Экономические задачи (сложные проценты)

Экономические задачи (сложные проценты). Учитель: Яновская Светлана Ивановна.
МБОУ «Гимназия №1».
Задача №1. 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите а.
Решение. Введем обозначение S – кредит под a%, X – транш (выплата),n – на сколько лет взят кредит,. Имеем: если года; если года. Выразим каждый год кредита через переменные . Найдем под какие проценты Олег взял кредит. Найдем b.
После первой выплаты сумма долга составит . После второй выплаты сумма долга составит . После третьей выплаты сумма долга составит.
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна
.
Так как Олег выплатит кредит за 4 года полностью, то , а если за 2 года полностью, то .
Из 1 уравнения,
из 2 уравнения , приравнивая правые части, имеем: . .
, , , , , , .
, .
, , . Ответ: 12,5%.
Задача №2. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит
под 14, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение. Имеем: S=4 290 000 рублей под a=14,5%, n=2, . X-?

.
Дмитрий за два года выплатил долг, значит, , .
.
Ответ: 2 622 050 рублей.
Задача №3. 31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение. Имеем: n =2 года, X=3 696 300, a=11%, .Найти S-?

.
Василий выплатил долг за два года, значит, , .
.
Ответ: 6 330 000 рублей.
Задача №4. 31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 000 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 000 рублей, во второй 649 600 рублей. Найдите а.
Решение. Имеем: S = 1 000 000, n=2, , , . Найти а%-?
.
Евгений выплатил кредит за два года, значит, .
,

, , .
- не подходит по смыслу задачи. , , . Ответ: 12%.
Задача №5. Тимофей хочет взять в кредит 1 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количества лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 000 рублей?
Решение. Заметим, что за 4 года Тимофей выплатит 270 000 · 4 = 1 080 000 рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый год долг увеличивается не более, чем 1 100 000 · 0,1=110 000 рублей (10% годовых). За 4 года проценты составят
110 000·4=440 000 рублей, значит, Тимофей выплатит проценты за 2 года
(270 000·2=540 000). Следовательно, Тимофей может взять кредит на 4+2=6 лет.
Или
по формуле , , , …, .
После первой выплаты сумма долга составит 1 100·1,1-270=940 (тыс. рублей);
После второй выплаты сумма долга составит 940·1,1-270=764 (тыс. рублей);
После третьей выплаты сумма долга составит 764·1,1-270=570,4 (тыс. рублей);
После четвертой выплаты сумма долга составит 570,4·1,1-270=357,44 (тыс. рублей);
После пятой выплаты сумма долга составит 357,44·1,1-270=123,184 (тыс. рублей);
После шестой выплаты сумма долга составит 123,184·1,1-135,5024=0 (тыс. рублей).
Ответ: 6 лет.
Задача №6. 31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Андрей переводит в банк 2 733 750 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение.
Введем обозначение S – кредит под a=12,5%, X=2 733 750 – транш (выплата),n=3 – на сколько лет взят кредит,. Найти S-?
После первой выплаты сумма долга составит . После второй выплаты сумма долга составит . После третьей выплаты сумма долга составит.
Так как Андрей выплатит кредит за 3 года полностью, то , ,
Ответ: 6 510 000 рублей.
Задача №7. Степан хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количества лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей?
(Ответ: 6 лет).
Задача №8. 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? (Ответ: 10%).
Задача №9. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в X банк рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
(Ответ: 2 916 000 рублей).
Задача №10. 31 декабря 2014 года Петр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Петр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Петр взял деньги в банке? (Ответ: 20%)
Задача №11. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тысяч рублей? (Ответ: 6 лет).
Задача №12. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
(Ответ: 2 296 350 рублей).
Задача №13. 1 января 2015 года Василий Михайлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Василий Михайлович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Василий Михайлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 137,5 тысяч рублей? (Ответ: 9 лет).
Задача №14. 31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Михаил переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? (Ответ: 6 409 000 рублей).
Задача №15. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тысяч рублей? (Ответ: 5 лет).
Задача №16. 31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке? (Ответ: 20%).
Задача №17. 31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? (Ответ: 7 490 000 рублей).
Задача №18. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количества лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей? (Ответ: 6 лет).
Задача №19. 31 декабря 2014 года Геннадий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Геннадий переводит очередной транш. Геннадий выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 600 тыс. рублей, во второй 550 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Геннадию? (Ответ: 10%).
Задача №20. 31 декабря 2014 года Иван взял в банке 8 540 000 рублей в кредит под 13,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 13,5%), затем Иван переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
(Ответ: 5 152 900 рублей).
Задача №21. 1 января 2015 года Олег Владимирович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Олег Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Олег Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тысяч рублей? (Ответ: 5 лет).
Задача №22. 31 декабря 2014 года Игорь взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 580 тыс. рублей, во второй 621,5 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю? (Ответ: 13%).
Задача №23. 31 декабря 2014 года Павел взял в банке 8 599 000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Павел переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Павел выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
(Ответ: 3 703 860 рублей).
Задача №24. Федор хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количества лет может Федор взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
(Ответ: 5 лет).
Задача №25. 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Максим переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 640 250 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 936 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Максим взял деньги в банке?
(Ответ: 12,5%).
Задача №26. Семен хочет взять в кредит 1,3 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количества лет может Семен взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч рублей?
(Ответ: 6 лет).