Урок по математике «Логарифм. Логарифмдік функция. Логарифмдік те?деулер мен оларды? ж?йелері»

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 ЛОГАРИФМ. ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ОЛАРДЫҢ ЖҮЙЕЛЕРІ Альсейтов Амангелді Гумарович БҚО Теректі ауданы дық Үміт лингвистикалық гимназиясының мұғалімі Бұл мақалада оң санның логарифмінің анықтамасы мен қасиеттері, логарифмдік функцияның анықтамасы мен қасиеттері, логарифмдік теңдеулердің түрлері мен оларды шешу тәсілдері және логарифмдік теңдеулердің жүйелері қарастырылады. Логарифм тақырыбы 11 - сыныптың материалы екендігін және бұл сыныпта материалдың өте көптігін, сонымен қатар оқушы Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалу барысында математикадан басқа тағы төрт пәнге дайындалуға тиісті екендігін ескерсек, тақырыпты бұлай жинақтап қарастырудың қажеттілігі өзінен - өзі көрініп тұрғандай. 1 Логарифм және оның қасиеттері Оң санының не гізі бойынша логарифмі деп санын алу үшін а санын дәрежелеу керек болатын с дәреже көрсеткіші аталады: а – логарифм негізі, – логарифмденетін сан. – негізгі логарифмдік теңбе - теңдік . 10 негізі бойынша алынған логарифм ондық логарифм деп ата лып, былай белгіленеді: 2 е негізі бойынша алынған логарифм натурал логарифм деп аталып, былай белгіленеді: Жаңа негізге көшу формуласы : Дербес жағдай: Егер болса , онда Ондық және натурал логарифмдер арасындағы байланыстар : саны ондық лог арифмдердің модулі деп аталып, әрпімен белгіленеді: Логарифмдердің қасиеттері 1º. 2º. 3º. 4º. 5º. 6º. 7º. 8º. 9º. 10º. 3 2 Логарифмдік функция және оның қасиеттері мұндағы , түріндегі функция логарифмдік функция деп аталады . 1º. Анықталу облысы: , яғни . 2º. Өзгеру облысы мәндерінің облысы: , яғни . 3º. Функция жұп та емес, тақ та емес. 4º. Функция п ериодты емес. 5º. Функция ш енелмеген. 6º. Функция аралығында үзіліссіз. 7º. Функция жағдайында бүкіл сан түзуінде өседі, жағдайында бүкіл сан түзуінде кемиді. 8º. Функцияның нөлі: , яғни г рафигі өсін нүктесінде қияды. 9º. Графигі өсін қимайды. 3 Қарапайым логарифмдік теңдеулер (1) 4 түріндегі теңдеу л огарифмдік теңдеу деп аталады. Бұл ең қарапайым логарифмдік теңдеу. Бұл түрдегі теңдеулер логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы тікелей шешіледі. Теңдеудің бір ғана түбірі бар: . Мысалы: . Логарифмдік теңдеулерді логарифмнің қасиеттерін қолданып түрле ндіру барысында бөгде түбірлердің пайда болуы да, берілген теңдеудің түбірлерін жоғалтып алу да орын алуы мүмкін. Сондықтан қолданылатын түрлендірулердің мәндес түрлендірулер болуын қадағалап отыру қажет. (2) түріндегі теңдеу де қарапайым логарифмдік теңдеулер қатарына жатады да, теңдеуімен мәндес болады. 3.1. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , . Жауабы . 5. 3.2. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , . Жауабы . , . 3.3. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. Бұл теңдеу жоғарыдағы қарастырылған екі теңдеуге қарағанда күрделірек сияқты болып көрінгенімен, шын мәнінде олай емес. Мұнда логарифмнің анықтамасын екі рет қо лданамыз: , , , . Жауабы . , . 5 (3) түріндегі теңдеу де қарапайым логарифмдік теңдеулер қатарына жатады да, немесе немесе т еңдеуімен мәндес болады. Теңдеулердің және жағдайында бір ғана түбірі болады: ; және жағдайында бірге тең емес кез келген нақты сан түбірі бола алады; және жағдайында түбірлері жоқ; және жағдайында түбірлері жоқ. 3 түріндегі теңдеудің 1 түріндегі теңдеуден айырмашылығы – соңғы теңдеудің негізінің айнымалы болуында. Соған қарамастан 3 түріндегі теңдеу 1 түріндегі теңдеу сияқты логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы тікелей шешіледі. Мұнда тек логарифмнің негізі бірге тең емес оң са н болатындығын қадағалап отыру керек. 3.4. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , Жауабы . 3. 3.5. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , . Жауабы . 6. 4 Логарифмдік теңдеулердің нег ізгі түрлері және теңдеулері логарифмдік теңдеулердің негізгі түрлеріне жатады да, сәйкесінше 6 1. (4) және 2. (5) жүйелерімен мә ндес болады. Бұл түрлерге жататын теңдеулерді шешудің мысалдарын келесі пунктте келтіретін боламыз. 