Развитие математических способностей младших школьников (курс подготовки учащихся 3 — 4 классов к математической олимпиаде)
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2» П.Г.Т. УРЕНГОЙ
Развитие математических способностей
младших школьников
(курс подготовки учащихся 3 - 4 классов к математической олимпиаде)
Колесникова Ирина Васильевна,
заместитель директора
по образовательному процессу,
учитель начальных классов
п. Уренгой
Известно, что человеку в его практической деятельности приходится решать не только неоднократно повторяющиеся задачи, но и новые, никогда не встречавшиеся ранее. Школа должна научить ученика находить пути к решению проблем, а это значит – формировать у учащихся способность к самостоятельному творческому мышлению.
Возможность для приобщения школьников к учебной деятельности творческого характера представляют нестандартные математические задачи, задачи повышенной трудности. Не случайно известный педагог-математик Д. Пойа пишет: «Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Обучение решению нестандартных задач и задач повышенной сложности можно организовать в рамках специальных занятий для подготовки учащихся к математическим олимпиадам – занятий курса «Развитие математических способностей младших школьников».
Цель курса – развитие у учащихся интереса к математике как к предмету, развитие математического мышления, оказание конкретной методической помощи учителям начальных классов в подготовке младших школьников к математическим олимпиадам.
Задачи, решаемые при достижении цели:
обучение учащихся общим способам решения задач повышенной трудности;
формирование у учащихся умений находить способы решения нестандартных задач;
развитие интеллектуальных способностей младших школьников.
Реализация курса возможна в 3-ем или 4-ом классе начальной школы, в зависимости от уровня подготовки детей.
Курс «Развитие математических способностей младших школьников» включает в себя 21 занятие и рассчитан на 1 учебный год. Продолжительность одного занятия 40 – 60 минут. Последнее занятие является итоговым, на нём проводится математическая олимпиада. Занятия проводит учитель начальных классов, воспитатель группы продлённого дня во второй половине учебного дня, во внеурочное время. Наилучшим вариантом является индивидуальная работа с учащимся. Допускается и такой вариант, как одновременная работа с 2 – 3 детьми.
Занятие состоит из нескольких этапов.
Первый этап – выполнение кинезиологических упражнений. Решение нестандартных задач – напряжённый процесс, поэтому необходимо поддерживать мозг ребёнка в активном состоянии. С этой целью целесообразно использовать кинезиологические упражнения.
Кинезиология – наука о развитии умственных способностей и физического здоровья через определённые двигательные упражнения. Современные кинезиологические методики направлены на активизацию различных отделов коры больших полушарий головного мозга, что позволяет развивать способности ребёнка. Самый благоприятный период для интеллектуального развития – это возраст до 10 лет, когда кора больших полушарий головного мозга ещё окончательно не сформирована.
Кинезиологические упражнения следует выполнять в комплексе. Их систематическое использование приводит к тому, что у детей развивается межполушарное взаимодействие, синхронизируется работа полушарий головного мозга, что является основой развития интеллекта; развиваются память, внимание, речь.
Основным требованием к квалифицированному использованию кинезиологических комплексов является точное выполнение всех движений и приёмов.
Решение нестандартных задач, задач повышенной трудности требует от детей усиленной умственной нагрузки, поэтому кинезиологический комплекс целесообразно применять в начале занятия. Продолжительность выполнения кинезиологических упражнений в рамках одного занятия - 5-10 минут.
В течение учебного года желательно реализовать весь кинезиологический цикл:
комплекс упражнений для развития межполушарных связей (приложение 1);
комплекс упражнений для развития правого полушария (приложение 2);
комплекс упражнений для развития левого полушария (приложение 3).
Второй этап занятия – разминка, включающая в себя занимательные упражнения на развитие познавательной сферы школьников, задачи повышенной трудности низкого уровня сложности. Время проведения разминки – 5 – 7 минут.
Третий этап – основная часть, состоящая из заданий повышенной трудности среднего и высокого уровня сложности.
Методические рекомендации по использованию задач повышенной трудности
в процессе подготовки учащихся к математической олимпиаде
Все задачи, используемые при подготовке к математической олимпиаде, можно условно разбить на несколько групп:
задачи низкого уровня сложности;
задачи среднего уровня сложности;
задачи высокого уровня сложности.
К задачам низкого уровня сложности относятся задачи повышенной трудности, в которых трудность определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математического содержания. Среди этих задач есть задачи на смекалку, задачи-шутки, которые пробуждают «вкус» к умственной работе.
Задачи среднего уровня сложности требуют для решения больше времени, чем задачи низкого уровня сложности. В случае необходимости их следует разбить на несколько более простых задач. Среди задач второй группы большой интерес у учащихся вызывают упражнения на восстановление цифр в арифметических равенствах. При решении этих заданий не следует требовать от учащихся письменной записи. Однако ученики должны уметь восстановить всю цепочку рассуждений устно, позволяющих им решить задачу, а также обосновать решение.
Третью группу задач составляют задачи высокого уровня сложности. Это наиболее трудные задачи, в том числе логические задачи, комбинаторные задачи.
Способы решения задач повышенной трудности
При решении задач повышенной трудности важно соблюдать некоторые условия. Целесообразным является рассмотрение различных способов решения. Важно поощрять поиск разных способов решения, а не стремиться навязывать своё. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у школьников умение использовать особенность каждой задачи, позволяющую решить её проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи является залогом успешного её решения. Особое внимание следует обращать на решение задач арифметическим способом, так как это способствует развитию независимости, оригинальности мышления, изобретательности.
Как помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи
Наибольшие затруднения у учащихся, как правило, вызывает решение нестандартных задач, то есть задач, алгоритм решения которых учащимся неизвестен.
Как же научить школьников решать нестандартные задачи? Прежде всего, следует учесть, что научиться решать задачи учащиеся смогут, лишь решая их. Кроме этого необходимо развивать у детей волю и упорство, так как именно особое волевое усилие может обеспечить значительный успех.
Подбирая задачи, нужно помочь учащимся обнаружить, что математическая задача может быть столь же увлекательной, как и головоломка, и что напряжённая умственная работа в случае победы может доставлять много радости. Практика показывает, что у младших школьников большой интерес вызывают задачи практического содержания.
Таким образом, чтобы научить школьников решать задачи, учителю необходимо:
Подбирать упражнения, вызывающие у детей интерес и желание их решить.
Поддерживать в ученике уверенность, что он сможет решить предложенную ему задачу.
Подбирать посильные для решения задачи.
В том случае, если соблюдены все три условия, но ученик всё равно не может справиться с решением задачи, ему на помощь должен прийти учитель. Самостоятельно решать задачи детей необходимо учить.
