Проект по математике Математика на клетчатой бумаге

Конкурс учебно – исследовательских проектов школьников «Эврика, ЮНИОР»
Малой академии наук учащихся Кубани в 2015-2016 учебном году
Секция: «Математика»
Математика на клетчатой бумаге
Автор
Руководитель:
2015 г.
Содержание
Введение3
1. Теоретическая часть4
2. Практическая часть6
Заключение11
Список использованной литературы12
 
Введение
«Решение задач – практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, только подражая хорошимобразцам и постоянно практикуясь»
Д. Пойя Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Я рассмотрел множество разных заданий, и такие как задачи на клетчатой бумаге.
Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Можно вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, а раскраска клеточек помогает решать многие задачи.
Актуальность данного проекта заключается в том, что для упрощения решения и экономичности времени можно использовать формулу Пика, а решение таких задач, формирует вычислительные навыки, способствует развитию логического мышления и повышает интерес к изучению математики.
Цель работы:
- выяснить существует ли чёткая классификация и структурирование задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения.
Задачи:
- рассмотреть задачи на нахождение площади многоугольника, задачи на разрезание,
на нахождение расстояния и игры на клетчатой бумаге;
-провести анализ работы и сформулировать вывод.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.
Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
Гипотеза: возможно непонимание учащимися задач на клетчатой бумаге объясняется отсутствием алгоритмов решения этих задач и необходимостью проявить творческий подход и смекалку. Предположим, что исследуя задачи на клетчатой бумаге, расширятся знания о геометрических фигурах и повысится интерес к изучению математики.

Теоретическая часть
Формула Пика
Георг Пик – австрийский математики. Он известен своей теоремой о вычислении площади многоугольника, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 г. польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему (или как её ещё называют — формулу) в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники [1, с. 2].
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика [2 с. 2].
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (Приложение 1, рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Но тут нас ждёт много хлопот. Решение приведено в практической части работы в п. 2.1. Но можно найти площадь этого же многоугольника, используя формулу Пика:
S=B+ Г2- 1,
где S – площадь фигуры;
В - количество вершин клеток внутри фигуры;
Г - количество пересечений контура фигуры с вершинами клеток.
Эта формула верна как для прямоугольников, так и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.
Задачи на разрезание
Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезания были найдены ещё древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома X века, жившего в Багдаде [3, с. 4]. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.
Задачи на разрезание, которые время от времени появляются в различных книгах и журналах, могут показаться на первый взгляд бесконечно многообразными; однако в большинстве из них используются всего лишь несколько основных типов разрезаний [4, с. 8].
В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.
В качестве примеров в практической части проекта рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.
Расстояние в «клетчатом» городе
С понятием расстояния мы сталкиваемся ежедневно. «Каково расстояние от дома до школы?», «Сколько километров от Москвы до Петербурга?» - эти вопросы никого не удивят. Зная расстояние, мы можем прикинуть, долго ли добираться от одного места до другого. Все мы умеем вычислять расстояние между двумя точками на координатной прямой, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить расстояние между двумя точками на координатной плоскости [2, с. 12].
Познакомимся поближе с расстоянием в «клетчатом» городе с помощью нескольких задач.
А теперь возьмём хорошо знакомый нам листок клетчатой бумаги и представим себе, что это – город, линии сетки – улицы. Давайте прогуляемся по этому городу, ходя только по улицам (порядки в этом городе очень строгие). Длину клетки будем считать равной 1. Как нам быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток В (Приложение 3, рис. 1)?
Можно, например, пройти из А в С, а потом – из С в В. Можно было идти через D, а можно – и более замысловатым путём. Что же мы теперь назовём расстоянием от А до В? Конечно, длину кратчайшего пути: 4 + 3 = 7.

