МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ПО ТЕМЕ: «Решение трансцендентных уравнений с помощью использованиясвойств функций»

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №2»
г.Горняка, Локтевского района, Алтайского края



МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ПО ТЕМЕ:


«Решение трансцендентных уравнений с помощью использованиясвойств функций»



Класс: 11

Профиль: математический

Тип урока: урок по изучению и первичному закреплению
новых знаний и способов действий

Технология проведения урока: технология КСО, «Кейс-метод»

Продолжительность занятия: 1 час 20 мин



Автор: Дреер Ольга Александровна,
учитель математики
















2013 год




Педагогическая идея урока:
Переход российского образования на новую ступень профильного обучения предполагает разработку и внедрение программ, либо определенных тем для специализированных профильных классов. Предполагается за счёт изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.
В классах математического профиля эти задачи можно реализовать за счёт: углубления и расширения программного материала; введения элективного курса; использования продуктивных технологий обучения.
На предложенном уроке все эти задачи решаются в единстве.
Предлагается урок по углублению знаний по теме «Решение уравнений». На уроке рассматривается новый способ решения уравнений с помощью свойств функций, не изучающийся по традиционной программе. Для организации деятельности учащихся на занятии использованы технология КСО (коллективный способ обучения), «Кейс- метод».
Кейс-метод широко применяется в профессиональном образовании. Считаю возможным его использовать и в профильном обучении в школе, так как данный метод в полной мере позволяет решать задачи профильного обучения
В переводе с английского Case означает:
Портфель, чемодан, сумка, папка (в нашем варианте – пакет документов для работы учащихся на уроке);
Ситуация, случай, казус, в ряде случаев – их сочетание (в нашем варианте – набор практических ситуаций, которые должны изучаться учащимися).
Сущность данного метода состоит в том, что учебный материал подается учащимся в виде проблем (кейсов), а знания приобретаются в результате активной индивидуальной и групповой работы: самостоятельного осуществления целеполагания, сбора необходимой информации, ее анализа с разных точек зрения, выдвижения гипотезы, выводов, заключения, самоконтроля процесса получения знаний и его результатов. Суть кейс–метода состоит в том, что усвоение знаний и формирование умений есть результат активной самостоятельной деятельности учащихся по разрешению противоречий, в результате чего и происходит творческое овладение знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей. В обучении с применением кейс–метода зона ближайшего развития учащихся расширяется до области проблемных ситуаций – области, при которой переход от незнания к знанию перестает быть для ученика основным, он становится естественным звеном, зоной его активного развития.
Главным условием использования кейс–метода в обучении является наличие противоречий, на основе которых формируются и формулируются проблемные ситуации, задачи, практические задания для обсуждения и нахождения оптимального решения учащимися. Противоречия, используемые для разработки ситуаций и заданий на данном уроке между:
– известными и новыми для учащихся способами решения уравнений;– имеющимися у учащихся знаниями и теми, которые нужны для решения ;– многообразием знаний и необходимостью выбирать лишь такое, использование которого может обеспечивать правильность и рациональность решения;– знаниями учащихся и теми требованиями, которые предъявляются на экзаменах в Вузы, на ЕГЭ.
Интеграция данного метода с технологией КСО позволяет более продуктивно решать проблему развития коммуникативных компетенций учащихся, вовлечь в активную совместную работу с личной ответственностью за действия каждого и собственные действия.
Педагогическая цель урока:
организация деятельности учащихся по систематизации собственных знаний по решению уравнений и изучению нового способа решения трансцендентных уравнений с использованием свойств функций.
Методика проведения занятия.
Средством для достижения поставленных целей является кейс, как пакет документов и проблем для работы учащихся. Основная задача учителя - стимулировать интерес учащихся к самостоятельной работе, активизировать и интенсифицировать их учебную деятельность.
Содержание кейса. (Смотри приложение №1)
Лекция по теме: « Решение уравнений с помощью свойств функций».
Инструкция по работе с лекцией.
Вопросы к лекции.
Практическое задание (решить уравнения)
Создание образовательного продукта
( памятка по решению уравнений).
6. Методика проведения дискуссии.
Критерии оценки работы по этапам.
Домашнее задание.
Литература основная и дополнительная.

План проведения урока.

