Та?ырыбы: Аны?талу облысы (11 класс)

Анықталу облысы
Функцияның анықталу облысын білу үшін функция ұғымын жете білу қажет. Функция ұғымына тереңдеу үшін қажетті математикалық ақпараттар қорын жинақтау мен қатар ақпараттар қорынан қажетті ақпаратты тиісті жерде қолдана білу мен қатар кәдеге жарата білу шеберлігі бойда дағды болып қалыптасуы шарт.
Қажетті математикалық ақпарат қорында кем дегенде, натурал сандар және нөл,теріс сандар, бүтін сандар, рационал сандар, жай бөлшек және ондық бөлшек,иррационал сандар,нақты сандар, комплекс сандар табиғаты және сандар табиғатына байланысты есептеулер (қосу,азайту,көбейту,бөлу,дәрежеге шығару, дәрежелі түбір таңбасынан шығару,логарифмдеу, сан түзуі,декарттық координаталар жүйесі,жазықтық және кеңістіктегі қозғалыс және салыстырмалылық ұғымы) жүргізе аларлық пәндік білім жүйесі болуы тиіс.
Қазақ тілінде 42 әріптің көмегімен жүздеген мың томдық туындылар жазылды. Музыка саласында жеті нотаға сүйене отырып жер шарында композиторлар миллиондаған музыкалық шығармалар жазған. Сондай-ақ сан табиғаты цифрларға негізделген. Миллиардтаған есептеулер 10 таңба-цифрлар арқылы жүргізіледі. Цифрлар- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9- таңбалары арқылы беріледі.
Натурал сандар санақта қолданылатын болғандықтан 1-ден басталып жоғарыда цифрлардың көмегімен таңбаланады. Мысалы: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,... натурал сандар ақырсыз(шектеусіз) болып келеді. Миллиардқа дейін санау үшін (үздіксіз күні-түні санағанда ) 32 жылдай уақыт кетеді.
Нөл натурал сан болып табылмайды. Сондықтан математика пәнінде нөл және натурал сан екі бөлек айтылады. Натурал сандарды сипаттауға қолданылатын цифрлар- бірліктер деп те айтылады. Бірлік дегеніміз-өзіміз қабылдайтын шартты бүтіннің сандық сипаты. Мысалы электр тогын тасымалдайтын өткізгіш сым бағаналарының арасы 60 метр ,бұл жерде бірлік кесінді (бүтінді сипаттайтын шама 1 метр) ретінде 1 метрді шартты түрде қабылданады. Отардағы қой санағында бірлік (бүтіннің сандық сипаты) ретінде бір қой алынады. Үйірдегі жылқы санағында бірлік (бүтіннің сандық сипаты) ретінде бір жылқы шартты түрде алынады. Бірлікті- бүтін деп қабылдау есептеуді жеңілдететіндіктен шартты түрде өзіміз қабылдаймыз.
Нөл саны –санақ басы ретінде шартты түрде қабылданады. Нөлді бар болмаудың эквиваленті деп те қарастыруға болады. «Бар болмау (жоқ ұғымы)-бар болудың алғы шарты»-деп неміс философы Гегель тұжырымдаған. Олай болса бар болу үшін алдымен бар болудың алғы шарты болуы керек. Теріс сандар ұғымы тіршілік гармониясынан келіп шыққан. Шығыс ойшылдары «мәңгілік рух» поэтикалық түйіндерінде суреттелетін штрих математика пәнінде оң және теріс сан ұғымдары арқылы беріледі.
Ондық бөлшектер,иррационал сандар , комплекс сандар шексіздік ұғымын толықтыруға негіз болып саналады.
Анықталу облысы аргументтің(тәуелсіз айнымалының) табылмайтын аймағын не орынының сылып тастау арқылы анықталады. Мысалы: Х У (1728-1801жж) –деп көрсетілсе, дәп сол-Х У бүгінгі қоғамдағы тірі адамдардың арасынан іздеудің қажеті жоқ. 1728 жылдан бұрынғы жылдар және 1801 жылдан кейінгі жылдар ХУ-тің өмір сүру кезеңі емес деген тұжырым тура болады.У=6х+7-функциясының анықталу облысын табайық: Тәуелсіз айнымалы хͼХ (Х жиынына тиісті)-болады. Тәуелсіз айнымалы Х жиынының кез келген сандық мәні бола алатындықтан У=6х+7-функциясының анықталу облысы хεR –болады.
