«Комбинаторные задачи в школьном курсе математики»
значимый проект по теме
«Комбинаторные задачи в школьном курсе математики».
Выполнила
Учитель математики
МОУ «СОШ 9»
Зверева Т.С.
г. Воскресенск, 2009 год.
ПЛАН:
Введение.....3
Парадоксы.....3-7
Математические софизмы7-14
Логические задачи (9 задач)14-19
Заключение.20
Список использованной литературы........21
1. Введение.
Элемент игры, который делает математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуж-дения или задачи с «секретом» – каким – либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Относятся ли все случаи к чистой или прикладной математике, решить трудно. С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать чистой математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой стороны, она, несомненно, относится к прикладной математике, так как отвечает извечной человеческой потребности в игре.
Нетрудно понять интерес, который все великие умы питали к математической игре, ибо творческое мышление, находящее для себя награду в столь тривиальных задачах, сродни тому типу мышления, который приводит к математическому и вообще научному открытию. В конце концов, что такое математика, если не систематические попытки найти все лучшие и лучшие ответы на те головоломки, которые ставит перед нами природа?
В настоящее время педагогическая ценность занимательной математи-ки общепризнанна. Вряд ли существует лучший способ пробудить интерес ученика к изучаемому материалу.
2. Парадоксы.
Теория вероятностей представляет собой область математики, необы-чайно богатую парадоксами – истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правиль-ность их подтверждена доказательством. Прекрасный пример этому – пара-докс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое из них или большее число родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50 %!
Вероятность того, что дни рождения любых двух лю дей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвер того человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных два дцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы най дем вероятность того, что все 24 дня рождения раз личны. Сократив числитель и знаменатель произведения двад-цати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Про веденный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным – то есть в феврале может быть 29 дней – и что дни рож дения чаще приходятся на одни месяцы и реже на дру гие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе - увеличивает).
Приведенные цифры настолько неожиданны, что экс периментальная проверка их в классе может явиться отличным развлечением. Если присутст-вует более 23 человек, попросите каждого на писать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удив ление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто – нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероят-ность со впадения остается и в этом случае.
Еще проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24 людей из книги «Кто есть кто» или какого – нибудь другого биографического справочника. Естественно, что чем больше число имен пре вышает 24, тем больше вероятность совпадения. На рис. 1 изображена кри-вая, показывающая рост вероят ности с увеличением числа людей. График обрывается, когда число людей достигает 60, потому что дальше ве роятность уже слишком близка к достоверности (то есть к значению 1) и кривую практически невозможно отли чить от прямой. В действительности даже для 23 людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышает 1/2 и равна 0,507... Обратите вни мание, как круто поднимается кривая примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере прибли жения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выиг-рывая в 3 299000 случаях из 3 300000. Конечно, абсолютная достоверность дости гается лишь тогда, когда взято 366 человек.
Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения (33 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. И действи-тельно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, а три президента – Джефферсон, Адаме и Монро – умерли 4 июля.
Рассмотрим парадокс со вторым ребенком. Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Ка кова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита мальчик? Первое, что приходит в голову, – это сказать, что вероятность равна 1/2, но, перебрав три рав новероятных возможности – ММ, МД, ДМ, – мы видим, что ММ – только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна 1/3. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше), из его детей. В этом случае допустимые комбинации ис черпы-ваются двумя – ММ и МД – и вероятность того, что другой, ребенок мистера Смита – мальчик, возрас тает до 1/2.
Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решеткой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх гербом, поэтому вероят ность того, что другая монета также выпала вверх гер бом, равна всего лишь 1/3, и мы смело можем утвер ждать, что другая монета выпала вверх решеткой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала гербом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.
Самым знаменитым среди парадоксов теории вероят ностей следует считать петербургский парадокс, впервые изложенный в «Мемуаре», предс-тавленном знаменитым математиком Даниилом Бернулли Санкт – Петер-бургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен упла-тить вам рубль, если выпадет герб. В случае же выпадения решетки я бросаю монету вто рой раз и плачу вам два рубля, если при втором под брасывании выпадет герб. Если же снова выпадет ре шетка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре рубля, если при третьем подбрасывании выпадает герб. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «односто роннюю игру», а вы не остались в убытке?
В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни пла тили за каждую партию, пусть даже по миллиону рублей, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один рубль, равна 1/2 вероят ность выиграть два рубля равна 1/4, четыре рубля – 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1*1/2)+(2*1/4)+(4*1/8)... Этот бесконеч ный ряд расходит-ся: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы бу дете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например, 1000 рублей, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиг раете, но ожидание проигрыша компен-сируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь гер бов. Если же мой капитал, как это имеет место в дей ствительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким воп росам обосно-вания теории вероятностей.