Практическая часть
В решении любой задачи есть крупица открытия. Задача может быть сколь угодно скромной, но если она заставила быть изобретательным и если вы ее решили самостоятельно, то радость победы – пусть даже о ней никто, кроме вас, не узнает – должна быть огромной [5, с. 3].
Рассмотрим задачи, связанные с бумагой в клеточку.
Задачи на нахождение площади многоугольника
Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1 (Приложение 1).
Решение.
Сначала решим эту задачу, разбивая многоугольник на более простые фигуры.
Вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD (Приложение 1, рис. 1), и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, площади которых можно найти как площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника [6, с. 124]:
S = SABCD – (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8), гдеSABCD = 5 х 6 = 30 (кв. ед.) –площадь прямоугольника;
S1 = 2 х 1 = 2 (кв. ед.) –площадь прямоугольника;
S2 = 12 х 2 х 1 = 1 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
S3 = 12 х 1 х 1 = 0,5 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
S4 = 3 х 1 = 3 (кв. ед.) –площадь прямоугольника;
S5 = 12 х 4 х 1 = 2 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
S6 = 12 х 1 х 2 = 1 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
S7 = 12 х 4 х 1 = 2 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
S8 = 12 х 3 х 1 = 1,5 (кв. ед.) –площадь прямоугольного треугольника;
Итак: S = 30 – (2+1+0,5+3+2+1+2+1,5) = 17 (кв. ед.).
Теперь решим эту же задачу, используя формулу Пика:
В = 14, Г = 8 - по рисунку. По формуле Пика: S=B+ Г2- 1.S = 14 + 8/2 – 1 = 17 (кв. ед.).
Ответ: 17 кв. ед.
Можно убедиться в том, что формула Пика верна для других многоугольников.
Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см.
Задача 2. Найдите площадь прямоугольника АВСD (Приложение 1, рис. 2).
Решение. По формуле Пика: S=B+ Г2- 1.В = 8, Г = 6
S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)
Ответ: 10 см².
Формулу Пика можно использовать и для решения геометрических задач с практическим содержанием.
Задача 3. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (Приложение 1, рис. 3).
Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S=B+ Г2- 1.В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)
1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)
Ответ: 420 000 м²
Задача 4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см1 см изображен треугольник (Приложение 1, рис. 4). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение. По формуле Пика: S=B+ Г2- 1.В = 12, Г = 6
S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²).
Ответ: 14 см2.
Решение задач на нахождение площади многоугольников по формуле Пика не входит в школьный курс математики, но использование этого метода расширяет представление учащихся о геометрических фигурах, способствуют развитию логического мышления.
Чтобы решить задачу 1 первым способом я затратил 15 минут.
После того, как я познакомился с формулой Пика, решение этой задачи заняло у меня 2 минуты.
Поэтому, можно сделать вывод, что использование формулы Пика сокращает время решения задач на нахождение площади многоугольников.
Задачи на разрезание
Задача 5. Можно ли разрезать квадрат 66 на полоски 14 ?
Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1 (Приложение 2). Любая полоска 14, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (66) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8. Значит разрезание невозможно.
Задача 6. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат не две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (Приложение 2, рис. 2). (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе). Сколько всего разрезаний имеет задача?
Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рисунке некоторые из них показаны, причем решения б) и в) одинаковы, так полученные в них фигур можно совместить наложением (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).
Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдение позволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке А, то конец ее будет в точке В (Приложение 2, рис. 3). Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами.
При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. Указанный порядок действий помогает найти все решения.
Итак, я научился определять задачи на разрезание и использовать раскраску при решении задач, для которых достаточно иметь клетчатую бумагу.
На внеклассных занятиях, с разрешения учителя, я одноклассникам рассказал как решать задачи на разрезание, используя клетчатый литок, и я убедились на сколько это занятие увлекательно и способствует повышению интереса к изучению дополнительного материала по математике.
Вывод: Работая с такими занимательными задачами, их построением, доказательством и анализом, развиваются навыки исследовательской работы, а умение правильно разрезать фигуры помогает рационально использовать эти знания в жизненных ситуациях.
Расстояние в «клетчатом» городе
Познакомимся поближе с расстояние на «клетчатой» бумаге с помощью следующих задач.
В теоретической части проекта я рассмотрел задачу как быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток В (длина клетки равна 1) в «клетчатом» городе.
Задача 7. А теперь представим себе, что у нас в запасе есть время проделать путь длиной 3. В каких узлах мы можем побывать, выйдя из А? (Или: из каких узлов можно добраться до А, пройдя путь не более 3?) Ответ на этот вопрос изображён на рисунке 2, Приложение 3).
Задача 8. Какое наибольшее количество котов можно разместить в узлах сетки на территории квадрата 44, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 2 (иначе коты подерутся)?
Без особого труда можно поделить территорию квадрата между 13 котами (Приложение 3, рис. 3). А вот 14 котов мирно ужиться на этой территории уже не смогут.
Я рассмотрел несколько задач на нахождение расстояния при помощи листка в клетку и научился решать такие задачи.
Так как подобные задачи встречаются на олимпиадах по математике, используя возможность поделиться изученным материалом с моими одноклассниками, на внеклассных уроках, я научил их решать задачи на расстояние в «клетчатом» городе. Я выяснил, что некоторые ребята не знали как решать подобные задачи.
Вывод: При изучении расстояния в «клетчатом» городе, я расширил свои знания о расстояниях и понял, что расстояния в «клетчатом» городе подобно обычному расстоянию «по прямой».
Игры на клетчатой бумаге
Игры – это увлекательное занятие, особенно, если есть возможность проявить смекалку и стать победителем благодаря собственным навыкам. Есть игры, для которых нужна поверхность с квадратами, например шахматы, шашки, но есть и такие, где можно использовать специальные доски и бумагу в клеточку. Я рассмотрел следующие игры.
1) Крестики – нолики
Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.
2) Бридж-ит («перебрось мостик!») [4, с. 11]
На рисунке 1 (Приложение 4) показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.
3) Солитер
Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки (Приложение 4, рис. 2). Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.
Я узнал, что такие игры как «Морской бой», «Лабиринт», «Балда», «Крестики - нолики» - относятся с играм на клетчатой бумаге и познакомился с такими новыми для меня, как «Бридж-ит» (перебрось мостик), «Солитер».
Вывод: Игры формируют отдельные интеллектуальные операции и способствуют дальнейшему развитию способностей в изучении математики.