У=х-12х-1-функциясының анықталу облысын табу керек болсын;
Бұл жерде х-1 және 2х-1 функцияларының анықталу облысын тауып, анықталу облысы жиындарының қиылысуын жауап ретінде қабылдау керек.
Х-1 функциясының анықталу облысы: х нақты сандар жиынының кезкелген мүмкін болған сандық нүктесіне айнала алады. 2х-1 функциясы бөлшектің бөлімінде болғандықтан бөлшектің қасиеті бойынша функцияның мәні нөлге тең бола алмайды. 2х-1≠0 болғандықтан: х≠0,5 .Функция бөлшек түрінде берілгендіктен бөлшектің қасиеті орындалады. Сайып келгенде бөлшектің қасиеті негізінде У=х-12х-1-функциясының жауабы негізделеді. Жиындардың қиылсуы бойынша А жиыны х-1 функциясының анықталу облысы да, В жиыны 2х-1 функциясының анықталу облысы болсын. ВεА жағдайы орындалатындықтан жауабы В жиыны болады. В жиыны х≠0,5 немесе
хε(-∞;0,5)ᴗ(0,5;+∞). Жауабы -хε(-∞;0,5)ᴗ(0,5;+∞).
у=х2-4х⌃2+1 -функциясының анықталу аймағын табайық. Бұл жерде бөлшектің алымында түбірден шығарылатын функцияның анықталу облысын, бөлшектің бөліміндегі толымсыз квадраттық функцияның анықталу облысын жеке-жеке тауып , анықталу облыстары жиындарының қиылысуын есептің жауабы ретінде қабылдау керек.
Бөлшектің бөліміндегі функция түбір астындағы функция болғандықтан аргументтің қабылдай алатын мәні х2-4≥0 теңсіздігінің шешімін іне эквивалентті жиын болатындықтан (х+2)(х-2)≥0 нөлдері х=2; х=-2. Функция нөлдерінде таңба тұрақтылығы өзгеретіндіктен және нөлдерде нөлге айналатындықтан таңба тұрақтылығы аралығына назар салуымыз қажетті. Олай болса, (-∞;--2]- аралығында функция оң мәнді қабылдайды. [ -2;2]- кесіндісінде функцияны теріс мәнді қабылдайды. [2;+ ∞)-аралығында функция оң мәнге ие болады. Анықталу облысы аргументтің (-∞;-2] ᴗ [2;+ ∞) –аралығында жататынын анықтап алған соң, бөлшектің бөліміндегі у=х⌃2+1 -толымсыз квадрат функциясының нөлдерін іздейміз дискриминанттың мәні нөлден кіші яғни толымсыз квадрат теңдеудің түбірлері болмайды сондықтан бұл толымсыз квадрат теңдеудің мәні барлық уақытта оң мәнді қабылдайды, Сондықтан:
хε(-∞;+∞) –аралығында анықталатындықтан Бөлшектің анықталу облысы В және жиынының қиылсуында белгілі болатын аргументтің мәндері яғни ол төмендегіше көріністе болады. х ϵ (-∞;-2] ᴗ [2;+ ∞)
Логарифмдік функцияның анықталу облысы туралы сөз қозғамас бұрын функцияның өзі туралы мағлұматымыз болу қажет. Логарифмдік функция дәреже ұғымымен тікелей байлагысты. Екінің үшінші дәрежесі сегіз екені белгілі, Логарифм арқылы жазар болсақ: Екі негізінде логарифм сегіз үшке тең деп көрсетер едік. Логарифм функциясында анықталу облысы табуда аргументтің х > 0 шарты қанағаттандырылуы қажетті және жеткілікті деп табылады. а≠0, а≠1 болғанда х > 0 анықталу облысы болып табылады. Логарифмның аргументі х⌃2+1 на тең болсын делік онда аргументтің кез келген мәнінде функцияның мәні болады. Логарифмнің аргументі х2-4-толымсыз квадраттық теңдеуіне тең болса анықталу облысы
х2-4>0 -теңсіздігінің шешімдері анықталу облысын айқындайды.
Анықталу облысының, теңсіздіктер, логарифмдік теңсіздіктер шешімдерін тапқанда анықталу облысының маңызды рөлі бар.