Карл Хемпель, глава школы «логических позитиви стов», а ныне про-фессор философии Принстонского уни верситета, открыл еще один удивительный парадокс. Со времени первой публикаций (в 1937 году) и поныне «парадокс Хемпеля» неизменно служит предметом вы сокоученых споров между специалистами по философии науки, ибо он затрагивает самую сущность научного метода.
Предположим, пишет Хемпель, что ученый хочет ис следовать гипотезу «все вороны черные». Его исследова ние состоит в изучении как можно боль-шего числа во рон. Чем больше он найдет черных ворон, тем более вероятной становится его гипотеза. Таким образом, каждая черная ворона может рас-сматриваться как при мер, подтверждающий гипотезу. Большинство ученых считает, что они отчетливо представляют себе, что такое подтверждающий пример. Парадокс Хемпеля мгновенно рассеивает их иллюзии, так как с по-мощью железной логики мы можем легко доказать, что красная корова тоже является подтверждающим примером гипотезы «все вороны черные»! Вот как это делается.
Утверждение «все вороны черные» можно преобразо вать в логически эквивалентное ему утверждение «все нечерные предметы – не вороны» спо-собом, который в логике принято называть «прямым доказательством через обращение». Второе утверждение но смыслу тож дественно первому; оно просто иначе сформулировано. Очевидно, что существование любого объек-та, подтвер ждающего второе утверждение, должно также подтвер ждать и первое.
Предположим, что ученый ищет нечерные предметы для подтверж-дения гипотезы о том, что все такие пред меты не являются воронами. Он сталкивается с ка ким – то красным предметом. Более близкое знакомство по-казывает, что это не ворона, а корова. Красная корова, безусловно, является подтверждающим приме ром положения «все нечерные предметы – не воро-ны» и поэтому увеличивает вероятность того, что логически эквивалентная гипотеза «все вороны черные» справедли ва. Подобная аргументация, безус-ловно, применима и к белому слону, и к красной селедке, и к зеленому гал стуку самого ученого. Как выразился недавно один фи лософ изучающий цвет ворон, мог бы про должить свои исследования и в дождливый день, даже не замочив при этом ног. Для этого ему достаточно оглядеться в собственной комнате и отметить примеры всех нечерных предметов, не являющихся воронами!
Как и в предыдущих примерах парадоксов, труд ность здесь, по всей видимости, кроется не в ошибочном рассуждении, а в том, что Хемпель называет «заблу ждением интуиции».
Все сказанное приобретает еще больший смысл, если рассмотреть при-мер попроще. В фирме работает много машинисток, у некоторых из них ры-жие волосы. Мы хо тим проверить гипотезу о том, что все рыжие машини ст-ки замужем. Проще всего подойти к каждой рыжей машинистке и спросить, есть ли у нее муж. Но есть и другой способ, может быть, даже более эффек-тивный. Мы берем в отделе кадров список всех незамужних ма шинисток, затем подходим к девушкам из этого списка, чтобы увидеть, какого цвета у них волосы. Если ни одна из обследуемых не будет рыжей, то гипотеза пол-ностью подтверждена. Никто не станет возражать против того, что каждая незамужняя машинистка, цвет волос кото рой отличается от рыжего, будет подтверждающим при мером теории о том, что все служащие в данной фирме рыжие машинистки замужем.
Согласившись с предложенной выше программой об следования нечер-ных предметов, не являющихся в то же время воронами, или цвета волос машинисток, мы столкнемся с небольшим затруднением: малым числом об-следуемых объектов. Если же мы попытаемся устано вить, все ли вороны черные, то обнаружится огромная диспропорция между числом всех ворон на земле и чис лом нечерных предметов. Каждый согласится, что про верка всех нечерных предметов представляет собой весьма неэффективный способ исследования. Воп рос несколько тоньше: есть ли рациональное зерно в утверждении о том, что обнаружение красной коровы в том или ином смысле может служить примером, под тверждающим выдвинутою гипотезу? Стано-вится ли наша первоначальная гипотеза хоть немного более правдоподобной при обнаружении подтверждающего примера, по крайней мере если речь идет о конечных множествах (рассмотрение бесконечных множеств за вело бы нас слишком далеко)? Одни логики считают, что подтверждающий пример увеличивает правдоподо бие гипотезы, другие в этом сомневаются. Они заме чают, например, что красную корову точно с таким же основанием можно считать подтверждающим примером гипотезы «все вороны белые». Каким образом обнаружение отдельного объекта может изменить правдопо-до бие одной из двух взаимоисключающих гипотез?
