5 уроков по теме: Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений

Предмет Информатика и информационные технологии
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений» Разработка учителя МОУ УСОШ №5 с углублённым изучением отдельных предметов Горбиной Елены Анатольевны
Место: Тема входит в раздел «Графические возможности языка программирования».
Тип уроков – комбинированный – включает как усвоение нового материала в виде лекции с элементами беседы, так и формирование умений и навыков в виде практической работы за компьютерами.
Цели и задачи:
образовательные:
усвоить принцип построения точечного графика;
получить навыки построения точечного графика элементарной функции с помощью известных операторов графики;
закрепить навыки вывода текстовой информации в графическом режиме;
закрепить навыки написания арифметических выражений на языке QBASIC;
сформировать умение использовать построенный график для решения алгебраических уравнений;
укрепить межпредметные связи информатики с алгеброй и геометрией.
развивающие:
выработать умение применять знания, полученные на информатике при изучении других предметов;
развить умение делать выводы, самостоятельно проводить исследования и принимать решения.
воспитательные:
сформировать у учащихся представление о компьютере, как о средстве помогающем решать трудоёмкие задачи и экономящем время для творческой работы.
Программно-методическое обеспечение:
интерактивная доска;
персональные компьютеры для каждого ученика;
система программирования QBASIC.
Урок 1
Тема: «Построение графиков элементарных функций»
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
Актуальность знаний. (2 мин)
При изучении математики очень часто возникает необходимость в построении графиков функций. Это занимает большую часть времени на уроке. Частично уменьшить затраты времени может помочь компьютер, который обладает замечательным качеством – способностью воспроизводить графическое изображение на экране монитора. Трудно переоценить методическую значимость машинной графики. Вычерченный машиной график, помимо наглядности и точности, даёт наиболее эффективные возможности обнаружения и исправления ошибок по сравнению с другими формами представления знаний. Кроме того, беря на себя трудоемкую часть работы, компьютер освобождает время для исследовательской творческой работы, появляется возможность делать самостоятельные выводы, работая с большим объемом изучаемого материала.
Изучение нового материала.
Построение эскиза. (20 мин)
2701925892810320,0
00320,0
Для построения графика будем использовать графический режим №12, разрешение которого 640 точек по горизонтали и 480 точек по вертикали. При построении обращаем внимание на то, что начало координат экрана находится в левом верхнем углу экрана, а ось ОY экрана направлена вниз.
4923790149225Х
00Х
8375651898650052762152540640,0
00640,0
2580640189865ymax
00ymax
3056890189865у
00у
30568901898650047561525400,0
000,0
8566151898650085661518986500
37477701797050038760404127500
4933315206375b
00b
856615208280a
00a

231394018415320,240
00320,240
2851151022350,240
000,240
5228590142240640,240
00640,240
3840480-501650003714115-363220003569335-229870003430905-100965003316605184150031927801422400030594302736850029044904260850027755855645150026377906927850024993608356600023520409690100022186901107440003983355-62992000
37477703746500366649062230dx
00dx
3056890622300
000
500951562230х
00х
8566156223000
2352040202565хt,уt
00хt,уt

2675890144145ymin
00ymin
570865144145Y
00Y

2752090175260320,480
00320,480
4184651752600,480
000,480
522859077470640,480
00640,480

Обращаем внимание на то, что мы строим точечный график, а значит нужно
вычислить значение функции у при определённом значении х,
перевести значения x и y в координаты точки на экране xt и yt,
изобразить точку с этими координатами (оператор PSET),
увеличить значение х на небольшую величину dx и повторить всё c пункта1.
Вводим условные обозначения:
а, b – границы диапазона изменения аргумента х;
ymin, ymax – границы диапазона изменения функции у;
mx, my – масштабные коэффициенты по осям ОХ и ОY – определяют количество точек экрана на единичное значение аргумента и функции

