Задачи на смеси и сплавы для 5 класса
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Аксайского района Грушевская средняя общеобразовательная школа
_______________________________________________________________
ПРОЕКТ
Задачи на смеси и сплавы
Шеховцова Анастасия Дмитриевна, ученица 9 класса МБОУ Грушевской СОШ
Руководитель: Дружинина Любовь Михайловна, учитель математики МБОУ Грушевской СОШ
Ст. Грушевская
2016 Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc318205052" 14Оглавление 13 PAGEREF _Toc318205052 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc318205053" 14Введение 13 PAGEREF _Toc318205053 \h 1431515
Глава 1. Теоретические аспекты темы 5-6
Глава 2. Примеры решения задач 7-14
Заключение 15
Список используемых источников 16
15
Введение
Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у учащихся, но и умение их применять. Это нашло отражение в новой демоверсии КИМ – 2013 по математике, в которой заметно увеличилось количество задач практической направленности. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности в решении задач, включая соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций, а также задачи на смеси и сплавы.
Проанализировав учебники математики 5-11 классов, можно сделать вывод, что задачи на смеси и сплавы в курсе школьной математики почти не рассматриваются. Так, например, в 6 классе таких задач 4, в 7 классе-1 задача, в 8 классе-3 задачи, в 9 классе-2 задачи, в 10, 11 классах -1задача. Возникает необходимость дополнительно изучить данную тему.
Тема проекта: «Задачи на смеси и сплавы».
Межпредметные связи: химия, биология.
Цель проекта: создание сборника задач на смеси и сплавы.
Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить литературу по данной теме, осуществить поиск нужной информации в Интернете.
Проанализировать и систематизировать собранную информацию.
Закрепить и расширить знания по избранной теме.
Подготовить отчет в бумажном и электронном виде.
Этот проект является практико-ориентированным. В результате работы над проектом должен быть создан конечный продукт – небольшой сборник задач на сплавы и смеси, который можно будет использовать на уроках математики, химии, биологии, а так же при подготовке выпускников ГИА и ЕГЭ.
Был разработан план работы над проектом:
октябрь 2011 – подготовительный этап;
ноябрь, декабрь 2012 – сбор и подготовка материалов;
январь, февраль 2013 – реализация проекта, подготовка отчета.
Работа велась во внеурочное время под руководством учителя математики.
Ожидаемые результаты:
расширение математических знаний по теме сплавы и смеси;
развитие навыков поиска и систематизации информации;
получение конечного продукта, который может найти практическое применение.
Глава 1.
Но первом этапе необходимо повторить такие понятия как:
1.концентрация (доля чистого вещества в смеси (сплаве));
2.масса смеси (сплава);
3.масса чистого вещества в смеси (сплаве).
А также, то, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:
1. Найти 15% от числа 60.
Решение:600,15=9.
2. Найти число, 12% которого равны 30.
Решение: 30:0,12=250.
3. Сколько процентов составляет число 120 от 600?
Решение: 120:600100%=20%
Концентрация раствора - это отношение объема (массы) вещества к объему (массе) раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно решить три следующие задачи:
а) найти объем вещества в каждом из растворов;
б) найти объем вещества в смеси;
в) найти объем смеси;
г) найти отношение объема вещества, содержащейся в смеси и объема самой смеси и выразит это отношение в процентах.
Для решения задач такого типа требуется выполнить три простых шага:
Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% это m0 = 50 литров общей массы и m1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества.
Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает масса, реже концентрация.
Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.
Прежде чем записать ответ, необходимо вернуться к задаче и еще раз прочитать, что требуется найти. Потому что решить уравнение это еще не значит решить текстовую задачу.
Глава 2.
Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.
Задача 1.Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавли 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода это раствор, содержащий 0 литров соли.
1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
смесь
вода
100%
соль
15%
20%
0%
расствор
4 л
100%
5 л
100%
1 л
100%
1. Объем соли в 1-м растворе. 40, 0,15 = 0,6 (л);
2. Объем соли в 2-м растворе . 50,2 = 1 (л);
3. Объем соли в смеси. 0,6 + 1 + 0 = 1,6(л);
4. Объем смеси. 4 + 5 + 1 = 10(л);
5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)100 =16%.
Ответ: 16%.
Задача 2.Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 4 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей массы?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что смешали два сплава, причем второй сплавсодержит 100% олова и не содержит остальных компонентов.
1-й сплав
2-й сплав
новый сплав
олово
15%
100%
60%
остальные компоненты
0%
сплав
4 кг
В данной задаче известно процентное содержание компонента, поэтому мы можем количество этого компонента во втором сплаве считать равным х кг и выразить отношение массы олова в новом сплаве к массе сплава через х .