Заключение
Головоломки увлекают решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку. Задачи на клетчатой плоскости являются серьёзными и полезными.
Основной метод, который использовался в проекте - это метод систематизации и обработки данных.
При всем многообразии задач на клетчатой бумаге чёткой классификации и структурирования по методам и способам решения я не встретил. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки.
При выполнении проекта я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, познакомился с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнал, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, а также познакомился поближе с задачами на разрезание и, наконец, научился играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.
«Математика в клетку» является занимательным элементом обычной математики и считается альтернативным, а во многом и незаменимым способом решения многих задач.

Список использованной литературы:
Горина Л.В. Одна за всех… Формула Пика. Материал для самообразования учащихся.// Основа, №3 (27), с. 24-28. Режим доступа: http://gorinalw.3dn.ru/OSNOVA/osnova-3-2013.pdfРисс Е. А . Математический клуб «Кенгуру» Выпуск № 8 (изд. второе). – Санкт-Петербург, 2009.
Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание./Пер. с англ. Ю.Н. Сударева. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. М.: Мир.-1977. – 256 с.
Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. Дя учащихся 5-7 кл. – М.: Просвещение, 2002. – 207 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. Организаций. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2014. -383 с.
Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008.
Болотин И. Б., Добрышина Л. Ф. Смоленские математические олимпиады школьников (готовимся к ЕГЭ). Смол.гос. ун-т; Смоленск: СмолГУ, 2008.
Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа: http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/KanunnikovKuznetsov/2.htmlГригорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод.пособие. – М.: Глобус, 2009.
Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1970.
Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.