В чём же должна заключаться помощь учителя, чтобы обеспечить максимальную самостоятельность учащегося при решении им задачи? Не следует забывать, что во время мышления осуществляется актуализация, или приближение знаний, поэтому часто целесообразно начать работу над задачей с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» или «Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным тебе решением? Или с задачей, решающейся проще?» Если учащийся затрудняется в подборе вспомогательных задач, то учитель может предложить их сам или задать наводящие вопросы.
Поиск путей решения задачи как при обучении самостоятельному решению задач, так и при их самостоятельном решении может быть выстроен следующим образом:
понимание постановки задачи (осмысление);
составление плана решения;
осуществление плана;
изучение полученного решения, анализ («взгляд назад» по словам Д. Пойа).
СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ
ЗАНЯТИЕ 1.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
1. Упражнение «Найди 3 одинаковых прямоугольника».
Ответ. 1 и 4 прямоугольники 2-го ряда и 1 прямоугольник 3-го ряда.
2. «Поспевай – не зевай».
- Какие города летают? (Орёл, Сорока)
- Когда гриб летает и плавает? (Поганка – гриб и поганка – птица)
- Какая птица самая глупая? (Глупыш)
- Какая птица носит название корабля? (Фрегат)
3. Реши числовые ребусы.
а) 34* + **1 = 600
б) 6*3 + 29* = 901
Ответ.
а) 349 + 251 = 600
б) 603 + 298 = 901
Основная часть.
В записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 замените звёздочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
Решение.
Легко убедиться, что только сложением или вычитанием чисел, образованных из данных цифр, число 100 получить невозможно.
Так как 100 = 5Ч5Ч2Ч2, то, чтобы получить число 100 с помощью умножения, необходимо, чтобы среди сомножителей, образованных из данных цифр, число 5 встречалось 2 раза. Так как одно число 5 и число 4 уже имеются в данной записи, то для решения задачи достаточно с помощью оставшихся трёх цифр получить число 5. Это можно сделать двумя способами: 5 = 1Ч2 + 3 или 5 = 1 Ч (2 + 3). Таким образом, задача имеет 2 решения: (1Ч2 +3) Ч4 Ч5 = 100; 1Ч (2 + 3) Ч4Ч5 = 100.
В следующих записях некоторые цифры заменены звёздочками. Восстановите записи: а) * * б) __* * * *
+ * *__ * * *
1 9 7 1
Решение.
а) Так как сумма цифр десятков данных слагаемых равна 19, то цифры десятков в обоих слагаемых равны 9, а сумма единиц – больше 10. Учитывая, что сумма цифр единиц оканчивается на 7 и больше 10 (т.е. равна 17), находим, что цифры единиц слагаемых – 9 и 8. Получается: 99 + 98 = 197
б) Разность четырёхзначного и трёхзначного числа равна 1 только в одном
случае: 1000 – 999 = 1
ЗАНЯТИЕ 2.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
1. «Поспевай – не зевай».
- Сколько концов у двух палок? (4) А у двух с половиной? (6)
- Какие два месяца года, идущие друг за другом, имеют по 31 дню? (Июль, август)
- Назови наибольшее шестизначное число, в котором все цифры различны. (987654)
- Назови наибольшее десятизначное число, в котором все цифры различны.
(9876543210)
2. Реши числовой ребус. Запиши все возможные варианты решения.
а) 4** + **4 = 816
Ответы.
а) 492 + 324 = 816; 422 + 394 = 816; 412 + 404 = 816; 402 + 414 = 816
3. Основная часть.
Расставьте в записи 7Ч9 + 12 : 3 – 2 скобки так, чтобы значение получившегося выражения было равно: а)23; б)75.
Решение.
а) (7 Ч9 + 12) : 3 -2 = 23 б) (7Ч9 + 12) : (3 – 2) = 75
10 учебников стоят на 200 рублей дороже, чем 30 тетрадей. Те же 10 учебников стоят на 170 рублей дороже, чем 40 таких тетрадей. Сколько стоит один учебник и одна тетрадь?
Решение.
Из условия ясно, что 10 тетрадей (40 – 30) стоят 30 рублей (200 – 170). Следовательно, одна тетрадь стоит 3 руб. (30 : 10 = 3). 10 учебников стоят 290 руб. (200 руб. + 3 руб.Ч30 = 290 руб.), один учебник – 29 рублей.
ЗАНЯТИЕ 3.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
Продолжи ряды чисел, записав в каждый ряд по 4 числа.
а) 20, 19, 21, 20, 22, 21, 23, 22, , , .
б) 4, 16, 5, 25, 6, 36, 7, 49, , , .
Ответ.
а) 24, 23, 25, 24.
б) 8, 64, 9, 81.
Реши числовой ребус
*23 – 5** = 181
Ответ.
– 528 = 181
Основная часть.
Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?
Решение.
Так как каждый из семи дал 6 фотографий (всем кроме себя), то всего было роздано 42 фотографии (6Ч7 = 42)
Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй 3 картофелины. Вместе они очистили 400 картофелин. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?
Решение.
Второй человек, работая один, очистил 75 картофелин (25Ч3 = 75). Вместе они очистили 325 картофелин (400 – 75 = 325), проработав совместно 65 минут
(325 : 5 = 65). Значит, первый человек работал 65 минут, второй 90 минут.
ЗАНЯТИЕ 4.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
1. Исключи лишнее слово. Объясни свой выбор.
НОЗИБ, ФЕЛЕТОН, АБРЕЗ, ГРИТ.
Ответ.
Лишнее слово фелетон (телефон); бизон, зебра, тигр – животные.
2. Найди закономерность и продолжи каждый ряд на 4 числа.
а) 1, 4, 9, 16,
б) 76, 66, 57, 49,
Ответ.
а) 25, 36, 49, 64
б) 42, 36, 31, 27
Основная часть.
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или капуста, или коза. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу. Если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. В присутствии человека «никто никого не ест». Человек всё-таки перевёз свой груз через реку. Как он это сделал?
Решение.
Введём обозначения: Ч – человек, В – волк, К – коза, к – капуста.
ЧК
Вк
Ч
Вк К
Чк
В К
ЧК
В к
ЧВ
К к
Ч
К Вк
ЧК
Вк
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у неё 30 минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если в школу и из школы она идёт пешком?
Решение.
На путь из школы на автобусе Аня затрачивает 15 минут (30 : 2 = 15), поэтому на путь из дома в школу пешком – 1 ч 15 мин, а искомое время – 2 ч 30 мин.
ЗАНЯТИЕ 5.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
На острове, где живут правдолюбцы и лжецы, путешественник встретил одного из местных жителей. Назовите хотя бы один вопрос, который он должен задать жителю, для того, чтобы понять, кто он – правдолюбец или лжец.
Ответ.
Надо задать вопрос, на который путешественник знает точный ответ, например: «Сейчас день?»
Отгадай загадки.
а) Ухом не слышит, носом не дышит,
Где побывает – хвост потеряет. (Иголка с ниткой)
б) В воду идёт красный, из воды – чёрный. (Уголёк)
в) В новой стене, в круглом окне днём стекло разбито, за ночь вставлено. ( Прорубь)
Назови все двузначные числа, в которых число десятков в 3 раза больше числа единиц.