13PRIVATE15№ п/п
Наименование этапа
Время
Этапа урока

1
Подготовка к занятию учителя и учащихся
Домашняя
Работа

2
Организационная часть.
2

3
Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся
10

4
Постановка целей. Организация работы учащихся с кейсом. Изучение нового материала
20

5
Проверка усвоения изученного материала.
10

6
Практическая часть. Дискуссия
30

7
Подведение итогов. Рефлексия.
6

8
Инструкция по выполнению домашнего задания
2

Методика каждого этапа.
1. Подготовка к занятию.
На этом этапе учитель проводит логический отбор учебного материала, формулирует проблемы. К данному занятию подготовлена лекция, поскольку данный материал не содержится в учебнике. Подобраны задания для практической части.
2. Организационная часть традиционна по своему содержанию и методике проведения.
3. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.
На данном этапе идёт активизация и актуализация опорных знаний по темам: «Функции», «Способы решения уравнений». Перед учащимися возникает проблема: ранее изученные способы не позволяют решать многие уравнения. Уравнения приводятся из заданий ЕГЭ, что повышает мотивацию изучения темы. Интересным моментом на данном этапе является представление учащимся задания открытого типа.
Постановка целей. Организация работы учащихся с кейсом. Изучение нового материала.
Учащиеся ставят цели занятия, работают с учебно – методическим обеспечением, дополнительной литературой, повторяют необходимый материал, анализируют предложенные ситуации, составляют план действий по решению проблемы.
На этом этапе каждый ученик должен знать, что делать и как работать с практическими ситуациями. Деятельность учащихся, в какой бы форме она не выступала, всегда имеет единое основание в процессе обучения – индивидуальное познание. Учащиеся самостоятельно работают с лекцией. Работа организуется в микрогруппах по “методу пилы” (“Новые педагогические и информационные технологии в системе образования” под ред. д-ра. пед. наук проф. Е.С.Полот.М., изд. “Академия”, 2002). Каждый ученик в группе изучает свое задание. Кроме консультаций с учителем, может осуществлять консультации с “экспертами” по этому вопросу из других групп. Затем идет взаимообучение в каждой группе, общее обсуждение вопросов к лекции, так чтобы любой ученик мог ответить на любой вопрос. Когда группы готовы, учитель может вызвать любого ученика из каждой группы для объяснения. Положительным эффектом данного метода является мера ответственности каждого перед товарищами, а также многократное изучение материала: сначала изучил сам, затем обсудил с «экспертами», затем объяснил товарищам, прослушал объяснение, прослушал уточнения учителя. Здесь так же прослеживается право выбора ученика на получение информации в зависимости от способностей: не смог разобраться сам, есть возможность получить объяснения товарища или учителя. При составлении лекции так же учитывается право выбора ученика на получение информации в зависимости от типа мышления. Для учащихся с преобладанием теоретического мышления представлены чёткие математические утверждения, для учащихся с наглядно-образным типом мышления представлены примеры с иллюстрациями.
5.Проверка усвоения изученного материала.
Так как учащиеся самостоятельно по кейсу изучают новый материал, необходимый для выполнения практического задания, возникает потребность в проверке его усвоения.
На данном уроке организуется фронтальный опрос по вопросам к лекции, учитель уточняет и обращает внимание учащихся на «ключевые моменты».
5.Практическая часть. Дискуссия.
Занимает центральное место в кейс – методе, так как это самый хороший метод изучения и обмена опытом. Работа учащихся организуется аналогично по «методу пилы». Каждый решает своё задание, затем объясняет его решение остальным. Важным заданием является не только решение уравнений, но и составление памятки по решению уравнений с помощью функций ( создание образовательного продукта). Потом идёт коллективная дискуссия, в ходе которой осуществляется представление вариантов решения каждого задания, ответы на возникающие вопросы, оппонирование.
При дискуссии ученики находят противоречия, ошибки, неточности, разные подходы, варианты решений, моделируют решения, действия, говорят, слушают, отстаивают мнение группы.
Методика проведения дискуссии ( смотри Кейс, приложение 1,2)
Результатом дискуссии является принятие единого, наиболее оптимального принятого после обсуждения экспертами совместно с преподавателем решения.
Каждая микрогруппа знает порядок дискуссии, критерии оценки выполнения работы и обсуждения проблемы – ситуации.
Учащиеся слушают друг друга, говорят сами, записывают, анализируют полученный результат, при этом спорят, учатся слушать, соглашаться с лучшим проектом решения, находят ошибки, проектируют решения, действия, готовят материал для дискуссии.
Выполнение этих правил дает возможность организовать развивающий учебный процесс, так как в решении творческой задачи учащиеся сначала ведут мысленный перебор известных им способов решения и, не найдя его в арсенале своего прежнего опыта, конструируют новый способ.
8. Подведение итогов. Рефлексия.
На этом этапе принимается коллективное решение проблемы, подводятся итоги работы групп и каждого в группе, учитель даёт анализ успешности деятельности учащихся.
9. Домашнее задание.
Домашнее задание делится на обязательную и дополнительную часть по выбору учащихся. Предлагается список дополнительной литературы по данной теме.
Обязательным для успешности данного урока является создание условий для проявления познавательной активности учащихся, постоянное стимулирование деятельности учащихся. К механизмам реализации стимулирующих функций на уроке можно отнести: организацию диалогического взаимодействия; предоставление права выбора получения, переработки информации, уровня трудности изучаемого материала, способа оценивания знаний и деятельности учащихся (ситуации выбора стимулируют внутреннюю мотивацию учащихся, причастность и ответственность ученика за свои успехи в учебной работе); предоставление всем учащимся права на творческое применение знаний ( включение олимпиадного задания, создание памятки по решению уравнений, по контролю за правильностью решения, памятки-консультанта).
Данный урок можно считать личностно-ориентированным, так как на нем реализуются основные идеи личностно-ориентированного обучения.