5 Логарифмдік теңдеулерді шешу жалпы ережелер Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу барысында анықталу облысына ерекше мән беру керек. Қарапайым жағдайларда логарифмдік теңдеуді түріне келтіреді, бұдан болады. Ол үшін түрлендірулерді келесі ретпен орындайды: 1 анықталу облысын АО табады. Мысалы, өрнегі үшін анықталу облысы былай жазылады: ; 2 барлық логарифмдерді бірдей негізге келтіре ді; егер осы негіз бүтін жай сан болса, онда әрі қарайғы барлық есептеулер қарапайымырақ болады; 3 теңдеудегі логарифм емес қосылғыштардың барлығын негізгі логарифмдік теңбе - теңдікті, яғни қасиетін теңбе - теңдігін қолданып, логарифмге келтіреді; 4) қасиетін қолданып барлық көбейткіштерді логарифм астына енгізеді; 7 5 логарифмнің 3º және 4º қасиеттерін, яғни және теңдіктерін қолдана, отырып логарифмдердің қосындысы мен айырмасын бір логарифмге келтіреді; осы қадамдардың нәтижесінде берілген теңд еу түрін қабылдайды. Енді логарифмдік теңдеулердің әр түрін жоғарыда айтылғандарды қолданып шешу тәсілдерін көрсетейік. (6) түріндегі теңдеулер , , ... , (6') теңдеулер жиынтығымен мәндес; мұндағы , , ..., – теңдеуінің барлық түбірлері. 5.1. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , : , , , ; , , , . Жауабы . 100 ; . 5.2. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , ; : , , , ; , , , . Жауабы . . 5.3. Теңдеуді шешіңіз: . 8 Шешуі. , , , , , . Жауабы . , . (7) түріндегі теңдеулер , , ..., (7') теңдеулер жиынтығымен мәндес; мұндағы , , ..., – теңдеуінің барлық түбірлері. 5.4. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , дискриминант , яғни берілген теңдеудің түбірі жоқ. Жауабы . Түбірі жоқ. , , (8 ) түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады. 1 - тәсіл. (8') 2 - тәсіл. (8'') Ескерту. және теңсіздігінің қайсысын шешу қарапайымырақ болса, соған байланысты 8' және 8'' мәндес алмастыруларының бірін қолданады. 9 5.5. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , . Жауабы . 7. 5.6. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , ø. Жауабы . Түбірі жоқ. 5.7. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , . Жауабы . , . , (9) түріндегі теңдеулерді де мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады. 1 - тәсіл. (9') 2 - тәсіл. (9'') Ескерту. және теңсіздігінің қайсысын шешу қарапайымырақ болса, соған байланысты 9' және 9'' мәндес алмастыруларының бірін қолданады. 5.8. Те ң деуді шеші ң із: . 10 Шешуі. теңсіздігін шешу теңсіздігін шешуден жеңілірек болғандықтан, берілген теңдеу аралас жүйесімен мәндес болады. Оны шешеміз: , , . Жауабы . 6. (10) түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға болады: (10') 5.9. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , ø. Жауабы . Түбірі жоқ. (11) түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады. 1 - тәсіл. (11') 2 - тәсіл. 11 (11'') 5.10. Тең деуді шешіңіз: . Шешуі. теңсіздігін шешу теңсіздігін шешуден жеңілірек болғандықтан, берілген теңдеу аралас жүйесімен мәндес болады. Оны шешеміз: , , . Жауабы . 3. (12) түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады. 1 - тәсіл. (12') 2 - тәсіл. (12'') 12 , , , (13) түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға болады. (13') 5.11. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. . , , , , , Жауабы . 5. 5.12. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , . Жауабы . 9. , , (14) түріндегі теңдеулерді онымен мәндес (14') түріндегі теңдеулермен, ал оларды өз кезегінде кел есі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға болады: (14'') 5.13. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. . , , , , , ø. Жауабы . Түбірі жоқ. 13 , , (15) түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйелердің бірімен алмастыруға болады: (15') немесе (15'') 5.14. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , . Жауабы . 12. , , (16) түріндегі теңдеу (16') теңдеуімен мәндес және келесі онымен мәндес аралас жүйелердің бірімен алмастыруға болады: (16'') немесе 14 (16''') 5.15. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , , Жауабы . Түбірі жоқ. 5.16. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , сондықтан , , , , , , , . Жауабы . 6; 14. 5.17. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , , , , . 15 Жауабы . 0,99. 5.18. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , . Жауабы . 