Сборник нестандартных задач по прикладной математике
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ Г.КАРАГАНДЫ
СОГЛАСОВАН УТВЕРЖДЕН
Отдел образования г.Караганды Директор гимназии №45
Методический кабинет _____________________
Протокол МС__от____________ «___»___________2014г.
Сборник по прикладной математике
«Нестандартные задачи. 4 класс»
Караганда 2014 г.
Составитель: учитель начальных классов Иванова Наталья Юрьевна
Сборник утвержден на МО, протокол №___ от «___»______________2014г.
Руководитель МО: учитель начальных классов Незнамова Н.В.
________________ «____» _______________
Одобрен методическим советом гимназии , протокол №____ от ______________
Председатель методического совета : зам. дир. по НМР, Есаулова И.А.
Рецензенты: Незнамова Н.В.
Методист ГОО: Раманаускайте Э.А.
Содержание
Пояснительная записка 4
1 глава. Нумерация многозначных чисел6
2 глава. Числовые ребусы12
3 глава. Задачи на движение20
4 глава. Разные задачи..23
5 глава. Логические задачи..32
6 глава. Задачи, связанные с понятием множества44
7 глава. Комбинаторные задачи..48
8 глава. Задачи с геометрическим содержанием51
Список литературы..57
Пояснительная записка.
С поступления ребенка в школу в его жизни происходят существенные изменения ,коренным образом меняется социальная ситуация развития, формируется учебная деятельность, которая является для него ведущей.На основе учебной деятельности развиваются основные психологические новообразования младшего школьного возраста. Обучение выдвигает мышление в центр сознания ребенка. Тем самым мышление становится доминирующей функцией.
Развитие мышления, совершенствование умственных операций. Способности рассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслить логически ,выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам –необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решение логических задач.
Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный курс математики нестандартных логических задач дополним описанием соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики .
Данный сборник является учебным пособием для учителя к урокам по программе «Прикладная математика» в 4 классе.
Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения. Но достаточно ли для этого тех задач, которые изучаются на уроках математики и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно.
Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи на уроках прикладной математики , то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения в основном курсе математики. Среди них велика роль логических задач занимательного характера. Для них характерно отнюдь не лежащее на поверхности. Зачастую неожиданное решение. Сюда следует отнести задачи с необычной формулировкой, порой с довольно простым решением, но требующим значительных умственных усилий для того, чтобы понять их условия. При решении таких задач применяются, кроме известных средств, понятия и методы, которые не входят в программу по математике.
Но, понятно, что детей необходимо учить решать такие задачи, вооружать их «инструментом», с помощью которого они с задачей справятся. К таким «инструментам» можно отнести, например, логические таблицы, графы, модели, схемы или свойства, облегчающие разгадывание числовых ребусов.
На уроках прикладной математики ученики знакомятся с различными видами нестандартных задач, задач практического прикладного характера, развивают инициативу, самостоятельность, конструктивные способности, находчивость и смекалку, то есть те качества, которые им будут нужны в дальнейшей практической деятельности. Материал, предлагаемый в данной программе, с первых же шагов школьной жизни ребёнка вырабатывает в нём умение владеть нестандартными вычислительными приёмами. Методическая
Состоятельность курса видеться именно в прикладном значении математики, её интеграционной функции.
В сборники представлены нестандартные задачи всех видов, которые изучаются в курсе прикладной математики в 4 классе. К абсолютному большинству задач приведены решения, к остальным ( в случае, если встречаются сразу несколько подобных задач) даны ответы. Решения и ответы сразу следуют за текстом задачи.
Это сделано для того, чтобы облегчить труд учителя при подборе нужного им материала для урока. Ознакомившись с задачей и её решением, учителю сразу будет понятно, насколько сложна данная задача, сколько времени может быть затрачено на её решение, и , следовательно, подойдёт ли она для данного урока.
ТЕКСТЫ ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЕ.
1 глава. Нумерация многозначных чисел.
1. На сколько: а) наибольшее четырехзначное число боль ше наименьшего четырехзначного; б) наибольшее пятизнач ное число больше наименьшего пятизначного; в) наибольшее шестизначное больше наименьшего пятизначного?
(Ответ: а) 9999 - 1000 = 8999; б) 99 999 - 10 000 = 89 999; в) 999 999 10 000 = 989 999.)
2. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Что за число получилось?
(Ответ: 122211.)
3. Взяли четырехзначное число, прибавили к нему 1 и по лучили пятизначное. Какое число взяли? (Ответ: 9 999.)
4. Сколько получится, если сложить числа: наименьшее двузначное, наименьшее трехзначное и наименьшее четырех значное?
(Ответ: 10 + 100 + 1000 = 1110.)
5. а) На сколько единиц наименьшее четырехзначное чис ло больше наименьшего трехзначного числа? б) Во сколько раз первое из них больше, чем второе? в) На сколько единиц больше число, записанное пятью единицами шестого разря да, чем число, записанное пятью единицами четвертого раз ряда?
(Ответ: а) 1000 - 100 = 900; б) 1000: 100 = 10; в) 500 000 --5000 = 495000.)
6. В числе 62 317 зачеркните одну цифру так. чтобы остав шееся число было: а) наименьшим из возможных; б) наиболь шим из возможных. Переставлять цифры нельзя.
(Ответ: а) 2317; б) 6 317.)
7. В числе 41 537 зачеркните две цифры так, чтобы полу чившееся число было: а) наименьшим из возможных; б) на ибольшим из возможных.
(0твет. а)137; б)537.)
8. В числе 5 236 845 зачеркните три цифры так, чтобы ос тавшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим. (Ответ: а) 2345; б) 6845.)
9. Напишите наибольшее десятизначное число, у которого все цифры различны. (Ответ: 9876543210.)
10. Напишите наименьшее десятизначное число, у которого все цифры различны. (Ответ: 1023456789.)
11. Что произойдет с числом, если к нему: а) приписать 3 нуля справа; б) три нуля слева; в) прибавить три нуля?
(Ответ: а) увеличится в 1000 раз; б) не изменит своей ве личины, а изменит только форму; нули слева ставят, напри мер, в номерах лотерейных билетов; в) не изменится.)
12. Сколько в десятичной системе счисления однозначных, двузначных, трехзначных, четырехзначных чисел?
(Ответ: однозначных чисел 9, двузначных 90. Чтобы это узнать, надо из однозначных и двузначных чисел удалить однозначные числа: 99 - 9 = 90. Трехзначных чисел: 900 = = 999 - 99. Четырехзначных чисел: 9000 = 9999 - 999.)
13. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 99.
(Решение. В этом ряду будет 49 пар чисел, сумма которых равна 100. Это 1 + 99, 2 + 98 и т.д. И еще остается без пары число 50. Получаем: 100 49 + 50 = 4950.)
14. Все натуральные числа записаны подряд, начиная с единицы: 123456789-10 11 12.... Не выписывая чисел, сделайте нужные расчеты и ответьте на следующие вопросы: а) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все однознач ные числа? б) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все числа от 1 до 99 включительно? в) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все однозначные, двухзначные и трех значные числа?
(Ответ: а) 9; 2) 9 + 2 90 = 189; б) 9 + 2 90 + 3 900 = 2889.)
15. Сколько потребуется цифр для нумерации 18 листов тетради, начиная с первой? (Ответ: 9 + 2-9 = 27 цифр.)
16. Сколько потребуется цифр для нумерации 150 страниц книги?
(Решение. Для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных - 2 90 = 180 цифр, для за писи трехзначных чисел до 150 включительно 3 51 = 153 цифры. Таким образом, всего потребуется 342 цифры.)
17. Сколько потребуется цифр для нумерации 150 страниц книги?
(Решение. Для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных 2 90 = 180 цифр, для за писи трехзначных чисел до 150 включительно 3 51 = 153 цифры. Таким образом, всего потребуется 342 цифры.)
18. Для нумерации страниц книги понадобилось 315 цифр. Сколько страниц в книге?
(Решение. Для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных 2 90 = 180 цифр, т.е. для запи си однозначных и двузначных чисел потребовалось всего 189 цифр. Остается 315 180= 135 цифр, которыми можно запи сать 45 трехзначных чисел. Сорок пятое трехзначное число это число 44, значит, в книге 144 страницы.)
19. Какая цифра стоит в натуральном ряду на 7-м месте; на 13-м месте; на 35-м месте; на 120-м месте?
(Решение. На 7-м месте стоит цифра 7. Узнаем, какая циф ра будет стоять на 13-м месте. Для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, значит, на 13-м месте будет стоять двузнач ное число. Будет записано 13-9 = 4 двузначных числа, это числа 10 и 11, следовательно, на 13-м месте будет стоять циф ра 1. На 120-м месте будет также стоять цифра двузначного числа, так как для записи всех двузначных чисел потребуется 189 цифр. Как мы уже выяснили, для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, тогда оставшиеся 111 цифр будут ис пользованы для записи двузначных чисел. Этими цифрами можно записать 55 двузначных чисел и первую цифру 56-го двузначного числа. Таким числом будет число 65, поэтому на 120-м месте будет стоять цифра 6.)
20. Замени звездочки цифрами: **** - 1 = ***. (Ответ: 1000 - 1 = 999.)
21. Сколько всего можно составить четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3? Перечисли эти числа.
(Решение. Если сумма цифр числа равна трем, то циф ры в числе могут быть следующими: а) 1, 2, 0, 0; б) 1, 1, 1, 0. В первом случае можно составить следующие числа: 1200, 1020,1002, 2100, 2010, 2100, а во втором - 1011, 1101,1110.)
22. Учащихся школы ездили на автобусе на экскурсию. Ане достался первый автобусный билет, номер которого 189990.
Есть ли еще среди учащихся те, кому достался билет, в номе ре которого сумма трех первых цифр тоже равна сумме трех последних цифр?
(Решение. Да, среди учащихся найдется еще один человек, которому достанется такой билет. Следующий билет, обла дающий таким же свойством, имеет номер 190019; 190019 -- 189990 = 29. Тридцатый учащийся станет обладателем этого билета.)