Ответ.
31, 62, 93.
Основная часть.
По столбу высотой 10 м взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 метров, а за ночь опускается на 4 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?
Решение.
За первый день улитка поднимается на 5 м, за ночь опустится на 4 м. Следовательно, за первые сутки она окажется на высоте 1 м, за 5 суток – на высоте 5 м. На шестой день улитка достигнет вершины.
В следующих записях некоторые цифры заменены звёздочками. Восстановите записи: а) 6 * Ответ: 6 6 б) _ 1 4 * * * 7 Ответ: _ 1 4 3 1 2 7
* *
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Решение.
а) Учитываем, что при умножении двузначного числа, начинающегося с цифры 6 (6 *), на однозначное (*) двузначное число получается только в том случае, когда однозначный множитель равен 1. Получается, что каждая цифра второго множителя равна 1.
б) Число 5 может получиться при умножении 7 только на 5. Отсюда следует, что первая цифра в частном 5. Чтобы произведение 7 на однозначное число оканчивалось единицей, надо чтобы однозначный множитель был равен 3, поэтому в частном получаем 53. Делитель равен 27, так как только при умножении 27 на 5 получаем число, меньшее трёхзначного числа 14*.
ЗАНЯТИЕ 6.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
1. Что больше: половина половины 20 или четверть четверти 80?
Ответ.
20:2:2=5, 80:4:4=5. Они равны.
2.Три года назад Таня была в 7 раз старше своей сестры. 2 года тому назад Таня была в 4 раза старше своей сестры. Год назад Таня была в 3 раза старше своей сестры. Сколько лет Тане и её сестре?
Ответ.
Тане 10 лет, младшей сестре- 4 года.
Основная часть.
В следующей записи некоторые цифры заменены звёздочками. Восстановите запись. _ * * * * * * * * *______ Ответ. _1 0 8 9 7 0 9 1 2______
* * * * * 8 * * 1 0 8 90809
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Решение.
В частном вторая и четвёртая цифры – нули, так как при делении в соответствующих местах снесены сразу по 2 цифры. Первая цифра делителя – 1, в противном случае при умножении на 8 (третья цифра частного) двузначного делителя не могло бы получиться двузначное число. По этой же причине вторая цифра делителя не может быть больше 2 (так как, например, 13Ч8 = 104 – трёхзначное число).
Учитывая, что при умножении числа 1 * на первую (и последнюю) цифру частного получаем трёхзначное число, заключаем, что вторая цифра делителя – 2 (Числа 10 и 11 при умножении на самое большое однозначное число 9 дают двузначные числа)
Первая и последняя цифры частного – 9, так как только при умножении числа на 9 числа 12 получаем трёхзначное число.
Зная делитель и частные, легко определяем делимое: 90 809 Ч 12 + 1 = 1 089 709.
Делимое легко определить и по схеме деления, так как все цифры делителя и частного известны.
Сумма двух чисел равна 180. Частное от деления большего числа на меньшее равно 5. Найдите эти числа.
Решение.
Пусть меньшее число – х, тогда большее – 5х. По условию имеем уравнение: х + 5х = 180, отсюда х = 30, 5х = 150.
ЗАНЯТИЕ 7.
Кинезиологический комплекс №1.
Разминка.
1. У изгороди длиной в 20 м и не имеющей поворотов, столб от столба стоят на расстоянии двух метров. Сколько всего столбов?
Ответ.
11 столбов.
2. Поиск закономерностей.
а) Какой ответ из предложенных ниже можно поставить вместо вопросительного знака?
1
5
3
2
4
5
5
9
6
5
2
3
?
Варианты ответов.
3
4
1
1
1
2
5
7
2
2
4
3
3
1
5
9
6
3
1
7
А Б В Г Д
Решение.
Если в каждом из трёх предложенных квадратов сложить числа по диагонали, то значения сумм будут одинаковыми:
- 1 фигура: 1+9=5+5=10
- 2 фигура: 3+5=2+6=8
- 3 фигура: 4+3=2+5=7
Значит, пропущена фигура Б, так как: 1+2=2+1=3
б)
?
Варианты ответов.
А Б В Г Д
Ответ.
А. Смотрим на расположение палочек.
Основная часть.
В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько раньше их было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?
Решение.
Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то будет вынуто 300 яблок (60Ч5 = 300). Так как по условию останется яблок столько, сколько раньше их было в двух ящиках, то вынуто столько, сколько было в трёх ящиках. Значит, в каждом ящике было 100 яблок (300 : 3 = 100).
В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить с помощью двухчашечных весов и гири в 200 г крупу на 2 пакета, содержащие по 800 г, и пакет в 2 кг, сделав лишь 3 взвешивания?
Решение.
Делим 3 600 г пополам с помощью весов, без гирь.
Из одного пакета высыпаем 200 г при помощи гири, поставленной на другую чашку весов. Добавим эти 200 г во второй пакет, получим 2 кг.
Полученные 1 600 г делим на 2 пакета с помощью весов.
ЗАНЯТИЕ 8.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
1. Головоломка для интеллектуалов. Вставьте пропущенные числа.
3
7
13
21
?
5
20
51
104
?
Решение.
В первой строке числа увеличиваются так: сначала на 4, потом на 6, потом на 8. Следовательно, пропущенное число будет больше, чем 21, на 10. Это число 31.
Во второй строке числа образованы из чисел первой строки:
1 строка: 3, 7, 13, 21, 31.
2 строка: 5, 20, 51, 104, 185.
2. «Поспевай – не зевай».
- Крутая гора, что ни шаг, то нора (Лестница).
- Всем, кто придёт, и всем, кто уйдёт, она ручку подаёт (Дверь).
- Ношу их много лет, а счёта им не знаю (Волосы).
Используя цифры 0, 1, 3, 5, запиши наибольшее и наименьшее пятизначные числа.
Ответ.
Наименьшее пятизначное число – 10035
Наибольшее пятизначное число - 55310
Основная часть.
Когда отцу было 27 лет, то сыну было только 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
Решение.
Пусть сейчас сыну Х лет, тогда отцу – 3Х лет. Поскольку разность возрастов отца и сына постоянна и равна по условию 24 годам, то имеем уравнение: 3Х – Х = 24, отсюда Х=12; 3Х = 36.
Катя старше Вали, а Нина старше Кати, но младше Светы. Поставь девочек в ряд по возрасту, чтобы первой стояла самая старшая девочка.
Решение.
Построим граф отношения «быть старше», т. е. будем проводить стрелку от девочки, которая старше, к девочке, которая младше (рис. 1)
К
В
С
Н
Рис. 1
Девочек по возрасту можно выстроить так: Света, Нина, Катя, Валя.
ЗАНЯТИЕ 9.
1.Кинезиологический комплекс №2.
