022860053975001485900539750057150053975002286005397500 A b В (a+b)+c=(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,
a а+в с a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.
2286009398000 О а+в+с С Свойство 2 доказано.

3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.
Доказательство этого свойства следует из определения сложения.
3.Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a/ такой, что а+а/=О.
Доказательство. Достаточно определить a/ как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.
Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.
6858001524000114300586740001143001524000 a a-b
в

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.
Свойства умножения вектора на число:
1. k(a + b) = ka + kb.
2. (k + m)a = ka + ma.
3. k(ma) = (km)a.
Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.
Базис и координаты вектора.
Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 +…+ knan,
где ki – числа.
Векторы а1, а2,…,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1a1 + k2a2 +…+ knan = 0.
Если же равенство возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.
Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:
если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.
Свойства базиса:
Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.
Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.
При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А/В/ оси u, где А/ и В/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.
Обозначение: прuа.
Свойства проекции:
Прua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.
При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.
При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.
Замечание. Свойства 2 и 3 назовем линейными свойствами проекции.
Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:
d = Xi + Yj +Zk.
Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.
Замечание 1. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.
Замечание 2. Все, что относится к координатам вектора в пространстве, можно отнести и к координатам вектора на плоскости.
Косинусы углов, образованных вектором с осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.
Свойства направляющих косинусов:
X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.
, , .
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab = |a||b| cosφ .
Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .
Свойства скалярного произведения:
1. ab = |a| праb.
2. ab = 0 a b. 3. ab = ba .
4. (ka)b = k(ab). 5. (a + b)c = ac + bc .
6. a2 = aa = |a|2 , где а2 называется скалярным квадратом вектора а.
7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2},
то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .

8. cosφ = .
Пример.
a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b :
ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.
Векторное произведение векторов, его основные свойства и геометрический смысл.
Будем называть три вектора а,b,c, для которых определен порядок следования, тройкой (или упорядоченной тройкой) векторов.
Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
68580028321000
33147002470150029718002470150028575004127500217170024701500 с с
285750018669000285750072390006858002089150068580094615001028700609600068580060960001143006096000 b a
21717001949450011430019494500 а b