23. Из книги выпало несколько листов. Первая выпавшая страница имеет номер 213, а номер последней страницы изоб ражается теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько листов выпало из книги?
(Решение. Номер последней выпавшей страницы должен об ладать следующими свойствами: он должен состоять из цифр 1,2,3, быть четным и больше 213. Указанными свойствами об ладает число 312. Это и есть номер последней выпавшей стра ницы. Среди 312 страниц первые 212 остались в книге, т.е. вы пало 312 - 212 = 100 страниц, что составляет 50 листов.)
24. Из книги выпала какая-то ее часть. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней страни цы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?
(Ответ: 176 листов.)
25. Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал, что для того, чтобы пронумеровать все страницы вот этой ма ленькой книжки, начиная с первой ее страницы, потребова лось ровно 100 цифр».
Не можете ли вы, не видя самой книжки, проверить, пра вильно ли подсчитал мальчик число цифр? Известно, что все страницы в книге пронумерованы.
(Решение. Для записи однозначных чисел потребовалось 9 цифр, остается 91 цифра. Остальные числа для нумера ции страниц будет двузначными, но 91 на 2 делится, поэтому мальчик ошибся.)
26. В четырехзначном числе вторая цифра, 0. Если записать цифры в обратном порядке, то получится другое четырех значное число, которое в 9 раз больше первого числа. Найди те первое число.
(Решение. Данное число в 9 раз меньше некоторого четы рехзначного числа. Следовательно, первая цифра 1. Отсюда последняя цифра 9. Подбором можно убедиться, что пред последняя цифра 8. Получаем число 1089.)
27. Во сколько раз число, содержащее 7 единиц пятого разряда, больше числа, содержащего 7 единиц второго раз ряда?
(Ответ: 70 000: 70 = 1000 (раз).)
28. И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе до за втрашнего утра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я цифры а, Ь, с. Назовешь ты мне три числа х, у, г. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно значение выражения а х + Ь у + с I. Тогда отгадай, какие числа а, Ь, с я задумал. Не отгадаешь голову с плеч долой».
Запечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Попро буйте ему помочь.
(Решение. Ивану-царевичу надо назвать числа 100, 10 и 1, тогда значением выражения ах+ Ьу + С1 = а 100 + Ь 10 + с будет трехзначное число с цифрами а, Ь, с. Задуманные Коще ем числа будет легко отгадать.)
29. В следующих числовых рядах числа записаны в опре деленной закономерности, в каждом ряду - своя закономер ность. Установите ее и запишите еще по три числа, а) 19, 20, 22, 25, 29,...; б) 5, 8,14, 26, 50,...; в) 901, 802, 703,...; г) 101,1002, 10003,...; д) 7, 67, 567,....
(Ответ: а) число увеличивается на 1, затем на 2, на 3 и т.д.; б) каждое следующее число получается так: предыдущее число увеличивается в 2 раза и из результата вычитается 2; в) циф ра разряда сотен уменьшается на 1, а цифра разряда единиц увеличивается на 1; г) добавляется один 0 и последняя цифра увеличивается на 1; д) увеличивается число разрядов, причем каждый раз слева приписывается цифра, на 1 меньше самой левой цифры предыдущего числа.)
30. Шестизначное число начинается цифрой 1 и кончается цифрой 7. Если эту цифру 7 перенести на первое место, то по лучится число в 5 раз больше первого. Найдите число.
(Ответ: 142 857.)
31. Шестизначное число начинается цифрой 5. Если пере ставить эту цифру на последнее место шестизначного числа, то получится число в 4 раза меньше первоначального. Найди те это число.
(Ответ: 512820.)
32. На какое число надо умножить 285 714, чтобы получить шестизначное число, записанное теми же цифрами, при усло вии, что вторая цифра этого числа равна 5.
(Решение. Поскольку в результате должно получиться также шестизначное число, то это значит, что можно умно жать на 2, 3 или 4; в противном случае получим число семи значное. При умножении на 4 последняя цифра произведе ния должна быть равна 6, но такой цифры в данном числе нет. Умножая на 2 и на 3, получим соответственно 571428 и 857142. Как видим, оба эти числа записаны теми же цифра ми, что и само число. Но только число 857142 удовлетворяет условию, что вторая цифра равна 5, поэтому данное число надо умножить на 3.)
33. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное число будет в 9 раз больше первоначального. Найдите двузначное число.
(Ответ: 45 -9 = 405)
34. Расшифруйте равенство ** + *** - ****, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменятся, если все три числа прочитать справа налево.
(Ответ: 22 + 979 =1001.)
35. Из надписи 1234567891011121314151617181920 вычеркни 21 цифру, не меняя порядка цифр, чтобы оставшееся число было:
а) возможно большим; б) возможно маленьким.
Решение. Всего в надписи 31 цифра. Нужно оставить из них 31 – 21 = 10 цифр.
а) Чтобы число было наибольшим, нужно сделать его старшие цифры наибольшими. Первой сделаем цифру 9, вычеркнув первые восемь цифр: 91011121314151617181920. Сделать второй цифрой 9 нам не удастся, так как тогда останется такое число: 9920, а нам нужно число десятизначное. Не удастся сделать второй цифрой и 8, и 7, а вот 6 можно сделать второй цифрой, вычеркнув 13 цифр. Остальные цифры останутся невычеркнутыми.
Ответ: 9617181920.
б) Чтобы число было наименьшим, нужно сделать его старшие цифры наименьшими. Первой сделаем цифру 1, второй – 0, вычеркнув девять цифр: 1011121314151617181920. Сделать третьей цифрой 0 нам не удастся, не удастся вообще использовать нуль не в качестве последней цифры. Поэтому используем единицы в качестве следующих семи цифр.
Ответ: 1011111110.
36. Сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 5?
Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – тоже любую из пяти цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 5 = 25 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из пяти цифр. Поэтому всего таких чисел 25 x 5 = 125 чисел.
Ответ: 125.
Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 3? Тогда ответ – 27, и все числа можно выписать: 111, 112, 113, 121, 122, 123 и т. д.
37. Продолжи последовательность: 10, 200, 3000, .
Решение. Каждый следующий член получается из предыдущего увеличением на 1 начальной части предыдущего члена (получающейся отбрасыванием стольких нулей на конце, каков номер члена), а также увеличением на единицу числа нулей.
Ответ: 10, 200, 3000, 40000, 500000, .
38.Сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 5?
Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – любую из оставшихся четырех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 4 = 20 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех оставшихся цифр. Поэтому всего таких чисел 20 x 3 = 60 чисел.
Ответ: 60.
Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 4? Тогда ответ – 24, и все числа можно выписать: 123, 124, 132, 134, 142, 143 и т.д.
39. В каком числе столько же цифр, сколько букв?
Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить, годится ли в качестве ответа число 1. В нем одна цифра, а букв четыре: о, д, и, н. Точно так же не годится число 2 и вообще никакое однозначное число. А какое число годится – пусть дети подумают сами.
Ответ: 100 и 1000000.
40. Сколько существует двузначных чисел, у которых вторая цифра больше первой?
Решение. На 1 начинаются восемь таких чисел: от 12 до 19, на 2 – семь, на 3 – шесть, на 4 – пять, на 5 – четыре, на 6 – три, на 7 – два, на 8 – одно число.
Ответ: 36.
41. Сколько существует семизначных чисел, у которых каждая цифра – 1, 2 или 3?
Решение. На первое место можно поставить любую из трех цифр. На второе – любую из трех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 3 x 3 = 9 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех цифр. Поэтому всего таких чисел 9 x 3 = 27 чисел.
Ответ: 27.
42. Возьми любое трехзначное число и припиши к нему такое же число. Получится шестизначное число. Раздели его на 7. Что получится, раздели на 11. Что получится, раздели на 13. У тебя получится то трехзначное число, с которого ты начал. Почему?
Решение. Приписав к трехзначному числу такое же число, мы умножили его на 1001. А разделив полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, мы снова разделили его на 1001. Заметим, что эту задачу легко превратить в игру, когда один ученик пишет на листе бумаги трехзначное число и передает его второму, второй дописывает число до шестизначного и передает его третьему, третий делит число на 7 и т. д. и, наконец, результат возвращается первому.
Ответ: 7 x 11 x 13 = 1001.
43. Найди сумму первых ста нечетных чисел. Великий русский математик Андрей Николаевич Колмогоров решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.
Решение. Сумма нескольких первых нечетных чисел равна их числу, умноженному на себя: 1 = 1x 1, 1 + 3 = 2 x 2, 1 + 3 + 5 = 3 x 3 и т. д. Это хорошо видно на чертеже.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 100 x 100 = 10000.
44. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 5 до 25?
Решение. Нулей столько, сколько множителей 10 в этом произведении. Множитель 10 состоит из множителей 2 и 5. Пятерок в данном наборе множителей меньше, чем двоек, поэтому десяток будет столько, сколько пятерок. Пятерки встречаются в числах 5, 10, 15, 20 и 25. Но в числе 25 две пятерки, значит, всего пятерок в этом произведении 6.
Ответ: 6.
45. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50.
Решение. 4 + 6 + 8 + + 46 + 48 + 50 – это сумма двадцати четырех чисел. Пары чисел, одинаково удаленных от концов этого выражения, составляют в сумме 54 : 4 + 50 = 6 + 48 = 8 + 46, так как каждый раз первое слагаемое увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Таких пар 12. Значит, общая сумма равна 54 x 12.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 648.
46. Продолжи последовательность: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, .
Решение. Каждая тройка членов – это числа вида 1, 2, 3 с одинаковым, каждый раз увеличивающимся на один числом нулей на конце.
Ответ: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000, 10000, 20000, 30000, .
2 глава. Числовые ребусы.
1. Расшифруйте:
4*
*7
3**
*15
2*51
(Решение. Последняя цифра первого неполного произведе ния 1, следовательно, в разряде единиц первого множителя стоит 3. Последняя цифра второго неполного произведения 5, следовательно, умножали на 5. Таким образом, умножали 43 на 57.)