2. Разминка.
Игра «Загадочный пример».
Приучайтесь думать точно! * *
Всё исследуйте до дна! 2 0 *
Вместо точек на листочке 2 * 2
Цифра верная нужна!
Я подсказывать не буду
Никаких её примет.
Но ОДНА и ТА ЖЕ ВСЮДУ
Даст вам правильный ответ!
Ответ.
Цифра 1
Найди закономерности, которые связывают числа в столбцах таблицы, и заполни пустые клетки.
3
4
5
6
8
9
16
25
49
6
12
30
42
90
Ответ.
3
4
5
6
7
8
9
10
9
16
25
36
49
64
81
100
6
12
20
30
42
56
72
90
Основная часть.
Квадрат разделён на 9 равных клеток. Расставьте в этих клетках числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбике равнялась 15.
Решение.
Так как сумма всех однозначных чисел 45, то решение задачи возможно (строк 3 и столбиков 3).
6
1
8
7
5
3
2
9
4
Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий, 83 – французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?
Решение.
1 способ. Так как 25 туристов не знали немецкого языка (100 – 75 = 25), то 15 туристов (25 – 10 = 15) знали только французский язык, поэтому оба языка знали 68 туристов (83 – 15 = 68).
2 способ. Так как 10 туристов не знали немецкого языка, ни французского, то немецкий или французский знали 90 туристов (100 – 10 = 90). 158 туристов знали хотя бы один язык (75 + 83 = 158). Но 158 больше 90, так как дважды посчитали туристов, которые знали оба языка. Таким образом, французский и немецкий языки знали 68 туристов (158 – 90 = 68).
ЗАНЯТИЕ 10.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
Разгадай ребусы:
Ответ.
Барометр, Париж.
Начертите изображённую на рисунке фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды.
С
В Д
А Е
Решение.
Можно, например, начать движение с левого нижнего угла вверх и по диагонали вправо. Первый способ соответствует ломаной АВСДВЕАДЕ, второй – ломаной – АДВСДЕВАЕ.
Основная часть.
На столе стоят 3 одинаковых ящика. В одном лежат 2 белых шарика, в другом – 2 чёрных, в третьем – белый и чёрный. На ящиках сделаны надписи: «2 белых», «2 чёрных», «чёрный и белый». Но ни одна из этих надписей не соответствует истине. Как, вынув один шарик из одного ящика, узнать, какие шарики, где лежат?
Решение.
Так как надписи не соответствуют истине, то в ящике с надписью «белый и чёрный» находятся шарики какого-то одного цвета. Если вынутый из этого ящика шарик окажется белым, то это ящик с белыми шариками. Тогда в ящике с надписью «2 белых» будут лежать 2 чёрных шарика, в ящике «2 чёрных» - белый и чёрный.
Если же вынутый из этого ящика шарик окажется чёрным, то это ящик с чёрными шариками. Тогда в ящике с надписью «2 белых» будут лежать белый и чёрный шарики, в ящике «2 чёрных» - 2 белых шарика.
Встретились 3 друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой – брюнет, а третий – рыжеволосый, но ни у одного нет цвета волос, на который указывает его фамилия», - заметил брюнет. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у каждого друга.
Решение.
Белов
Чернов
Рыжов
Блондин
-
+
-
Брюнет
-
-
+
Рыжий
+
-
-
Так как ни один цвет волос, на который указывает его фамилия, Белов не может быть блондином, Чернов – брюнетом, Рыжов – рыжим. Белов также не может быть брюнетом, так как он откликнулся на высказывание брюнета. Следовательно, Белов – рыжий, Чернов – блондин, а Рыжов – брюнет.
ЗАНЯТИЕ 11.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
1. Заполните пустые клетки, используя логические связи:
жук
человек
лошадь
6
2
?
25
15
45
6
4
?
36
81
45
1
6
?
Ответ.
1) у жука 6 ног, у человека -2, у лошади – 4;
2) 2: 36 : 9 – 3 = 1; 81 : 9 – 3 = 6; 45 : 9 – 3 = 2;
3)10: 25 : 5 + 1 = 6; 15 : 5 + 1 = 4; 45 : 5 + 1 = 10
2. Продолжи ряд на 3 числа: 15, 20, 13, 18, 11, .
Ответ.
16, 9. 14. Ряд образован по принципу: +5; -7 и т.д.
Основная часть.
Три подруги вышли в белом, зелёном и синем платьях. Их туфли также были белого, зелёного и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зелёных туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
Решение.
Составим таблицу для определения цвета туфель подруг.
Аня
Валя
Наташа
Белые
+
-
-
Зелёные
-
-
+
Синие
-
+
-
Теперь определим цвет платьев. Поскольку у Ани цвет платья и туфель совпадали, значит, у неё было белое платье, у Наташи – синее, у Вали – зелёное.
Три сосуда заполнены (наполовину) водой. В одном сосуде 11 л, во втором – 7 л, в третьем – 6 л. В каждый сосуд можно налить из другого столько воды, сколько в нём было налито. Как разделить воду во всех трёх сосудов поровну?
Решение.
Поскольку в трёх сосудах 24 л воды, в каждом сосуде должно быть 8 л воды. Процесс переливания можно изобразить в виде схемы:
11 7 6
4 14 6
4 8 12
8 8 8
ЗАНЯТИЕ 12.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
1.Вставьте пропущенное число: 12, 168, 14
15, , 16
Ответ.
240. Число равно произведению рядом стоящих чисел.
2.Вставь недостающее число в числовой круг.
Ответ.
Каждое последующее число равно удвоенному предыдущему +2,+3,+4,+5+,6, т.е. это число152: 73 Ч2 + 6
Основная часть.
Когда отцу было 27 лет, то сыну было только 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
Решение.
Пусть сейчас сыну Х лет, тогда отцу – 3Х лет. Поскольку разность возрастов отца и сына постоянна и равна по условию 24 годам, то имеем уравнение: 3Х – Х = 24, отсюда Х=12; 3Х = 36.
Имеется несколько поросят одинакового веса и несколько ягнят также одинакового веса. 3 поросёнка и 2 ягнёнка весят 22 кг, а 2 поросёнка и 3 ягнёнка 23 кг. Сколько весит 1 поросёнок и 1 ягнёнок.
Решение.
Допустим, что один поросёнок весит Х кг, а один ягнёнок – У кг. Составим уравнения по условию задачи:
3Х + 2У = 22 (кг)
2Х + 3У = 23 (кг)
Уравняем число поросят в обоих уравнениях. Для этого все числа первого уравнения умножим на 2, второго – на 3. Получим:
6Х + 4У = 44
6Х + 9У = 69
Узнаем, на сколько ягнят больше в уравнении 1:
9 – 4 = 5 (ягнят)
Узнаем, на сколько вес животных во втором уравнении больше:
69 – 44 = 25 (кг)
Узнаем, сколько весит один ягнёнок:
25 : 5 = 5 (кг)
Тогда получается:
3Х + 2Ч5 = 22
3Х + 10 = 22
3Х = 22 – 10
3Х = 12
Х = 12:3
Х = 4 (кг) – весит 1 поросёнок
ЗАНЯТИЕ 13.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
Вставьте пропущенное число: 17, 102, 12
14, , 11
Ответ.