1. Масса олова в первом сплаве 40,15 =0,6 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х (кг);
3. Масса олова в новом сплаве 0,6 + х (кг);
4. Масса второго сплава х (кг);
5. Масса нового сплава 4 + х (кг);
6. Отношение массы олова в новом сплаве к массе нового сплава (0,6 + х):(4 + х), по условию задачи оно должно быть равно 0,6. Имеем уравнение
(0,6 + х):(4 + х) = 0,6. Это уравнение равносильно уравнению
5(0,6 + х) = 3(4 + х);
5х - 3х = 12 - 3;
х = 4,5.
Ответ: 4,5 кг.
Задача 3.Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая что к первому сплаву добавили второй сплав содержащий х кг олова и 8 кг меди.
1-й сплав
2-й сплав
новый сплав
олово
70%
х кг
3
медь
8 кг
1
сплав
10 кг
100%
100%
100%
По условию задачи концентрация меди в новом сплаве должна быть в три раза выше, чем концентрация олова. Этот факт мы используем для составления уравнения. Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова равна 75%.
1. Масса олова в первом сплаве 100,7 = 7 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х кг;
3. Масса олова в новом сплаве х + 7 (кг);
4. Масса ноавого сплава 10 + 8 + х (кг)
5. Концентрация олова в новом сплаве (х + 7):( 18 +х), имеем второе уравнение.
(х + 7):( 18 + х) = 0,75;
4(х + 7) = 3(18 + х);
4х - 3х = 54 - 28;
х = 26.
Ответ: 26 кг.
Задача 4. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.
Рещение.
В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.
1-я смесь
2-я смесь
вода
m
25%
m - 30
?
зерно
смесь
200 кг
100%
200-30
100%
1. Масса воды в 1-й смеси 200 0,25 = 50 (кг);
2. Масса 2-й смеси 50 - 30 = 20 (кг);
3. Масса второй смеси 200 - 30 = 170 (кг);
4. Процент влажности второй смеси (20:170)100 =11,8%.
Ответ: 11,8%..
Задача 5. Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие - 90% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?
Решение.
свежие грибы
сухие грибы
вода
90%
12%
"мякоть"
смесь
22> кг
100%
?
100%
При сушке грибов, ягод, фруктов происходит испарение воды, поэтому масса воды уменьшается, а масса "мякоти" сохраняется неизменной.
1. Процентное содержание "мякоти" в свежих грибах 100% - 90% = 10%;
2. Масса "мякоти" 22 0,1 = 2,2 (кг);
3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% - 12% = 88%;
4. Пусть масса сушенных грибов х (кг);
5. Отношение массы "мякоти" к массе сушенных грибов 2,2 : х, что по условию задачи равно 0,88.
Имеем уравнение 2,2 : х = 0,88;
х = 2,2:0,88;
х = 2,5;
Ответ: 2,5 кг.
Задача 6. Сначала приготовили 25% раствор поваренной соли. Затем одну треть воды испарили. Найти концентрацию получившегося раствора.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
раствор
новый раствор
соль
25%
?
вода
-1/3
раствор
·
100%
100%
Процентное содержание воды в растворе 100% - 25% = 75%.
Пусть масса раствора была х кг, тогда масса соли в растворе 025х кг, масса воды 0,75х кг.
Одну треть воды испарили, значит, уменьшилась как масса воды в растворе, так и масса самого раствора, количество соли в растворе не изменилось.
Масса воды в новом растворе 0,75х - 0,25х = 0,5х (кг).
Масса нового раствора х - 0,25х = 0,75х (кг).
Концентрация нового раствора (0,25х : 0,75х)100 = 33,7%.
Ответ: 33,7%.
Задача 7.Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5% раствор.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
1-й раствор
2-й раствор
новый раствор
спирт
6%
3%
5%
вода
раствор
1 л
100%
?
100%
Рещение.
Объем спирта в 1-м растворе 10,06=0,06 (л).
Пусть объем второго раствора равен х л.
Объем спирта во втором растворе 0,03х (л).
Объем спирта в новом растворе 0,06 + 0,03х (л).
Объем нового раствора 1 + х (л).
Концентрация нового раствора (0,06 + 0,03х) : (1 + х). По условию задачи она должна быть равной 0,05. Имеем уравнение
(0,06 + 0,03х) : (1 + х) = 0,05;
20(0,06 + 0,03х) = 1 + х;
х - 0,6х = 1,2 - 1;
х = 0,5;
Ответ: 0,5 л.
Итак, из приведенных выше задач можно сделать следующие выводы:
Масса раствора равна сумме масс воды и соли.
Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.
Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.
Концентрация соли или процентное содержание соли в растворе - это отношение массы соли к массе раствора, записанное в виде процентов.
