Подготовка к олимпиаде по математике для 7-11 классов
7 класс
Задание №1
Разность 13 EMBED Equation.3 1415 разделить на сумму 13 EMBED Equation.3 1415; полученное частное умножить на 13 EMBED Equation.3 1415, и на полученное произведение разделить сумму чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №2
Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?
Задание №3
На острове
· живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и В. Туземец А произнёс фразу:
- По крайней мере один из нас (А и В) – лжец.
Можно ли сказать, кем является А и кем является В (рыцарем или лжецом?)
Задание №4
В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Задание №5
Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4Ч5 вырезанием четырёх угловых клеток 1Ч1 (см. рис.), на три части, не являющимися квадратами, так, чтобы из частей можно было сложить квадрат.
8 класс
Задание №1.
Коля и Вася живут в одном доме. В каждом подъезде дома – по 4 квартиры на этаже. Коля живёт на 5 этаже в 83 квартире, Вася – на третьем этаже в 169 квартире. Сколько этажей в доме?
Задание №2.
Найдите значение выражения a13 EMBED Equation.3 1415+3a13 EMBED Equation.3 1415b13 EMBED Equation.3 1415+b13 EMBED Equation.3 1415, если a13 EMBED Equation.3 1415+b13 EMBED Equation.3 1415=1.
Задание №3.
После того, как учительница Марьивановна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?
Задание №4.
Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найти углы треугольника.
Задание №5.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
9 класс
Задание №1
Библиотека может приобрести формуляры читательских билетов в магазине по цене 18 копеек за экземпляр или заказать их в мастерской, уплатив по 12 копеек за экземпляр и еще 5 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число формуляров, при котором библиотеке выгоднее заказать их в мастерской.
Задание №2
Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415.
Задание №3
Числа а и в - длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №4
На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС)выбрана точка D так, что CD = С А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ADC.
Задание №5
Центр города представляет из себя квадрат 5 км Ч5 км, состоящий из 25 кварталов размером 1 км Ч1 км, границы которых улицы, образующие 36 перекрестков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрестках так, чтобы до каждого из перекрестков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?
10 класс
Задание №1
В 10 т руды содержится некоторое количество железа. После удаления из нее 4 т примесей, содержащих 10% железа, процентное содержание железа в руде повысилось на 20%. Сколько железа осталось в руде?
Задание №2
Что больше: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415?
Задание №3
Докажите тождество: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №4
В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD, а точка Е середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите Угол DEC.
Задание №5
Можно ли раскрасить клетки доски 8Ч8 в три цвета: 21 клетку в белый цвет, 21 клетку в синий цвет, 22 клетки в красный цвет так, чтобы ни на одной из диагоналей (не только на двух главных, но и на всех параллельных им) не оказалось одновременно клеток всех трех цветов?
11 класс
Задание №1
Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл ещё 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен ещё сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?
Задание №2
Таблица 513 EMBED Equation.3 14155 заполнена числами 1, 2, , 25, причём любые два последовательных числа записаны в соседних (имеющих общую сторону) клетках. Какое наибольшее количество простых чисел может оказаться в одном столбце?
Задание №3
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №4
Укажите количество решений уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №5
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Решения, указания
7 класс
Задание №1
Разность 13 EMBED Equation.3 1415 разделить на сумму 13 EMBED Equation.3 1415; полученное частное умножить на 13 EMBED Equation.3 1415, и на полученное произведение разделить сумму чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1,1
Задание №2
Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?
Ответ: не могло
Решение
Заметим, что число орехов у каждой пары детей делится на 3. Это означает, что суммарное значение орехов должно делиться на 3. Однако 1000 на 3 не делится.
Задание №3
На острове
· живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и В. Туземец А произнёс фразу:
- По крайней мере один из нас (А и В) – лжец.
Можно ли сказать, кем является А и кем является В (рыцарем или лжецом?)
Ответ: А – рыцарь, В – лжец.
