Конспект урока по информатике на тему Вероятностный подход к определению количества информации
Тема Урока: "Вероятностный подход к определению количества информации"
Цели урока:
Обучающая – формирование у учащихся понимания вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий; вероятностного подхода к измерению информации;
Развивающая – развивать умение качественно оценивать поставленную задачу для правильного выбора способа решения задачи; развивать самостоятельность; логическое мышления учащихся.Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Оборудование: Компьютер, операционная система Windows 7, проектор.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала (сопровождается презентацией):
Введение понятия “количество информации”
- Можно ли измерить количество вещества и как именно?
- Можно ли определить количество энергии?
- Можно ли измерить количество информации и как это сделать?
Оказывается, то информацию также можно измерять и находить ее количество. Об этом мы и поговорим с вами на уроке.
Существуют два подхода к измерению информации. Один из них называется содержательный или вероятностный.
Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение человеку. Этот подход субъективный (зависит от конкретного человека). Разные люди, получившие одно и то же сообщение, по-разному оценивают количество информации, содержащееся в нем. Это происходит от того, что знания людей о событиях, о которых идет речь в сообщении, различны
Пример. Первоклассник изучает таблицу умножения. Учитель сообщает ему, что 2 х 2 = 4. Первоклассник этого раньше не знал, поэтому такое сообщение содержит для него информацию. А для ученика 5 класса таблица умножения хорошо известна, поэтому из такого сообщения информацию он не получит.
Рассмотрим примеры.
Допустим, вы бросаете монету, загадывая, что выпадет: орел или решка? Есть всего два варианта возможного результата бросания монеты. Причем, ни один из этих вариантов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны.
Так вот, в этом случае перед подбрасыванием монеты неопределенность знаний о результате равна двум. Игральный кубик с шестью гранями может с равной вероятностью упасть на любую из них. Значит, неопределенность знаний о результате бросания кубика равна шести.
Следовательно, можно сказать так: неопределенность знаний - это количество возможных результатов события (бросания монеты, кубика; вытаскивания жребия и пр.)
Пример:
На экзамен приготовлено 20 билетов.
Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытягивании билета? (20)
Равновероятны эти события или нет? (да)
Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытянет билет? (20)
Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (20)
Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (нет)
Вернемся к примеру с монетой. Предположим, что у монеты обе стороны “орел”.
Существует ли неопределенность знаний перед броском в этом случае? Почему? (нет, заранее знаем, что выпадет “орел”)
Получите вы новую информацию после броска? (нет, ответ знаем заранее)
Будет ли информативным сообщение о результате броска? (не будет, поскольку оно не принесло новых и полезных знаний)
Чему равно количество информации в этом случае? (нулю, так как данное сообщение является неинформативным)
Информация при данном подходе рассматривается как знание для человека.
За единицу измерения информации принимается уменьшение неопределенности знаний человека в 2 раза.
Эта единица называется битом и является минимальной единицей информации.
Игра “Угадай число”.
Один из учеников загадывает число из интервала от 1 до 16. Учитель задает вопросы, ученик на них отвечает, и весь класс вместе с учителем заполняют следующую таблицу:
Вопрос Ответ Неопределенность знаний Полученное количество информации
Число больше 8? Да 8 1 бит
Число больше 12? Да 4 1 бит
Число больше 14? Нет 2 1 бит
Число 13? Да 1 1 бит
4 бита
Работа в парах:
Один из учеников загадывает число в интервале от 1 до 8, второй – отгадывает это число, пользуясь приведенной выше стратегией игры.
Учитель сам объявляет количество полученных бит информации – 3, а затем спрашивает у учащихся их результат.
Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации.
N = 2I, где
N — количество возможных вариантов,
I — количество информации.
Если из этой формулы выразить количество информации, то получится I= log2N.
Неравновероятные события.
В жизни же мы сталкиваемся не только с равновероятными событиями, но и событиями, которые имеют разную вероятность реализации.
Например:
1. Когда сообщают прогноз погоды, то сведения о том, что будет дождь, более вероятно летом, а сообщение о снеге — зимой.
2. Если вы — лучший ученик в классе, то вероятность сообщения о том, что за контрольную работу вы получили 5, больше, чем вероятность получения двойки.
3. Если в мешке лежат 20 белых шаров и 5 черных, то вероятность достать черный шар меньше, чем вероятность вытаскивания белого.
Как вычислить количество информации в таком сообщении?
Для этого необходимо использовать следующую формулу:
I = , где р - вероятность отдельного события.
Это формула Хартли.
3. Решение задач (приложение 2)1. В корзине лежат 8 мячей разного цвета (красный, синий, желтый, зеленый, оранжевый, фиолетовый, белый, коричневый). Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что из корзины будет вынут мяч красного цвета?
Решение.
Так как возможности вынуть мяч каждого из возможных цветов равновероятны, то для определения количества информации, содержащегося в сообщении о выпадении мяча красного цвета, воспользуемся формулой I= log2N.
Имеем I= log28= 3 бита.
Ответ: 3 бита.
2. В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?