1,5. 5.19. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , . Жауабы . 3. 5.20. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , . Жауабы . . 6 Логарифмдік теңдеулердің жүйелері 6.1. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: . Шешуі. , , , , . Жауабы . (3,5; 1,5). 6.2. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: . Шешуі. , , . 16 Жауабы . (3; 1), ( - 1; - 3). 7 Күрделірек логарифмдік теңдеулерді шешу 7.1. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі . Негізгі логарифмдік теңбе - теңдіктен , яғ ни , . Жауабы . . 7.2. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. . , , , , , , Жауабы . 9. 7.3. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , . Жауабы . 3. 7.4. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. 1 - тәсіл. Екі жағынан да ондық логарифм алып, логарифмнің қасиеттерін қолдана отырып, берілген теңдеуді квадраттық теңдеуге келтіреміз: , , . Оны шешеміз: немесе , бұдан немесе . 2 - тәсіл. алмастыруын е нгізсек, онда және берілген теңдеу түріне келеді. Дәрежені дәрежелегенде дәреже көрсеткіштері көбейтілетіндігін және екендігін ескерсек, онда теңдеу 17 түріне келтіріледі және бұдан квадраттық теңдеуін аламыз; оның түбірлері және . Сондықта н берілген теңдеудің түбірлері және . Жауабы . 0,1; 100. 7.5. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. алмастыруын енгізейік, онда , және теңдеу түріне келеді. Оны шешеміз. , , , , , , . Жауабы . 6; 1/6. 7.6. Теңдеуд і шешіңіз: . Шешуі. . алмастыруын енгізейік. болғандықтан, теңдеу түріне келеді. болғандықтан логарифмнің қасиетін қолданып теңдеуді түрінде жазып, алмастыруын енгіземіз, сонда квадраттық теңдеуі шығады. , , , , . Жауабы . - 1/10. 7.7. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , , Жауабы . 4. 7.8. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , . Жауабы . . 7.9. Теңдеуді шешіңіз: . 18 Шешуі. , , , , , , , . Жауабы . 10. 7.10. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , ; 1) , , , , , 2) , , , , . Ж ауабы . , , , . 7.11. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. Бұл түрдегі теңдеулерді екі тәсілмен шешуді көрсетеміз. 1 - тәсіл жаңа айнымалы енгізу тәсілі – алмастыру тәсілі. алмастыруын енгіземіз. Сонда болады да, берілген теңдеу түріне келеді. Оны шешеміз. , , ; , . 2 - тәсіл логарифмдеу тәсілі. Берілген теңдеудің екі жағын да а негізі бойынша логарифмдейміз, сонда , , , , . Соңғы теңдеуді шешеміз. 1) , , ; 2) , , . Жауабы . 1, . 7.12. Теңдеуді шешіңіз: . 19 Шешуі. , , , , , , . Жауабы . 4. 7.13. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , , , . Жауабы . 4. 7.14. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , ; , , , . Жауабы . 1/27; 9. 7.15. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , , , , . Жауабы . 9; 1/9. 7.16. Теңдеуді шешіңіз: . Шешуі. , , 20 , , , . Жауабы . 16. Қолданылған әдебиеттер тізімі: 1. Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жо ғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу - әдістемелік құрал. – Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. – 465 б. 2. Математика – 2004 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлттық тесті леу орталығы РМҚК, 2004. – 256 б. 3. Математика – 2005 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлттық тестілеу орталығы РМҚК, 2005. – 256 б. 4. Математика – 2007 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлттық т естілеу орталығы РМҚК, 2007. – 248 б. 5. Математика – 2008 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлттық тестілеу орталығы РМҚК, 2008. – 240 б. 6. Математика – 2011 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлтт ық тестілеу орталығы РМҚМ, 2011. – 176 б. 7. Математика – 2012 // Математика пәні бойынша оқу - әдістемелік құрал. – Астана: Ұлттық тестілеу орталығы РМҚК, 2012. – 134 б. 8. Альсейтов А.Г. Математика талапкерге: Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалуға ар налған тест нұсқалары. – Орал, 2012. – 220 б. 9. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы анықтамалық материалдар. – Орал, 2012. – 156 б. 10. Альсейтов А.Г. Математика: Ұлттық бірыңғай тестілеу емтихандарында кездесетін күрделілігі жоғары, таңдам алы және стандартты емес есептер. – Орал, 2013. – 332 б.