Конспект урока по алгебре в 9 классе по теме Комбинаторные задачи
МОБУ СОШ с.ТарказыУчитель- Бурганова Ф.Г.
Конспект урока в 9 классе на тему
Комбинаторные задачи
Цели урока
Обучающие:
Знакомство учащихся с методами решения и оформления комбинаторных задач:
перебор возможных вариантов;
дерево возможных вариантов;
правило умножения;
Развивающие:
развитие комбинаторного мышления учащихся;
формирование интеллектуальных умений: анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать и систематизировать, разрешать проблемы,
развитие инициативы, уверенности в своих силах, умения преодолевать трудности в учении.
развитие познавательного интереса учащихся.
Воспитывающие:
содействовать формированию основных мировоззренческих идей.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
Учащимся предлагается решить задачу: «Для начала рассмотрим простой пример. Пусть в некотором регионе решили ввести формат номера автомобиля в виде числа. Вопрос: какое количество автомобилей мы сможем снабдить различными номерами? Внимательный учащийся сразу заметит неполноту формулировки задачи, не правда ли? И действительно, во-первых, не указано, какое количество знаков должно находиться в номере автомобиля, во-вторых, какие значения могут принимать отдельные цифры такого номера. Ну и конечно, как принято при решении подобных задач, начнем мы решение с рассмотрения самых простых случаев.
Пусть приняты только трехзначные номера, причем формируются они только цифрами 1, 2 и 3. Также вводится несколько нестандартное требование: пусть одна и та же цифра в номере будет встречаться не более одного раза. Это нужно для упрощения решения. В этом случае ответить на вопрос задачи совсем просто. Нужно перечислить все возможные комбинации из трех цифр. Вот они: , , , , , .» ( Ответ – 6)
Учитель задает вопрос, а каким вопросом можно было заменить первоначальный вопрос к задаче? (СОСТАВИТЬ РАЗЛИЧНЫЕ КОМБИНАЦИИ) Таким образом выходим на тему урока и учащиеся в тетрадях записывают тему.
3. Постановка учебной задачи.
Учитель сообщает учащимся, что по Новым образовательным стандартам в программу введены темы «Комбинаторные задачи», «Статистика», «Теория вероятности», которые включены ещё и в ГИА.
4. Решение учебной задачи.
1.Что такое комбинаторика?
2.Какие задачи она решает? Учащиеся с помощью учителя формулируют определение.
3.Какими способами можно решать комбинаторные задачи? Можно ли решать комбинаторные задачи с помощью формул?
На эти вопросы мы постараемся ответить к концу урока
1.Комбинаторика - раздел математики, рассматривающий вопросы, связанные с подсчётом числа всевозможных вариантов из элементов данного конечного множества при сделанных исходных предположениях. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».
Пример2.
Давайте теперь будем нумеровать машины четырехзначными числами. Причем каждая цифра числа будет меняться в диапазоне от одного до четырех. Также сохраним требование к однократному присутствию каждой цифры в номере. Здесь перебирать номера вручную уже заметно тяжелее, если не верите, убедитесь самостоятельно. А пока воспользуемся следующим приемом:
первая цифра номера – 4 значения;
вторая – 3 значения;
третья – 2 значения.
У последней цифры остается только одна возможность. Тогда общее количество вариантов равно произведению . Этот перебор можно проиллюстрировать при помощи так называемого дерева возможных вариантов (Рис. 1.). Номера машин можно получить, если прочитать каждую ветку данной схемы сверху вниз.
Рис. 1. Дерево вариантов автомобильных номеров
24 – это уже значительно лучше, чем 6, однако все равно нам этого мало. В предыдущем примере мы воспользовались так называемым правилом умножения.
Правило умноженияЕсли, независимо друг от друга, элемент можно выбрать способами, элемент – способами и так далее, то комбинацию можно выбрать способами.