Анықталу облысының аргументтің өзгеру аясын нақтылайтындықтан математика пәнінде функцияның анықталу облысын математикалық нүктенің қозғалыс қадамын жасаудың алғы шарты деуге де болады.

Координаталық жазықтық
Координаталық жазықтықтық функциялардың графиктерін айқындауда екі айнымалысы бар cызықтық теңдеулерді шешуде, екі айнымалысы бар сызықтық емес теңсіздіктер жүйесін шешуде, интеграл есебінде маңызды рөл атқарады.
Координаталық осьтер тік бұрыш жасап қиылсатындықтан жазықтық төрт ширеккке бөлінеді. Жазықтықтың ширектерге бөлінуіндегі реттілік оңнан солға қарай (диірменнің айналу) бағыттың алынғандығы шығыс философиясының негізінде жатыр. I ширекте сандар жұбы (х;у) х ˃ 0; у ˃0 оң нақты сандар болып келеді. А(5;4) нүктесінің орны -бастапқы О(0;0 нүктесінен әуелі х өсімен (абцисса) 5 бірлік кесінді шамасында оңға жылжып соң (5;0 ) нүктесінен х=5 түзуінің бойымен у өсіне параллель бағытта жоғары 4 бірлік кесіндісінің шамасындай жылжып барып тоқтаған математикалық нүктенің соңғы күйін бастапқы нүктемен салыстырмалы түрде сипаттайды. II ширекте орналасқан сандар жұбы х ˂ 0,у˃0 шартын қанағаттандыратын нақты сандар жұбы болып табылады.Бұл ширектегі сандар жұбын бейнелеу үшін модуль ұғымын білудің маңызды екенін айта кету орынды. I-ХI=Х теңдігінің орындалатынын I-Х I –шамасы бастапқы нүктеден –х нүктесіне дейін қанша бірлік кесінді өлшеп салынғандығын білдіретін модуль таңбасы астындағы х ˂ 0 шамасы мен х ˃ 0 шамасының арасындағы айырмашылық жоқ екендігін, бірлік кесінді (қадам -I0А I=һ ˃ 0) мен нақты сандардың ара қатынасының ара жігін айқындайтын шама модульболып табылатындығын айта кету орынды. В(-4;5) нүктесінің мекен жайын бастапқы нүктемен салыстыра отырып айқындау керек болса, 0(0;0) нүктесінен әуелі солбағытта 4 бірлік кесіндісі шамасында жылжып (-4;0) нүктесінен х=-4 болжалды түзу бойымен у өсіне параллель бағытта жоғары 5 бірлік кесіндісі шамасында жылжып барып тоқтаған математикалық нүктенің соңғы күйін бастапқы нүктемен салыстырмалы түрде сипаттайды. III ширектегі сандар жұбы (х;у) х ˂ 0;у ˂0 болса , IY ширектегі сандар жұбы (х;у) х ˃ 0;у˂0 шартын қанағатттандырады.
Координаталық жазықтық векторлық шамаларға амалдар қолдануда сандық білімдерімізді жүйелеуде маңызды рөл атқарады. Векторды алдын ала белгілі ереже бойынша нүктелерді бір мекен жайдан екінші бір мекен жайға тасымалдайтын тасымал құралы деп те қарастыруға болады.Жалпы Координаталық жазықтық белгілі бір ереже бойынша нүктелерді қазықтаудағы шексіз мүмкіндік жиыны болып табылады.