Некоторые пытаются отделаться от парадокса Хемпеля смущенной улыбкой и недоуменным пожиманием плечами. Не следует забывать, однако, что многие ло гические парадоксы, которые долгое время считались пустыми забавами, безделушками, сыграли чрезвычайно важную роль в развитии со-временной логики. Точно так же анализ парадокса Хемпеля уже позволил глу боко проникнуть в существо некоторых сложных проб лем индуктивной логики, основного средства получения всех научных результатов.
3. Математические софизмы.
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был со физм, он обязательно содержит одну или несколько замаскиро ванных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рас суждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «оче видности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существен ную роль. Они способствовали повышению строгости матема тических рассуждений и содействовали более глубокому уясне нию понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непредна меренные ошибки в математических исследованиях, допус каемые даже выдающимися математиками. И. П. Павлов го ворил, что «правильно понятая ошибка это путь к от крытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию матема-тики.
Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне дан ной прямой, можно провести не более одной прямой, параллель ной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести это доказывается). Это утверждение на протяже-нии более чем двух тысяч лет пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математи ки разных времен и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «дока-зательства», какие были найдены, оказались ошибочными.
«Строгого доказательства сей истины, писал великий рус ский математик Н. И. Лобачевский в 1823 г. в своем учебнике геометрии, до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математи-ческими доказатель ствами». И все же, несмотря на ошибочность этих «доказа тельств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоре мами геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из величайших достижений в области гео метрии и всей математики создание неевклидовой геомет рии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н. И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н. И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 г. он пришел к заключению, что утверждение, выражаемое аксиомой о параллель-ных, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, и привел его к созда нию новой геометрии. И этот замечательный вклад в матема тику был одним из тех, которые прославили русскую науку.
Примеров подобного рода можно было бы привести не сколько.
Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мыш ление, т. е. прививает навыки правильного мышления. Обнару жить ошибку в софизме это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математи ческих рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горяче му предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает со знательному усвоению изучаемого математического материа ла, развивает наблюдатель-ность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Мате-матические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью за-писей и чертежей, за допустимостью обобщений, за закон ностью выполняя-емых операций. Все это нужно и важно.
Имеется немало разных книг, в которых собраны различ ные софизмы. В конце XIX начале XX в. особенно большой известностью среди учащих-ся пользовалась книга Обреимова «Математические софизмы». Этой книж-кой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы ее. Ва силию Ивановичу Обреимову, передовому, революционно на строенному деятелю народного образования последних десяти летий XIX и начала XX в. удалось собрать и обработать инте ресные софизмы. Наверное, этот сборник софизмов имел в виду В. И. Ленин, когда он в одной из своих статей писал, что такие сборники учащимся «приносят свою пользу».
В. И. Ленину в борьбе, которую он вел с врагами рабоче го класса, часто приходилось разбирать и разоблачать раз нообразные политические со-физмы своих противников. Рас суждения по вопросам политики, содержащие замаскирован ные ошибки, В. И. Ленин сравнивал с математическими со физмами. Он говорил, что эти рассуждения похожи, «...как две капли воды, на те рассуждения, которые математики на зывают математическими софиз-мами и в которых, строго логичным, на первый взгляд, путем, доказы-вается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.». Эти слова В. И. Ленина показывают, что он знал математические софиз мы и это знание помогало ему разоблачать софизмы в политике.
Математический парадокс можно определить как истину, настолько противоречащую нашему опыту, ин туиции и здравому смыслу, что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все ее доказательство. Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в дока зательствах которых в отличие от доказа-тельства пара доксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошиб-ки. В любой области математики от простой арифметики до современной теоретико-множественной топологии есть свои псевдодоказательства, свои со физмы. В лучших из них рассуждения с тщательно за маскированной ошиб-кой позволяют приходить к самым невероятным заключениям.
Наш первый софизм чрезвычайно элементарен. Мы предпошлем ему занимательный парадокс, на примере которого великий немецкий математик Давид Гильберт любил объяснять необычные свойства наименьшего из трансфинитных чисел «алеф – нуль». Как – то раз хозяину одной великолеп-ной гостиницы с бесконечным, но счет ным числом номеров, ни один из которых не был свобо ден, нужно было принять нового гостя. Хозяин вышел из положения очень просто: каждого из своих постояльцев он переселил в комнату, номер которой был на еди ницу больше номера прежней комнаты, в результате чего обитатель n-й комнаты переехал в (n + 1) – ю и освободил для нового гостя самую первую комнату. Как может поступить хозяин, если прибудет бесконечно мно го новых гостей? Ничуть не смущаясь, хозяин переселяет всех своих прежних постояльцев в комнаты с вдвое большими номерами (гость из комнаты 1 переезжает в комнату 2, гость из комнаты 2 в комнату 4, гость из комнаты 3 в комнату 6, гость из комнаты 4 в комнату 8 и т. д.) и размещает вновь прибывших в освободившихся комнатах с нечетными номерами.