Решение
Если А лжец, то его утверждение неверно, то есть оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – рыцарь. Тогда его утверждение верно и В – лжец.
Задание №4
В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Решение
При первом взвешивании в одну из чашек весов кладём гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12=6+6. Получили искомое количество гвоздей: 19=13+6.
Задание №5
Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4Ч5 вырезанием четырёх угловых клеток 1Ч1 (см. рис.), на три части, не являющимися квадратами, так, чтобы из частей можно было сложить квадрат.
Решение
Пример разрезания в 2 шага приведён на рисунках 1, 2.
1
2
3
3
1
2
Рис.1
Рис. 2
8 класс
Задание №1
Коля и Вася живут в одном доме. В каждом подъезде дома – по 4 квартиры на этаже. Коля живёт на 5 этаже в 83 квартире, Вася – на третьем этаже в 169 квартире. Сколько этажей в доме?
Ответ: 8.
Решение
Представим себе, что в доме – только один подъезд. Так как 83=4·20+3, а 169=4·42+1, то в этом случае, Коля жил бы на 21 этаже, а Вася – на 43 этаже. Пусть n – реальное количество этажей в доме, тогда из условия и предыдущего рассуждения следует, что 21-5=16 квартир в нескольких подъездах, и 43-3=40 квартир тоже приходится на целое число подъездов. Следовательно, число n делитель чисел 16 и 40. Учитывая, что n 13 EMBED Equation.3 1415 5, получим, что n = 8.
Задание №2
Найдите a13 EMBED Equation.3 1415+3a13 EMBED Equation.3 1415b13 EMBED Equation.3 1415+b13 EMBED Equation.3 1415, если a13 EMBED Equation.3 1415+b13 EMBED Equation.3 1415=1.
Ответ: 1
Решение
Первый способ:
13 EMBED Equation.3 1415
Второй способ:
13 EMBED Equation.3 1415
Третий способ:
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №3
После того, как учительница Марьивановна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?
Ответ: 9 человек.
Решение
Первый способ: Пусть в третьем ряду сидит x человек. Так как средний возраст равен сумме возрастов, делённой на количество человек, то после пересаживания суммарный возраст детей на первом ряду увеличился на 12 недель, на втором ряду – увеличился на 24 недели, а на третьем ряду – уменьшился на 4х недель. Поскольку сумма возрастов всех учеников измениться не могла, то 4х = 12 + 24, то есть х = 9.
Второй способ: Пусть до пересаживания учеников средний возраст сидящих на первом, втором и третьем ряду составлял a, b и c недель соответственно. Обозначим также: количество человек, сидящих в третьем ряду – х, возраст Вовочки – V недель, возраст Ванечки – W недель, возраст Машеньки – М недель. Исходя из условий задачи, составим три уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростив эти уравнения и объединив их в систему, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Сложив все уравнения почленно, получим, что 12 + 24 – 4х = 0, то есть, х =9.
Задание №4
Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найти углы треугольника.
Ответ: 300, 600, 900
Решение
1). 13 EMBED Equation.3 1415- равнобедренный, так как ВО – высота и биссектриса, а значит, и медиана. Следовательно, АО=ОМ=х.
2). Так как ВМ – медиана по условию, МС=АМ=2х.
3). Выполним дополнительное построение. Проведём 13 EMBED Equation.3 1415.
4). 13 EMBED Equation.3 1415по гипотенузе и острому углу. Следовательно, ОМ=МР=х. Получили: в 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
5). В четырёхугольнике ОВРМ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
6). 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №5
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: не существует
Решение
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
9 класс
Задание №1
Библиотека может приобрести формуляры читательских билетов в магазине по цене 18 копеек за экземпляр или заказать их в мастерской, уплатив по 12 копеек за экземпляр и еще 5 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число формуляров, при котором библиотеке выгоднее заказать их в мастерской.