Число равно половине произведения соседних с ним чисел. Это 154.
В древней Руси деньгами служили серебряные бруски – их называли гривнами. Если вещь стоила меньше всего бруска, то отрубали половину. Как называлась отрубленная часть серебряного бруска?
Ответ. Она называлась рублём. Отсюда и пошло название денежной единицы – рубль.
Основная часть.
Вера, Галя и Женя участвовали в соревнованиях по фигурному катанию и заняли первые три места, получив золотую, серебряную и бронзовые медали. Когда их спросили, какую медаль получила каждая из них, то были получены следующие ответы: 1) Вера получила не золотую, а Женя – не серебряную медаль; 2) Галя получила не бронзовую медаль, а Вера – не серебряную. Какую медаль получила каждая из них, если оба ответа правильные?
Решение.
В условии сказано, что серебряную медаль не получали Женя и Вера, следовательно, её получила Галя. Вера не получала золотую медаль, значит, её получила Женя. Вера получила серебряную медаль.
Золото
Серебро
Бронза
Вера
+
Галя
+
Женя
+
3 открытки и 4 конверта стоят 18 руб., а 6 открыток и 5 конвертов – 27 руб. Сколько стоит открытка и сколько стоит конверт?
Решение.
Сделаем краткую запись:
3 откр. 4 конв. 18 руб.
6 откр. 5 конв. 27 руб.
Уравняем число открыток, для этого умножим первую строку на 2.
6 откр. 8 конв. 36 руб.
6 откр. 5 конв. 27 руб.
На сколько конвертов больше в первом случае?
8 – 5 = 3 (конв.)
На сколько рублей в первом случае заплатили больше?
36 – 27 = 9 (руб)
Сколько стоит конверт?
9 : 3 = 3 (руб)
Сколько стоят 5 конвертов?
3 Ч5 = 15 (руб)
Сколько стоят 6 открыток?
27 – 15 = 12 (руб)
Сколько стоит открытка?
12 : 6 = 2 (руб)
ЗАНЯТИЕ 14.
Кинезиологический комплекс №2.
Разминка.
Запиши наименьшее четырёхзначное число, в котором все цифры различны.
Ответ.
1234.
Как назвать пяти дней недели подряд, не пользуясь указанием чисел месяца, не называя дней недели?
Ответ.
Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра.
Продолжи числовую последовательность:
а) 18, 17, 19, 18, 20, 19, , , .
б) 11, 121, 12, 132, 13, 143, 14, , , .
Ответ.
а) 21, 20, 22; б) 154, 15, 165
Основная часть.
В трёх оранжереях растёт 647 кустов роз: в первой – 219 кустов, во второй – в 3 раза больше, чем в третьей. На каждом квадратном метре растёт по 3 куста роз. Какую площадь занимает второй участок с розами?
Решение.
1) 647 – 428 = 428 (к) – на 2 и 3 участках
2) 428 : 4 = 107 (к) – на 3 участке
3) 107 Ч 3 = 321 (к) – на 2 участке
4) 321 : 3 = 107 (м) – площадь 2 участка
Примечание: во втором действии делим на 4, так как на 3-м участке – Х кустов роз, значит, на втором 3 Х кустов.
Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехало за город, если всего было 10 рукопожатий?
Решение.
Предположим, что встретились 2 мальчика, изобразим их кружками, а рукопожатие линией, соединяющей эти точки (рис. 1). Добавляем 3-го мальчика и получаем 3 рукопожатия (рис. 2). Нам нужно 10 рукопожатий, значит, добавляем 4-го приятеля. В данном случае рукопожатий будет 6 (рис. 3). Добавляем ещё одного мальчика, теперь мальчиков 5, а рукопожатий 10 (рис. 4). Значит, на вокзале встретилось 5 мальчиков.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
ЗАНЯТИЕ 15.
Кинезиологический комплекс №3.
Разминка.
Вместо звёздочек поставь числа, если известно, что они равны:
* - 22 – 41 + * - 17 – 20 = 100
Решение.
1 способ. Условно разделим левую часть равенства на 2 части.
* - 22 – 41 + * - 17 – 20 = 100
В первой части из неизвестного числа сначала вычли 22, затем 41, в сумме вычли 63. Во второй части из неизвестного числа сначала вычли 17, затем 20, в сумме 37. Общее вычитаемое – 100.
Правая часть равенства равна 100. Следовательно, в левой части после выполнения всех действий нам необходимо иметь 100. Мы установили, что в левой части равенства всего вычли 100,значит, чтобы получить необходимое значение 100, нам необходимо общее вычитаемое 100 вычесть из 200. Получается, что сумма одинаковых чисел равна 200. Так как эти числа равны, то каждое их них будет равно 100.
100 – 22 – 41 + 100 – 17 – 20 = 100
2 способ.
Допустим, неизвестно число равно Х. Получаем уравнение:
Х - 22 – 41 + Х - 17 – 20 = 100
Находим корень уравнения.
Х + Х = 100 + 22 + 41 + 17 + 20
2Х = 200
Х = 200 : 2
Х = 100
Сколько на чертеже квадратов? (рис. 1)
Рис. 1
Ответ.
32 квадрата: 19 квадратов по 1 квадратику, 10 квадратов по 4 квадратика и 3 квадрата по 9 квадратиков.
Основная часть.
Есть краски зелёного, красного, синего, фиолетового, оранжевого цветов. Сколькими способами можно раскрасить трёхэтажные домики в 3 цвета, при условии, что цвета не должны повторяться.
Решение.
Допустим, верхний этаж домика покрасили зелёной краской. Изобразим все возможные варианты покраски этого дома при помощи графа.
З
К Ф С Ор
С Ф Ор Ор К С К Ор Ф К С Ф
Таким образом, при покраске верхнего этажа определённым цветом (например, зелёным) получается 12 вариантов покраски дома. При возможности покраски верхнего этажа пятью способами всего имеющимися красками дом можно раскрасить 60 способами (12 Ч5 = 60).
В классе проводили математическую олимпиаду, на которой было предложено для решения 10 задач. За каждую решённую задачу засчитывалось 5 баллов, а за нерешённую списывали 3 балла. Один из учеников класса получил 34 балла. Сколько задач он решил правильно?
Решение.
Заметим, что за каждую нерешённую задачу теряется 8 баллов. Если бы ученик решил все задачи, то он бы набрал 50 баллов, а он набрал только 34 балла, следовательно, он потерял 16 очков. Получается, что он не решил 2 задачи, а решил правильно 8 задач.