Чтобы закрепить данное правило, давайте решим следующую задачу:
Дано меню:
Салаты Супы Вторые блюда Гарниры Десерты
-тыквенный;
-капустный;
-мясной;
-редисовый;
-сырный -рыбный суп;
-куриный суп;
-овощной суп;
-гороховый суп -колбаса;
-куриное филе;
-рыбное филе;
-овощная котлета;
-кабачки;
-голубцы -гречка;
-рис;
-картофель -крем;
-мороженное
1.Сколько различных вариантов комбинаций блюд сможет себе выбрать Айнур, если Айнур решил взять с каждого пункта меню по одному блюду?(5*4*6*3*2=720)
2.Ильнар решил взять один из видов салата, второго блюда,и гарнира.Сколько различных вариантов комбинаций блюд?(5*6*3=90)
Пример об автомобильных номерах. (Продолжение)В случае, когда мы выбираем цифры из четверки цифр, каждая последующая цифра имеет количество способов выбора на единицу меньше предыдущей цифры. Тогда умножение этих количеств способов приводит нас к понятию факториала.
ФакториалФакториал (обозначается ) – произведение подряд идущих первых натуральных чисел.
Заметьте: при этом полагается, что факториал нуля равен единице: и факториал единицы также равен единице .
Приведем несколько первых значений для n-факториала:
Следует обратить внимание на еще одно важное свойство факториала: значение факториала очень быстро возрастает с увеличением . Так, значение уже больше чем , а превышает триллиона.
Решим несколько примеров с факториалами:
1.
На рассмотренных примерах мы смогли убедиться, что число способов, которыми можно составить, например, четырехзначный номер из четырех цифр, равно . Очевидно, что здесь есть общая закономерность, когда количество распределяемых элементов, то есть цифр, совпадает с количествами элементов, по которым надо распределить, то есть количеством разрядов в числе. В этом случае мы имеем дело с примером так называемой «перестановки».
ПерестановкиПерестановка из элементов – каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
На основании предыдущих рассуждений можно сформулировать такое утверждение: различных элементов можно расставить по одному на различных мест ровно способами.
– число перестановок.
Вновь вернемся к нашему примеру. Будем обсуждать случай, когда число знаков в автомобильном номере, то есть количество распределяемых элементов, меньше количества элементов, по которым нужно распределить, то есть количества цифр, из которых состоит номер. Здесь мы имеем дело уже не с перестановками, а с так называемыми «размещениями».
РазмещенияРазмещение из элементов по , где меньше, либо равно , – любое множество, состоящее из элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов. Таким образом, два размещения из элементов по считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком из расположения.
– число размещений.
Опираясь на правило умножения, можно найти выражение для .
Задача. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?
Решение (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {1, 3, 5, 7, 9} – нечетные цифры n=5
Соединение – двузначное число m=2
Проверим, важен ли порядок: 13 не равен 31. Это разные двузначные числа зачит, порядок важен Это последовательность Это размещение из пяти по два
Ответ: 20 чисел.
Если рассмотреть подобные примеры при различных n и k, то можно убедиться, что все они описываются одной формулой:
Мы получили формулу для вычисления числа размещений из n элементов по k, при k<n .
Формула для числа размещений остается справедливой и в случае, когда k=n . . В этом случае мы имеем формулу для числа размещений из n элементов по n: .
Но давайте обратим внимание: когда мы говорим «число размещений из элементов по », то такие размещения отличаются друг от друга лишь порядком элементов, ведь состав элементов у них один и тот же. И там по элементов. А мы помним, что те перечисления, которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов, называются перестановками. То же самое получим при помощи формулы: итак, при мы получаем:
Мы пришли к уже известной формуле числа перестановок.
Пример об автомобильных номерах. (Продолжение2)Будем снова считать, что каждая цифра номера лежит в диапазоне . Для простоты снова рассмотрим трехзначные номера без повторения цифр. Представим себе такую ситуацию: нам необходимо разделить автомобили на группы по профессиональной принадлежности владельца. Например, врачам будем выдавать лишь номера, состоящие из цифр 1, 2 и 3. Учителям – только номера, состоящие из цифр 1, 2 и 4, и т. д. Вопрос: сколько различных профессий мы сможем идентифицировать таким способом?
В чем отличие такой задачи от той, где мы подсчитывали число размещений? А разница в том, что здесь для нас не имеет значения порядок следования цифр. Т. е., к примеру, если мы видим автомобиль с номером , или автомобиль с номером , или автомобиль с номером , то мы однозначно утверждаем, что за рулем этой машины сидит врач. Если мы видим автомобиль с номерами , или то мы говорим: «Это едет учитель».Теперь, как же ответить на вопрос задачи?