Тема урока: Решение трансцендентных уравнений с помощью использования свойств функций.
Тип урока: урок по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов
действий (с использованием технологии КСО и «Кейс-метода»).
Характеристика класса: профильный математический класс,
учащиеся имеют навыки групповой работы.
Цель урока:
организация деятельности учащихся по систематизации собственных
знаний по решению уравнений и изучению нового способа решения
трансцендентных уравнений с использованием свойств функций.
Задачи урока:
Направленные на развитие учебно-познавательных компетенций
создать условия активизации познавательных процессов учащихся в логике
ПИ13 EMBED Equation.3 1415ПА13 EMBED Equation.3 1415ПС13 EMBED Equation.3 1415УПД13 EMBED Equation.3 1415УД13 EMBED Equation.3 1415ПД
( познавательный интерес, познавательная активность, познавательная
самостоятельность, учебно-познавательная деятельность, учебная деятельность,
познавательная деятельность);
организовать деятельность учащихся на предметном материале урока по целеполаганию, планированию, анализу, рефлексии, самооценке, самоконтролю;
содействовать овладению учащимися навыками анализа ситуаций и нахождения оптимального решения ситуаций;
организовать деятельность учащимися по отработке навыков решения уравнений.
направленные на развитие информационных компетенций
способствовать отработке умений работы с информацией: поиск, анализ, отбор необходимой информации, её преобразование, использование для решения поставленной проблемы, в том числе умения затребовать дополнительную информацию, необходимую для уточнения ситуации;
направленные на развитие коммуникативных компетенций
продолжить формирование навыков групповой работы;
предусмотреть разнообразные и достаточно действенные способы стимулирования совместной деятельности учащихся; достижения значимых для всей группы результатов;
обеспечить условия для взаимозависимости учащихся друг от друга;
содействовать выработке принятия правильного решения на основе группового анализа ситуации;
помочь в организации рационального общего, группового и индивидуального стиля учебного труда.


Оборудование:
кейс для каждой группы (см.Приложение 1,2);
таблица «Функции и их графики»;
Подготовительная деятельность к уроку:
Класс разбит на группы по 3 человека по желанию.
Удобная расстановка парт для работы групп.

Ход проведения занятия.
1 этап. Организационный.
Образовательные задачи этапа: обеспечить нормальную внешнюю обстановку; психологически подготовить учащихся к общению на уроке.
Содержание, формы, методы, средства деятельности:

Учителя
Учащихся

Приветствие.
Проверяет готовность учащихся и класса к занятию.
Организует работу групп.
( группы самостоятельно определены заранее)
Приветствие.

Выбирают координатора, эксперта, оппонента.


2 этап. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.
Образовательные задачи этапа: актуализация субъектного опыта учащихся, необходимого для изучения нового материала; обеспечение мотивации учения; включение школьников в совместную деятельность.

