Решение олимпиадных заданий по математике


Задание 1. Заданы множества: А = {1; 7; 5; 11} и B = {5; 9; 11; 15}. Найти: АВ; АВ; А\В; В\А; АВ.
Решение:
Объединение двух множеств: АВ = {1; 5; 7; 9; 11; 15}.
Пересечение двух множеств: АВ = {5; 11}.
Разность двух множеств: А\В = 1; 7 – (принадлежит А, но не принадлежит В).
Разность двух множеств: В\А = {9; 15} – (принадлежит В, но не принадлежит А).
Симметричная разность двух множеств: АВ = (А\В)(В\А); т.е. АВ = {1;7}{9;15} = {1; 7; 9; 15}.
Задание 2. По данным промежуткам А и В на числовой прямой определить: АВ; АВ; А\В; В\А.
А = (0;3]; B = (3;6).
Решение:
А = {1;2;3}; B = {4;5}.
357378013462036785551346203421380134620265747519113532670751435103133725133985303847512446087820512509598298013462074485513462059055013398546863013462034480513462037763451835152954655183515103060518351527813018351578105183515АВ
0 3 3 6
АВ = (нет решения);
АВ = (0; 6) = {1; 2; 3; 4; 5};
А\В = (0;3] = {1; 2; 3};
В\А =(3; 6) = {4; 5}.
Задание 3. Найти предел функции.
1) limx→22x2 - 5x - 3)3x2-4x-15 = 2*22- 5*2-33*22-4*2-15 = -5-19 = 519;
6316980230505=
00=
26593803048100624078030480273558030480Разложим дробь D = 25 + 24 = 49D = 16 + 180 = 196
на множители: х1 = 5+74 =3х1 = 4+146 = 3
х2 = - 12х2= 4-146 = -106 = -5300Разложим дробь D = 25 + 24 = 49D = 16 + 180 = 196
на множители: х1 = 5+74 =3х1 = 4+146 = 3
х2 = - 12х2= 4-146 = -106 = -532) limx→32x2-5x-33x2-4x-15 = limx→32*32-5*3-33*32-4*3-15 = (00) =
= limх→32(х-3)(х+12)3(х-3)(х+53) = limх→32х+13х+5 = 2*3+13*3+5 = 714 = 12 = 0,5;
3) limх→∞2x2-5х-33x2-4х-15 = (∞∞) = limх→∞2x2x2- 5хx2 - 3x23x2x2 - 4хx2 - 15x2 = [ при х→∞1х→∞; ахn→0 ] = limx→∞2-5x- 3x23- 4x- 15x2 = 2-0-03-0-0 = 23.
Задание 4. Вычислить производную функции.
1) у = 3х-2 + 4х3 – 1;
y’ = 3*(–2)*x-2-1 + 4*3*x3-1 – 0 = – 6*x-3 + 12*x2;
2) y = (2x2 + 5x – 5)*sin x;
y’ = (2x2 + 5x – 5)’ * sin x + (2x2 + 5x – 5)*(sin x)’ = (4x + 5)*sin x + (2x2 + 5x – 5)*cos x.
Задание 5.
у= 5х-33х-3; х0 = 5;
у'= 5x-3'*3x-3-5x-3*(3x-3)'(3x-3)2 = 5*3x-3-5x-3*3(3x-3)2 = 15x-15-15x+932*(x-1)2 = -249*(x-1)2 = -83(x-1)2;
y'x0= -83*(5-1)2= -83*16= -16 .
Задание 6. Найти экстремум функции (максимум и минимум) у = 2х3 – 27х2 + 108х + 5.
y’ = 6x2 – 54x + 108;
6x2 – 54x + 108 = 0| : 6
313563091440y’0 + y’0 – + y’0 x
36
00y’0 + y’0 – + y’0 x
36
x2 – 9x + 18 = 0
5859780480060485965548006036404554800605471795386080443103038608033356553848090054908451708154428490220345002449830251460D = 81 – 4*18 = 81 – 72 = 9
x1= 9+32=6; x2= 9-32=3;На участке х (-; 3) функция возрастает.
На участке х (3; 6) функция убывает.
На участке х (6; +) функция возрастает.
х = 3 – это точка максимума.
х = 6 – это точка минимума.
Задание 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = – 5х2 + 40х + 3 на отрезке [0; 7].
y’ = – 10x + 40; y’ = 0;
–10x + 40 = 0
–10x = –40
x = – 40 : –10
x = 4;x[0; 7]
y(0) = –5*02 + 40*0 + 3 = 3;
y(4) = – 5*42 + 40*4 + 3 = 83;
y(7) = –5*72 + 40*7 + 3 = 38;
Наибольшее значение функции: у(4) = 83.
Наименьшее значение функции: у(0) = 3.
Задание 8. Вычислите:
limх→14x2-8х+44x2+12х-16 = 4*12- 8*1+44*12+12*1-16=00= Разложим трехчлены на множителиD=64-4*4*4=0 x1= x2D=144+4*4*16= 202x1=1; x2= -4= limx→14*(x-1)24*x-1*(x+4)= limx→1x-1x+4= 05=0.