2. Расшифруйте:
*5*
*8
2*64
1*3*
*718*
Решение. Рассмотрим вначале сложение неполных про изведений. Легко установить, что первое неполное произве дение равно 2864, второе 1432 десятка, все произведение 17184. Первое неполное произведение получили при умноже нии первого множителя на 8, поэтому, чтобы найти первый множитель, достаточно число 2864 разделить ня 8, получим 358. Тогда цифра десятков второго множителя раьна 4 (можно разделить 1432 на 358 или, еще проще, посмотреть на послед ние цифры первого множителя и второго неполного произ ведения: только при умножении 8 на 4 произведение будет оканчиваться цифрой 2. В итоге получаем:
358
48
2864
1432
17184.)
3. Расшифруйте:
6**
***
***
*3*
**4
*****
(Решение. Для того чтобы при умножении первого множи теля, первая цифра которого 6, на однозначные числа каж дый раз получалось также трехзначное число, можно умно жать только на 1. Значит второй множитель равен 111, тогда первый множитель равен числу 634.)
4. Расшифруйте:
***
1**
226*
90*
**2
56*00
(Решение. Известно достаточно цифр, чтобы восстано вить числа при сложении. Так как третье неполное произ ведение 452, а умножали на 1, то и первый множитель равен числу 452. Разделив первое и второе неполные произведения на число 452, найдем последнюю и предпоследнюю цифры второго множителя. Получили, что умножали число 452 на число 125.)
5. Расшифруйте:
*2*
*3
*5**
20**
****0
Решение. Последняя цифра первого неполного произведе ния равна 0; при умножении на 3 произведение может окан чиваться нулем лишь в случае, если последняя цифра первого множителя равна 0. Следует обратить внимание на запись: при умножении круглых чисел нули записываются справа. При записи ребуса это правило нарушается, так как это бы облег чало расшифровку ребуса. Произведение чисел 2 и 3 число однозначное, значит, цифра сотен первого множителя равна 5, так как только произведение 5 и 3 оканчивается цифрой 5. А так как при умножении 5 на первую цифру второго множителя получается 20, то цифра десятков второго множителя равна 4. В итоге получаем:
520
43
1560
2080
22360
6. Расшифруйте:
*2*
*7
***
****
****8
(Решение. Последняя цифра первого неполного произве дения 8, поэтому последняя цифра первого множителя равна 4. Произведение первого множителя на 7 - число трехзнач ное, следовательно, первая цифра первого множителя 1 (224 х х 7 = 1568 - число четырехзначное). При умножении этого же числа на цифру десятков второго множителя число че тырехзначное, значит, эта цифра должна быть больше 7 это 8, или 9. Проверяем: 124 х 9 = 1116, а 124 х 8 = 992, поэтому первая цифра второго множителя может быть равна только 9. Выполнив столбиком умножение числа 124 на 97, найдем зна чение оставшихся цифр.)
7.Расшифруйте:
*4*
*2*
**6
****
7**__
*****
Решение. Так при умножении первого множителя на 2 по лучается четырехзначное число, а при умножении на цифру сотен и цифру единиц - трехзначные числа, то делаем вывод, что второй множитель 121. Первая цифра первого множите ля равна 7, а последняя равна 6. получаем произведение чисел 746 и 121.1-я цифра в 1-м множителе равна 7, последняя 6.
Ответ:
746
121
746
1492
746
90266
8. Расшифруйте:
***** **
*** *8*
***
**
***
***
Решение. Несмотря на то, что в ребусе известна всего одна цифра, его разгадывание не представляет большой сложнос ти. Частное равно числу 989 (при умножении делителя на 8 получаем двухзначное число, а при умножении на другие цифры частного трехзначные числа). Делитель больше 11 (11 9 = 99) и меньше 13 (13 8 = 104). Получается, что дели тель может быть равен только 12. Легко можно восстановить оставшиеся цифры.
Ответ: 12068 12
108 989
206
96
108
108
9. Расшифруйте: ТРИ + ТРИ + ТРИ = ДЫРА
(при условии, что (Ы + Ы): Ы = Ы.
(Решение. Рассмотрим вначале условие; получим: 2Ы : Ы = 2,
следовательно, Ы = 2. Запишем пример столбиком.
ТРИ
+ ТРИ
ТРИ
ДЫРА
Так как складывали три числа, то Д может быть равно 1 или , но Ы = 2, поэтому Д = 1. Получаем, что Т 3 = 12, а значит,
может быть равно только 4. Тогда Р + Р + Р меньше 10 и \- Р=Р, следовательно, Р = 0. И 3 < 10, а это значит, что И < 3,
) цифры 1 и 2 уже заняты Получается, что И = 3, А = 9. Ребус 1:403 + 403 + 403 = 1209.)
10. ХУХZ
+ УХZ
М2МКZ
(Решение. М = 1, так как при сложении четырехзначного и трехзначного числа получили число пятизначное. X = 9, в противном случае в сумме пятизначного числа не получится. 2 + 2 = 2, причем 2 стоит в разряде единиц, значит, 2 = 0. Теперь легко можно восстановить всю запись
9590
+ 590
10180
11. Определите числовые значения букв в примере.
РЛОРЕ
РККРК
ЛКЕККЕ
Расставив буквы в порядке соответствующих им цифр (начиная с нуля), вы получите фамилию известного фран цузского математика, который в возрасте 10 лет уже знал высшую математику, в 12 лет сделал свое первое открытие, а в 18 лет стал научным работником Парижской академии наук.
(Решение. Буквы разгадываем в такой последовательности: Л= 1, К О, Р = 5, О = 9,
Е = 2. Расставив буквы в поряд ке возрастания соответствующих цифр, получим фамилию Клеро.)
12. УДАР
УДАР
ДРАКА
Решение. Д = 1, тогда А = 2 или 3 (если есть переход через разряд), но А должно быть четным (Р + Р = А), значит А = 2, аР равно 1 или 6. Р > 1, так как Д = 1, значит Р = 6. Теперь ясно, что К = 5, а У = 8. В итоге слово УДАР расшифровывается как 8126, а слово ДРАКА как 16252.
Ответ:
8126
8126
16252
13. Расшифруйте:
ВГД
АБ
ЕДЖ
ВГД
ББВЖ
(Решение. Второе неполное произведение равно первому множителю, значит, умножали на 1, т.е. А = 1. Из сложения вид но, что Б на 1 больше В, причем В Б < 10, так как произведение трехзначного числа ВГД на число Б есть число трехзначное. ^Получаем, что В = 2, Б ?= 3. Так как сумма Д + Д оканчивается ^цифрой 2, Д может быть равно 1 или 6, но А = 1, поэтому Д = 6. |Ж = 8, так как 6 3 = 18. Тогда произведение Г 3 оканчивается цифрой 5 (так как 1 десяток запоминали), а это может > лишь в случае, если на 3 умножали 5, т.е. Г = 5. осталось продолжить умножение первого множителя на 3 и найти зна чение буквы Е; Е = 7. Ребус разгадан.
Ответ: 256
13
768
256
3328
14. Расшифруйте:
МАСЛО Л
МЛ САЛО
УС
УЛ
ЭЛ
ЭЛ
Решение. По записи видно, что О = 0. С Л = МЛ, А Л = УЛ, Л Л = ЭЛ, т.е. при умножении на Л трех различных чисел произведение каждый раз оканчивается цифрой, зашифро ванной буквой Л. Это может быть лишь в случае, если Л = 5. Так как Л Л = ЭЛ, то Э = 2. С - 5 = 2, значит, С = 7. С Л = МЛ (7 5 = 35), поэтому М = 3. А > 5, так как А - 5 = У, А нечетное, так как произведение А 5 оканчивается на 5, остается, что А = 9.
Ответ:
39750 5____
35 7950
47
45
25
25
15.Расшифруйте:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Последовательность решения может быть такой:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И так далее.
Ответ: 234785 x 3215.
16. Разгадай ребус:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Сразу видно, что последняя цифра третьей строки – 4 и что средняя цифра второй строки – 0:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Первый множитель оканчивается либо цифрой 1, либо цифрой 6, так как умножение ее на 4 дает 4 на конце. Но умножение первого множителя на 5 дает число с нулем на конце. Поэтому первый множитель оканчивается на 6.
Ответ: 236 x 504 = 118944.
17. Разгадай ребус:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Напишем очевидные цифры:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь определяется первый множитель:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
405 x * дает 2**5, значит, * = 5, и второй множитель разгадан.
Ответ: 405 x 205 = 83025.
18. Ученый Винежер придумал такой способ шифровки текста. Вначале задумывается какое-нибудь слово (ключ шифра). Затем определяются номера букв этого слова в алфавите. А затем в шифруемом тексте каждая буква заменяется на следующую за ней в алфавите с таким сдвигом, который указывает полученный ключ. Например, зашифруем фразу "Сегодня хорошая погода" с помощью ключа "гав". Определим номера букв в ключе:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь сдвинем буквы в соответствии с ключом, повторяя его, сколько нужно раз:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Последняя запись и будет шифром. Объясни, как, зная ключ "гав", прочитать запись "Хжжтерг цсфпыда ттдсзб".
Ответ: Нужно записать под данной фразой цифры 413, а затем сдвигаться по алфавиту назад на столько букв, какова цифра под расшифровываемой буквой.
19. Разгадай ребус:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Нужно заметить, что при умножении первого множителя на 8 получается трехзначное число, а при умножении на первую и на третью цифры получаются четырехзначные числа. Значит, второй множитель – это 989. Остается выяснить, какое число при умножении на 8 дает трехзначное произведение, а при умножении на 9 – четырехзначное. Это число большее, чем 111, и меньшее, чем 125. В то же время известно, что при умножении на 9 оно дает число, оканчивающееся на 9. Значит, оно оканчивается на 1. Итак, это 121.
Ответ: 121 x 989 = 119669.