Но так ли необходимо хозяину иметь счетное число комнат для того, чтобы разместить новых гостей? В при веденных ниже стишках, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в де вяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.
«Их было десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».
- Пусти, хозяин, ночевать, Не будешь ты в убытке, Нам только ночку переспать, Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.
- Восьми гостям я предложу Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.
Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.
Как охладить страстей тех пыл,
Умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.
Спал третий в «Б», четвертый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег
С шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ от «И» вручить был рад
Десятому герою.
Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами.
Примером более тонкого математического софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число a равно меньшему числу b.
Начнем с равенства
а = b + с.
Умножив обе его части на а - b, получим
a2 - ab = ab + ас - b2 - bc.
Перенесем ас в левую часть:
а2 - ab - ас = ab - b2 - bc
и разложим на множители:
а (а - b - с) = b(a - b - с).
Разделив обе части равенства на а - b - с, найдем
а = b,
что и требовалось доказать.
Еще более удивительное «доказательство» равенства 1=-1:
(-1)^1/2=(-1)^1/2
(1/(-1))^1/2=(-1/1)^1/2
(1^1/2)/((-1)^1/2)= ((-1)^1/2)/(1^1/2)
1^1/2*1^1/2=((-1)^1/2)*((-1)^1/2)
1=-1
В планиметрии большая часть ошибочных доказа тельств связана с использованием неправильных черте жей. Рассмотрим, например, удивитель-ное «доказатель ство» того, что площадь лицевой стороны многоуголь ника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «дока зательство» придумано врачом – психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, недав-но открытый П. Керри.
Прежде всего начертим на листе бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам, и разрежем его вдоль прямых, показан-ных на верхнем рисунке. Перевернув части треугольника на другую сторону и составив из них треугольник, изобра женный на рис. 2 в середине, мы обнаружим, что в центре нового треугольника появилась дырка пло щадью в 2 клетки. Иначе говоря, суммарная площадь частей исходного треугольника при переворачивании уменьшилась до 58 клеток! Перевернув еще раз (лице вой стороной вверх) лишь три части исходного тре угольника, мы сможем составить из всех шести частей фигуру, изображенную на рис. 2 внизу. Ее площадь равна 59 клеткам. Что – то здесь не так, это ясно, но что именно?
Теория вероятностей изобилует правдоподобными, но логически не безупречными рассуждениями. Предпо ложим, что вы встретились со своим другом и что каждый из вас носит тот галстук, который ваша жена подарила ему на рождество. Вы начинаете спо рить о том, чей галстук дороже, и в конце концов ре шаете пойти в магазин, где были куплены галстуки, и узнать, сколько стоит каждый из них. Тот, кто выиграет (чей галстук окажется дороже), по условию пари должен отдать свой галстук проиг-равшему, чтобы смягчить горечь поражения.
Вы рассуждаете так: «Шансы выиграть и проиграть у меня одинаковые. Выиграв я обеднею на сумму, равную стоимости моего галстука. Проиграв, я получу более дорогой галстук. Следовательно, заключив пари, я окажусь в более выгодном положении, чем мой приятель».
Разумеется, ничто не мешает вашему другу рассуждать точно также. Могут ли обе стороны, заключившие пари, иметь преимущество друг перед другом?
Один из наиболее впечатляющих парадоксов топологии заключается в том, что тор, если его поверхность растягивать, можно вывернуть наизнанку через любую сколь угодно малую дырочку. Никакой проблемы здесь нет.
Но уж если тор действительно можно вывернуть наизнанку, то следует обратить внимание и на еще один факт. На наружной стороне проведем ме-ридиан, проведем параллель. Обе эти окружности сцеплены между собой. Вывернем теперь тор наизнанку через дырочку в его поверхности. Как видно из ниж него рисунка, первая окружность перейдет с наружной поверх-ности тора внутрь, а вторая – наружу, и обе окружности окажутся расцеплен-ными! Очевидно, что это нарушает фундаментальный топологический закон, кото рый гласит: разделить две сцепленные замкнутые кривые можно, лишь разорвав одну из кривых и протащив через место разрыва вторую.
В последнем софизме, заимствованном из эле ментарной теории чисел, речь пойдет о сравнительных достоинствах «интересных» чисел. Разумеется, числа могут представлять интерес с различных точек зрения. Так, для Джорджа Мура, когда он писал свою знамени тую оду тридцатилетней женщине, особый интерес пред ставляло число 30. Для специалиста по теории чисел число 30 представляет, по – ви димому, еще больший интерес, поскольку это наиболь шее из чисел, обладающих тем свойством, что все меньшие числа, не имеющие с ними общих делителей, просты. Число 15 873 также небезынтересно: если его умножить сначала па любую цифру, то есть на любое из чисел от 1 до 9, а затем на 7, то результат будет со стоять из по-вторений выбранной для первого умноже ния цифры. Еще более удивитель-ными свойствами обла дает число 142 857: умножая его на числа от 1 до 6, вы будете получать циклические перестановки одних и тех же шести цифр.