n – количество точек графика;
dx – шаг изменения аргумента
x, y – значения аргумента и соответствующее ему значение функции;
xt, yt – координаты точки графика на экране;
xt = x · mx + 320
yt = – y · my + 240
Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
Написание программы. (20 мин)
'Предварительные вычисления
a = –10 : b = 10
ymin = –10 : ymax = 10
mx = 640 / (b – a)
my = 480 / abs(ymax – ymin)
n = 3000 : dx = (b – a) / n
'Построение системы координат с сеткой
SCREEN 12
FOR x = 0 TO 640 STEP mx'вертикальная разметка
LINE (x, 0) – (x, 480), 8
NEXT x
LINE (320, 0) – (320, 460), 10'вертикальная ось
LINE (320, 0) – (325, 5), 10'стрелка на вертикальной оси
LINE (320, 0) – (315, 5), 10
LOCATE 1, 42: PRINT "y"
FOR y = 0 TO 480 STEP my'горизонтальная разметка
LINE (0, y) – (640, y), 8 'самостоятельно на ПК
NEXT y
LINE (0, 240) – (630, 240), 10
LINE (630, 240) – (625, 245), 10
LINE (630, 240) – (625, 235), 10
LOCATE 17, 78: PRINT "x"
LOCATE 17, 42: PRINT "0"
'Построение точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = x ^ 2'Построение параболы
xt = x * mx + 320
yt = – y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
NEXT x
END
Урок 2
Набор, отладка и сохранение программы. (18 мин)
Ученики набирают программу в индивидуальном темпе, добавляя пропущенную часть с горизонтальной разметкой. Построение графика будет происходить прямо на глазах у учащихся. После окончания построения необходимо обратить внимание учащихся на правильность построения – парабола должна проходить через точки (1;1), (–1;1), (2;4) и (–2;4).

Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
Работа с программой. (25 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Для построения графиков других функций необходимо в цикле построения графика записать новую формулу. Каждый построенный график анализируется и демонстрируется учителю.
383540-31751) y = x 2) y = |x|3) y = - 2x + 5
4) y = - 2x25) y = -2x2 + 6x + 56) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| - 48) y = 2x3 – 6x + 49) y = 4/x
10) y = cosx11) y = sinx12) y = tgx
001) y = x 2) y = |x|3) y = - 2x + 5
4) y = - 2x25) y = -2x2 + 6x + 56) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| - 48) y = 2x3 – 6x + 49) y = 4/x
10) y = cosx11) y = sinx12) y = tgx

Ответы:
2) 3)
4) 5) 6)
8) 9)
10) 11) 12)
Урок 3
Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
Изучение нового материала. (15 мин)
Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f(x)=0. Корни этого уравнения являются точками пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.
Пример. Решить уравнение х2 – 5х + 4= 0, используя программу построения графиков функций.
На интерактивной доске запускается программа построения графиков и строится график функции у = х2 – 5х + 4.

Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (1;0) и (4;0). Значит, уравнение х2 – 5х + 4= 0 имеет два корня х1 = 1 и х2 = 4.
Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
Работа с программой. (27 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.
10947402012951) x + 1 = 0 2) x2 – 4 = 0
3) х3 – х2 = 04) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 – x – 6 = 06) |x2 – |x| – 2| = 0
7) ( x2 – 1)3 = 08) 2x3 – 6x + 4 = 0
001) x + 1 = 0 2) x2 – 4 = 0
3) х3 – х2 = 04) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 – x – 6 = 06) |x2 – |x| – 2| = 0
7) ( x2 – 1)3 = 08) 2x3 – 6x + 4 = 0

Ответы:
х = -1 2) х1 = -2; х2 = 2
3) х1=0;х2=1 4) нет решений
5) х = 2 6) х1=-2; х2=2
7) х1= -1; х2 = 1 8) х1= -2; х2 = 1
Урок 4
Тема: «Приближённое решение уравнений с использованием графика функции»
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие. Тема урока. Цели урока. (1 мин)
Изучение нового материала. (25 мин)
Построенный график функции может быть использован для приближённого решения уравнений вида f1(x) = f2(x). Корни этого уравнения являются точками пересечения графиков функций y = f1(x) и у = f2(x).
Пример. Решить уравнение 7x+4x2+5=0,6x2-5x+9,5, используя программу построения графиков функций.
Чтобы найти решения этого уравнения можно построить графики двух функций y1 = 7x+4x2+5 и y2=0,6x2-5x+9,5, а затем найти точки пересечения графиков.
Для того чтобы построить два графика в одной системе координат можно воспользоваться двумя способами:
Способ 1.
Добавить в программу второй цикл для построения графика, в котором изменить функцию и цвет точек. Получим:
'Построение первого точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)
xt = x * mx + 320
yt = – y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
NEXT x
'Построение второго точечного графика
FOR x = a TO b STEP dx
y = 0.6 * x ^ 2 – 5 * x + 9.5
xt = x * mx + 320
yt = – y * my + 240
PSET (xt, yt), 14
NEXT x
На интерактивной доске запускается программа и строятся графики двух функций. Обращаем внимание, что в этом случае графики строятся один за другим, сначала первый, потом второй.
Способ 2.
Добавить в программу вторую функцию y1, координату yt1 и оператор PSET для второго графика. Значение аргумента х и координата точек xt у двух графиков одинаковая. Получим:
'Построение двух точечных графиков одновременно
FOR x = a TO b STEP dx
y = (7 * x + 4) / (x^2 + 5)
y1= 0.6 * x ^ 2 – 5 * x + 9.5
xt = x * mx + 320
yt = – y * my + 240
yt1 = – y * my + 240
PSET (xt, yt), 12
PSET (xt, yt1), 14
NEXT x
Отмечаем две точки пересечения графиков друг с другом: (2;2) и (6;1). Значит, уравнение имеет два корня х1 = 2 и х2 = 6.