Задание 9. Вычислите интеграл:
1) -8x2-4x-2-5xdx= 85xdx+ 45dx+ 25dxx= 85x22+ 45x+ 25*lnx+c= 45x2+ 45x+ 25lnx+c;
2) sin(-2x+5)dx= -2x+5=t-2dx=dtdx=-12dt= sint*-12dt= -12sintdt= -12 -cost+c= 12cos-2x+5+c.
3) x2lnxdx= Вычисляем по частямudv=uv- vdu= x2dx=dvx33=v; lnx=u1xdx=du= lnx*x33- 1x*x33dx= x33lnx- 13x2dx= x33lnx- 13*x33+c= x33*lnx-13+c.
Задание 10. Вычислить определенные интегралы.
1) -12x2+2x+1dx= x33+2x22+x2-1= x33+x2+x2-1=233+22+2--133+-12+-1=83+4+2+13-1+1=92)e4xlnxdx=lnx=u;xdx=dv12dx=du; x22=v=x22lnx4e-e41x*x22dx=x22lnx4e-1224xdx=x22lnx4e-12*x224e=x22*lnx-124e=422*ln4-12-e22lne-12=8ln4-12-e221-12=8ln4-4-e22*12=8ln4-e24-4Задание 11. Решить дифференциальное уравнение y'=(y-5)(8x+1).
y'=dydx; dydx=(y-5)(8x+1);
dyy-5=8x+1dx; dyy-5=8x+1dx;lny-5=8x22+x+c;
lny-5=4x2+x+c;
y-5=e4x2+x+c;
y=e4x2+x+c+5.
Задание 12. Решить задачу Коши:
y'= -15x2-4x-3y0=-3; y’= dydxdydx=-15x2-4x-3;
dy=(-15x2-4x-3)dx;
dy=-(15x2+4x+3)dx;
y=-15x33-4x22-3x+c;
y=-5x3-2x2-3x+c;
при у (0) = – 3; имеем:
-3=-5*03-2*02-3*0+с⟹с=-3, тогда
y=-5x3-2x2-3x-c.
Задание 13. Дано: красных шаров – 7, синих – 3.Всего: 10. Наугад берут 5 шаров. Какова вероятность, что все взятые шары окажутся красными?
Решение: вероятность, что первый шар окажется красным Р1=710; то, что второй шар тоже красный Р2=69; третий Р3= 58; четвертый Р4=47; пятый Р5=36=12. Вероятность, что все пять шаров будут красные: Р(5)=710*69* 58*47*12=0,0833Задание 14. Дано: синих – 4 шара; красных – 3 шара; зеленых – 2 шара. Всего : 9 шаров. Наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 3 шара одного цвета?
Решение. Тут, наверное, опечатка. Должно быть, Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета?
Я считала, что 2!
Итак: 1) считаем, что эти 2 шара – синие вероятность, вытащенный первый шар – синий Р1=49; что второй шар – синий Р2=38. Тогда, что оба синие Р(оба синие)=49*38=16.
2) Для красных: Р1=39=13; Р2=28=14; Р(оба красные)=13*14=112.
3) Для зеленых: Р1=29; Р2=18; Р(оба зеленые)=29*18=136.
Т. к события выпадения шаров разного цвета (синие, красные, зеленые) – это независимые события, то имеем теорему сложения вероятностей Р(одного цвета)=Р(оба красных) или Р(оба синих) или Р(оба зеленых),
т. е. Р=Р2 Кр.+Р2 Син.+Р2 Зел.;Р=16+112+136=1036=518≈0,278.Задание 15.
Х – 2 – 1 0 1 2
Р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Найти математическое ожидание случайной величины Х; ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение. зная закон ее распределения.
Решение. Математическое ожидание находится по формуле. М(Х)=i=1nXiPi; т. е. имеем
MX=-2*0,1+-1*0,2+0*0,3+1*0,3+2*0,1=-0,2-0,2+0,2+0,3=0,1.
Дисперсию находим по формуле: DX=Xi2Pi-(M(X))2;
DX=(-2)2*0,1+-12*0,2+02*0,3+12*0,3+22*0,1-0,12=0,4+0,2+0+0,3+0,4-0,01=1,3-0,01=1,29.
Среднее квадратичное отклонение: σx=D(X), т. е. σ=1,29≈1,136.
Задание 16. Генеральная совокупность задана таблицей распределения.
Xi 1000 1200 1400
Ni 1000 6000 3000
Найти генеральную среднюю Х и генеральную дисперсию D.
Решение. Генеральная средняя Х – определяется по формуле: X=1Ni=1xXiNi;
X=1000*1000+1200*6000+1400*30001000+6000+3000=105(10+72+42)103*10=105*124104=1240Генеральная дисперсия D – определяется по формуле: D=1Ni=1X(Xi-X)2.
D=1000*1000-12402+6000*1200-12402+3000*(1400-1240)21000+6000+3000=103*(1*2402+6*402+3*1602)104=57600+9600+7680010=14400