Возникает вопрос: существуют ли неинтересные числа? С помощью элементарных рассуждений нетрудно доказать, что неинтересных чисел нет. Если бы скучные числа существовали, то все число можно было бы раз бить на два класса: интересные числа и неинтересные, скучные числа. Во множе-стве неинтересных чисел на шлось бы одно число, которое было бы наи-меньшим из всех неинтересных чисел. Но наименьшее из всех неин тересных чисел – это уже число само по себе интерес ное. Поэтому мы должны были бы изъять его из множе ства неинтересных чисел и перевести в другое множе ство. В оставшемся множестве в свою очередь нашлось бы наименьшее число. Повторяя этот процесс доста точно долго, можно сделать интересным любое неинте ресное число.
Рассмотрим еще несколько интересных софизмов.
Все числа равны между собой. Пусть m не равно n. Возьмем тождество: m^2-2mn+n^2=n^2-2mn+m^2. Имеем: (m-n)^2=(n-m)^2. Отсюда m-n=n-m или 2m=2n, а значит, m=n. В чем ошибка? А ошибка в том, что мы не можем просто так снять квадрат с выражений. Надо рассматривать несколько случаев.
Отрицательное число больше положительного. Возьмем два положи-тельных числа a и b. Сравним два отношения: a/b и -a/b. Они равны, так как каждое из них равно –a/b. Можем составить пропорцию: a/b=-a/b. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашего случае a>-b; следовательно, должно быть -a>b, т. е. отрицательные число больше положительного. В чем ошибка? А ошибка в том, что свойство пропорции гласит: если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то и предыдущий член второго отношения больше своего последующего. Оно может оказаться неверным, если некоторые чле-ны пропорции отрицательны.
***
Наибольшее беспокойство доста вляет софизм с вывернутым наизнанку тором. Тор дейст вительно можно вывернуть наизнанку, но это изменяет его ориентацию. В результате обе окружности меняются местами и остаются в зацеплении. Если отрезать ниж нюю часть чулка и сшить концы в трубку, получится превосходная модель тора. На ней нитками различных цветов можно простегать меридиан и параллель. Такой тор легко вывернуть через дырочку в поверхности, при этом прекрасно видно все, что происходит с меридианом и параллелью.
Подробное объяснение софизма с треугольником и некоторые другие головоломки можно найти в двух гла вах «Исчезновение фигур» моей книги «Математические чудеса и тайны». Софизм с галстуком подробно разобран у М. Крайчика.
4. Логические задачи (9 задач).
1. Сцепление болта. Два одинаковых болта сцеплены нарезкой (рис. 4). Взяв их покрепче за головки, чтобы они не могли поворачиваться, обведите несколько раз один болт вокруг другого в направлении, указанном стрелками (повертев перед этим большими пальцами рук, вы сможете наглядно представить себе движение болтов).
Будут ли головки болтов: а) сближаться, б) расхо диться или в) остава-ться на неизменном расстоянии друг от друга?
Использовать при решении задачи настоящие болты не разрешается.
2. Кругосветный полет. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вме щают столько топлива, что его хватает на облет поло вины земного шара. При заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество го-рючего. На земле заправку можно производить только на остроге. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, без потерь времени.
Чему равно минимальное число самолетов, которые смогут обеспечить полет одного самолета по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?
3. Окружность на шахматной доске. Сторона клетки на шахматной доске равна 4см. Чему равен радиус наи большей окружности, которую можно провести на шах матной доске так, чтобы она проходила только по чер ным клеткам?
4. Универсальная пробка. Во многих сборниках го ловоломок объя-сняется, как вырезать пробку, которой можно плотно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия (рис. 5). Не менее интересно вычислит! объем такой пробки. Предположим, что радиус ее круг лого основания равен единице длины, высота – двум единицам и что ребро в ее верхней части (имеющее в длину также две единицы) расположено строго над одним; диаметров основания и параллельно ему. Все параллельные сечения проб-ки, плоскость которых перпендикулярна верхнему ребру, имеют вид треу-гольников.
Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего прямолинейного, и нижнего реб-ра, имеющего форму окружности. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру.