20. В надписи "гбжщве дгмё фсрземлсетэ", зашифрованной шифром Винежера, имеется слово "явка". Известно, что ключ состоит из четырех букв. Расшифруй надпись.
Решение. Слово "явка", присутствующее в тексте, – единственное четырехбуквенное слово "дгмё". Значит, я перешло при шифровке в д, в – в г, к – в м, а – в ё. В первом случае имеем сдвиг на 5 букв, во втором – на 1, в третьем – на 2, в четвертом – на 6 букв, что соответствует такой расшифровке:
гбжщве
дгмё
фсрземлсетэ
265126
5126
51265126512
Ответ: "Бывшая явка провалилась".
21. Разгадай ребус:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Во-первых, ясно, что Е = 0 и А = 1:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь видно, что В = 5:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Остальное очевидно.
Ответ: 5240 + 5210 = 10450.
22. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь два" расшифруй фразу "ргонглъг ж росв бпд нгогроср".
Решение. Заменяем каждую букву той, которая идет за ней второй по алфавиту.
Ответ: Терпенье и труд всё перетрут.
23. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря, если известно, что буква Ё в ней шифруется, как Е: "пзмомбмамозю росвлю гг лг ащмбаможръ".
Решение. В этой фразе есть слово "гг". В русском языке таких слов, состоящих из одинаковых букв, нет. Однако если е и ё обозначаются одинаково, то "гг" может обозначать слово "ёё". Это и дает нам в руки отгадку: г расшифровывается как е, то есть расшифровка идет по правилу "прибавь два".
Ответ: "Скороговорка трудна, ее не выговорить".
3 глава. Задачи на движение.
1. Расстояние между двумя машинами, движущимися по шоссе, 100 км. Скорости машин 80 км/ч и 60 км/ч. Чему мо жет быть равно расстояние между ними через час?
(Решение. Рассмотрим различные способы движения ма шин. 1) Машины двигаются в противоположные стороны. В этом случае за час расстояние между ними увеличится на 140 км и будет равно 240 км. 2) Машины двигаются навстречу друг другу. За час они вместе проедут 140 км, а это значит, что они встретятся и разъедутся в разные стороны. Расстояние между ними через час будет равно 40 км. 3) Машины движут ся в одном направлении и машина, скорость которой 60 км/ч, едет впереди. Машины будут сближаться, через час расстоя ние между ними сократится на 20 км и будет составлять 80 км. 4) Машины движутся в одном направлении и машина, ско рость которой 80 км/ч, едет впереди. Машины будут удаляться, через час расстояние между ними увеличится на 20 км и будет составлять 120 км.)
2. Счетчик автомобиля показывал 12 921 км. Через 2 ч на счетчике опять появилось число, которое читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?
(Решение. Следующее число, которое одинаково читается в обоих направлениях, это - 13 031. Получается, что автомо биль за 2 часа проехал 13 031 12 921 = 110 (км), т.е. его ско рость равна 55 (км/ч).)
3. Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от Волка к до мику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят (если бы они сто яли на месте) 4 мин. Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 мин. Волк бежит в 2 раза быстрее поросят. Успеют ли поро сята добежать до домика Наф-Нафа?
(Решение. Волку бежать до домика Наф-Нафа 4 + 6:2 = 7 (мин), а поросятам 6 мин. Получается, что поросята до доми ка Наф-Нафа добежать успеют.)
4. Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль со скоро стью 50 км/ч. Через час после него в том же направлении вы летает самолет, скорость которого 700 км/ч. Самолет догоня ет автомобиль, поворачивает и летит назад в пункт А, затем снова догоняет автомобиль и снова возвращается в пункт А, т.е. непрерывно летает от А до движущегося автомобиля и обратно. Сколько километров пролетит самолет, пока авто мобиль приедет в пункт Б, если расстояние между пунктами 300 км?
(Решение. Автомобиль был в пути 300 : 50 = 6 (ч), а так как самолет вылетел на 1 ч позднее, то он был в пути 5 ч. Все это время он двигался со скоростью 700 км/ч и пролетел 700 5 = = 3500 (км).)
5. Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном и том же направлении. Первый находится на 8 км впе реди другого и идет со скоростью 4 км/ч, второй делает по 6 км/ч. У одного путешественника есть собака, которая имен но в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побе жала от своего хозяина к другому путешественнику, затем она вернулась к хозяину и опять побежала к другому путешест веннику. Так она бегала от одного-к другому до тех пор, пока путешественники не встретились. Какой путь пробежала со бака, если она бегала со скоростью 10 км/ч?
(Решение. Второй путешественник догонит первого через 8: (6 4) = 4 (ч). Собака бегала 4 ч со скоростью 10 км/ч, зна чит, она пробежала 40 км.)
6. Из зоопарка на пристань, расстояние между которыми 1 км, повели слона. В этот же момент от пристани навстречу сло ну выбежала Моська. Она добежала до слона, тявкнула на него и побежала обратно на пристань, затем повернула обратно и т.д., пока слон не пришел на пристань. Моська двигалась в 10 раз быстрее слона. Сколько всего километров пробежала Моська?
(Решение. Время движения у Моськи и слона одинаковое; Моська двигалась в 10 раз быстрее, значит и расстояние она преодолела в 10 раз больше, т.е. 1 10 = 10(км).)
7. Муравьишка был в соседнем муравейнике. Туда он шел пешком, а обратно ехал. Первую половину пути он ехал на Гу сенице ехал в 2 раза медленнее, чем шел пешком, а вторую половину пути ехал на Кузнечике - в 5 раз быстрее, чем шел пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени мень ше: в гости или обратно?
(Решение. Меньше времени Муравьишка затратил, когда шел пешком, так как за то время, пока он на Гусенице проедет половину пути, пешком он уже дойдет до соседнего муравей ника. Будет понятнее, если мы представим, что двигается не один, а два Муравьишки, причем в одном направлении.)
8. Как трем путешественникам при помощи двухместного мотоцикла преодолеть расстояние в 60 км за 3 ч? Скорость мотоцикла 50 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.
(Решение. Два человека на мотоцикле и третий пешком начинают одновременно свой путь. Проехав 55 км, один че ловек слезает с мотоцикла и далее идет пешком оставшиеся 5 км. Другой человек на мотоцикле едет обратно 45 км. Всего мотоцикл проехал 55 + 45 = 100 (км) за 100 : 50 = 2 (ч). К это му моменту третий уже пройдет 10 км (5 2). Вдвоем они едут обратно и проезжают 50 км за один час. В конце пути их ждет еще один человек.)
9. Муравьишка проехал на Гусенице некоторое расстоя ние за 28 мин. За сколько мин он проедет на Жуке расстояние, в 4 раза большее, если скорость Жука в 7 раз больше скорости Гусеницы?
(Решение. Так как расстояние в 4 раза больше, то и времени потребуется в 4 раза больше. Скорость Жука в 7 раз больше, то времени потребуется в 7 раз меньше. Получаем: 28 4 : 7 = = 16 (мин).)
10. Миша был на рыбалке. До реки он шел пешком, а об ратно ехал на" велосипеде. На весь путь он затратил 40 мин. В следующий раз он до реки и обратно ехал на велосипеде и затратил всего 20 мин. Сколько времени понадобится Мише, чтобы пройти весь путь в оба конца пешком?
(Решение. Так как на дорогу до реки и обратно, двигаясь на велосипеде, Миша затратил 20 мин, то это значит, что на дорогу в один конец он затратил 10 мин. Получается, что на дорогу в одну сторону пешком ему требуется 30 мин, а значит, на дорогу в оба конца - 1 ч.)
11. Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы. Старт дан у первого столба. Через 12 мин бегун был у четвер того столба. Через сколько мин от начала старта бегун будет у седьмого столба, если его скорость постоянная?
(Решение. К тому времени, как бегун находился у четвертого столба, он пробежал 3 промежутка между столбами, это значит, что один промежуток он преодолевал за 4 мин. Для того, чтобы добежать до седьмого столба, ему надо преодолеть 6 про межутков, для этого ему потребуется 4 6 = 24 (мин).)
12. Коля заметил, что во время липового медосбора пчела вылетает из улья со скоростью 4 м/с -и возвращается обрат но через 7 мин со скоростью 2 м/с. На каком расстоянии от улья расположена липа, с которой пчела взяла мед, если на сбор меда с липы во время одного полета пчела затрачивает 1 мин?
(Решение. Время полета составляет 7-1 = 6 мин. Так как пчела без меда летит вдвое быстрее, то времени на полет без меда потребуется вдвое меньше, т.е. одну часть времени пчела тратит на полет туда и две части на обратный полет. Получа ется, что до липы пчела летит 6:3 = 2 (мин) =120 (с): Рассто яние между ульем и липой составляет 4 120 = 480 (м).)
6. Машина проехала от одного населенного пункта до дру гого столько километров, сколько мин она ехала. Какова ско рость этой машины?
(Ответ: 60 км/ч.)
13. В 8 ч утра из города на турбазу, расстояние между ко торыми 18 км, вышла группа туристов со скоростью 5 км/ч. В это же время с турбазы в город вышла другая группа турис тов со скоростью 4 км/ч. Какая группа туристов при встрече будет находиться ближе к турбазе?
(Ответ: при встрече обе группы будут находиться от тур базы на одинаковом расстоянии.)
14. Два летчика вылетели одновременно из одного горо да в районные пункты. Кто из них долетит до места своего назначения быстрее, если первому нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в 2 раза быстрее, чем второй?
(Ответ: обоим потребуется одинаковое время.)
15. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, находящихся друг от друга на расстоянии 20 км. Скорость каждого велосипедиста 10 км/час. Одновременно вместе с первым выбежала собака. Собака бегала между велосипедистами: добежав до второго, она возвращалась к первому, потом опять ко второму и так далее до тех пор, пока они не встретились. Сколько пробежала собака, если ее скорость равнялась 20 км/ч?