Ответ: 84 формуляра
Решение:
Пусть х штук формуляров может приобрести библиотека,
тогда 18х копеек обойдётся библиотеке заказ в магазин.
13 EMBED Equation.3 1415обойдётся в библиотеке заказ в мастерской.
Для того, чтобы было выгоднее сделать заказ в мастерской, составим неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №2
Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415.
Ответ: (0;4);(0;2)
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №3
Числа а и в - длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Из равенства 13 EMBED Equation.3 1415следует 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому доказываемое неравенство принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №4
На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС)выбрана точка D так, что CD = С А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ADC.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Задание №5
Центр города представляет из себя квадрат 5 км Ч5 км, состоящий из 25 кварталов размером 1 км Ч1 км, границы которых улицы, образующие 36 перекрестков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрестках так, чтобы до каждого из перекрестков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?
Ответ: 4 полицейских
Решение
Рассмотрим угловой перекресток А. До него полицейский может добраться, если он находится на одном из 6 перекрестков, примыкающих к этому углу (см. Рис. 1). Аналогичные рассуждения для трех оставшихся углов показывают, что для выполнения условия задачи необходимо наличие по крайней мере четырёх полицейских. Осталось только привести пример расстановки четырёх полицейских (см. Рис. 2).
А
Рис.1 Рис.2
10 класс
Задание №1
В 10 т руды содержится некоторое количество железа. После удаления из нее 4 т примесей, содержащих 10% железа, процентное содержание железа в руде повысилось на 20%. Сколько железа осталось в руде?
Ответ: 3,6 т.
Решение
Пусть первоначально в руде имелось 13 EMBED Equation.3 1415 кг железа.
После того, как из нее удалили вместе с примесями 13 EMBED Equation.3 1415т железа, в оставшихся 6 тоннах руды оказалось железа 13 EMBED Equation.3 1415т.
Так как железа в оставшейся руде на 20% больше, чем железа первоначально в 10 тоннах, то
13 EMBED Equation.3 1415
Решая это уравнение, находим, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, в руде осталось железа 13 EMBED Equation.3 1415т.
Задание №2
Что больше:13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415?
Ответ: первая дробь.
Решение
Составим отношение данных дробей и преобразуем его так, чтобы можно было выяснить, больше или меньше оно 1: 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, большей является первая дробь.
Задание №3
Докажите тождество 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №4
В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD, а точка Е середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DEC
Ответ: 90°.
Решение
Рис.
Точка Е середина дуги АВ (см. рис.), поэтому АE=BE. Кроме того, вписанные углы САЕ и ЕВС, опирающиеся на одну дугу, равны. Также по условию, АС = BD. Значит, треугольники АСЕ и BDE равны, откуда 13 EMBED Equation.3 1415СЕА = 13 EMBED Equation.3 1415BED. Но тогда 13 EMBED Equation.3 1415DЕС=13 EMBED Equation.3 1415ВEA = 90°, так как 13 EMBED Equation.3 1415BE A = 13 EMBED Equation.3 1415BC А.
Задание №5
Можно ли раскрасить клетки доски 8 х 8 в три цвета: 21 клетку в белый цвет, 21 клетку в синий цвет, 22 клетки в красный цвет так, чтобы ни на одной из диагоналей (не только на двух главных, но и на всех параллельных им) не оказалось одновременно клеток всех трех цветов?
Ответ: можно.
Решение
Раскрасим все клетки в шахматном порядке в белый и красный цвет, тогда все диагонали будут одноцветными. Затем перекрасим 11 любых белых клеток и 10 любых красных клеток в синий цвет. Полученная раскраска такова, что на одной диагонали не встретятся одновременно белые и красные клетки.
11 класс
Задание №1
Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл ещё 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен ещё сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?
Ответ: 10 партий, из них две – выиграть.
