Конспект урока по математике на тему: Текстовые задачи на смеси и сплавы (9 класс)

Тема урока: Текстовые задачи на смеси и сплавы
Цели:
Обучающая: научить применять полученные на уроках знания по решению текстовых задач из ОГЭ разного вида и разного уровня сложности; стимулировать обучающихся к овладению рациональными способами и методами решения задач.
Развивающая: развивать логическое мышление, познавательный интерес к математике как науке, развивать память, формирование математическую речь, вырабатывать умения сравнивать и анализировать.
Воспитательная: развивать аккуратность, трудолюбие, воспитывать инициативность, добросовестное отношение к учёбе.

Ход урока
Этапы урока:
1 Организационный момент.
2. Введение нового материала.
3. Решение задач.
4. Домашнее задание и итоги урока.

Деятельность учителя:
-Сегодня мы с Вами познакомимся с тем, как решать задачи на смеси и сплавы. Перед тем как мы приступим к решению задач, запишем основные правила и формулы, которые мы должны знать при решении различных задач на смеси и сплавы.
Деятельность учащихся: Слушают учителя, отвечают на вопросы и записывают все в тетради.



Деятельность учителя:
- Обычно в условиях задач на смеси и сплавы речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Основные допущения, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны, т.е. интересующая нас характеристика смеси одинакова для любой части смеси;
б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен V1 + V2,  т. е.  V0= V1+ V2, причем последнее соотношение является именно допущением, т.к. не всегда выполняется в действительности; при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонент.
-В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:
-концентрация (доля чистого вещества в сплаве / смеси);
-количество чистого вещества в смеси  (сплаве);
-масса смеси (сплава).
-Пусть в смесь входят компоненты A, B, C с массами mA, mB, mC.  Будем считать, что масса смеси равна сумме масс компонент, т. е. m=mA+mB+mC.  
-Тогда концентрацией компоненты A по массе называется отношение массы этой компоненты к массе всей смеси.
13 QUOTE 1415
-Аналогично для компонентов B и C.
13 QUOTE 1415.
-Концентрацией компоненты A по объему (объемной концентрацией) называется отношение объема чистой компоненты VA в растворе ко всему объему смеси.
13 QUOTE 1415
-Аналогично определяются концентрации других компонентов рассматриваемой смеси.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
-Сумма всех концентраций, очевидно, равна единице.
-Объемным процентным содержанием компоненты A называется величина PA= CA ·100%, т. е. это концентрация  вещества, выраженная в процентах.
-Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле СА=13 QUOTE 1415, аналогично СВ=13 QUOTE 1415, СС=13 QUOTE 1415.
-Решим теперь следующие задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-При смешивании 10%-ного раствора некоторого вещества с 30%-ным раствором другого вещества получили 260г 20%-ного раствора. Найдите, сколько граммов каждого раствора было взято для этого?
1 способ решения (с помощью системы уравнений):
-Пусть х г 10%-ного раствора первого вещества (или 0,1х г) и у г 30%-ного раствора второго вещества (или 0,3у г). Так как в 260 г нового раствора стало содержаться 20%, т.е. 0,213 QUOTE 1415260 г, то получим следующее уравнение 0,1х + 0,3у = 0,213 QUOTE 1415260. Кроме того х + у = 260. Таким образом, получим следующую систему уравнений:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
-Итак, х = 130, у = 130. Итак, 10%-ного раствора первого вещества следует взять 130г, а 30%-ного раствора второго вещества следует взять также 130г.
-Рассмотрим теперь второй (старинный) способ решения.
2 способ (старинный способ) решения
-Этот способ заключается в том, что мы друг под другом записываем содержание веществ имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине - содержание вещества в растворе, который должен получиться после их смешивания. Соединив написанные числа чертами, мы получаем следующую схему:
10
20
30
-Рассмотрим пары 20 и 10; 20 и 30.В каждой паре чисел мы из большего числа вычитаем меньшее, и сам результат записываем в конце соответствующей черты.
-Получаем следующую схема:
10 10
20
10
10 +10 = 20 (частей) - всего
260 : 20 = 13 (г) - приходится на одну часть
13 QUOTE 1415 (г) - 30%-ного раствора
13 QUOTE 1415 (г) - 20%-ного раствора
10%-ного раствора следует взять 10 частей и 30%-ного - 10 частей (260 : 20 = 13 г приходится на одну часть), то есть для получения 260 г 20%-ного раствора нужно взять 10%-ного раствора 130 г и 30%-ного - 100 г.
-Запишем ответ.
Ответ: 130г , 130г.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Вторая задача. Записываем условие.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-В какой пропорции нужно смешать раствор 20%-й и 40%-й кислоты, чтобы получить раствор 25% - первой кислоты?
1 способ решения (с помощью системы уравнений):
-Пусть х г – масса 20%-й кислоты, y г – масса 40%-й кислоты, 0,2х г – масса чистой кислоты в первом растворе, 0,4у г. – масса чистой кислоты во втором растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,25(x+y)г - масса чистой кислоты в смеси.
-Составим уравнение:
0,2x+0,4y=0,25(x+y) | : у (y
· 0); 0,2· 13 EMBED Equation.3 1415 + 0,4 = 0,25· 13 EMBED Equation.3 1415 + 0,25;
0,05 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,15; 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 QUOTE 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 QUOTE 1415; х:у=3:1.
-Получаем соотношение 3:1.
2 способ (старинный способ) решения
Нарисуем схему:
20 15
25
40 5
-Из с
·хемы видно, что для получения 25%-й кислоты нужно взять 20%-й и 40%-й кислоты в отношении 15:5=3:1.
- Запишем ответ.
Ответ: 3:1.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Рассмотрим следующую задачу.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-К 10 литрам 5%-ого раствора кислоты добавили 10%-ный раствор кислоты и получили 6%-ный раствор. Найдите, какое количество литров 10%-ного раствора добавили?
1 способ решения
-Пусть добавили х л 10%-ного раствора кислоты. Тогда нового раствора стало (10 + х) л, в котором содержаться 0,06 .(10 + х) л кислоты. В 10 л 5%-ного раствора содержится 10 . 0,05 = 0,5 (л) кислоты, в х л 10%-ного раствора содержится 0,1х (л) соли.
-Составим уравнение:
0,5 + 0,1х = 0,06 . (10 + х); 0,5 + 0,1x = 0,6 + 0,06x; 0,04x = 0,1; x = 2,5.
Добавили 2,5л 10%-ного раствора кислоты.
2 способ решения (табличный)
Объект
I
II
Получили