ЗАНЯТИЕ 16.
Кинезиологический комплекс №3.
Разминка.
Сколько на каждом чертеже треугольников?
Рис. 1 Рис. 2
Ответ.
Рис.1 – 27; рис. 2 – 35.
Как поставить в комнате 5 стульев, чтобы у каждой из четырёх стен стояло по 2 стула.
Ответ.
3.Основная часть.
Тоня, Дима, Юля, Паша и Катя обсуждали свои дни рождения. Все они появились на свет в один и тот же год, но в разные месяцы. Конкретные даты такие: 14 февраля, 10 апреля, 23 июня, 21 августа, 21 декабря. Можете ли вы, используя следующие данные, сказать, когда кто родился?
а) Мальчик, у которого день рождения в июне, ходит в школу с девочкой, которая
родилась в апреле.
б) Димин день рождения раньше Катиного, но позже Пашиного.
в) Тоня – самая старшая из ребят.
Решение.
Так как Тоня самая старшая из всех ребят, значит, она родилась раньше всех, то есть 14 февраля.
Из пункта 1 следует, что у одного из мальчиков день рождения в июне, значит, у Кати и Юли день рождения в июне не может быть. Одна из девочек родилась в апреле, значит, у мальчиков нет дня рождения в апреле.
В апреле может быть день рождения у Юли или у Кати. Катя младше Димы, значит, у неё не может быть дня рождения в апреле, так как тогда Дима должен родиться в феврале. Значит, день рождения в апреле у Юли.
Паша старше Димы, а Дима старше Кати. Значит, день рождения Паши в июне, Димы – в августе, а Кати – в декабре.
Имена детей
День рождения
Тоня
14 февраля
Юля
10 апреля
Паша
23 июня
Дима
21 августа
Катя
21 декабря
Когда отцу было 27 лет, то сыну было только 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
Решение.
Пусть сейчас сыну Х лет, тогда отцу – 3Х лет. Поскольку разность возрастов отца и сына постоянна и равна по условию 24 годам, то имеем уравнение: 3Х – Х = 24, отсюда Х=12; 3Х = 36
ЗАНЯТИЕ 17.
Кинезиологический комплекс №3.
Разминка.
Имеется набор гирь: 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г. Подумайте, любую деталь от 23 до 31 г можно уравновесить с помощью этого набора гирь или нет? На чашечку с деталью гири класть не разрешается. Масса детали – целое число граммов.
Решение.
23 = 1 + 2 + 4 + 16
24 = 8 + 16
25 = 1 + 8 + 16
26 = 2 + 8 + 16
27 = 1 + 2+ 8 + 16
28 = 4 + 8 + 16
29 = 1 + 4 + 8 + 16
30 = 2 + 4 + 8 + 16
31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16
Можно уравновесить любую деталь массой до 31 г.
Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 так, чтобы в каждом числе все цифры были различны.
Решение.
123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1 332
Основная часть.
В соревнованиях приняли участие Яков, Эдуард, Рустам, Галина и Карина. На финише Рустам не был вторым, Эдуард отстал от Рустама на 2 места, Яков не был первым. Галина не была ни первой, ни последней. Карина финишировала сразу за Яковом. Кто финишировал первым? Как распределились места?
Ответ.
1 место – Рустам, 2 место – Галина, 3 место – Эдуард, 4 место – Яков, 5 место – Карина. Задачу целесообразно решить при помощи таблицы.
1 место
2 место
3 место
4 место
5 место
Яков
+
Эдуард
+
Рустам
+
Галина
+
Карина
+
Как можно расположить цвета радуги в другом порядке, если 2 первых и 2 последних цвета оставить на своих местах. Сколько всего таких вариантов?
Решение.
На первом месте стоит полоса красного цвета, на втором – оранжевого, на предпоследнем месте – полоска синего цвета, на последнем – фиолетового. Промежуточные между ними цвета – жёлтый, зелёный и голубой. Изобразим варианты «радуг» при помощи графа.
К
Ор
Ж З Г
З Г Ж Г Ж З
Г З Г Ж З Ж
С С С С С С
Ф Ф Ф Ф Ф Ф
Таким образом, вариантов расположения цветов радуги в порядке, указанном в задаче, всего 6.
ЗАНЯТИЕ 18.
Кинезиологический комплекс №3.
Разминка.
Разгадайте ребусы.
Ответ.
Столяр, осень.
История квадрата. От меня отрезали половину, от половины ещё половину, от следующего остатка ещё половину. От меня остался только 1 кв. см. Какую же площадь я имел сначала?
Ответ.
16 смІ.
Маша и Оля купили себе любимых земляных орешков. На прилавке было 6 пакетиков с орешками, разных по весу:
310 г
200 г
190 г
180 г
160 г
150 г
Маша купила 2 пакетика. Оля – 3, причём Оля купила в 2 раза больше (по весу)
орешков, чем Маша. Из 6 пакетиков на прилавке остался один. Какой?
Ответ.
Пакетик в 180 г.
3.Основная часть.
Масса наполненной канистры 17 кг. Если же она заполнена наполовину, то её масса равна 9 кг. Какова масса пустой канистры?
Решение.
1) 17 – 9 = 8(кг) – масла в половине канистры
2) 9 – 8 = 1 (кг) – масса пустой канистры
Мальчик поймал сома. Голова у него была длиной 8 см. Хвост такого же размера, что и голова, плюс половина длины туловища. А длина туловища была равна сумме длин головы и хвоста. Какой длины была рыба?
Решение.
8 см 8 + (8 + Ѕ х) 8 + Ѕ х
Примем за х длину туловища, тогда длина хвоста = 8 + Ѕ х; длина туловища - 8 + (8 + Ѕ х). Длина всей рыбины равна: 8 + 8 + (8 + Ѕ х) + 8 + Ѕ х = 32 + х. х - длина туловища. 32 - 8 = 24 см – длина хвоста. 24 – 8 = 16 см – половина туловища, значит, длина туловища 32 см, а длина всей рыбы – 8 + 32 + 24 = 64 см
ЗАНЯТИЕ 19.
1.Кинезиологический комплекс №3.
2. Разминка.
Догадайся, какое слово пропущено.
х – 1 = 1 февраль
18 – 2х = 10 апрель
48 = 5х + 3 ?
Решение.
Корень первого уравнения равен 2, справа от первого уравнения записано название месяца - февраль, который является вторым в году по счёту. Корень второго уравнения равен 4, справа записано название четвёртого месяца года – апреля. Корень третьего уравнения равен 9, значит, пропущено название девятого месяца года – сентября.
Вставь в пустые строки пропущенные знаки.
БУРЬЯН БУРЯ
ВАЛЕНОК ВЕНОК
КИОСК ИСК
Решение.