Решение. Иногда начинают высчитывать, сколько пробежала собака до второго велосипедиста, потом – сколько до первого и так далее. А все очень просто. Велосипедисты ехали до встречи ровно час, и столько же времени бегала собака со скоростью 20 км/ч.
Ответ: 20 км.
16. Кузнечик прыгает по прямой. Каждый прыжок вправо равен 3 дм, а каждый прыжок влево равен 5 дм. Сможет ли он попасть из точки А в точку В, лежащую вправо от А на расстоянии 1 дм?
Решение. Надо, чтобы 3х – 5у, где х – число прыжков вправо, а у – число прыжков влево, было равно 1. Это получается, например, при х = 7, у = 4.
Ответ: Можно сделать из А (в любом порядке) 7 прыжков вправо и 4 прыжка влево.
17. Трое хотят попасть из города А в деревню Б за кратчайшее время. Расстояние от А до Б – 30 км. У них есть 2 велосипеда. На велосипеде вдвоем или втроем ехать нельзя. Скорость их на велосипеде 15 км/ч, а пешком 5 км/ч. За какое время они могут попасть в Б?
Решение. Важно поровну распределить время движения на двух велосипедах между тремя людьми, чтобы никто не отстал от остальных. Этого можно добиться, если первый и второй сядут на велосипеды, а третий пойдет пешком. Проехав 1/3 пути, первый должен сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Второй должен проехать 2/3 пути, сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Третий, дойдя до велосипеда, оставленного первым, садится на него и едет до пункта Б. Первый, пройдя 1/3 пути пешком, дойдет до велосипеда, оставленного вторым, сядет на него и доедет до Б. В результате каждый пройдет 10 км пешком, а 20 км проедет на велосипеде.
Ответ: За 3 часа 20 мин.
18. Двое путников одновременно вышли из пунктв А в пункт В. Первый половину времени, затраченного им на переход, шел со скоростью 5 км/час, а затем пошел со скоростью 4 км/час. Второй же первую половину пути прошел со скоростью 4 км/час, а затем пошел со скоростью 5 км/час. Кто из них раньше пришел в пункт В?
Решение. Для обоих путников одинаково пройденное расстояние. Первый половину времени шел со скоростью 5 км/ч, а значит, он с большей скоростью прошел больше половины пути. Второй же ровно половину пути прошел с большей скоростью, значит, первый потратил времени меньше.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: Первый.
19. Путь от дома до школы Буратино проделал пешком, об ратно он двигался той же дорогой, но первую половину пути он проехал на собаке, а вторую половину пути - на черепахе. Известно, что скорость собаки в четыре раза больше, а ско рость черепахи в два раза меньше, чем скорость, с которой Буратино шел пешком в школу. На какой путь - из дома до школы или из школы до дома затратил Буратино больше времени?
(Ответ: меньше времени Буратино затратил на дорогу до школы.)
4 глава . Разные задачи.
1. На поляне паслись ослы. К ним подошли несколько ре бят. «Сядем по одному на осла», предложил старший из ре бят. Двум мальчикам ослов не хватило. «Слезайте, сядем по двое на осла», снова предложил старший. Один осел остал ся без седока. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?
(Решение. Когда мальчики сядут по двое, то на каждом осле будет на одного мальчика больше, но, чтобы все ослы были заняты, надо, чтобы на 4 мальчика было больше (двум мальчикам ослов не хватило, они сядут на осла, и один осел остался без двух седоков). Следовательно, было 4 осла и 6 мальчиков.
2. Для посадки кустов выделили несколько грядок. Ре бята рассчитали, что если на каждую грядку посадить по 3 куста, то для посадки всех кустов не хватит 6 грядок, а если посадить по 5 кустов на грядку, то останутся свободными
4 грядки. Сколько кустов хотели посадить ребята на скольких грядках?
(Решение. Если посадить по 3 куста, то не хватит 6 грядок, т.е. останутся лишними 18 кустов; а если посадить по 5 кустов, то останутся свободными 4 грядки, т.е. 20 кустов не хватит. По- I лучили, что если посадить на каждую грядку на 2 куста боль ше, то потребуется на 18 + 20 = 38 (кустов) больше. Получается, что было 38 : 2 = 19 (грядок). Посчитаем количество кустов: 3 19+ 18 = 75 (кустов).)
3. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней, если они будут нести такое же количество яиц за один и тот же промежуток времени?
(Решение. Кур стало в 4 раза больше, а значит, и яиц они снесут в 4 раза больше. А так как продолжительность времени увеличилось в 4 раза, то количество яиц должно еще увели чится в 4 раза. Получаем: 3 4 4 = 48 (яиц).)
4. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколь ко дней десять рыбаков съедят десять судаков? I (Решение. Получается, что пять рыбаков за один день съедали по одному судаку. Рыбы стало в 2 раза больше, но и едоков тоже стало в 2 раза больше, значит, рыбы им хватит на то же время, т.е. на 5 дней.)
5. Один насос за одну минуту выкачивает 1 т воды. За сколь ко минут 5 таких насосов выкачают 5 т воды?
(Ответ: за 1 мин. Воды требуется выкачать в 5 раз больше, но и насосов работает в 5 раз больше, поэтому времени потре буется столько же.)
6. Петя, идя из школы домой, познакомился на улице с Володей. «Володя, спросил Петя, есть у тебя братья и сестры?» «Есть». «А сколько?» «Сестер у меня столько же, сколько и братьев, а у моей сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Вот и скажи, сколько в нашей семье братьев и сколько сестер?»
(Решение. Если исключить одну девочку, то девочек будет вдвое меньше, чем мальчиков (так как у сестры сестер вдвое меньше чем братьев). Чтобы уравнять число девочек и маль чиков, надо прибавить одну девочку и отнять одного мальчи ка (сестер у Володи столько же, сколько и братьев.
Получается, что один мальчик составляет четвертую часть всех мальчиков, следовательно, всего было 4 мальчика, тог да девочек было 3. Задачу можно было также решить методом перебора. Из условия, что у Володи сестер столько же, сколь ко и братьев, можно сделать вывод, что мальчиков в семье на одного больше, чем девочек. Так как сказано, что у Володиной сестры вдвое меньше сестер, то это означает, что, по крайней мере две девочки в семье есть. Если девочек будет 2, мальчи ков будет 3, но тогда у одной из девочек сестер будет в 3 раза больше, чем братьев. Если девочек будет 3, мальчиков будет 4, и у одной из девочек сестер действительно будет вдвое больше братьев.)
7. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц? :
(Решение. 240 страниц это 120 листов. Листов в 2 раза; больше, значит, и толщина книги будет тоже в 2 раза больше, т.е. 2 см.)
8. Известно, что 50 одинаковых листов бумаги стоят больше 17 руб., но меньше 18 руб. Сколько стоит один лист бумаги?
(Решение. Сто листов бумаги стоят больше 34 руб., т.е. 3400 коп., но меньше 36 руб., т.е. 3600 коп. Следовательно, лист бумаги стоит больше 34 коп., но меньше 36 коп., т.е. 35 коп.)
9. Маугли попросил пятерых обезьян принести ему орехи. Обезьяны набрали орехов поровну и понесли Маугли. По до роге они поссорились и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате они принесли орехов вдвое меньше, чем собрали. Сколько орехов получил Маугли?
(Решение. Каждая из пятерых обезьян бросила по 4 ореха, т.е. всего обезьяны бросили 20 орехов. По условию задачи они принесли только половину собранных орехов, т.е. столько же, сколько выбросили. Получается, что обезьяны принесли Ма угли 20 орехов.)
10. У белочки есть несколько орехов, их меньше 15. Если их разделить между двумя бельчатами, то один орех останется; если разделить между тремя, тоже один орех останется, если разделить между четырьмя, опять один орех будет в остатке. Сколько у белочки орехов?
(Решение. Если отложить один орех, то остальные должны делиться на 2, на 3 и на 4. Наименьшим таким числом будет число 12. Следующее число, обладающее таким свойством, это число 24, но оно уже больше 15. Прибавим отложенный в сторону один орех и получим, что у белочки было 13 оре хов.)
11. Из одной отливки получается шесть деталей. Отходы от шести отливок дают возможность получить из них одну от ливку. Сколько деталей можно сделать из 36 отливок?
(Решение. Из 36 отливок можно сделать 6 36 = 216 (дета лей), при этом из отходов можно получить 6 новых отливок, из которых получится 6 6 = 36 (деталей) и еще одну новую отливку. Из этой отливки получаем еще 6 деталей. Всего по лучится 216 + 36 + 6 = 258 (деталей).)
12. Полина рисовала геометрические фигуры: круги, квад раты и треугольники всего 20 штук. Квадратов было в 6 раз больше, чем треугольников. Кругов меньше, чем квадратов. Сколько кругов нарисовала Полина?
(Решение. Если Полина нарисовала 1 треугольник, то тогда квадратов будет 6, а кругов 13, что не соответствует условию задачи. Если треугольников было нарисовано 2, то квадратов было 12, а кругов 6, что условию задачи соответствует. Полу чается, что было нарисовано 6 кругов, 12 квадратов и 2 тре угольника.)
13. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?
Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению. Арифметическое решение подсказывается рисунком:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12. Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства: =
Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем: = 6.
Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем: (число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6.
Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину: (число Катиных пятерок) – х = 6.
Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2х, и уравнение примет вид:
2х – х = 6.
Ответ: 6.
14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?
Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:
=
Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:= 4.
Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:(число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4.
Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче: х – число Петиных марок. Получается, что: (число Сашиных марок) – х = 4.
Теперь уже многие догадаются, что число Петиных марок равно 3х, и уравнение примет вид:
3х – х = 6.
Ответ: 2.
15. У Милы вчетверо больше кукол, чем у Лены, а у нее на 12 кукол меньше, чем у Милы. Сколько кукол у Милы?
Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Милы 16 кукол, а у Лены их 4.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:=
Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 12? Дописываем:= 12.
Многие догадаются, что двенадцати равна разность числа кукол Милы и Лены:(число кукол Милы) – (число кукол Лены) = 12.
Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначать через х ту величину, о которой спрашивается в задаче, было бы неудобно: у Милы кукол больше, чем у Лены, и пришлось бы х делить на 4. Поэтому обозначим через х число кукол Лены: х – число кукол у Лены. Получается, что:(число кукол Милы) – х = 12. Теперь уже многие догадаются, что число кукол Милы равно 4 х, и уравнение примет вид:
4 х – х = 12.
Ответ: 16.
16. Бригада из пяти плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?
Решение. Конечно, можно решить эту задачу с помощью уравнения:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
х + 1000 + 180 = 6х, 5х = 1180, х = 236.
Но гораздо лучше эту задачу оживить таким, например, рассказом.
Пятеро плотников и один столяр выполнили работу по остеклению большого балкона. Когда они показали работу хозяину, он остался очень доволен и дал им за это деньги. Работники сосчитали деньги и увидели, что сумма делится на шесть. Они разделили деньги поровну. Но тут один из плотников сказал: "Так несправедливо. Столяр выполнил более важную работу, чем мы, плотники. Так что нужно и денег дать ему больше. Дадим ему больше на 30 рублей". Все согласились. Плотники собрали 30 рублей и отдали их столяру. После этого нужно потребовать пересказать всю эту историю. А затем пусть дети ответят на вопросы:
1) Можно ли считать, что вначале столяр и плотники получили средний заработок? (Да, так как вначале деньги разделили поровну.) 2) Сколько денег собрали затем с каждого плотника? (30 р. : 5 = 6 р.) 3) Сколько денег имел каждый член бригады первоначально? (200 р. + 6 р. = 206 р.) 4) Сколько денег получил столяр в результате? (206 р. + 30 р. = 236 р.)
Ответ: столяр заработал 236 рублей.
17. Бригада из шести плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?
Решение. Задача решается точно так же, как и задача 27. Ее можно использовать, чтобы убедиться, что дети поняли решение задачи 27.
Ответ: Столяр заработал 235 рублей.
18. В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000 рублей за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб. Каков был гонорар за первую статью?
Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам:== 4000
(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + (второй гонорар) = 4000
(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + 2000 = 4000
х – половина первого гонорара
2 х – первый гонорар
2 х – х + 2000 = 4000
Ответ: 4000 рублей.
19. Если считать этаж, на котором живет Катя, сверху, то получится вшестеро больше, чем если считать снизу. На каком этаже живет Катя, если в ее доме больше 10 и меньше 20 этажей?
Решение. Так как в доме меньше 20 этажей, то сверху можно насчитать либо 6, либо 12, либо 18 этажей (ведь это число делится на 6). Если сверху насчитывается 6 этажей, то снизу 1 этаж, и этажей в доме меньше 10, что противоречит условию. Если сверху 12 этажей, то снизу 2, то есть Катя живет на втором этаже, а над ней еще 11 этажей, и вместе это больше 10 и меньше 20, что соответствует условию. Наконец, если сверху 18 этажей, то снизу 3 этажа, Катя живет на 3 этаже, а над ней еще 17 этажей, то есть всего в доме 20 этажей, что противоречит условию. Ответ: На третьем.
20. В понедельник Андреев заработал вдвое больше Петрова. Во вторник Андреев истратил 100 рублей, а Петров заработал еще 200 рублей. После этого у них оказалось денег поровну. Сколько заработал каждый из них в понедельник?
Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам: (Осталось у Андреева) = (Осталось у Петрова)
(Заработок Андреева в понедельник) – 100 =
= (Заработок Петрова в понедельник) + 200
х – заработок Петрова в понедельник
2х – заработок Андреева в понедельник
2х – 100 = х + 200
Ответ: Андреев – 600 р., Петров – 300 р.
21. Пять победителей конкурса "Кто громче крикнет" получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?
Решение. Трое съели 15 орехов. После этого у них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до этого у них было столько, сколько выдали троим. Значит, 15 орехов было выдано одному из них.
Ответ: 75.
22. На верхней полке было в 7 раз больше книг, чем на нижней. Когда с верхней полки взяли 12 книг, а на нижнюю поставили еще 8 книг, то на верхней полке оказалось в три раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
Решение. Одно из возможных уравнений составляется так: (Стало на верхней полке) = 3 x (Стало на нижней полке) х – было на нижней полке, 7х – было на верхней полке, 7х – 12 = 3 x (х + 8).
Ответ: На верхней 63, на нижней 9.
23. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым ходом, взяв из второго ящика 30 шариков. Партнер обязательно нарушит полученное равенство, а мы опять восстановим его. Число шариков все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число шариков в ящиках, доведет это равенство до 0 – 0, то есть выиграет.
Ответ: Нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков и в дальнейшем каждый раз уравнивая их число.
24. Старинная русская задача. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?
Решение. Самую маленькую цену – цену собаки – примем за 1 часть. Тогда цена коровы равна 4 частям, цена лошади – 16 частям, а общая цена покупки равна 1 + 8 + 16 = 25 частям. И так как 200 рублей равны 25 частям, то все цены легко определяются.
Ответ: Собака стоила 8 р., корова – 32 р., лошадь – 128 р.
25. В пакете лежат конфеты. Если раздать их детям по 5 конфет каждому, то двоим конфет не достанется. А если раздать их по 4 конфеты, то в пакете останется еще 176 штук. Сколько конфет в пакете?
Решение. Одно из возможных уравнений составляется так: Конфет при первой раздаче = Конфет при второй раздаче х – число детей х – 2 – число детей, которым досталось по 5 конфет при первой раздаче 5 (х – 2) = 4х + 176.
Ответ: 920.
26. У мальчика в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом. Если в оба кармана положить еще по 10 орехов, то в правом кармане их будет вдвое больше, чем в левом. Сколько орехов в каждом кармане?
Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:
Будет орехов в правом кармане = 2 x (Будет орехов в левом кармане) х – имеется орехов в левом кармане 3х – имеется орехов в правом кармане 3х + 10 = 2 x (х + 10).
Ответ: 10 в левом, 30 в правом.
27. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить поровну между 12 людьми. Как это сделать, разрезая каждый батон на равные части, но не разрезая ни один на 12 частей?
Решение. Можно каждый из трех батонов разделить на четыре части, а каждый из остальных четырех батонов разделить на три части. Получится 12 четвертушек и 12 третьих долей батона. Каждому из 12 людей надо дать по одной четвертушке и по одной трети батона. Тем самым будет роздан весь хлеб, и притом каждый получит поровну. Это служит достаточным основанием для доказательства, что задача решена. В таком виде ее могут решить люди, не умеющие работать с дробями. Но в 4-м классе можно подтвердить результат арифметически. Заметим, что именно так работали с дробями древние египтяне, сводившие всякую задачу о дробях к задаче о долях.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: см. рисунок выше.
28. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в один круг: каждая пара встречается один раз. Сколько всего матчей в этом турнире?
Матчей будет вдвое меньше, чем в двухкруговом турнире, то есть не 20, а 10. Заметим, что если бы команд было 10, то матчей было бы (10 x 9) : 2 = 45, а общая формула числа матчей при n участниках выглядит так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Ту же задачу можно решить на чертеже, на котором отрезок обозначает матч. Отрезков, как мы видим непосредственно, десять. И, наконец, можно эту задачу театрализовать. Вызовем к доске пятерых учащихся и приколем им нагрудные знаки: М., С-Пб., В.Н., Н.Н. и Е. Шестому ученику дадим нарукавную повязку судьи соревнования. Договоримся обозначать матчи рукопожатиями. Сначала пожимает руки товарищам москвич. Судья фиксирует на доске, что он сделал 4 рукопожатия – 4 матча. Москвич садится на место, а петербуржец пожимает руки остальным – 3 рукопожатия. И так далее. Судья подсчитывает число матчей: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 10.
29. Шесть котов в шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы в сто минут съесть сто мышей?
Решение. Обычный ответ "100 котов" неверен. Шестерка котов, о которых говорится в задаче, в 6 минут съедает 6 мышей, то есть за каждую минуту она съедает одну мышь.
Ответ: 6 котов.
30. В обычном домино наибольшее значение клетки – 6 очков. В нем всего 28 косточек. Сколько будет косточек в домино, у которого наибольшее число очков – 7?
Решение. Представим себе, что мы должны сделать такое домино и что нам в качестве полуфабриката выдали отдельные квадратики. Мы должны склеить эти квадратики по два в косточки домино. На одних квадратиках мы поставим по семь точек (рисунок), на других – по шесть, на третьих – по пять, на четвертых – по четыре, на пятых – по три, на шестых – по две, на седьмых – по одной, а восьмые оставим без точек. Подсчитаем, сколько квадратиков каждого вида нам нужно будет подготовить для склеивания. Возьмем, например, пустышки. Они понадобятся для изготовления восьми разных косточек. В этих косточках таких квадратиков будет девять. Значит, квадратиков каждого вида нужно по девять. А таких видов, как мы уже выяснили, восемь. Теперь нетрудно подсчитать, сколько понадобится квадратиков, а потом – сколько получится косточек.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 36.
31. Гавиал, кашалот и пеликан съели 31 рыбу. Кашалот съел рыб во столько раз больше, чем пеликан, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько рыб съел каждый из них?
Решение. Составим пропорцию: К : П = П : Г, откуда П x П = К x Г. Подберем такие три числа К, П и Г, которые удовлетворяют этому условию и в то же время в сумме дают 31. Это 1, 5 и 25.
Ответ: Кашалот съел 25 рыб, пеликан съел 5 рыб, гавиал съел 1 рыбу.
32. Имеется 5 гномов. Им показали 3 белых и 4 черных ка пюшона. В темноте на них надели 3 белых и 2 черных капю шона, а остальные спрятали. Кто из гномов может определить цвет надетого на него капюшона?
(Ответ: определить цвет надетого на него капюшона могут те гномы, на головах которых надеты черные капюшоны, так как белых капюшонов было всего 3 и все 3 они могут видеть.)
33. Мальчик каждую букву своего имени заменил поряд ковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510141. Как звали мальчика?