На дом было задано задание повторить лекцию
«Функции», «Способы решения уравнений».
Задания для групп.
Классифицируйте изученные функции по:
Ограниченности области определения;
Ограниченности области значений.


Используется таблица «Функции и их графики»





2.Назовите функции:
Монотонные на всей области определения
( возрастающие, убывающие);
Монотонные на промежутке.

Классифицировать предложенные уравнения, по какому либо признаку (задание открытого типа, т.е. не имеет однозначного решения и учитель не может заранее предусмотреть все возможно предложенные варианты), определить способ их решения (решать не нужно).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;

3)13 EMBED Equation.3 1415;

4)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;

5) 4
·32х –22х-1-32х+1-22х=0;

6) 13 EMBED Equation.3 1415;


7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) arccos(х+4)=13 EMBED Equation.3 1415;
9)13 EMBED Equation.3 141510) 13 EMBED Equation.3 1415.
.Для уравнений 8- 10 не смогли предложить способы решения, поэтому давайте наметим цель урока. Хотя возможно учащиеся предложат какие то идеи по решению, тогда учитель конкретизирует в зависимости от этого цель урока.




После обсуждения в группах называют функции с ограниченной областью определения (демонстрируют на таблице «Графики и их функции»):
у = агсsin х, у = агссоs х, у = 1оg а х,
у = 13EMBED Equation.31415
С ограниченной областью значений:
у = sin х; у = соs х; у = агссоs х;
у = агсsin x; у = агсtg х; у =|х|; у = 13EMBED Equation.31415 ; у = aх; у=х2.


Называют возрастающие, убывающие функции,
Функции монотонные на промежутке.


Предлагают разные варианты, например: по способам решения, по виду, по количеству входящих функций, по умению и не умению решать и т. д.



1)Алгебраическое, введение новой переменной
х2-4х=t.
2)Иррациональное, перенос, дважды возведение в квадрат, проверка или нахождение ОДЗ

3)Иррациональное, введение двух переменных, сведение к системе.
4)Показательное, вынесение за скобки общего множителя.
5) Показательное однородное первого порядка,
деление на 13 EMBED Equation.3 1415.

6) Показательное, тригонометрическое, введение новой переменной.

7) Логарифмическое метод логарифмирования.
8) Трансцендентное, имеет две функции, затруднение в способе решения.
9) Трансцендентное, имеет несколько функций, затруднение в способе решения.

10) Показательное, затруднение в способе решения



3 этап. Постановка целей. Организация работы с кейсом. Изучение нового материала .
Образовательные задачи этапа: совместная постановка целей, составление плана работы, организация работы с кейсом; организация восприятия и осмысления информации и способов учебной деятельности по её получению



Учитель ставит цель урока. Оказание помощи при нахождение учащимися нового способа решения уравнения.







Организуется работа учащихся с кейсом.
Для изучение нового материала предлагается лекция «Решение уравнений с помощью свойств функций». (смотри Кейс)

Учитель оказывает помощь, если это необходимо.

Учащиеся ставят свои цели урока.
Например:
Разобрать способы решения данных уравнений,
Научиться их решать.
Как по внешнему виду определить каким способом решать уравнение?

Узнать какой способ рациональнее применять и почему?
Как проконтролировать, правильно ли решено уравнение?

Учащиеся самостоятельно работают с лекцией. Работа организуется в микрогруппах по “методу пилы”. Каждый ученик в группе изучает свое задание.
Первый изучает использование области определения при решении уравнений, второй – использование ограниченности функций, третий – использование монотонности функций.
Кроме консультаций с учителем, может осуществлять консультации с “экспертами” по этому вопросу из других групп. Затем идет взаимообучение в каждой группе, каждый объясняет свою часть задания остальным, затем общее обсуждение вопросов к лекции, так чтобы любой ученик мог ответить на любой вопрос.

4этап. Проверка усвоения знаний.
Образовательные задачи этапа: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала; выявить пробелы первичного осмысления, произвести коррекцию выявленных пробелов.

Когда группы готовы, учитель вызывает любого ученика из каждой группы для объяснения.
Организуется обсуждение, заострение внимания на «ключевых моментах», ответы на вопросы, в случае необходимости коррекция.
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании областей определения функций?
Когда этот метод наиболее результативен?
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании ограниченности функций?
4) Когда этот метод наиболее результативен?
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании монотонности функций?
Когда этот метод наиболее результативен?



