План урока по теме Числовая окружность на координатной плоскости
План урока.
Тема: Числовая окружность на координатной плоскости.
Цель: а) образовательная – повторить понятие радиан, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, научиться определять значения тригонометрических функций различных углов с помощью единичной тригонометрической окружности;
б) развивающая – развитие логического мышления;
в) воспитательная – воспитание аккуратности при построении чертежей.
Тип урока: повторение и закрепление знаний.
Методы: словесный, наглядный
Оборудование: плакаты «Единичная окружность», «Тригонометр», таблица «Значения тригонометрических функций некоторых углов».
Ход занятия
I Организационный момент
Дома: §11-13, № 13.3
II Актуализация знаний
Радианная мера угла. Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Значения тригонометрических функций некоторых углов можно определить с помощью таблицы:
Можно ли определить с помощью таблицы значение например синус, скажем, 300°, или - 45°?
Глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала вспомним определения четырёх тригонометрических функций:
Sinα=y Cosα=x tgα=yx ctgα=xyСинусом угла α назавается ордината точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол α.
Косинусом угла α назавается абсцисса точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол α.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты к абсциссе точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол α.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повёрнутого на угол α.
Теперь выпишем вот такой ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4
А теперь такой:0, 1, 2, 3, 4И, наконец, такой: 02, 12, 22, 32, 42,
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит 0, на втором месте стоит 12, а на последнем – 1. То есть нас будет больше интересовать цепочка 0, 12, 22, 32, 1.
Эта цепочка — и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
3549015336550От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы 30°, 45°, 60°,90° .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Почему?
Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
254000120015Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем O=30°. А мы знаем, что против угла в 30° лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).
Значит, АВ= 12 (а следовательно, и ОМ= 12). А по теореме Пифагора OB=32.
Наконец, что такое синус, косинус в прямоугольном треугольнике?
SinAOB=ABOA= 121=12,
CosAOB=OBOA= 321=32.
Так вот точка В и будет соответствовать значению Cos30°, а точка М — значению Sin30°.
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов, а ось (oy) — осью синусов.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
III НовыйматериалПеревод радиан в градусы и градусы в радианы
2413053340Все знают, что π радиан – это 180○.
Так вот, например, π3=180°3=60° ,а 11π6= 11∙180°6= 330°.
Переведите из радиан в градусы:
π4=180°4=45° π5=180°5=36° π9=180°9=20°
2π3= 2∙180°3= 120° 3π4= 3∙180°4= 135° 5π6= 5∙180°6= 150°.
Так, мы научились переводить радианы в углы.
Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.
Допустим, нам надо перевести 80○ в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:
Так как, 180○=π радиан, то заполним таблицу:
219743544
Откуда 80°=80π180= 4π9Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу
Давайте еще уточним следующее.
Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, Sin 30°, – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать 30° на круге.
А если просят вычислить, например, Sin 0°. Где искать этот ноль? Часто ищут его в начале координат. Почему?
Чтобы не ошибаться, нужно помнить следующее:
1) То, что стоит после Sin или Cos – это аргумент=угол, а углы у нас располагаются на круге, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на круг, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов — ищем на осях.
2) Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.
Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.
4225290114300
Пример 1.
Найти значение . Sin 0°Решение:
Находим на круге 0° . Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки 0°к оси синусов (оу)).
Приходим в 0. Значит, . Sin 0°=04043045-142240Пример 2.
Найти значение Sin 270°.
Решение:
Находим на круге 270° (проходим против часовой стрелки 180° и еще 90° ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).
Попадаем в -1 по оси синусов. Значит, Sin 270°=-1.
Заметим, за точкой 27 0° «скрываются» такие точки, как -90° (мы могли бы пойти в точку, помеченную как 27 0° , по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), 270°+360°и бесконечно много других.
Можно привести такую аналогию:
Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.
21590214630
Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м. Или пробежав, скажем, 100м по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).
А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д. по часовой стрелке от «старт».
Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например, значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.
Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.
Скажем, углы30° , 390°, 750°, -330° и т.д. изображаются одной точкой. И значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали 360° или 2π? Это период для функции синус и косинус.)4732020-163195Пример 3.
Найти значение Sin(-7π6).
Решение:
Переведем для простоты -7π6 в градусы (позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):
-7π6= -210°Двигаться будем по часовой стрелке от точки 0° Пройдем полкруга (180°) и еще 30°.
Понимаем, что значение синуса -210° совпадает со значением синуса 30° и равняется 12Sin-7π6=12.
Заметим, если б мы взяли, например, 150°или 510° и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.
435102020955Пример 4.
Найти значение Cos5π4.
Решение:
Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.
. 5π4=π+π4То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).
Cos5π4=-22429577541275Пример 5.
Найти значение Cos-25π6 .
Решение:
Как отложить на тригонометрическом круге -25π6?
-25π6=-(24π6+π6)=-(4π+π6) Если мы пройдем 4π или -4π, да хоть 2014π, мы все равно окажемся в точке, которую мы обозначили как «старт». Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге -π6Пример 6.
Найти значение Cos(-1500°).
Решение:
-1500°=-(60°+4∙360°).
Мы окажемся в точке -60° (4∙360° приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем точку круга -60° на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в 12. То есть Cos(-1500°)=0,5.
IV Закрепление
№№ 12.1, 12.2, 12.3, 13.1, 13.2.
V Итог урока