(Ответ: Дима.)
34. Хоккейная команда провела три матча, забив в ворота противника всего 3 шайбы и пропустив 1 шайбу. Один из мат чей она выиграла, другой свела вничью, а третий проиграла. С каким счетом закончился каждый матч?
(Решение. Команда может проиграть матч, если пропустит хотя бы одну шайбу, значит, пропущенная шайба была имен но в проигранном матче. Этот матч закончился со счетом 0:1. Других пропущенных шайб нет, значит, ничейный матч закончился со счетом 0:0. Получается, что выигранный матч закончился со счетом 3:0.)
35. От потолка комнаты вертикально вниз по стене попол зли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и'той же скоростью, а вторая муха поднималась вдвое медленней первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно?
(Ответ: первая муха приползет обратно быстрее. Для по яснения лучше всего сделать рисунок. Рассуждения будут та кими: за то время, когда вторая муха доползет до пола, первая будет на полпути к полу. Когда первая доползет до пола, вто рая поднимется на четверть, а когда первая доползет до по толка, вторая проползет еще половину пути, т.е. до потолка ей надо будет проползти еще четверть расстояния.)
5 глава . Логические задачи.
1. Доктор Айболит всегда помогает лесным жителям. В этот раз заболел слоненок. Доктор подсчитал, что для его ле чения потребуется 6 л микстуры. Как, имея две пустые посу дины 9 л и 4 л, отлить из бочки 6 л микстуры?
Решение. 9-2-4-3 = 6.
9л
9
5
5
1
1
0
9
6
6
4л
0
4
0
4
0
1
1
4
0
2. Кот Матроскин купил в Простоквашино корову. Вско ре молоко было везде: в умывальнике, в кастрюлях, э ведрах. Каждое утро он решил отдавать три литра молока почтальону Печкину. Как их отлить, если в доме осталось только два пус тых ведра: девятилитровое и пятилитровое?
Решение. 9-2-5-3 = 3.
9л
9
4
4
0
9
8
8
3
3
5л
0
5
0
4
4
5
0
5
0
3. Как с помощью двух пустых бидонов емкостью 17 л и 5 л отлить из молочной цистерны ровно 13 литров молока? Решение 5 6 - 17 = 13.
17л
0
5
5
10
10
15
15
17
0
3
3
8
8
13
5л
5
0
5
0
5
0
5
3
3
0
5
0
5
о;
4. Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом, двоя должны разделить квас поровну. Но у них есть только 2 пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 31 Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь толь-; ко этими тремя бочонками?
Решение:
1 способ
8 в.
8
3
3
6
6
1
1
4
5 в.
0
5
2
2
0
5
4
4
Зв.
0
0
3
0
2
2
3
0
2 способ
8 в.
8
5
5
2
2
7
7
4
4
5 в.
'0
0
3
3
5
0
1
1
4
Зв.
0
3
0
3
1
1
0
3
0
5. Белоснежка испекла 6 булочек с клубникой и позвала в гости 7 гномов. Как разделить булочки поровну между гномами и Белоснежкой?
Решение. 6 = 2 + 4 = 1 + 1
8 8 8 4 2
б. К Мальвине на день рождения пришли 12 гостей. К их приходу она купила разных фруктов, которых всем хватало; поровну, вот только апельсинов оказалось 1 1 штук. Как е| поделить 11 апельсинов поровну между 12 гостями, при условии ,что резать каждый апельсин можно меньше, чем на 12 частей?
Решение: 11 = 8 + 3 = 2 + 1
12 12 12 3 4
7. Три мальчика решили сообща купить мяч, но у одного из них не было с собой денег, поэтому один из его товарищей уплатил 12 руб., а второй - 18 руб. В тот же вечер он отдал им 10 рублей. Как надо разделить эти деньги?
(Решение. 1) 12 + 18 = 30 (руб.) - стоит мяч; 2) 30 : 3 = 10 (руб.) должен внести каждый; 3) 12 10 = 2 (руб.) полу чит первый мальчик; 4) 18 10 = 8 (руб.) получит второй мальчик.)
8. Три подружки договорились к праздничному столу ку пить 12 пирожных. Первая купила 5, а вторая 7 пирожных.
Третья же принесла 12 руб. Как должны поделить эти деньги девочки?
Решение. 1) 12 : 3 = 4 (пирожных) должна была купить каждая девочка;
2) 12 : 4 = 3 (руб.) - стоит одно пирожное;
3) 5 4 = 1 (пирожное) купила первая девочка для третьей;
4) 3 1 = 3 (руб.) должна взять первая девочка;
5) 7 4 = 3 (пирожных) купила вторая девочка для третьей;
6)3-3 = 9 (руб.) должна взять вторая девочка.)
9. Два работника сели обедать. У одного было 4 лепешки, а у другого только 3 лепешки. Стоимость лепешек была оди наковой. Подошел к ним прохожий и попросил у них поесть, причем пообещал уплатить деньгами за ту часть лепешек, ко торая придется на его долю. Работники согласились. После обеда, за которым все ели поровну, прохожий отдал работни кам 7 коп. Не поможете ли вы. разделить эти деньги работни ками между собой?
Решение.
1) 7 3 = 21 (коп.) - стоят все лепешки;
2) 4 +3 = 7 (лепешек) всего было у работников;
3) 21: 7 = 3 (коп.) цена лепешки;
4) 3 4 = 12 (коп.) стоили лепешки первого работ ника;
5) 12-7 = 5 (коп.) - должен получить первый работ ник;
6) 3 3 = 9 (коп.) стоили лепешки второго работника;
7) 9 7 = 2 (коп.) должен получить второй работник.)
10. Две женщины варили кашу. Одна дала 2 кружки крупы, другая - 3 кружки. Только сварилась каша, как пришли еще 2 работницы. Все четыре женщины сели за стол и съели всю кашу. По окончании еды каждая из пришедших женщин уп латила по 5 коп. Как должны женщины разделить получен ные деньги, если все ели поровну?
Решение.
1) 5 4 = 20 (коп.) - стоит вся крупа;
2) 2 + 3 = - 5 (фунтов) крупы ушло на кашу;
3) 20 : 5 = 4 (коп.) - стоит 1 фунт крупы;
4) 4 2 = 8 (коп.) израсходовала первая жен щина (из них 5 копеек на себя);
5) 8 5 = 3 (коп.) должна получить первая от пришедших женщин;
6) 4 3 = 12 (коп.) израсходовала вторая женщина;
7) 12 - 5 = 7 (коп.) должна получить вторая женщина.)
11. Охотник, проголодавшись на охоте, обратился к двум пастухам с просьбой покормить его. Посоветовавшись, пас тухи приняли его обедать. Один пастух имел 3 кушанья, другой - 2. По окончании обеда, во время которого все ели поровну, охотник, поблагодарив пастухов, дал им 50 коп. я ушел. Пастухи стали было делить полученные деньги, но у них ничего не вышло. Пришлось вернуть охотника, который, узнав, в чем дело, разделил между пастухами 50 коп. так, что каждый из них получил ту долю, которая ему причиталась. Как произвел охотник дележ?
Решение.
1) 50 3 = 150 (коп.) - стоит весь обед;
2) 2 + 3 = 5 (кушаний) составлял весь обед;
3) 150 : 5 = 30 (коп.) стоит одно кушанье;
4) 30 3 = 90 (коп.) стоили кушанья первогопастуха;
5) 90 50 40 (коп.) должен получить первый пас тух (так как из трех кушаний, стоивших 90 коп., он сам съел на 50 коп.);
6) 30 2 = 60 (коп.) - стоили кушанья второго пастуха;
7) 60 50 = 10 (коп.) должен получить второй пастух.)
12. Однажды двое арабов сидели под пальмой и соби рались обедать. К ним подошел третий араб и предложил присоединить к обеду свои припасы. Всю провизию разде лили поровну между троими. У первого араба был кувшин молока, у второго - один хлеб и у третьего - 6 фиников. По окончании трапезы третий араб сказал: «Так как каждый из вас внес больше меня, вот вам 20 одинаковых медных монет, разделите их между собой». Как арабы разделят полученные деньги, если известно, что 4 кувшина молока стоят столько же, сколько 3 хлеба, а один кувшин молока ценится так же, как 36 фиников?
Решение* Кувшин молока можно заменить 36 финиками, а 1 хлеб 48 финиками (так как 4 кувшина молока или 144 фиников стоят столько же, сколько 3 хлеба). Прибавив к это му 6 фиников третьего араба, мы видим, что у всех как будто было 36 + 48 + 6 = 90 фиников, т.е. на долю каждого прихо дится как бы по 30 фиников. Стало быть, первый араб дол жен дополучить за 6 фиников (36 30), а второй за 18 фи ников (48 30). Иначе говоря, второй араб должен получить втрое (18 : 6 = 3) больше, чем первый. Следовательно, первый араб должен взять себе 5 монет, а второй 15 монет.)
13. Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег.
Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что, оказавшись отдельно от своего рыца ря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей.
Решение. Введем обозначения: А, Б, В рыцари; а, б, в - их оруженосцы.
АБВв
АБВв б
АБВ б
АБВ аб
Вв аб
Вв Аа
бв Аа
бв АБВ
а АБВ
а АБВв
АБВв
14. Таня, Коля и папа отправились в поход. К вечеру они вышли к реке, тихой и неглубокой. У берега был плот, вы держивающий груз до 100 кг. Масса папы 80 кг, Тани 50 кг, Коли - 40 кг, рюкзака - 15 кг. Коля на противоположном берегу прежде всего должен набрать хворосту и приготовить место для костра, Таня почистить рыбу и картошку для ухи, папа - поставить палатку для ночлега. Для выполне ния каждого из этих трех дел требуется 20 мин. Через реку можно переправиться за 10 мин. Как менее чем за час всем троим переправиться через реку и заодно выполнить все свои обязанности? Через час будет темно и надо будет раз жечь костер.