Разумеется, объем пробки нетрудно вычислить методами анализа, но найти его можно и более простым спо собом, зная лишь, что объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
5. Повторяющееся число. Если у вас соберутся гости, вы сможете удивить их необычным фокусом. Попросите одного из гостей – назовем его А – написать на листке бумаги какое – нибудь трехзначное число два раза под ряд, чтобы получилось шестизначное число (например, 394 394). Отвернитесь так, чтобы вы не могли видеть написанное число, и попросите А передать листок дру гому гостю В, которого попросите разделить число на 7.
«Об остатке не беспокойтесь, его не будет», гово рите вы гостю В, и он с удивлением убеждается, что вы правы (например, 394 394 при делении на 7 дает 56342). Не сообщая вам результат, В передает листок бумаги третьему гостю С, который делит полученный В резуль тат на 11. Вы снова утверждаете, что остатка не будет, и снова оказываетесь правы (56 342 при делении на 11 дает 5122).
Не оборачиваясь к гостям и не зная, какие цифры написаны на листке бумаги, вы просите передать его четвертому гостю D, который должен поделить послед ний результат на 13. Снова деление происходит без остатка (5122 при делении на 13 дает 394). Окончатель ный результат D записывает на клочке бумаги и, сло жив его, передает вам. Не разворачивая листка с отве том, вы передаете его А и говорите: «Разверните листок и вы увидите свое трехзначное число».
Докажите, что фокус получается всегда, независимо от того, какое число выберет первый гость.
6. Столкновение ракет. Две ракеты летят навстречу друг другу, одна - со скоростью 9000 миль/час, а дру гая – со скоростью 21000 миль/час. Их стартовые пло щадки находятся на расстоянии 1317 миль одна от дру гой. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.
7. Как передвинуть монеты. На ровной гладкой по верхности (например, на столе) выложен треугольник из шести монет (рис. 6). Требует-ся за наименьшее число ходов передвинуть монеты так, чтобы они образо вали кольцо, показанное на рис. 6 внизу. Каждый ход состоит в передвиже-нии только одной монеты. Сдви гать при этом с места другие монеты нельзя. В новом положении каждая монета должна касаться двух дру гих монет. Поднимать монеты с поверхности при реше нии задачи не разрешается.
8. Рукопожатия и графы. Докажите, что число уча стников послед-него конгресса биофизиков, обменяв шихся рукопожатиями нечетное число раз, четно. Та задача допускает и графическую интерпретацию. На листе бумаги поставьте любое число (каждая точка изображает участника конгресса). Между двумя любыми точками разрешается проводить сколь угодно линий. Каждая точка может неограниченное число раз «обмениваться рукопожатиями» с другими точками или быть необщительной и не здоро-ваться ни с кем. Докажите, что число точек, из которого исходит нечетное число линий, четно.
9. Необычная дуэль. Смит, Браун и Джонс, решив внести в обычную дуэль на пистолетах некоторое разно образие, условились провести поединок по несколько измененным правилам. Вытащив жребий и узнав, кому из них выпало стрелять первым, кому – вторым и ко му – третьим, они разошлись по своим местам, встав в вершинах равностороннего треугольника. Договори лись, что каждый по очереди производит лишь один вы стрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продол жается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только резуль-татами жеребьевки и остается неизменной в тече ние всего поединка.
Все три участника знают своих противников. Смит никогда не прома-хивается, Браун попадает в цель в 80% случаев, а Джонс, стреляющий хуже всех, промахи вается так же часто, как и попадает в цель.
Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уце леть, если считать, что все трое придерживаются опти мальных стратегий и никто из них не будет убит шаль ной пулей, предназначенной другому? Более трудный вопрос: чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?
Ответы.
1. Головки болтов не сближаются и не расходятся. Движение болтов можно сравнить с движением чело века, идущего вверх по спускающемуся эскалатору со скоростью эскалатора.
2. Для обеспечения кругосветного полета одного са молета достаточно двух самолетов. Сделать это можно многими способами. Способ, предлагаемый нами, по – видимому, наиболее экономичен: расходуется лишь пять заправок горючего, пилоты двух обеспечивающих полет самолетов успевают перед вылетом с базы выпить по чашке кофе и перехватить по бутерброду, а весь метод обладает не лишенной приятности симметрией.
Самолеты А, В и С стартуют одновременно. Проле тев 1/8 намеченного расстояния (то есть длины окруж ности большого круга), С перекачивает 1/4 исходного запаса горючего в баки А и 1/4 – в баки В, после чего у него остается 1/4 заправки. Этого количества горючего ему хватает, чтобы вернуться на базу.
Самолеты А и В, продолжая полет, проходят еще 1/8 кругосветного маршрута, после чего В перекачивает 1/4 заправки в баки А. Баки В остаются заполненными ровно наполовину, и он благополучно дотягивает до род ного аэродрома, совершая посадку уже с пустыми баками.