m л
10
x
10 + x

% кислоты
5
10
6

Mкислоты л
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415

-Имеем: 6(10+x)=50+10x; 60+6x=50+10x; 4x=10; x=2,5.
-Запишем ответ.
Ответ: 2,5л
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Записываем условие следующей задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-В лаборатории эксперты взяли 30%-ный раствор соли и смешали его с 10%-ным раствором соли. В результате эксперимента они получили 600г 15% - ого раствора. Найдите, сколько граммов каждого раствора было взято?
-Пусть x граммов эксперты взяли 30%-ного раствора, а 10%-ного раствора взяли y граммов. Из условия мы видим, что x + y = 600. Так как первый раствор соли 30%-ный, то 0,3x граммов соли содержится в x граммах этого раствора. Также в y граммах 10% -ного раствора содержится 0,1y граммов соли.
-Мы можем узнать, сколько соли содержится в полученной смеси, для этого мы выполним следующее: 13 QUOTE 1415 г кислоты, из этого следует 0,3x + 0,1y = 90.
-Составим систему и решим её:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
-Записываем ответ.
Ответ: 150г; 450г.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Сегодня мы с вами вспомнили, как решать задачи на смеси и сплавы, какие нужно знать формулы.
-Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке? Чему научились?
-В каких задачах вы столкнулись с трудностями?
Деятельность учащихся: Отвечают на вопросы учителя и получают на раздаточном материале домашнее задание.
Деятельность учителя:
-Домашнее задание на раздаточном материале:
Задача 1. В лаборатории взяли 14 кг 16 % раствора соляной кислоты и смешали его с 6 кг 6 % раствора такого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение.
Наименование
веществ, смесей
% содержание
(доля) вещества
Масса
раствора (кг)
Масса
вещества (кг)