Физкультминутка – упражнения для глаз, спины и шеи. (2 мин)
Работа с программой. (17 мин)
Учащимся предлагаются карточки для проведения индивидуальной практической работы. Каждое решённое уравнение оформляется в рабочей тетради в виде схематического эскиза графика и решения. Правильность решения контролируется учителем.
2819401809751) x + 1 = x2 – 52) х3 = – х2 + 2
3) |x2 - 5| = 4 4) – x3 + x + 6 = |x2 – |x| – 2|
5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 46) 3/x = х + 2
001) x + 1 = x2 – 52) х3 = – х2 + 2
3) |x2 - 5| = 4 4) – x3 + x + 6 = |x2 – |x| – 2|
5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 46) 3/x = х + 2

х1=-2; х2 =3 2) х=1
3) х1=-4; х2=-1; х3=1; х4=4 4)х=2
5) х1=-2; х2 = 1 6) х1=-3; х2=1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1 вариант
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
Постройте график функции y = | |x2 – 2х | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
Решите уравнение | |x2 – 2x | – 8| = 0, используя построенный график
Решите уравнение 4 |x| – х3 = 2x + 7.
2 вариант
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
Решите уравнение | |0,5x2 – 5 | - 3| = 0, используя построенный график.
Решите уравнение 4 – 2x = х3 – 4 |x|.
Решение:
1 вариант
Постройте график функции y = | |x2 – 2x | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS ( ABS ( X ^ 2 – 2 * x ) – 8 ), построить график, а затем перенести 9 точек с координатами (–4;7), (–2;0), (–1;5), (0;8), (1;7), (2;8), (3;5), (4;0), (5;7) на бумагу и соединить их.

Решите уравнение | |x2 – 2 * x | – 8| = 0, используя построенный график.
Отмечаем две точки пересечения графика с осью ОХ: (–2;0) и (4;0). Значит, уравнение | |x2 – 2 * x | – 8| = 0 имеет два корня х1 = –2 и х2 = 4.

Решите уравнение 4 |x| – х3 = 2x + 7.
Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 * ABS(X) – X ^ 3 и Y2 = 2 * X + 7, а затем найти точки пересечения графиков.

Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (–1;5). Значит, уравнение имеет один корень х = – 1.
2 вариант
Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
Для построения необходимо грамотно записать арифметическое выражение на языке QBASIC Y = ABS(ABS(0.5 * X ^ 2 – 5) – 3)), а затем перенести 9 точек с координатами (–5,5;7), (–4;0), (–3;3), (–2;0), (0;2), (2;0), (3;3), (4;0), (5,5;7) на бумагу и соединить их.

Решите уравнение | |0,5x2 – 5 | – 3 = 0, используя построенный график.
Отмечаем четыре точки пересечения графика с осью ОХ: (–4;0), (–2;0), (2;0), (4;0). Значит, уравнение | |0,5x2 – 5 | – 3 = 0 имеет 4 корня х1 = –4, х2 = –2, х3 = 2, х4 = 4.

Решите уравнение 4 – 2x = х3 – 4 |x|.
Чтобы найти решения этого уравнения нужно построить графики двух функций Y1 = 4 – 2 * X и Y2= X ^ 3 – 4 * ABS(X), а затем найти точки пересечения графиков.