Санның модулі
Санның модулін ұғыну үшін рационал сан табиғаты, координаталық түзу жөнінде сандық білімі болуы қажет. Натурал сан,нөл және натурал сандарға қарама қарсы сан теріс бүтін сандар-бүтін сандар жиынын құрайды.Бүтін сандар және жай бөлшек,ондық бөлшектер рационал сандар жиынын құраса рационал және периодты емес ондық бөлшектер жиынының біоігуі нақты сандар жиынын құрайды. Кез келген түзуден координаталық түзу 3 шарттың қабылдануымен ( 1) түзудің солдан оңға қарай алынған бағыты бар болуы 2) түзу бойынан санақ басының шартты түрде таңдап алынуы 3) түзу бойынан бірлік кесінді (қадам) ұзындығының таңдап алынуы) ерекшеленеді. Координаталық түзу бойына солдан оң бағытта өсетін бүтін сандарды бірлік кесіндінің (Һ˃0) санақ басынан жасайтын қадам санына сәйкес қоямыз. Сонда санақ басынан оң бағытта Һ қадамның қанша жасалғанын сипаттайтын шама натурал сан болады. Натурал санға қарама қарсы бүтін сандар санақ басынан солға қарай Һ қадамның жасалғанына сәйкес қойылатын нүктелерге сәйкестендіріледі. Санақ басынан -100 санына дейін қанша қадам жасалғанын білдіретін шаманы I-100I- модуль таңбасы арқылы сипатталады. I-100I-шамасы –санақ басынан солға қарай -100 санына дейін қанша қадам жасалды дегенді білдіреді. I100I –шамасы санақ басынан оңға қарай 100 санына дейін қанша қадам жасалғанын білдіреді. Сонымен модуль дегеніміз бірлік кесіндіге еселі шама болып ( I-100*ҺI Һ-бірлік қадам) болып табылады
Зенонның пародоксі және үздіксіздік
Ғалымдардың пайымдауынша математика-ежелгі пән. Математика пәні тұрмыс қажеттілігінен туындаған адамзат қоғамы үшін мәні зор әрбір формуласы ақиқатты айқындайтын даму тарихы шиеленіске толы көп сапалы ғылым дәрежесіне көтерілген пән.
Бүтінді бүтінге қосқанда екі бүтін болатыны екі жарты бір бүтіннен көп бұрын белілі болған. Бір бүтінді бір бүтінге қосқанда екі бүтін болатының пайымдағанша заттардың түсіне қарай сынына қаратай тану (түстеу) дағдысы қалыптасқан.
Әу баста тұрмыс қажеттілігнен туындаған пән жылдар өте абстракциялық ұғымдарға негізделген ғылым болып қалыптасқан. Абстракт ұғымы негізсіз ,дерексіз, төркінсіз деп танылғанымен қисынсыздық деп танылмайды.
Математика пәні қатаң логиканы талап ететің бұлжымас ережесі белгілі бір деңгейде белгілі бір аралықта өзгермейтің қисындылығы дәлелденетін ғылым. Қисындылық дегеніміз – белгілі бір аралықта бір ұғым аясында ғана екінші туынды ұғымның пайда болуымен қатар ұғымдардың бір – біріне кереғар пайымдаулар тұжырымдар туғызбай философияфлық заңдылықтар арқылы одан әрі дамытуға болатын көп сапалы үйлесілімділіктің бір тіні. Ол аралық қисындылық және қисындылықты еместегі қисындылық болып екіге бөлінеді. Аралық қисындылық математика ғылымының оның бір саласының бөлімінде орындалатын ережелердің өзара үйлесілімділігі болса қисындылықты еместегі қисындылық бірінші бөлімді терістейтін екінші бір бөлімде де бірінші бөлімде орындалатын ережелердің үйлесімді орындалуы
Фантаст жазушылар қырық өтірікті сапырмай комбинациялық түрлендірулер арқылы болмыста бар болмыстық заттарды түрлендіре отырып құбылыстарды шегіне жеткізе ширықтырып үдету арқылы иллюзиялық туындылыр жасайды. Фантаст жазушы Жюль Верн туындысындағы математикалық формулалар кейін дәлелденген ғарышта ұшу аппаратының траекториясы формулаларының 90 пайызға дәл келетініне ғалымдардың да таң қалған жағдай да болған.
Бұл қисындылық.
Көркем әдебиетте фантаст жазушылар тақырыптық желісін, ғалымдар абстракциялық құбылысты болмыстық құбылыстардан алады. Сондықтан абстракциялық ұғым болмыстық төркінсіздей түйілгенімен қисынды бола алады.
Болмыс дегеніміз - біз көре алатың түйсік сезіміміз арқылы сезіне алатын қоршаған ортамен біз көре алмайтын түйсігіміз арқылы сезінетін және біз көре алмайтың түйсігіміз арқылы сезіне алмайтын тылсым дүние.
Математика ғылымы - қозғалыс күйіне келген әлемдегі құбылыстардың сапалық өзгерістерімен сандық өзгерістері арасындағы белгілі бір үндестігін функционалдық ережелер арқылы санамызға сәулелендіретін ғылым.
