Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

Цели и задачи урока:
1) ввести понятия: «число е», «натуральный логарифм» «экспонента»;
2) формировать умение находить производную показательной функции;
3) развивать логическое мышление, математическую речь;
4) развивать умение выражать свою точку зрения, умение работать в группах;
5) воспитывать интерес к предмету, внимательность, чуткое отношение друг к другу.

Оборудование: интерактивная доска, компьютерная презентация, дидактические карточки.
Ход урока.

Организационный момент. (1 мин.)

Приветствие. Пожалуйста, настройтесь на работу. Сегодня на уроке нам понадобится внимание, умение мыслить логически, строить предположения и доказывать их.

Постановка целей и задач урока. (4 мин.)

Совсем недавно мы познакомились с показательной и логарифмической функциями. Эти функции применяются во многих областях физики, химии и других наук. В частности логарифмы с особым основанием могут характеризовать естественные процессы.
А чем отличаются друг от друга логарифмические и показательные функции? (Основанием. Каждая из этих функций связана с каким-то положительным числом, называемым основанием функции).
Как вы думаете, с чем может быть связана тема нашего урока? (Учащиеся строят предположения).
Сегодня на уроке мы познакомимся с числом, которое может быть основанием показательной и логарифмической функций, а также само по себе играет большую роль в математике, физике и других науках.
Ещё мы вместе выведем формулу производной показательной функции и будем применять полученные знания при решении задач.
Откройте тетради и запишите тему урока.

III. Открытие нового знания.

Исторические сведения. (7 мин.)

(Слайд)
В конце XVI века шотландский любитель математики Джон Непер и швейцарский часовщик, мастер астрономических приборов Иоганн Бюрги, независимо один от другого занимались сравнением арифметической и геометрической прогрессий:
0,
1,
2,
3,
4,

y,
y+1

1,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415

Оба математика искали такое число в качестве основания степени, чтобы второй ряд был «гуще», т.е. разность между двумя соседними членами была по абсолютному значению возможно меньше.
Давайте представим, как же можно было решить эту проблему.
Вопрос: Как вы думаете, при каком значении основания все члены второго ряда равны между собой? (При 13 EMBED Equation.3 1415).
Но для нас важно, чтобы все эти числа не были одинаковыми, а были близки между собой. Какое же основание нужно взять? (Близкое к 1).
Поэтому оба учёных взяли числа, близкие к 1.
(Слайд): 13 EMBED Equation.3 1415 (Бюрги);
13 EMBED Equation.3 1415 (Непер).
Они составили таблицы степеней этих чисел, правда, славу таблицы принесли только Неперу (Бюрги создал свой труд раньше, но опубликовал позднее).
А как вы думаете, какие ещё числа можно было взять? (Например, 13 EMBED Equation.3 1415и т.д.)
В начале XVII века Леонард Эйлер выразил общий вид таких чисел. (Слайд).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
В честь Эйлера число 13 EMBED Equation.3 1415 стали называть буквой «е», но его также называют «неперовым числом».
В XIX веке было доказано, что это число иррационально и не может быть корнем никаких алгебраических уравнений (т.е. трансцендентно).
Число е входит в большое число различных формул самых разных областей науки. Сейчас найдено более 2000 знаков этого числа.
На экране: 13 EMBED Equation.3 1415 (запишите в тетради).
Мнемоническое правило: сначала 2 и 7, потом дважды дата рождения Л.Н. Толстого, затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Введение понятий «экспонента», «натуральный логарифм». (3 мин.)

Задание: составить две функции – показательную и логарифмическую с основанием е. (Выполняют в тетрадях, затем один человек записывает на доске.)
На экране: 13 EMBED Equation.3 1415
Логарифмы по основанию е выражают математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т.е. естественные.

3. Вывод формул производной показательной функции. (12-13 мин.)