Отмечаем одну точку пересечения графиков друг с другом: (2;0). Значит, уравнение имеет один корень х = 2.
Для оценивания этой контрольной работы предлагается следующая схема, которая сообщается учащимся до начала работы. Правильно набранная работающая программа (правильность работы должна быть самостоятельно проверена учащимися с помощью известной функции, например у=х или у=х2) и выполненное в тетради задание №2 оцениваются оценкой «удовлетворительно». Задания №1 + №2 + №3 – оценкой «хорошо», все задания – оценкой «отлично».
Приложение 1.
Изучение темы «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений» на языке Visual Basic.
На форме размещаются два инструмента Picture1, Command1.

Вывод графика осуществляется в Picture1. Отличие состоит в том, что не надо вводить масштабные коэффициенты. С помощью оператора Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin) создаётся нормальная система координат с нулем в центре Picture1. В скобках указываются координаты двух противоположных углов системы координат. В нашем случае (-10,10) и (10,-10). Благодаря такой системе координат нет необходимости пересчитывать значения X и Y в координаты экрана.
Создаём процедуру для командной кнопки:
Private Sub Command1_Click()
a = -10: b = 10: ymin = -10: ymax = 10 : n = 3000: dx = (b - a) / n
'Задание масштаба
Picture1.Scale (a, ymax)-(b, ymin)
'Вертикальная разметка
For I = a To b
Picture1.Line (I, ymin)-(I, ymax), vbGreen
Picture1.PSet (I, 0) : Picture1.Print I'Числа на оси
Next I
'Горизонтальная разметка
For I = ymin To ymax
Picture1.Line (a, I)-(b, I), vbGreen
Picture1.PSet (0, I) : Picture1.Print I
Next I
'Ось ОХ
Picture1.Line (a, 0)-(b, 0), vbBlue
'Ось ОY
Picture1.Line (0, ymin)-(0, ymax), vbBlue
'Построение графика
Picture1.DrawWidth = 3 'Толщина линии графика
Picture1.ForeColor = vbRed'Цвет линии графика
For X = a To b Step dx
Y = X ^ 2 - 7
Picture1.PSet (X, Y)
Next X
End Sub
В результате получается:

Приложение 2.
Раздаточный материал
-15621054610Построить графики функций:
1) y = x 2) y = |x|3) y = – 2x + 5
4) y = – 2x25) y = –2x2 + 6x + 56) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| – 48) y = 2x3 – 6x + 49) y = 4/x
10) y = cosx11) y = sinx12) y = tgx
00Построить графики функций:
1) y = x 2) y = |x|3) y = – 2x + 5
4) y = – 2x25) y = –2x2 + 6x + 56) y = 2x
7) y = |x2 + 6x| – 48) y = 2x3 – 6x + 49) y = 4/x
10) y = cosx11) y = sinx12) y = tgx

-15621061595Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = 0 2) x2 – 4 = 0
3) х3 – х2 = 04) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 – x – 6 = 06) |x2 – |x| – 2| = 0
7) ( x2 – 1)3 = 08) 2x3 – 6x + 4 = 0
00Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = 0 2) x2 – 4 = 0
3) х3 – х2 = 04) |x2 - 5| + 1= 0
5) x3 – x – 6 = 06) |x2 – |x| – 2| = 0
7) ( x2 – 1)3 = 08) 2x3 – 6x + 4 = 0

-1562102315845Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = x2 – 52) х3 = – х2 + 2
3) |x2 – 5| = 4 4) – x3+ x+6 = |x2–|x|–2|
5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 46) 3/x = х + 2
00Решить уравнения, используя графики:
1) x + 1 = x2 – 52) х3 = – х2 + 2
3) |x2 – 5| = 4 4) – x3+ x+6 = |x2–|x|–2|
5) 2x3 – 6x + 4 = х2 – 46) 3/x = х + 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
1 вариант
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
Постройте график функции y = | |x2 – 2х | – 8| на экране и перенесите его в тетрадь.
Решите уравнение | |x2 – 2x | – 8| = 0, используя построенный график
Решите уравнение 4 |x| – х3 = 2x + 7.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тема «Применение операторов графики для построения графиков элементарных функций и приближённого решения уравнений»
2 вариант
Наберите программу построения точечных графиков элементарных функций.
Постройте график функции y = | |0,5x2 – 5 | – 3| на экране и перенесите его в тетрадь.
Решите уравнение | |0,5x2 – 5 | - 3| = 0, используя построенный график.
Решите уравнение 4 – 2x = х3 – 4 |x|.