Отвечают, участвуют в обсуждении, задают вопросы представителям других групп, учителю.

5 этап. Практическая часть. Дискуссия.
Образовательные задачи этапа: обеспечить первичное закрепление новых способов решения уравнений, организовать дискуссию, организовать деятельность учащихся по созданию образовательного продукта.

Оказывает необходимые консультации по решению.
Организует обсуждение решения, выбор понравившегося способа.
Организует дискуссию, коллективное составление памятки по решению уравнений данного вида на основе предложенных группами.


























Учитель обращает внимание учащихся, что данную памятку может использовать каждый, а учитель будет предлагать её учащимся других классов, то есть сегодня на уроке создан внешний образовательный продукт, а то какие качества, способы деятельности вы приобрели при его составлении ( ваш внутренний образовательный продукт) мы обсудим в конце занятия.
Каждый решает своё уравнение (смотри Кейс), затем объясняет его решение остальным.
Один ученик от группы записывает образец решения уравнения на доске,
В группах составляют памятку по решению уравнений с помощью функций. Потом идёт коллективная дискуссия, в ходе которой осуществляется представление вариантов решения каждого задания, ответы на возникающие вопросы, оппонирование.
При дискуссии ученики находят противоречия, ошибки, неточности, разные подходы, варианты решений, моделируют решения, действия, говорят, слушают, отстаивают мнение группы.
После обсуждения все записывают решение уравнения и памятку в тетрадь.
Образец решения уравнения:
arccos(х+4)=13 EMBED Equation.3 1415.
По определению 13 EMBED Equation.3 1415 для допустимых значений х, а 13 EMBED Equation.3 1415
·0 для допустимых значений х. Следовательно равенство достигается, если13 EMBED Equation.3 1415

Решим первое уравнение системы:
arccos(х+4)=0, х+4=1, х=-3
Проверим, обращается ли при х=-3 второе уравнение в верное числовое равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 . Следовательно, решением системы является х=-3. Ответ х=-3.
Образец представленной памятки:
Памятка по решению уравнений с помощью свойств функций.
1. Анализ уравнения.
«Метод пристального взгляда».
2.Определить к какому виду относится уравнение ( содержит функции с ограниченной областью определения, ограниченной областью значений, монотонные функции).
.Если необходимо выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшему данного вида.
Решить известным способом простейшее уравнение данного вида.
Если нужно сделать проверку, исследование.
Записать ответ.


6этап. Подведение итогов. Рефлексия.
Образовательные задачи этапа: дать качественную оценку работы класса, микрогрупп и отдельных учащихся: подведение итогов работы , организация рефлексии учащихся по поводу своей деятельности, взаимодействия с учителем и одноклассниками.


Учитель даёт свою оценку работе групп.
Индивидуально отмечает учащихся за активность, оригинальность решения, качественные ответы, вклад в работу групп, умение работать в группах.

Задаёт вопросы:
(метод неоконченных предложений)
Продолжите фразы.
Что узнали? Чему научились? Зачем? Как?
Достигли ли поставленных целей?
Над чем ещё работать?
Кроме экспертов спросить мнение нескольких учащихся по желанию.
Учащиеся оценивают работу групп и каждого
с помощью
« Критериев оценки работы групп» (смотри Кейс)
Эксперты докладывают итоги, отвечают на вопросы учителя.


« мы узнали»
« мы научились »,
«ещё затрудняемся.»
( не только знания, но и способы действий)
Индивидуальные ответы учащихся
«Я», «МЫ», «Дело»


8 этап. Инструкция по выполнению домашнего задания.
Образовательные задачи этапа: обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.


Инструктаж по выполнению домашнего задания. Задание состоит из двух частей: обязательной и дополнительной по выбору учащихся.
Задание в Кейсе.
Записывают в дневник.



Приложение №1 Кейс.
Содержание кейса.
Лекция по теме: « Решение уравнений с помощью свойств функций».
Инструкция по работе с лекцией.
Вопросы к лекции.
Практическое задание (решить уравнения)
Создание образовательного продукта.
Методика проведения дискуссии.
Критерии оценки работы групп.
Домашнее задание.
Литература основная и дополнительная.