abc – правая тройка abc – левая тройка
Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.
Векторное произведение векторов.
Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:
1.|c| = |a||b|sinφ, где φ – угол между а и b.
2.ca, cb.
3.Тройка векторов abc является правой.
Обозначения векторного произведения: c = [ab], c = ab.
Свойства векторного произведения.
1.[ba] = - [ab].
2. [ab] = 0 a ║ b.
3.Модуль векторного произведения |[ab]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.
Орт еа произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный ( | еа| = 1, еа || a).
1.[(ka)b] = k[ab].
2.[(a + b)c] = [ac] + [bc].
Если в декартовой системе координат a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, то
а×в = [ab] =
Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.
а×в = [ab] = ={-14, -1, 19}.
Примеры на использование векторов при решении геометрических задач. 1. Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a.
Решение.
Обозначим AB=a, AC=b, CD=h, где CDa, D-основание перпендикуляра, опущенного из точки С
C
b h
D a
А B746760188595007467601885950022098001885950010668013773150010668018859500
Рис. 1. на сторону a. По правилу сложения векторов имеем: b + h = AD, h = AD - b. Поскольку AD a, то AD = a.
Найдем значение , используя ортогональность векторовa и h: ah=0 или a( a-b)=0, откуда = ab /a2. Следовательно,h = (ab /a2) a - b.
2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.
Решение.
Имеем: cos = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn = 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = =; a2 = (2m+4n) (2m+4n) = 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b2 = (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos = = = -1/2, = 120o.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.
Решение.
Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= = = = 6, S = 1/2 AB AC. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координатыAC(-5,2,10). ABAC = = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) == -16(2i +k ). ABAC = = 16; S = 8, откудаAD = =.
Линии на плоскости
В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, являются прямыми. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:
1. Общее уравнение прямой:
Ax + By + C = 0.
Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y - yo = k (x - xo),
где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg , где - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.
Уравнение (2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.
3. Уравнение прямой в отрезках:
x/a + y/b = 1,
где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и B(x2, y2 ):
.
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) параллельно данному
вектору a(m, n):
.
6. Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1) имеет вид:
y-y1 = (x-x1 ),
где - параметр пучка.
Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается формулой:
tg = .
Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
Для того, чтобы два уравнения
A1 x + B1 y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2 = 0,
задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны: A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.
Уравнения задают две различные параллельные прямые, если
A1/A2 = B1/B2 и B1/B2 C1/C2.
Прямые пересекаются, если A1/A2 B1/B2.
Пример 1. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o.
Решение
Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tg = . Так как угловой коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол = 45o, то имеем уравнение для определения k:
(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y + 2 = 0 и 5x + y - 16 = 0.
Пример 2. При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?
Решение.
Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t: t1 = 2, t2 = -2/3.
Задание
Предварительная подготовка к выполнению работы
При подготовке к работе необходимо изучить материал лекции на данную тему и ответить на следующие вопросы:
1. Какими способами можно задавать уравнения прямой на плоскости 2. Каким образом понятие вектора можно использовать при определении характеристик прямой и отрезка
Самостоятельная внеаудиторная работа
Самостоятельная работа по решению следующей задачи по вариантам, соответствующим порядковому номеру в журнале:
Варианты индивидуальных заданий
Задача 1.
Даны координаты вершин треугольника АВС
Определить, используя свойства векторов и уравнения прямой:
1) уравнения и длины сторон;
2) углы треугольника;
3) уравнения медиан треугольника;
4) уравнения высот треугольника;
5) площадь треугольника.
Сделать рисунок.
1.A(0;1) ,B(-1;5), C(-2;4)16. A(-5;1), B(-10;-5), C(-8;9)
2. A(-10;10), B(1;9), C(1;3)17. A(5;2), B(-4;2), C(-5;5)
3. A(-5;0), B(-10;6), C(-8;10)18. A(1;9), B(8;10), C(9;6)
4. A(3;8), B(9;10), C(10;7)19. A(5;3), B(-3;2), C(-5;5)
5. A(3;1),B(-9;6),C(-10;10)20. A(2;-4),B(-4;9),C(-8;6)
6. A(-6;6),B(-10;7),C(-8;10)21. A(-2;4),B(-2;-4),C(-6;-5)
7. A(-10;5),B(-9;10),C(-4;9)22. A(4;8),B(7;-4),C(2;-7)
8. A(-2;5),B(1;1),C(6;2)23. A(-10;-10),B(-4;5),C(6;7)
9. A(-7;-10),B(-6;-5),C(-2;-4)24. A(0;1),B(7;-3),C(6;-6)
10. A(-6;2),B(2;10),C(6;7) 25. A(1;9),B(8;10),C(10;7)
11. A(6;7),B(6;2),C(1;1)26. A(1;-8),B(3;1),C(7;2)
12. A(-2;-9),B(-10;5),C(-9;10)27. A(-2;10),B(5;7),C(4;4)
13. A(-2;0),B(4;5),C(2;-8)28. A(-3;10),B(-7;-5),C(-5;-1)
14. A(-4;-8),B(-5;2),C(-2;5)29. A(2;-2),B(6;-8),C(4;-10)
15. A(-7;3),B(-2;2),C(-2;-1)30. A(3;-5),B(-5;2),C(-5;7)
Содержание отчета
В тетради для внеаудиторных самостоятельных работ необходимо:
указать тему самостоятельной работы,
указать цель работы,
указать порядок выполнения заданий,
оформить решение задачи в тетради
Используемая литература
1.Математика (Книга 1) Колягин Ю.М. и др..М.: ОНИКС, 2008
2.Математика (Книга 2) Колягин Ю.М. и др.М.: ОНИКС, 2008
3.Практические занятия по математике Богомолов Н.В.М.: Высшая школа,2009