Полностью заправленный самолет А продолжает ле теть до тех пор, пока у него не кончится горючее. К этому моменту он находится на рассто-янии 1/4 всего пути от базы, и его встречает самолет С, успевший пере заправиться на острове. С перекачивает в баки А 1/4 за правки и вслед за А берет курс на базу. На расстоянии 1/8 окружности земного шара горючее у А и С кон чается, но тут их встречает побывавший на базе В, ко торый отдает каждому из них по 1/4 полной заправки. После этого топлива в баках каждо-го самолета хватает как раз на то, чтобы благополучно вернуться на свою базу (правда, садиться приходится с пустыми баками).
Графически весь полет можно изобразить с помощью диаграммы, показанной на рис. 7, где по горизонталь ной оси отложено расстояние, а по вертикальной – время. Правый и левый края диаграммы следует счи тать склеенными.
3. Взяв раствор циркуля равным квадратному корню из 20 см и поставив его острие в центр черной клетки на шахматной доске с четырех-сантиметровыми клетками, вы сможете описать наибольшую из окруж-ностей, про ходящих только по черным клеткам.
4. Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндриче ской, соответствующие сечения были бы прямоугольни ками, при этом площадь каждого прямоугольного сече ния была бы вдвое больше площади треугольного сече ния. Поскольку цилиндр можно считать состав-ленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсаль ной пробки должен составлять половину объема ци линдра: объем цилиндра равен 2пи, следовательно, объем универсальной пробки равен пи.
В действительности же существует бесконечно много пробок различной формы, которыми можно заткнуть все три отверстия. Пробка той формы, которая описана в условии задачи, имеет наименьший объем по сравне нию с любым выпуклым телом, способным заткнуть те же три дырки. Пробку наибольшего объема нетрудно получить, если обрезать цилиндрическую пробку так, как показано на рис. 8. Именно эту форму пробки обычно имеют в виду составители сборников головоло мок, предлагая читателям найти универсальную за тычку, подходящую к круглому, треугольному и квад ратному отверстиям. Ее объем равен 2пи – 4/3.
5. написать подряд два раза трехзначное число – все равно, что умножить это число на 1001. Число 1001 разлагается на простые множители 7, 11, 13, поэтому приписав к трехзначному числу его же еще раз справа, задумавший просто умножает свое число на 7*11*13. разделив шестизначное число на 7, 11 и 13, он получает снова исходное число.
6. Две ракеты сближаются со скоростью 30 000 миль/час, или 500 миль/мин. Отсчитывая время назад, от момента столкновения, мы получаем, что за минуту до столкновения ракеты должны были бы нахо диться на расстоянии 500 миль друг от друга.
7. Рассмотрим исходное расположение монет в виде треугольника. Обозначим цифрой 1 верхнюю монету, цифрами 2 и 3 – монеты в следующем ряду и цифрами 4, 5, 6 – монеты в нижнем ряду. Следующие четыре хода поз-воляют получить представление о множестве других решений: передвинем монету 1 так, чтобы она коснулась 2 и 4; монету 4 передвинем так, чтобы она коснулась 5 и 6; монету 5 передвинем так, чтобы она коснулась монет 1 и 2 снизу, и, наконец, монету 1 передвинем так, чтобы она коснулась монет 4 и 5.
8. Поскольку в каждом рукопожатии участвуют двое людей, полное число рукопожатий, которыми обменялись все участники конгресса, делится на 2 и поэтому четно. Число рукопожатий, приходящихся на долю тех, кто об менялся со своими коллегами четным числом рукопожатий, очевидно, четно. Только сумма четного числа нечетных слагаемых может быть четным числом, поэтому число тех участников конгресса, которые обменялись с другими участниками нечетным числом рукопожатий, четно.
То же утверждение можно доказать и иным путем. Перед началом работы конгресса число его участников, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, равно 0. После первого рукопожатия появляются два «нечет-ных участника». Все рукопожатия, начиная со второго, де лятся на три типа: рукопожатия между двумя «чет ными» участниками, рукопожатия между двумя «нечет ными» участниками и «смешанные» рукопожатия между «четными» и «нечетными» участниками. Каждое «четно – четное» рукопожа-тие увеличивает число «нечетных» уча стников на 2. Каждое «нечетно – не-четное» рукопожатие уменьшает число «нечетных» участников также на 2. Каждое «нечетно – четное» рукопожатие превращает «не четного» участника в «четного» и, наоборот, «четного» участника в «нечетного» и, таким обра-зом, оставляет число «нечетных» участников без изменения. Поэтому четное число биофизиков, обменявшихся нечетным чис лом рукопожатий, не может изменить своей четности и должно всегда оставаться четным.
Оба доказательства применимы к графу, на котором линии связывают точки попарно. Линии графа образуют сеть. Число точек сети, из которых выходит нечетное число линий, четно.