1.Лекция (См. Приложение №2)
2.Инструкция по работе с лекцией
Лекция разделена на три блока:
1) Использование области определения функции.
2) Использование ограниченности функций.
3) Использование монотонности функций.
Изучите каждый свою часть лекции по 1 блоку, разберитесь в решении предложенных уравнений.
Встреча экспертов. Обсудите изученный материал с экспертами из других групп по сходной теме.
Если есть затруднения, обратитесь к учителю.
Объясните свою часть лекции членам своей группы.
Ответьте на вопросы к лекции.
3.Вопросы к лекции.
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании областей определения функций?
Когда этот метод наиболее результативен?
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании ограниченности функций?
Когда этот метод наиболее результативен?
В чём заключается метод решения уравнений, основанный на использовании монотонности функций?
Когда этот метод наиболее результативен?
Подготовьтесь к устному ответу.
Приготовьте вопросы для других групп по материалу лекции.

4. Практическая часть
1)Решите уравнения, используя полученные знания.
Каждый решает по 1 уравнению, встречается с экспертом из другой группы, объясняет решение своей группе, если есть затруднения, обращается к учителю.
* Дополнительно. Решают по желанию, в обсуждении участвуют все.
а) arccos(х+4)=13EMBED Equation.31415;
б)13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415.
г)* 13EMBED Equation.31415 (районная олимпиада 11 класс 2006 год)
д )* 13EMBED Equation.31415 ( ЕГЭ 2005 год, заданиеВ7 )
2)Составьте вопросы по решению уравнений для других групп.

5. Создание образовательного продукта.
Коллективно всей группой составьте памятку по решению уравнений с помощью свойств функций. Приготовьтесь к дискуссии.
6. Методика проведения дискуссии:
сообщение представителей микрогрупп;
ответы на вопросы, составленные членами оппонирующих микрогрупп или учителем;
отзыв экспертов на работу микрогрупп с учетом правильности и оригинальности принятого решения проблемы–ситуации, содержания заданных вопросов, качества выполненной практической работы.
7.Оцените работу групп, используя предложенные критерии:

Критерии оценок работы групп по этапам занятия

13PRIVATE15№
Наименование критерия
Количество
баллов

1
Профессиональное, грамотное решение проблемы
10

2
Новизна и неординарность решения проблемы
10

3
Краткость и четкость изложения теоретической части решения проблемы
10

4
Качество практической части решения проблемы
10

5
Этика ведения дискуссии
5

6
Активность работы всех членов микрогруппы
5

7
Штрафные баллы (нарушение правил ведения дискуссии, некорректность поведения и т.д.)
–5

Итого:
50 (–% 5)

8.Домашнее задание
Даны уравнения.
13EMBED Equation.31415 ; 2)13EMBED Equation.31415;
3) 13EMBED Equation.31415 ; 4)13EMBED Equation.31415;
5) 13EMBED Equation.31415
Распределите эти уравнения на несколько групп по какому либо признаку.
По какому признаку вы распределили уравнения?
Решите не менее трёх уравнений, используя памятку по решению уравнений, составленную на уроке.
* Выберите одно уравнение и составьте карточку-консультанта по его решению.
*Составьте памятку по контролю за правильностью решения уравнений данного типа.
* Познакомьтесь с дополнительной литературой по теме.
* - необязательное задание.
8. Литература по теме.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач(11класс),
- М,Просвещение,1991
Шестаков С.А. Решение всех экзаменационных задач по алгебре и началам анализа 11 класс, -М, «Экзамен»», 2003
Ковалёва Г.И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами. Волгоград, 2005.


Приложение №2
Лекция. Решение трансцендентных уравнений с помощью свойств функций.
1.Использование области определения
Рассмотрим метод решения уравнений вида f(x) = g(x), основанный на использовании областей определения функций f(х) и g(х).
Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции с ограниченной областью определения, такие, как у = агсsin х, у = агссоs х, у = 1оg а х, у = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим утверждения, положенные в основу данного метода.
Утверждение 1.1. Пусть имеется уравнение вида
f(х) = g(х), (1)
D(f) - oбласть определения функции f(х),
D(g) - область определения функции g(х)
Если D(f)
·D(g) = Ш, то уравнение f(x) = g(х) решений не имеет.