Для этого нам просто необходимо перебрать все варианты группировок из 4 цифр по 3 (Рис. 2).
Рис. 2. Автомобильные номера
После чего, объединить в группы номера, отличающиеся только порядком цифр (Рис. 3).
Рис. 3. Автомобильные номера, объединенные в группы
Нужно подсчитать количество групп, которое вы видите на Рис. 3. Это количество мы будем называть «сочетанием».
СочетаниеСочетанием из элементов по называется любое множество, составленное из элементов, выбранных из данных элементов.
В отличие от размещений, в сочетаниях для нас совершенно не важен порядок следования элементов. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, то есть составом.
– число сочетаний
В рассмотренном примере число вариантов равно (число различных профессий, которые мы сможем идентифицировать при помощи автомобильных номеров).
Выражение для числа сочетаний.
Докажем, что
Допустим, имеется множество, содержащее элементов, из его элементов составлены все возможные сочетания по элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом таком сочетании можно выполнить ровно перестановок. В результате получим все размещения, которые можно составить из элементов по . Их число равно .
Получаем .
Пользуясь формулой для числа размещений, где , находим, что число сочетаний из по равно:
Задача: Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?
Решение. (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика} n=5
Соединение – букет из трех цветков m=3
Проверим, важен ли порядок:
{тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} – один и тот же букет порядок неважен это подмножество это сочетание «из пяти по три».
Ответ: 10 букетов
Вычислим количество сочетаний из 4 по 3, полученное в задаче c автомобильными номерами:
Это совпадает с ранее посчитанным количеством групп.
Задача на сочетание элементовВ 9 классе учатся 7 мальчиков и 6 девочек. Для уборки территории школы необходимо выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно это сделать?
Выбрать трех мальчиков из 7 можно числом способов .
Двух девочек из десяти можно выбрать числом способов .
Поскольку при выборе каждого мальчика выбор девочек совершенно независим, то есть эти события независимы, значит, общее количество вариантов равно произведению по правилу умножения:
В заключение резюмируем основные моменты урока.
Как вы могли заметить, большинство из рассмотренных примеров имеют вполне ощутимое отношение к реальной жизни. Ведь в жизни нам часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда необходимо подсчитать число каких-либо вариантов. Мы обычно начинаем просто перечислять эти варианты, многое упуская из виду. Комбинаторика как раз позволяет нам избавиться от такого прямого пересчета вариантов, заранее вычислив их количество.
Самое трудное в такой ситуации – это понять, с каким из видов перечислений вы имеете дело: с перестановкой, размещением или сочетанием. При этом, конечно, не следует думать, что любые варианты сводятся к этим трем видам перечислений. Примеры других типов перечислений будут рассмотрены на дальнейших уроках. Кроме того, комбинаторные расчеты имеют важнейшее значение для теории вероятности, и об этом мы тоже будем говорить на других уроках.
Я думаю, мы теперь сможем ответить на третийвопрос , поставленный вначале урока
3.Какими способами можно решать комбинаторные задачи? Можно ли решать комбинаторные задачи с помощью формул?
- перебор возможных вариантов;
- дерево возможных вариантов;
- комбинаторное правило умножения;
- с помощью формул перестановок, размещений и сочетаний.
И это далеко не все способы решения комбинаторных задач. С некоторыми мы ознакомимся наследуюших уроках. А теперь обобщим и выделим главное
5. Рефлексия.
Что мы сегодня повторили? Что нового узнали? Что ещё хотелось бы узнать?
6. Домашнее задание.
1.Изучить п.18
2.Выучить правило умножения, формулы перестановки, размещения, сочетания
З.Решить следующие задачи:
1. В знаменитой басне Крылова «Квартет» проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения. Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?
2. В 9 классе обучается 13 учеников. Сколькими способами можно составить график дежурства по классу, если группа дежурных состоит из двух учащихся?
3. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
4. Сколькими способами можно наугад зачеркнуть 6 чисел из 49?
Общий вывод урока:
«Жизнь — это череда выборов» (Нострадамус).
Чтобы занять свое место в жизни, нужно учиться выбирать. Из кинофильма “Розыгрыш”
Использованныематериалы