Оказывается, что экспонента обладает рядом интересных свойств.
Сейчас мы познакомимся с одним из этих замечательных свойств. Для этого нам необходимо вспомнить некоторые факты о производной.
Задание: Сформулировать определение производной. Объяснить геометрический смысл производной в точке. (Самостоятельное повторение).
(Слайд): По очереди появляются:
А) график функции y=2x и касательной к нему в точке x=0.
Учитель сообщает: Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, примерно равен 350;
Б) график функции y=3x и касательной к нему в точке x=0. Учитель: Соответствующий угол примерно равен 480.
Построение гипотезы: Какой табличный угол заключён между данными? Чему равен его тангенс?
Можно предположить, что существует функция, для графика которой данный угол равен 450.
В) Появляется график функции y=ex и касательная в точке x=0.
Вопрос: Как записать это свойство, используя понятие производной? (строят предположения).
Далее проверяем данные предположения, делаем вывод.
(Слайд): 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. тангенс угла в 450 равен 1.
Вспомним определение производной в точке.
Учащийся у доски: 13 EMBED Equation.3 1415.
В нашем случае попробуйте записать определение производной экспоненты в точке 0 : 13 EMBED Equation.3 1415.
Это равенство нам понадобится сейчас для вывода формулы производной функции в любой точке.
Работаем самостоятельно в группах. У каждой группы алгоритм вывода формулы производной с пропусками. Их необходимо заполнить.

Вывод формулы производной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти приращение функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить отношение : 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти предел такого отношения при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Сделать вывод: 13 EMBED Equation.3 1415.
Или, заменяя x0 на произвольную точку, получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверяем вывод, комментируя по очереди с места и используя презентацию, в которой шаги 1-4 появляются друг за другом. Формулу производной записать в тетрадь.


Вывод формулы производной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
На экране алгоритм вывода с пропусками. На столах такие же алгоритмы с пропусками. Заполняем их вместе, по цепочке, с комментированием. При этом на экране появляются нужные выкладки в пропущенных местах.
Записать число а в виде степени числа е, используя основное логарифмическое тождество: 13 EMBED Equation.3 1415.
Записать функцию 13 EMBED Equation.3 1415, используя п.1: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти производную этой функции, пользуясь формулой производной сложной функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Сделать вывод: 13 EMBED Equation.3 1415.

В тетрадь записать формулу.

IV. Первичное закрепление изученного. (15 мин.)

№ 1
(фронтальная работа).
Найти производные (по одному учащемуся у доски).
А) 13 EMBED Equation.3 1415;
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
(работа в группах, проверка ответов по таблице на слайде)
Г) 13 EMBED Equation.3 1415.
д) 13 EMBED Equation.3 1415;
е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415

Данные во второй строке таблицы появляются по щелчку мыши по очереди. После окончания решений появляется строка с буквами.


а
б
в
г
д
е
ж

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Х
М
А
Д
Е
Р
И


Ошибочным ответам соответствуют буквы, не входящие в ключевое слово

*
*
*
*

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

К
О
С
П



Из букв составляем слово: «Архимед». (Архимед высказал идею упрощения вычислений, сопоставив арифметическую и геометрическую прогрессии, что привело в конечном счёте к открытию логарифмов.)



Информация о домашнем задании. (1 мин.)

Обязательный уровень: П. 41 (учебник Колмогорова), №539(а,г). №540(а,б)
Дополнительно: №144(7,9),с. 87 (учебник Виленкина).

Итог урока. (1-2 мин.)
С какими понятиями вы сегодня познакомились? Чему научились?
Какие трудности возникли на уроке?
Что нужно сделать, чтобы преодолеть эти трудности?

Литература.

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 320с.
Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-5-е изд.-М.: Просвещение, 1996.-288с.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике /М.Я. Выгодский.- М.: Наука, 1998.- 416с.
Елизаветина Т. М. Компьютерные презентации: от риторики до слайд-шоу. –М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. – 240с.
Жарковская Н. История логарифмов: Неперовы логарифмы / Н. Жарковская // Математика. – 2009. - №10. – с. 24-25
Прокопчик Л. Групповая форма работы // Математика. – 2009. - №9. – с. 21-23
Удалова Л. Советы по созданию эффективной презентации к уроку математики // Математика. – 2008. - №15. – с. 23-25
Шень А. Логарифм и экспонента // Математика. – 2009. - №2. – с. 43-46, №3. – с.42-47



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native