9. Наибольшую вероятность выжить в «треугольной» дуэли имеет худший из стрелков, Джонс. Следом за ним идет Смит, который никогда не промахивается. По скольку противники Джонса, когда настает их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для Джонса заклюю-чается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его против-ников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.
Легче всего подсчитать вероятность остаться в жи вых для Смита. В дуэли с Брауном с вероятностью 1/2 он стреляет первым. В этом случае он убивает Брауна. Браун, который попадает в цель в 4 случаях из 5, стре ляет первым также с вероятностью 1/2. В этом случае Смит остается в живых с вероятностью 1/5. Таким обра зом, Смит с вероятностью 1/2 + 1/2*1/5=3/5 переживает Брауна. Если Смит остается в живых, то в него стреляет Джонс, который в 1/2 всех случаев промахивается. Но если Джонс промахивается при своем первом выстреле, то Смит, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1/3 Смит выходит из дуэли с Джонсом живым и невредимым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими своими против никами для Смита равна 3/5*1/2=3/10.
Случай с Брауном более сложен, потому что требует рассмотрения бесконечного множества случаев. Вероят ность остаться в живых после дуэли со Смитом для Брауна равна 2/5 (мы только что показали, что Смит в дуэли с Брауном имеет вероятность уцелеть, равную 3/5; так как в живых должен остаться лишь один из дуэ лянтов, искомую вероятность для Смита мы находим, вычитая 3/5 из 1). Затем в Брауна стреляет Джонс, ко торый попа-дает в цель лишь в половине случаев. Если Джонс промахивается, то Браун с вероятностью 4/5 уби вает его. Итак, на этом этапе дуэли Браун с вероят ностью 1/2*4/5=4/10 выходит победителем из поединка с Джонсом. Но с вероятностью 1/5 Браун может промах нуться, после чего Джонс имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1/2 Браун останется в живых, и то гда он в свою очередь сможет выстрелить в Джонса и с вероятностью 4/5 убить его. Шансы Брауна остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1/2*1/5*1/2*4/5=4/100.
Если Браун снова промахнется, то во время третьего тура он может убить Джонса лишь с вероятностью 4/1000. В случае повторного промаха во время четвертого тура он попадет в Джонса с вероятностью 4/10000 и т. д. Таким образом, шансы Брауна пережить Джонса равны сумме бесконечного ряда 4/10+4/100+4/1000+4/10000
Это не что иное, как бесконечная периодическая де сятичная дробь 0,44444..., равная 4/9.
Ранее мы видели, что Браун с вероятностью 2/5 мо жет пережить Смита. Только что мы показали, что с ве роятностью 4/9 он останется в живых после дуэли с Джонсом. Вероятность того, что именно Браун переживет обоих своих противников, равна 2/5*4/9=8/45.
Аналогичным способом можно посчитать вероятность уцелеть для Джонса, но проще получить ее вычитанием 1 соответствующих вероятностей для Смита 3/10 и Брауна 8/45. Она оказывается равной 47/90.
Весь поединок удобно изобразить с помощью специального графа – дерева дуэли (рис. 9). В начале ствол дерева раздваивается. Это происходит потому, что если первым стреляет Джонс, то он производит свой выстрел в воздух, после чего остаются две равновероятные воз можности: стреляет либо Смит, либо Джонс (эти двое стреляют «вполне серьезно», с твердым намере-нием убить своего противника). Одна из ветвей дерева простирается до бесконечности. Подсчет вероятности для того или иного дуэлянта остаться в живых производится следую щим образом:
1. Нужно отметить все ветви дерева, в которых инте ресующий нас участник поединка является единствен ным из всех троих, оставшихся в живых.
2. Идя от каждой из отмеченных ветвей назад к корню дерева, следует перемножить вероятности всех пройденных отрезков пути. Произведение даст вероят ность события, соответствующего концу отмеченной ветви.
3. Сложить все вычисленные в п. 2 вероятности. Их сумма будет интересующей нас вероятностью выжива ния того или иного дуэлянта.
При вычислении вероятностей выжить для Брауна и Джонса приходит-ся принимать во внимание бесконечно много ветвей, однако с помощью графа нетрудно ука зать формулу общего члена соответствующего ряда.
5. Заключение.
Так, в этой работе мы затронули интересный вопрос о комбинаторных задачах, рассмотрели подробно математические софизмы и парадоксы, несколько примеров логических задач. Таким образом, все эти вопросы позволят ученикам 8 класса расширить свои логические способности, обрести навыки творческого мышления.
6. Список использованной литературы.
1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971г.
2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк.- 5 изд.- М.: Просвещение,1988.-160с.
13PAGE 15
13PAGE \* MERGEFORMAT14215
13PAGE \* MERGEFORMAT14115
15