Графическая иллюстрация этого утверждения представлена на рисунке 1.
Решениями уравнения (1) являются абсциссы точек пересечения графиков функций f(х) и g(х), причем значения этих абсцисс обязательно принадлежат пересечению областей определения функций f(х) и g(x); обозначим его D(f)
·D(g). А так как области определения функций f(х) и g(х) не имеют общих значений, то графики функций f(x) и g(х) не могут пересечься, значит, уравнение f(x) = g(х) решений не имеет.
Пример2. Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 и g(x)= 13 EMBED Equation.3 1415
Для решения данного уравнения найдем пересечение областей определения функций
D(f) = [6;
·),
D(g)=(-
·; 5]
Так как D(f)
·D(g) =Ш, то, исходя из утверждения 1.1, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: нет решений.
Утверждение 1.2. Пусть имеется уравнение вида f(х) = g(х)
D(f) - oбласть определения функции f(х),
D(g) - область определения функции g(х) .
Если D(f)
·D(g) = {а}, то если уравнение f(x) = g(х) имеет решение, им является число а.








Пересечением областей определения функций f(х) и g(х) является действительное число а, значит, если графики функций f(x) и g(x) пересекаются, то только в точке с абсциссой а (рис. 3, рис. 4). Значит, а является единственным возможным решением уравнения . Таким образом, остается проверить прямой подстановкой, является ли число а корнем уравнения f(х) = g(х). Если а не удовлетворяет уравнению , то уравнение корней не имеет.
Пример3. Решите уравнение
агссоs х = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функции f(х) == 13 EMBED Equation.3 1415 и g(х)=arccos х
Легко видеть, что D(g) = [-1; 1], D(f)= [1; +
·). Тогда D(f)
·D(g) = {1},
Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только х = 1.
Проверим это с помощью прямой подстановки значения х = 1 в уравнение (3).
Так как агссоs1= 13 EMBED Equation.3 1415,то х=1 единственный корень данного уравнения. На рисунке 5 приведена графическая иллюстрация данного примера.


Ответ:1
Утверждение 1.3. Пусть имеется уравнение вида f(х) = g(х)
D(f) - oбласть определения функции f(х),13 EMBED Equation.3 1415
D(g) - область определения функции g(х) .
Если D(f)
·D(g) = {а1; а2; а3 ; аn } , n 13 EMBED Equation.3 1415N, то действительные корни данного уравнения находятся среди чисел а1; а2; а3 ; аn. Если ни одно из чисел а1; а2; а3 ; аn не является корнем, то уравнение решений не имеет.
Графическая иллюстрация этого метода представлена на рис. 6 и 7.


Так как пересечением областей определения функций f(x) и g(х) является конечное число чисел {а1 и а2} то графики данных функций могут пересечься только в точках с абсциссами а1 и а2, значит, только эти числа могут быть корнями данного уравнения.
А действительно ли они являются корнями, можно проверить с помощью прямой подстановки их в данное уравнение. Если же ни одно число из а1; а2; ...; ап
не удовлетворяет уравнению f(х) = g(х), то оно не имеет решений (рис. 7).


Пример 4. Решите уравнение
аrccos x = - 13 EMBED Equation.3 1415 +
·
Рассмотрим функции f(x)= аrccos x и g(x)= - 13 EMBED Equation.3 1415 +
·
D(f) = [-1; 1], D(g)= (-
·;-1] U [1;+
·). Тогда D(f)
·D(g) = {1; -1},
Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (4)
аrccos (-1) = - 13 EMBED Equation.3 1415 +
·, действительно, аrccos (-1)=
· , значит, -1 – корень уравнения.
При подстановке в уравнение х=1 получаем ложное равенство аrccos 1 =
·, что свидетельствует о том, что 1 не является корнем уравнения , на рисунке 8 всё это хорошо видно.
Ответ: -1.

2. Использование ограниченности функций (области значений)
Еще одно свойство функции - ее ограниченность сверху или снизу - может помочь либо найти корни уравнения , либо опровергнуть утверждение об их существовании. Рассмотрим метод решения уравнений, основанный на этом свойстве функции. Более того, он помогает не только решать уравнения, но и неравенства, и при этом тратить намного меньше времени, чем при решении другими способами.
Наиболее результативен данный метод при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены:
у = sin х; у = соs х; у = агссоs х; у = агсsin x;
у = агсtg (х); у =|х|; у = 13 EMBED Equation.3 1415 ; у = aх.
Этот метод обоснован следующими утверждениями.
Утверждение 2.1. Пусть имеется уравнение вида f(x) = g(х),
Е(f) - область значений функции f(х), Е(g) - область значений функции g(х).
f(x)=a
Если Е(x)
· Е(g) = a, то f(х) = g(х) g(x)=a