I раствор
16 % = 0,16
14
0,16·14

II раствор
6 % = 0,06
6
0,06·6

Смесь
х % = 0,01х
20
0,01х·20


Исходя из таблицы, составим уравнение:
0,01х·20 = 0,16·14 + 0,06·6; 0,2х = 2,6; x = 2,6:0,2; х = 13.
Ответ: концентрация раствора 13 %.
Задача 2. В сосуд, содержащий 400 г 60 % -го раствора уксусной кислоты, нужно добавить воды, чтобы получить 6 %-ый раствор уксусной кислоты? Найдите, сколько нужно добавить воды в сосуд?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
% содержание
(доля) вещества
Масса раствора (г)
Масса
вещества (г)

Первоначальный раствор
60 % = 0,6
400
0,6·400

Вода
-
х
-

Новый раствор
6 % = 0,06
400 + х
0,0613 QUOTE 1415(400 + х)

Исходя из таблицы, составляем уравнение:
0,06(400 + х) = 0,6·400; 24 + 0,06х = 240; 0,06х = 216; х = 3600.
Ответ: 3,6 кг воды.
Задача 3. Эксперты в лаборатории смешали некоторое количество 14% раствора уксусной кислоты с таким же количеством 40 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся уксусной кислоты.
Решение.
Наименование
веществ, смесей
% содержание
(доля) вещества
Масса
раствора (кг)
Масса
вещества (кг)

I раствор
14 % = 0,14
у
0,14у

II раствор
40 % = 0,4
у
0,4у

Смесь
х % = 0,01х

0,01х·2у

Исходя из таблицы, составляем уравнение:
0,14у + 0,4у = 0,01х·2у
Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что y
·0, имеем
0,54y = 13 QUOTE 1415; 0,01x = 0,54:2; 0,01x = 0,27; x = 0,27:0,01; x = 27.
Ответ: концентрация раствора 27 %.
Задача 4. Смешав 30 % и 10 % растворы кислоты, добавили 4 кг чистой воды и получили 15 % раствор кислоты. Если бы вместо 4 кг воды добавили 4 кг 70 % раствора той же кислоты, то получили бы 40%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 30 % -го и 10 % растворов кислоты было смешано?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
% содержание
(доля) вещества
Масса
раствора (кг)
Масса вещества (кг)

I раствор
30 % = 0,3
х
0,3х

II раствор
10 % = 0,1
у
0,1у

Вода
-
3
-

Смесь I
15 % = 0,15
х + у + 4
0,15(х + у + 4)

Получаем следующее уравнение:0,3х + 0,1у = 0,15(х + у +4)
Выполним вторую операцию:
I раствор
30 % = 0,3
х
0,3х

II раствор
10 % = 0,1
у
0,1у

Кислота
70 % = 0,7
4
0,7·4

Смесь II
40 % = 0,4
х + у + 4
0,4(х + у + 4)

Итак, 0,3х + 0,1у + 0,7·4 = 0,4(х + у + 4).
Для решения данной задачи получаем систему уравнений:
13 QUOTE 1415
Решаем систему уравнений:
13 QUOTE 1415
Ответ: 4,8 кг 30 % кислоты и 2,4 кг 10 % кислоты.
Задача 5. В сосуд, содержащий 3 кг 70 % -го водного раствора соли добавили 2 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора соляной кислоты.
Решение.
Наименование веществ, смесей
% содержание (доля)вещества
Масса
раствора (кг)
Масса вещества (кг)

Исходный раствор
70 % = 0,7
3
0,7·3

Вода
-
2
-

Новый раствор
х % = 0,01х
5
0,01х·5

Масса соляной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:
0,01х·5 = 0,7·3
0,05х = 2,1
х = 2,1:0,05
х = 42
Ответ: концентрация нового раствора соляной кислоты равна 42 %.