Решение
Пусть сначала Антон сыграл с компьютером n партий, из которых выиграл 0,6n. По условию, 13 EMBED Equation.3 1415. Решением этого уравнения является n = 30, значит, на данный момент, Антон сыграл 40 партий, из которых выиграл 28. Пусть он должен сыграть х партий, из которых выиграть – y. Тогда, по условию 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Так как х и y – натуральные числа, то значение х должно быть кратно 5. При х = 5 y < 0, при х = 10 y = 2.
Задание №2
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 Избавившись от знаменателя, получим квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, корни которого и являются корнями исходного уравнения.
Задание №3
Таблица 513 EMBED Equation.3 14155 заполнена числами 1, 2, , 25, причём любые два последовательных числа записаны в соседних (имеющих общую сторону) клетках. Какое наибольшее количество простых чисел может оказаться в одном столбце?
Ответ: 4.
Решение
Раскрасим клетки данной таблицы в шахматном порядке. Из условия следует, что в клетках одного цвета будут стоять нечётные числа, а в клетках другого цвета – чётные. Следовательно, в любых двух соседних клетках стоят числа разной чётности.
Таким образом, в любом столбце должно быть не менее двух чётных чисел, поэтому простых чисел в столбце не более четырёх, среди которых обязательно должно быть число 2.
Одна из возможных расстановок, удовлетворяющих условию задачи, приведена на рисунке (четыре простых числа – в третьем столбце).
Несложно также доказать, что для раскраски, приведённой в таблице, чётные числа стоят в клетках белого цвета, но для решения задачи это не требуется.
17
18
19
20
21
16
15
14
13
22
9
10
11
12
23
8
1
2
3
24
7
6
5
4
25
Задание №4
Укажите количество решений уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1003
Решение
Левая часть уравнения принимает значение 2, только если оба слагаемых равны единице одновременно:13 EMBED Equation.3 1415На указанном отрезке расположено 1003 решения (при 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №5.
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Ответ: 17
Решение
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1). Пусть в остроугольном
· ABC, АА1, ВВ1, СС1 – высоты. В1С1=8, А1В1=15 и А1С1=17. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом,
· А1В1С1 – прямоугольный, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2). 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415, так как они прямоугольные и 13 EMBED Equation.3 1415 - общий 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
3). 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415 - общий и 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть R1 – радиус окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415, а R - радиус окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
4). 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415 по доказанному свойству. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
5). 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415 по доказанному свойству. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
6). 13 EMBED Equation.3 1415.
7). Найдём R1 по формуле 13 EMBED Equation.3 1415. Для 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
8). Так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Задания для подготовки к олимпиаде
13PAGE 15
13PAGE 14115
х
у
0
Графики трёх линейных функций
расположены так, как показано на рисунке. Существуют ли такие числа а, в и с,
что одна из этих функций задаётся
формулой 13 EMBED Equation.3 1415, другая - формулой 13 EMBED Equation.3 1415, а третья – формулой 13 EMBED Equation.3 1415?
А
В
С
х О х М 2х
х
·
·
·
900-
·
Р
х
у
0
Графики трёх линейных функций расположены так, как показано на рисунке. Существуют ли такие числа а, в и с, что одна из этих функций задаётся формулой 13 EMBED Equation.3 1415, другая - формулой 13 EMBED Equation.3 1415, а третья – формулой 13 EMBED Equation.3 1415?
х
у
0
l1
l2
l3
с
в
а
Предположим противное. Пусть уравнение прямой l1 имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. У этой прямой самый большой угловой коэффициент, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415. Но прямая l1 пересекает ось ординат в точке с ординатой с, прямая l2 – в точке с ординатой в, причём из рисунка видно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Полученные неравенства противоречат друг другу, следовательно, таких чисел а, в и с не существует.
А Н С
О
В
D
Решение.
Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника АВС (см. рис.). Но биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и его высотой, и медианой. Значит, точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Аналогично, О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, т.е. является центром окружности, описанной около треугольника ADC.
·
·
·
А
В
С
В1
С1
А1
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native