Графическая иллюстрация утверждения 2.1 представлена на рисунке 9.
Рис.9
Так как пересечением областей значений функций f(x) и g(x) является число а, то графики функций могут пересекаться только в точке с ординатой а (абсцисса этой точки является решением данного уравнения), следовательно, решение уравнения f(x) = g(х) сводится к
f(x)=a
решению системы: g(x)=a,


Пример 1. Решите уравнение: sin(
·x/4)= xІ –4x+5.
Рассмотрим функции g(x)= sin(
·x/4) и f(x)= xІ –4x+5.
Так как E(g)= [-1;1] , а E(f)=[1; +
·), то Е(f)
· Е(g) = 1, следовательно уравнение (1)
sin(
·x/4) = 1
равносильно системе xІ –4x+5 = 1,


Решим второе уравнение системы xІ –4x+5=1 , х=2. Проверим является ли х=2 решением первого уравнение системы: sin (
·/2)=1, верно.
Так как х=2 является решением системы, то оно является и решением уравнения (1) (рис.10)
Ответ: 2.
.
Утверждение 2.2. Пусть дано уравнение f(x) = g(х) , Е(f) - область значений функции f(x), Е(g) - область значений функции g(х). Если наибольшее значение множества Е(g) меньше наименьшего значения множества Е(f), то уравнение
f(x) = g(х) решений не имеет.
Графическая иллюстрация данного утверждения представлена на рисунке 11.


3.Использование монотонности функции.

Утверждение 3.1.Пусть функция f(x) возрастающая, g(x) – убывающая, следовательно уравнение f(x) = g(х) имеет решение x = x0 и оно будет единственным, если графики этих функций пересекаются в точке х0 .
Графическая иллюстрация данного утверждения

представлена на рисунке 12.
Пример113 EMBED Equation.3 1415Решите уравнение:
4х – 2х(12 – 2х) + 32 – 8х = 0
сделаем замену переменной:
2х = t; t > 0
t2 – t(12 – 2х) + 32 – 8х = 0 Решим уравнение как квадратное относительно t.
13PRIVATE15 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = (6 - x)2 – (32 – 8х) = x2 – 4x + 4 = (x - 2)2 , 13 EMBED Equation.3 1415
t1 = 13PRIVATE1513INCLUDEPICTURE \d "Image362.gif"14154 ; t2 = 8-2х13PRIVATE15
2x = 4 , x = 2
2x = 8 – 2x x = 2
Т.к. у = 2х функция возрастающая, а y = 8 – 2х функция убывающая и х = 2 абсцисса их единственной общей точки, то х=2 единственное решение уравнения.
Можно убедиться графически, можно найти подбором.
Ответ: х=2

При решении уравнений полезны будут следующие свойства монотонности функций.
Утверждение 3.2. Если функция f(x) возрастает на промежутке I и функция g(x) возрастает на промежутке I, то функция h(x)=f(x)+g(x)+Cтакже возрастает на промежутке I(С-const).
Утверждение 3.3. Если функция f(х) неотрицательна и возрастает на промежутке I,функция g(х) неотрицательна и возрастает на промежутке I, С – неотрицательно,
то функция h(x)=C f(x) g(x) также возрастает на I.
Утверждение 3.4. Если функция f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x)=C имеет на промежутке I не более одного корня.
Пример 2. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Подбором х=2 корень уравнения, на основании утверждения 3.4. он будет единственным, так как функция
f(x)= 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 возрастает на R.
Доказательство сформулированных утверждений можно найти в книге: Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач(11класс),-М,Просвещение,1991


















Дреер Ольга Александровна

13PAGE 14115


13PAGE 141615




Y }
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·¶
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Y
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·k
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ї
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Е
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·b
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·[
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·s
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·†
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ы
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·$
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ч
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·5
·
·]
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·—
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·’
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·b
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·x
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·С
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·-
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ж
·
·
·
·
·
·
·
·\
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·u
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Р
·
·#
·
·
·
·y
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·А
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·(
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·УЕх
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·k
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·э
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Е
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·$
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·l
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·•
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Њ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·