Математика ғылымындағы сан табиғаты әр алуандығымен сан қырлылығымен өзіндік диалектикасымен өзіне баурайды.Сан табиғатында жекелігімен өз алдына бір төбе нөл төңірегіндегі филисофиялық тартыс әлі күнге ушықпаса толастамай отырғандығы үздіктілік пен үздіксіздік шектілік пен шексіздік категорияларының сан табиғатындағы өзара үйлесімділігі туралы әңгіме өрбітудің ғасырлар бойғы жалғастығы математика ғылымының дамуына көп үлесің қосты.
Нөл ұғымын математикаға енгізген орта азиялық ғалым Мұғаммед Әл-Хорезми болды. Бірдей сандарды азайтқанда ештеңе қалмаса болар-болмас дөңгелекшені жазу керек цифрларды жазғанда да дөңгелекше жазылады егер жазылмаса сандар кеміп қалады немесе біріншінің орнына екіншіні алып қоюымыз мүмкін дейді. Штифель нөл оң сандар мен теріс саңдардың шекарасы десе кейбір ойшылдар нөл мен шексіздік кереғар ұғымдар деп те тұжырым жасайды. Орыс ғалымдары нөл дегеніміз толыққанды "жоқ" деген ұғымды бермейді деп сөз тергейді. Неміс филисофы Гегель "ештеңе" бар болудың алғы шарты деп тұжырым жасайды. Физиктер шексіз білінушіліктен туындайтын қиындықты бәсеңдету үшін шартты ұғым минимальды ұзындық "форм фактор" енгізуге көңіл аударуда. Бір бүтіннен бір бүтінді шегергенде "ештеңенін" қалмауы емес бар болудың алғы шарты "ештеңенің" қалуы деп ұйғару орынды. Бар болудың алғы шарты шексіз кіші шама болмақ. Шексіз кіші шама дискреттіліктің болмақ.
Дискреттілік сан табиғатына тән деп танылатын үздіксіздікті терістейді.Алайда дискреттілікпен үздіксіздік бір-бірін толықтырады. Мәдениет қайта өндеу көшіру арқылы дамитындықтан ғылыми мәдениетте баяғыны өндеу арқылы дамиды. Сәл кем шегініс жасалық О.А.Жәутіков "Математиканың даму тарихы" еңбегінде дискреттілікті сан табиғатына тән үздіксіздікті сан табиғатына тән емес деп дәлелдегісі келгендердің бірі Зенон туралы былай дейді;
-Зенонның айтуы бойынша үздіксіз қозғалыс мүмкін емес өйткені үздіксіз қозғалысты өрнектеуге болмайды сондықтан оны біз көзге елестете алмаймыз. Бұған оның келтіретін дәлелі мынау "қозғаушы дене көзделген нүктеге барып жетуден бұрын ол екуін бөліп тұрған жолдың жартысын жүріп өтуі керек жолдың ортасына барып жетуден бұрын ол осы жолдың бір ширегін өту керек қой бірақ ол бұдан бұрын осы ширектің ортасына жетуі керек міне сонан әрі қарай бұл процесс шексіздікке дейін созыла беруі керек. Олай болса дене бір нүктеден екінші нүктеге барып жетуі үшін шексіз көп жол жүріп өтуі керек ал мұндай шексіз көп жолды санаулы уақыттың ішінде жүріп өту деген мүмкін емес"
Міне осы дәлелдемесіне сүйеніп Зенон; "Желаяқ Ахиллес те қыбырлаған тасбақаны ешуақытта қуып жете алмайды" дейді. Өйткені қашан Ахиллес тасбақамен екуін бөліп тұрған арнаны жүріп өткенше тасбақа жолдың бір жеріне барып жетеді; ал Ахиллес бұл жерге келіп жеткенше тасбақа тағыда біраз жерге озып кетеді міне бұл процесс осылай шексіз созыла береді. Сөйтіп Ахиллес тасбақаны ешуқатта қуып жете алмайды. Шынтуайтында Ахиллес тасбақа тұрмақ шапқан атқа да жетер еді.
Бұл жерде гәп "одан әрі бөлінбестік" бар болудың алғы шарты шексіз кіші бір ақ бар шама қарастырылмай Дедикент Кантор Бернштейндер дәлелдеген сан табиғатында үстемдік ететін үздіксіздік тұрғысынан қарастырылатыңдығында. Бұл жерде бірлік кесінділердің қабылдануында әртүрлі ұзындық алынатыны ескерілмеуінде деп білуіміз керек.