Чтобы найти на сколько процентов большее число больше меньшего числа, можно: 1. Вычесть из большего числа меньшее число. 2. Полученное число разделить на меньшее число. 3. Полученное число умножить на сто.
Чтобы найти на сколько процентов меньшее число меньше большего числа, можно: 1. Вычесть из большего числа меньшее число. 2. Полученное число разделить на большее число. 3. Полученное число умножить на сто.
Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.
Приведем еще несколько примеров решения таких задач, решив их несколькими способами.
Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение.
1-й способ.
Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава.
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
13 EMBED Equation.3 1415
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
2-й способ.
Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение системы приводит к результату:13 EMBED Equation.3 1415 Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.
Ответ: 140г,60г.
Аналогичные рассуждения позволяют справиться и с более сложными задачами рассматриваемого вида.
Задача 2. Имеются три смеси, составленные из трех элементов A, B и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 11:3:8?
Решение.
Предшествующая работа позволяет без проблем составить одну из схем, где за х единиц веса, у единиц веса и z единиц веса обозначены соответственно вес первой, второй и третьей смеси.
Подсчет и уравнивание веса любых двух из трех компонентов рассматриваемых смесей приводит к системе двух уравнений с тремя переменными. Если рассмотрим компоненты А и В, то система имеет вид:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение этой системы может вызвать затруднения: количество уравнений (их два) меньше числа переменных (их три). Навести на решение поможет правило: составить выражение, значение которого надо найти по вопросу задачи. Это выражение имеет вид: x:y:z. Значит, для ответа на вопрос задачи совсем не обязательно находить значение каждой из переменных. Достаточно найти два отношения x:y и y:z или x:y и z:y. Для нахождения двух последних отношений разделим левую и правую части каждого уравнения на у (у
·0).Получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь система имеет два уравнения и две переменных: 13 EMBED Equation.3 1415 Целесообразно для удобства записей ввести новые переменные: 13 EMBED Equation.3 1415 Теперь система принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415
В результате решения системы получаем: 13 EMBED Equation.3 1415 это означает, что 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, искомое отношение имеет вид: x:y:z=3:4:15.
Ответ:3:4:15.
Задача 3. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса(10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
Решение.
Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду.
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, для приготовления 500мл маринада понадобится 125мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).
Ответ:125мл.
Задача 4. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие
абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение.
При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется.
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества.
0,2х=8,8
х=44.
Ответ:44кг.
Задача 5. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо добавить 1 л столового уксуса . У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус (10 % раствор уксусной кислоты), добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобиться хозяйке для приготовления 5 л рассола?
Решение.
Для приготовления 5л рассола необходимо 0,5л или 500мл столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты), необходимо добавить воду.
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева ознака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, для приготовления 5л рассола хозяйке понадобится 62,5муксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).
Ответ:62,5.
Задача 6. Кислый маринад для консервирования овощей содержит 24% столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты). Сколько процентов уксусной эссенции должно содержаться в аналогичном маринаде?
Решение:
Объем маринада принимаем за единицу (1ед.об).. Если кислый маринад содержит 24% столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты) это значит, что в 1 ед. об. маринада содержится 0,24 ед.об столового уксуса. Найдем, сколько миллилитров уксусной эссенции содержится в 0,24 ед.об. столового уксуса (или в 1ед.об. рассола).
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение:
0,8х=0,024 ;
х=0,03.
Так как в 1ед.об. рассола содержится 0,03ед.об. уксусной эссенции, то процентное ее содержание составляет 3%.
Ответ:3.
Заключение
В результате работы над проектом:
была изучена литература и интернет-ресурсы по данной теме;
собранная информация проанализирована и обработана;
выбрано и изучено необходимое программное обеспечение;
углублены и закреплены знания по теме;
разработан сборник задач;
подготовлен отчет в бумажном и электронном виде.
Выводы: в результате проведенной работы были изучены и расширены знания по данной теме, рассмотрены сложные задачи и их решения, разработан сборник задач по теме.
Список использованных источников
Интернет (http://www.yandex.ru/)
Журнал « Математика в школе»
Учебно-тренировочные тесты по новому плану ГИА под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Типовые экзаменационные варианты под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко
Учебники алгебры 7-11 кл. под редакцией Ш.А. Алимов и др.
13 PAGE 14415
13 PAGE 14415
200г
свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г
(200-х) г
200 г
+
=
+
13 EMBED Equation.3 1415
А
В
13 EMBED Equation.3 1415
х ед.в.
B
C
у ед.в.
+
А
В
z ед.в.
=
C
A
C
(x+y+z) ед.в.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
вода
вода
вода
х г
+
Рисунок 4Описание: http://viripit.ru/mate/zumn.gif