Слово «буря» получилось из слова «бурьян» путём удаления четвёртой и шестой букв. Столько же кружочков нарисовано в первой строке. Слово «венок» получилось из слова «валенок» путём удаления второй и третьей букв. Столько же кружков во второй строке. Слово «иск» получилось из слова «киоск» путём удаления первой и третьей букв. Значит, в третьей строке слева нарисуем 1 кружок, справа – 3.
Основная часть.
На запасных путях станции стояли 2 состава одинаковых вагонов. В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, то длина одного состава оказалась в 4 раза больше длины другого. Сколько вагонов было в каждом составе сначала?
Решение.
Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, то в одном составе по-прежнему оказалось на 12 вагонов больше, чем во втором. Если за одну часть принять число вагонов того состава, в котором вагонов меньше, то число вагонов другого состава будет составлять 4 такие части.
Получается, что 12 вагонов составляют 3 части, значит, во втором составе осталось 12 : 3 = 4 (вагона), а в первом – 16 вагонов.
Осталось найти, сколько вагонов было в каждом составе первоначально: 4 + 6 = 10 (вагонов) – было во втором составе, 16 + 6 = 22 (вагона) – в первом составе.
На карточке, разделённой на 6 квадратов, лежат 3 звезды, треугольник и квадрат. Одна клетка на карточке свободна. Переставьте местами треугольник и квадрат. Фигуры можно передвигать только в горизонтальном или вертикальном направлении на рядом расположенную свободную клетку. На одной клетке не могут одновременно находиться 2 и более фигуры.
Решение.
Обозначим номера клеток на карточке 1, 2, 3, 4, 5, 6; фигуры: Т – треугольник, К – квадрат, З1, З2, З3- звёзды.
Т1 – 6; 2) К2 – 1; 3) З13 – 2; 4) Т6 – 3; 5) З3 5 – 6; 6) З2 4 – 5; 7) Т3 – 4; 8) З1 2 – 3; 9) К1 – 2; 10) З3 6 – 1; 11) З1 3 – 6; 12) Т4 – 3; 13) З2 5 – 4; 14) З1 6 – 5; 15) З3 1 – 6; 16) К2 – 1; 17) Т3 – 2.
ЗАНЯТИЕ 20.
1.Кинезиологический комплекс №3.
2. Разминка.
Из каждой пары слов путём перестановки букв нужно составить название животного. Все буквы необходимо использовать.
лира + гол
липа + нота
до + кролик
ум + па
Ответ.
горилла
антилопа
крокодил
пума
Три одинаковых арбуза нужно разделить между 4 детьми поровну. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов?
Решение.
ѕ = 2/4 + ј = Ѕ + ј
Каждый ребёнок получит по половинке арбуза и ещё по четвертинке.
Основная часть.
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить половину из 30 тюков с товарами, которые везли 2 купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся ( невыброшенных за борт) на палубе тюков оказались с товаром этого купца. Как были расставлены тюки и с какого тюка был начат отсчёт?
Решение.
Поставим по кругу 30 точек – 29 светлых и одну тёмную (начало отсчёта). Будем вычёркивать, начиная с тёмной, каждую девятую точку до тех пор, пока не останется 15 точек. Это и есть тюки хитрого купца.
Имеются 3 сосуда вместимостью соответственно 6, 3 и 7 литров. В первом сосуде 4, а в третьем – 6 литров молока. Используя эти 3 сосуда, необходимо разлить всё молоко поровну в 2 сосуда.
Решение.
Сначала определим, сколько всего молока было: 4 + 6 = 10 (л). Выясним, сколько литров должно быть в одном сосуде: 10 : 2 = 5 (л). Следовательно, при последнем переливании возможны варианты 5 – 0 – 5, 5 – 5 – 0, 0 – 5 – 5. Последние 2 варианта невозможны, так как в трёхлитровый сосуд нельзя налить 5 литров молока. Решение представляем в виде последовательных переливаний.
6 л
3 л
7 л
4
0
6
1
3
6
1
2
7
6
2
2
5
3
2
5
0
5
ЗАНЯТИЕ 21.
Кинезиологический комплекс №3.
Выполнение олимпиадных заданий.
Волк и заяц соревновались в беге. Каждый шаг зайца был в 2 раза короче волчьего, но так как шаги заяц делал в 3 раза чаще, чем волк. Кто победил?
Решение.
Выразим скорость волка и скорость зайца в заячьих шагах: 1 шаг волка равен 2 шагам зайца, но так как шаги заяц делал в 3 раза чаще, то в то время, как волк делал 2 заячьих шага, заяц делал 3 шага. Значит, заяц двигался быстрее, и, следовательно, он победит.
Имеется квадрат из 16 клеток, со сторонами 4 клетки. Раскрасьте его синим, красным, зелёным и оранжевым цветом так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце цвета не повторялись.
Решение.
Расшифруйте.
Ч В 7
АА
ВВВ
ВВВ__
ВДДВ
Решение.
Анализируя условие задачи, можно увидеть, что В
· 5. Это следует из того, что сумма чисел в разряде десятков и сотен меньше 10 (В + В = Д, 2В
· 10, т.е. В
· 5). Таким образом, В может принимать значения 1, 2, 3, и 4. Подставим последовательно вместо В значения этих чисел и выберем среди них то, которое удовлетворяет условию задачи.
Получим: А = 9, В = 3, Д = 6.
Ч 37
99
333
333__
3663
5 автобусов и 2 троллейбуса могут за один рейс перевезти 225 человек, а 2 автобуса и 3 троллейбуса могут перевезти 200 человек. Сколько пассажиров помещается в одном троллейбусе?
Решение.
Сделаем краткую запись:
5 автобусов 2 троллейбуса 225 человек
2 автобуса 3 троллейбуса 200 человек
Уравняем число автобусов, для этого умножим первую строку на 2, а вторую – на 5:
10 автобусов 4 троллейбуса 450 человек
10 автобусов 15 троллейбусов 1000 человек
Узнаем, на сколько больше троллейбусов во втором случае?
15 – 4 = 11 (тр.)
Узнаем, на сколько человек больше во втором случае?
1000 – 450 = 550 (чел)
Узнаем, сколько человек, в одном троллейбусе?
550 : 11 = 55 (чел)
Ребята одной школы отправились в поход. В лесу они дошли до перекрёстка трёх дорог. Одна из дорог могла привести в город, другая – в деревню, а третья – к реке. Один из ребят сказал: «Я знаю, что дорога, которая идёт прямо, не ведёт в город». Второй заметил: «Я знаю, чтобы попасть в деревню, не надо идти прямо и не следует поворачивать налево».
Определи, куда ведёт каждая из дорог, если утверждения ребят правильные.
Решение.
Представим решение задачи в таблице.
В город
В деревню
К реке
Налево
+
- (по условию)
-
Прямо
- (по условию)
- (по условию)
+
Направо
-
+
-
В стране Алфавит 8 городов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З и 8 непересекающихся дорог между городами А и Б, Е и Д, Б и Ж, З и А, В и Г, Г и Д, Ж и З, В и Е. Можно ли по этим дорогам проехать из города А в город Г?