"Одан әрі бөлінбестік" дегеніміз не? Қысқаша ой толғайық. Жазықтықтағы геометриялық фигура тікбұрыштың ауданын табуда кесіндінің ұзындығын өлшеуде кеңістіктегі геометриялық денелердің көлемін табуда шартты өлшем бірлік қабылданатынының сыры неде?
Сан табиғатында дискреттіліксіз ешбір амал орындалмайтығында. Ұзындық бірлігі метр ретінде экватордың 40 000 000-нан бір үлгісі шартты түрде Халықаралық бірліктер жүйесінде қабылданған. Көшпенділерде ұзындық өлшемі дауыс жетер жер шақырым қозыкөш жер күндік жер ит өлген жер кездік қарыс сүйем төтелігі бар сияқты шамалық өлшем бірліктері қолданылған. Өлшемнің шартты бірліктері "одан әрі бөліңбестіктің" қолдану аясы мен қисындылығына қарай қабылданады.
Жоғарыда айтылған Зенон парадоксындағы желаяқ Ахиллес ескерілмей қисынсыздық категориясының орын алуында. Желаяқ Ахиллес дискретті уақыттың бір мезетінде дискретті ұзындықтың белгілі бір арақашықтығын басып өтуі үшін "одан әрі мүмкін емес" салыстырмалық принципінің бұзылып ескерілмеуінде болып отыр. Одан әрі бөлінбестік принципі әрбір оқиға үшін әртүрлі қабылданса ғана Зенон парадоксының жауабы табылады.
Ядролық физика саласының білгірі А.Френкель математика физика философия ғылымдарыңдағы пікірталаста Зенон 99 пайыз жеңіске жетеді деп тұжырымдайды. Солай бола тұрса да сан табиғатында 1 пайыздық үлесі бар үздіксіздік ғасырлар бойы үстемдік етуінің сыры неде? Ол одан әрі бөлінбестік принципінің жетерлік дәрежеде ескерілмеуінде.
Лобачевский геометриясына 190 жыл
Лобачевский өзінің ашқан жаңалығын 1826 жылы 11 (20) ақпан Қазан университетінің физика - математика бөлімінің мәжілісінде алғаш рет баяндады. Лобачевский геометриясы ғылымда төңкеріс болды. Бұл күн Ноевклидтік геометриясының туылған күні деп саналады.
Геометрия пәні де арифметика сияқты ежелгі пән болып табылады. Геометрияның пән ретінде қалыптасуы көптеген ғасырларды қамтыды. Геометрия пәні тұрмысымызға өте қажет пән екендігі туралы біздің заманымыздан бұрын - ақ (яғни Ғайса Пайғамбар туылғанға дейін) Евклидтің еңбектерінде айтылған. Евклид өзіне дейінгі пікірлерді қорытып геометрия пәні туралы "Бастамалар" атты 13 кітап жазған. Евклид туындылары әлі күнге дейін маңызын жойған жоқ. Евклидтің туындылары жарыққа шыққан соң екі мың жылдан астам уақыт бүкіл дүние ғалымдары Евклидтік геометриядан өзге геометрия болуы мүмкін емес деп келді.
Алайда Евклидтің 5-постулатын (түзу сызықтарға қатысты аксиома; берілген түзуге параллель екі түзу жүргізуі мүмкін емес) оның басқа аксиомаларын пайдаланып дәлелдеуді көптеген ғұламалар қолға алып көрген. Орыстың ұлы математигі Н.И. Лобачевский 1826 жылы ақпанда "Лобачевский геометриясы" деп аталатын Ноевклидтік геометриясын жасап параллель түзулер аксиомасын дәлелдеу мүмкін еместігін көрсетіп берді.
Лобачевский геометриясы негізіне Евклид геометриясының 5-постулаттан өзге аксиомалар түгел жатады. Ал 5-постулаттан төмендегіше өзгертті. "Жазықтықта берілген түзуде жатпайтын берілген нүкте арқылы берілген түзуді қимайтын шексіз көп түзу жүргізуге болады".
1. Лобачевский геометриясында қабылданған жоғарыдағы аксиомадан төмендегі ережелер орынды болады. Жазықтықтағы түзуге түсірілген перпендикуляр мен көлбеу өзара қиылыспауы мүмкін.
2. Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы әрбір үшбұрыш үшін әртүрлі болады және әрқашан 2d (180 C) тан кіші болады.
3. Төртбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 4d (360 C)-тан кіші болады. Бұдан үшбұрыштардың ұқсас еместігі келіп шығады.
4. Ұқсастық коэффиценті 1-ден өзге болған фигуралар ұқсас емес. Берілген үшбұрышқа өзіне тең болмаған үшбұрышты жасау мүмкін емес.
5. Кез - келген үшбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болмайды.
6. Жазықтыққа берілген түзудің бір жағында жатқан берілген нүктенің геометриялық орны түзу болмайды. (Барлық уақыт қисық болады)
Лобачевский геометриясы болмысты ғылыми түрде нақтылап сәулелендіре ала ма? Бұл үшін біз әуелі нүкте түзу жазықтық дегенде нені түсінеміз деген сұраққа жауап іздеуіміз қажет.
Нүкте түзу жазықтық дегенде мағынасы геометрия аксиомалар жүйесі арқылы анықталатын үш категория ақиқат обьектілерді түсіну керек.
Аксиома дегеніміз не?
Бұл дәлелдеусіз қабылтанатын геометриялық ереже болып нүкте түзу жазықтық және олардың өзара жайласуының геометриялық мазмұнын ашуда негіз етіп алынады. Мектеп геометрия курсында түзу сызық туралы түсінікті қатты керілген жіптен жазықтық туралы түсінік жазық айна бетімен шығарып аламыз. (Бұл сіңісті болған ең қарапайым мысалдар арқылы ұғындыру болып табылады). Ашық дөңгелектің параллель түзудің бойында жатпайтын бірақ қиылыспайтын хордаларының орналасулары түзуде жатпайтын нүкте арқылы бірнеше параллель түзу жүргізуге болатынының қарапайым мысалы болып табылады.
Бір парақ қағазға үшбұрыш сызамыз. Үшбұрыш қабырғалары қарапайым ұғымда түзу сызық бойында жатады. Егер бұл парақты цилиндр үлгісінде қарасақ бұл үлгіде үшбұрыш қабырғалары цилиндр сыртында қисық сызық болады. Бұл қисық сызықтар цилиндр орауын жазғанда түзу сызыққа айналады.
Цилиндр орауын жазғанда пайда болатын түзу сызық бойынша жататын үшбұрыш қабырғалары цилиндрдің геодезис сызығы деп аталады. Кез - келген беттің геодезик сызығы деп беттің екі нүктесінің арасын қосатын ең қысқа сызық айтылады. Егер нүкте үшін цилиндрдің нүктесі түзу сызық үшін цилиндрдің геодезик сызығы қабылданса бұл жағдайда цилиндр беті үшін Евклидтің геометриялық планиметриясы орындалған болады. Ақиқатында да геодезик үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрышқа тең болады. Бұл пікір 5-постулатқа кереғар емес.
Егер нүкте үшін сфераның нүктесі "түзу сызық" үшін сфераның геодезик сызығы қабылданса сферада қандай геометрия орындалатынын Риман геометриясы тұжырымдайды.
Ой қозғау есебі
Баяғыда бір шебер болыпты. Шебер-шебер десе дегендей екен, он бармағынан өнер тамған ағаш ұстасының атағы шартарапқа жайылса керек. Он екі ата Байұлыда Шеркеш руынан бір жас ісмер сол шебердің батасын алайын деп арып-аршып келіп, шәкірт тұрады.
Күндердің бір күнінде Шебер шәкіртіне:- мен бір есеп жәйлі ойлануға мұрса беремін,есепті шешкен күні келіп батамды алып кет дейді. Шкірті ынта қойып тыңдайды.
-«Жас кезімде еден ағаштарын бекітіп жатқанымда 430 см Х 15 см жерге ағаш жетпей қалды, қоймада бір едендік ағаш қалған екен, алайда оның өлшемдері 4 00 см Х 20 см болды. Мен сол ағашты жарып ашық жерді бітедім, қандай өлшеммен ағашты кестім » - деп сұраулы жүзбен шәкіртіне қарапты...
Шәкірт, шебердің есебін шешіпті. Риза болған қарт шебер батасын берген дейді аңыз. Есепті қалай шешуге болады.
Қабыл Әбдірахманұлы