Решение:
8+24=32 – общее количество шаров в корзине;
8/32 = 0,25 – вероятность того, что из корзины достали черный шар;
I= - log2 0,25 = - (-2) = 2 бита.
Ответ: 2 бита
3. В корзине лежат 32 клубка шерсти. Среди них – 4 красных. Сколько информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?
Решение:
4/32 = 1/8 – вероятность того, что из корзины достали клубок красной шерсти;
I= - log2 (1/8) = - (-3) = 3 бита.
Ответ: 3 бита
4. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?
Решение:
Пусть в коробке было х белых карандашей.
Вероятность того, что достали белый карандаш, равна – х/64.
Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно I= - log2 (х/64) бит, что по условию задачи составляет 4 бита, т.е. имеет место уравнение:
Значит, в коробке было 4 белых карандаша.
Ответ: 4 карандаша
5. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров.
Решение:
Пусть в корзине - х белых шаров
Тогда всего шаров – (х + 18).
Вероятность того, что достали белый шар равна – .
Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно
I= - log2 бит, что по условию задачи составляет 2 бита, т.е. имеет место уравнение:
В корзине было 6 белых шаров.
Следовательно, всего в корзине – (6+18)=24 шара
Ответ: 24 шара.
4. Подведение итогов урока: оценка работы класса и учащихся, отличившихся на уроке.
5.Домашнее задание (приложение 3)1. В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение “Из ящика достали зеленое яблоко” несет 2 бита информации. Сколько яблок в ящике?
2. В концертном зале 270 девушек и несколько юношей. Сообщение “Первым из зала выйдет юноша” содержит 4 бита информации. Сколько юношей в зале.
3. В корзине 15 яблок, 15 груш и 30 слив. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из корзины извлечена груша?
4. В коробке лежат 16 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали фиолетовый фломастер?
Дополнение : Приложение 4
Приложение 2.
Решение задач
1. В корзине лежат 8 мячей разного цвета (красный, синий, желтый, зеленый, оранжевый, фиолетовый, белый, коричневый). Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что из корзины будет вынут мяч красного цвета?
2.В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?
3. В корзине лежат 32 клубка шерсти. Среди них – 4 красных. Сколько информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?
4.В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?
5.В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров.
Приложение 3.
Домашнее задание
1.В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение «Из ящика достали зеленое яблоко» несет 2 бита информации. Сколько яблок в ящике?
2.В концертном зале 270 девушек и несколько юношей. Сообщение «Первым из зала выйдет юноша» содержит 4 бита информации. Сколько юношей в зале.
3.В корзине 15 яблок, 15 груш и 30 слив. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из корзины извлечена груша?
4. В коробке лежат 16 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали фиолетовый фломастер?
Приложение 4.
Теория:
В реальной жизни существует множество ситуаций с различными вероятностями. Например, если у монеты одна сторона тяжелей другой, то при ее бросании вероятность выпадения «орла» и «решки» будет различной.
Сначала разберемся с понятием «вероятность». Введем следующие понятия:
испытание - любой эксперимент;
единичное испытание - испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом (например, подбрасывается монетка, или из корзины извлекается шар);
исходы испытаний - результаты испытания (например, при подбрасывании монеты выпал «орел», или из корзины извлекли белый шар);
множество исходов испытания - множество всех возможных исходов испытания;
случайное событие - событие, которое может произойти или не произойти (например, выигрыш билета в лотерее, извлечение карты определенной масти из колоды карт).
Вероятностью случайного события (p) называется отношение числа благоприятствующих событию исходов (m) к общему числу исходов (n):
p=mn.
Заметим, что вероятность случайного события может изменяться от 0 до 1.
Пример:
В беспроигрышной лотерее разыгрывается 3 книги, 2 альбома, 10 наборов маркеров, 10 блокнотов.
Какова вероятность выиграть книгу?
Решение.
Общее число исходов 2+3+10+10=25; число благоприятствующих исходу событий равно 3. Вероятность выигрыша книги вычисляется по формуле: p=325=0,12.
Заметим, что во многих случаях события происходят с разной вероятностью, а значит формула N=2i не всегда применима.
Вероятностный подход предполагает, что возможные события имеют различные вероятности реализации.
В этом случае, зная вероятность (p) событий, можно определить количество информации (i) в сообщении о каждом из них из формулы:
2i=1p.
Количество информации будет определяться по формуле Шеннона, предложенной им в 1948 г. для различных вероятностных событий:
I=−∑i=1Npilog2pi
или
I=−(p1log2p1+p2log2p2+...+pNlog2pN),
где I - количество информации;N - количество возможных событий;pi - вероятность i-го события.
Качественная связь между вероятностью события и количеством информации в сообщении состоит в следующем: чем меньше вероятность некоторого события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии.
Пример:
В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?
Решение. Общее число исходов: 8+24=32, число благоприятствующих исходу событий равно 8. Вероятность выбора черного шара определяется как p=832=14=0,25
Количество информации вычисляем из соотношения 2i=10,25=114/=4,
значит, i=2 бита.