Решение.
Построим по условию задачи граф, при этом все вершины графа сразу отмечать не будем. Начнём с построения рёбер графа, учитывая то условие, что они не пересекаются. Построим отрезки АБ и ЕД, присоединим к отрезку АБ отрезки БЖ и ЗА. Построим отрезок ВГ, не пересекающий ни один из построенных отрезков, и соединим точки Г и Д, Ж и З, В и Е (не обязательно отрезками, можно и кривыми линиями). По графу видно, что точки А и Г друг с другом не соединены, а значит, по указанным дорогам из города А в город Г проехать нельзя.
А Б Е
В Д
З Ж
Г
Литература.
Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. – Самара, 2005.
Дробышев Н.А. Олимпиады по математике: 1 – 4 классы. – М., 2003.
Керова Г.В. Нестандартные задачи по математике: 1 – 4 классы. – М., 2006.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4 – 5 классов. – М., 1986.
Перькова О.И., Сазанова Л.И. Раз, два, три – отвечай: математические развлечения для младших школьников. – М., 1994.
Русанов В.Н. Математический кружок младших школьников. - Оса, 1994.
Русанов В.Н. Математический сундучок: для учащихся третьих – четвёртых классов. – Оса, 1993.
Русанов В.Н. Сборник задач математических олимпиад младших школьников. – Оса, 1995.
Сиротюк А.Л. Коррекция обучения и развития школьников. – М., 2001.
Тихомирова Л.Ф. Развитие интеллектуальных способностей школьника. – Ярославль, 1997.
Холодова О. Юным умникам и умницам: задания по развитию творческих способностей. – М., 2002.
Приложение 1
КИНЕЗИОЛОГИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
Комплекс №1. Упражнения для развития межполушарного взаимодействия.
Упражнения улучшают мыслительную деятельность, синхронизируют работу полушарий, способствуют улучшению запоминания, повышают устойчивость внимания, облегчают процесс письма.
Массаж ушных раковин. Помассируйте мочки ушей, затем всю ушную раковину. В конце упражнения разотрите уши руками.
Перекрёстные движения. Выполняйте перекрёстные движения одновременно правой рукой и левой ногой: вперёд, в сторону, назад. Затем сделайте то же левой рукой и правой ногой.
Качание головой. Дышите глубоко. Расправьте плечи, закройте глаза, опустите голову вперёд и медленно раскачивайте головой из стороны в сторону.
Горизонтальная восьмёрка. Нарисуйте в воздухе в горизонтальной плоскости цифру 8 три раза сначала одной рукой, затем обеими руками вместе.
Симметричные рисунки. Нарисуйте в воздухе обеими руками одновременно зеркально симметричные рисунки (можно прописывать, например, таблицу умножения, слова и пр.).
Медвежьи покачивания. Качайтесь из стороны в сторону, подражая медведю. Затем подключите руки. Придумайте сюжет.
Поза скручивания. Сядьте на стул боком. Ноги вместе, бедро прижмите к спинке стула. Правой рукой держитесь за правую сторону спинки стула, левой – за левую. Медленно, на выдохе, поворачивайте верхнюю часть туловища так, чтобы грудь оказалась напротив спинки стула. Оставайтесь в таком положении 10 – 15 секунд. Выполните то же самое в другую сторону.
Дыхательная гимнастика. Выполните ритмичное дыхание: вдох в 2 раза короче выдоха.
Гимнастика для глаз. Используйте зрительные офтальмотренажёры, например, схему зрительно-двигательных траекторий (здоровьесберегающая технология В.Ф. Базарного).
Приложение 2
КИНЕЗИОЛОГИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
Комплекс №2. Упражнения для развития творческого (наглядно-образного)
мышления (правое полушарие)
В результате выполнения упражнений комплекса стабилизируется психика, развивается интуиция, активизируются творческие способности учащихся.
Стоя. Позвоночник держите прямо. Глаза закройте. Пальцы левой руки положите на живот (5 см ниже пупка), кончиками пальцев правой руки разминайте копчик. При этом представьте себе в области копчика разрастающийся красный шар. При выполнении упражнения вы, возможно, почувствуете распирание в области копчика. Затем наоборот – левая рука на копчике, правой растирайте живот, представляя в области живота разрастающийся оранжевый шар.
Левая рука в области пупка, правая на груди, в области сердца. Сильно трите грудь, представляя в области груди растущий зелёный шар.
Левая рука на животе. Указательный палец правой руки находится над верхней губой, средний – под нижней губой. Откройте рот. Растирайте область губ.
Левая рука на животе, правая чуть выше межбровья. Массируйте лоб правой рукой, представляя в области лба растущий голубой шар.
Вдыхайте левой ноздрёй, выдыхая через правую ноздрю. На вдохе постарайтесь представить, как с воздухом «золотисто-серебристая» энергия проходит через левую ноздрю, левую часть горла, левую часть сердца и желудка и доходит до копчика. При выдохе «жёлтая больная» энергия выходит через правую часть тела: печень, почки, правую часть сердца, горла и правую ноздрю. Затем вдыхайте правой ноздрёй, а выдыхайте левой. Циклы повторите по три раза.
Сложите ладони обеих рук вместе. Ладони не должны плотно касаться друг друга. Вытяните руки вперёд на уровне межбровья. Указательные и большие пальцы рук сложите «домиком» и смотрите между пальцами, в центр между ладонями, представляя шар жёлтого цвета.
Сядьте на край стула. Позвоночник держите прямо. Положите голень левой ноги на колено правой. Правую руку положите на голеностоп, прикасаясь передней областью запястья. Сверху на правую руку, крест на крест, положите левую руку, прикасаясь к правой руке аналогичным местом. Посидите в таком положении 1 минуту. Потом поменяйте местами руки и ноги и снова посидите 1 минуту.
Приложение 3
КИНЕЗИОЛОГИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
Комплекс №3. Упражнения для развития абстрактно-логического
мышления (левое полушарие)
В результате выполнения упражнений улучшается память, повышаются интеллектуальные возможности, развиваются математические способности, активизируется работа головного мозга.
Оттяните уши вперёд, затем назад, медленно считая до 10. Начинайте счёт с открытыми глазами, потом глаза закройте. Повторите 7 раз.
Одну минуту массируйте щёки круговыми движениями пальцев. Двумя пальцами рисуйте круги на подбородке и лобной части лица. Считайте при этом до 30.
Массируйте верхние и нижние веки, не закрывая глаз, 1 минуту.
Массируйте нос подушечками указательных пальцев, нажимая на кожу от основания носа до ноздрей. Повторите 20 раз.
Откройте рот и нижней челюстью делайте резкие движения, сначала слева направо, затем наоборот. Повторите 10 раз.
13PAGE 15
13PAGE 142915
Заголовок 1 Заголовок 2 Заголовок 315