Решение:
Таня Пр ТК Коля собирает хворост
на этом берегу Пр Т и готовит место
чистит рыбу и Т К для костра
картошку Т Пр Папа ставит
Пр палатку
15. Из 8 одинаковых по виду колец одно несколько легче ос тальных. Требуется найти его не более чем за два взвешива ниями на чашечных весах без гирь.
Решение: 1,2,3 – 4,5,6
4-5 7-8
5 6 8 7
16. Изготовлено 9 одинаковых по форме бронзовых медалей. Но одна из медалей оказалась немного легче, чем остальные. Как, не пользуясь гирями, при помощи двух взвешиваний на чашечных весах найти эту медаль?
(Решение. Мы уже знаем, что из трех монет найти одну фальшивую можно за одно взвешивание. Поэтому будем де лить 9 бронзовых медалей на 3 кучки. Если бы мы положили на каждую чашу весов по 4 медали и весы оказались бы не в равновесии, то первым взвешиванием мы нашли бы, в какой кучке из 4 монет находится фальшивая. А по предыдущим за дачам нам известно, что одну фальшивую монету среди четы рех можно найти за два взвешивания. Таким образом, всего нам понадобится не два взвешивания, как требуется в задаче, а за три.
1,2,3 – 4,5,6
4-5 7-8
5 6 8 9
17. Имеется 10 монет, из низ 9 настоящих, одинаковой мас сы, одна фальшивая, легче остальных. Как определить фаль шивую монету не более Чем за три взвешивания?
Решение. 1,2,3 – 4,5,6
4- 5 7- 8
5 6 8
9-10
10 9
18. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?
Решение. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.
19. В одной бочке 50 л жидкого дегтя, в другой – 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?
Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи. В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл. И сопроводить решение таким рисунком:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.
Ответ: поровну.
20. В двух кучах лежат камни. Двое играющих по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число камней в кучах. Если один игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число камней в кучах, доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет. Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Камни для этого иметь необязательно. Можно просто написать на доске:
1-я куча
2-я куча
или
1-я куча
2-я куча
17
25
10
10
В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во втором случае надо предоставить первый ход противнику и каждым своим ходом уравнивать кучи.
Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах.
21. Имеется 27 колец, из них одно фальшивое, легче ос тальных, остальные настоящие, одинаковой массы. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти фальшивое кольцо?
Решение. Разделим кольца на 3 кучки, по 9 колец в каж дой. За первое взвешивание найдем кучку из 9 колец, в кото рой одно кольцо фальшивое, а фальшивое кольцо из 9 можно найти за 2 взвешивания. Следовательно, всего понадобится 3 взвешивания.
1-9 -10-18
10,11,12 - 13,14,15 19,20,21 – 22,23.24
13 -14 16-17 22-23 25-26
O O O O O O O O
22. Имеется 4 монеты, из них 3 настоящие, одинаковой мас сы, одна фальшивая, отличающаяся по массе от остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
Решение. 1- 2
1-3
O O O O
23. Имеется 9 деталей, из них 8 стандартных, одинаковой массы, одна бракованная, отличающаяся по массе от осталь ных. Как за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь найти бракованную деталь?
(Решение, Разделим детали на 3 кучки, по 3 детали в каж дой. За первые 2 взвешивания найдем одну кучку из трех, в которой находится бракованная деталь, за следующие 2 взве шивания среди трех деталей найдем бракованную.)
24. Среди 5 одинаковых по виду монет одна по весу не сколько отличается от других. На чашечных весах без гирь определите, легче она или тяжелее. В помощь дается шестая настоящая монета.
Решение: 1,2 – 3,4
1,2 – 5,6 1 - 5
Т Л Л Т
25. Лиса Алиса и Кот Базилио фальшивомонетчики. Ба-зилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету?
Решение. 1,2,3,4,5 – 6,7,8,9,10
1,2,3,4,5 - 11,12,13,14,15 1,2.3,4,5 – 11,12,13,14,15
Т Л Т Л
26. Имеются чашечные весы, любые гири и 10 мешков с мс нетами. Все монеты во всех мешках одинаковые по внешнем виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит 15 г, а в остальных 9 мешках настоящие и весят по 20 Как при помощи одного взвешивания определить, в како; мешке фальшивая монета?
(Решение. Занумеруем мешки и возьмем из каждого мешка по такому количеству монет, каков номер мешка. Всего буде 45 монет (1+3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10). Взвесим и> Если бы они были все настоящие, весили бы 900 г, если фальшивая монета одна будет не хватать 5 г, если две 10 г и т.д Таким образом, разделив количество недостающих граммов на 5, мы найдем количество фальшивых монет, а значит, I номер мешка с фальшивыми монетами.)
27. Снежную крепость защищает отважный гарнизон. Ре бята отразили 5 штурмов, но не сдались. В начале игры гар низон состоял из 40 человек. Комендант снежной крепости первоначально расставил силы по схеме, приведенной ниже Противник видел, что каждую из 4 сторон крепости защища ют 11 человек. По условию игры при первом, втором, третьем и четвертом штурмах гарнизон «терял» каждый раз по 4 че ловека. В пятый раз неприятель своими снежками вывел из строя еще двух человек. И все же, несмотря на потери после каждого штурма, любую из сторон снежной крепости про должало защищать по 11 человек. Как расставлял свои силы комендант снежной крепости?
Решение. Так как каждый раз число защитников умень шалось на 4, То по углам крепости надо ставить на одного человека больше. Исключение составляет последний слу чай.
1
9
1
9
40
9
1
9
1
2
7
2
7
36
7
2
7
2
3
5
3
32
5
3
5
3
4
3
4
3
28
3
4
3
4
5
1
5
1
24
1
5
1
5
6
5
22
5
6
28. Миша отдыхал летом в «Орленке» и привез оттуда в подарок своей младшей сестре Ирочке красивую шкатул ку, украшенную 36 ракушками. На крышке шкатулки были выжжены линии так, что они делят крышку на 8 секций. Ирочка в школу не ходит, только умеет считать до 10. Боль ше всего ей в Мишином подарке понравилось то, что вдоль каждой стороны крышки шкатулки расположено ровно по 10 ракушек, считая ракушки вдоль стороны. Ирочка учитывает все ракушки, находящиеся в примыкающей к этой стороне секции. Ракушки, расположенные в угловых секциях, Ироч ка присчитывала и к той и к другой стороне. Однажды мама, протирая шкатулку тряпочкой, нечаянно раздавила 4 ракуш ки. Теперь не стало получаться по 10 вдоль каждой стороны. Какая неприятность! Придет Ирочка из детского сада и очень огорчится. «Беда не велика», - успокоил маму Миша. Он ос торожно отклеил часть ракушек из оставшихся 32 и так умело их наклеил снова на крышку шкатулки, что вдоль каждой ее стороны стало опять по 19 ракушек. Прошло несколько дней. Снова беда шкатулка упала, разбилось еще 6 ракушек, ос талось только 26. Но и в этот раз Миша смекнул, как надо расположить оставшиеся 26 ракушек, чтобы вдоль каждой ее стороны Ирочка по-прежнему насчитала 10. Правда, остав шиеся ракушки в последнем случае невозможно было распо ложить на крышке так же симметрично, как они располага лись до сих пор. Но Ирочка на это не обратила внимания. Как располагал ракушки Миша?
Ответ:
1
8
1
8
8
1
8
1
2
6
2
6
6
2
6
2
3
3
4
3
3
4
3
3
29. Помещик нанял две партии крестьян и обещал по окон чании работы дать каждой партии по 5 мер овса. Когда ра бота была окончена, помещик велел отдать в распоряжение работавших крестьян 3 мешка: один мешок с 10 мерами овса, а два других - вместимостью 7 мер и 3 меры, пустые. Других мешков или других емкостей у крестьян не было, однако они разделили овес так, что каждая партия понесла в деревню по 5 мер овса. Как крестьяне произвели этот дележ?
Решение. Эта задача очень похожа на задачи на перелива ния, поэтому решение можно также оформить в виде таб лицы.
10 мер
10
7
7
4
4
1
1
8
8
5
5
7 мер
0
0
3
3
6
6
7
0
2
2
5
Змеры
0
3
0
3
0
3
2
2
0
3
0
30. Положите на стол 6 шашек в ряд попеременно черную, белую, черную, белую, черную, белую. Справа или слева ос тавьте свободное место, достаточное для 4 шашек. Требуется переместить шашки так, чтобы слева оказались все белые, а вслед за ними все черные. При этом перемещать на свободное место нужно сразу две рядом лежащие шашки, не меняя по рядка, в котором они лежат.
Решение. Лучше всего эту задачу решать практическим пу тем, перекладывая шашки или какие-либо другие предметы. Решение представить можно на рисунке.
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
31. Однажды весной встретились на узеньком мостике через широкий ручей 2 серых и 2 белых зайца. На мостике было 5 дощечек, расположенных друг от друга на целый шаг. Два се рых зайца оказались на двух дощечках слева, а два белых на крайних дощечках справа. Между ними находилась еще одна свободная дощечка. Помогите зайцам поменяться местами, чтобы продолжить свой путь, зная, что каждый заяц может передвигаться вперед либо на рядом расположенную свобод ную дощечку, либо перепрыгивая вперед через одного зайца, если за ним находится свободная дощечка,
Решение. Обозначим серых зайцев С1 и С2, белых Б1 и Б2, а дощечки номерами 1,2,3,4,5. Чтобы не потерять нить рассуждений, местонахождение зайцев после каждого пере мещения будем фиксировать в таблице.
1
2
3
4
5
С1
С2
Б1
Б2
С1
С2
Б1
Б2
С1
Б1
С2
Б2
С1
Б1
С2
Б2
С1
Б1
Б2
С2
Б1
С1
Б2
С2
Б1
С1
Б2
С2
Б1
Б2
С1
С2
Б1
Б2
С1
С2
32. На карточке, разделенной на 6 квадратов, положены 3 звез ды, треугольник и квадрат. Одна клетка на карточке свободна. Переставьте местами треугольник и квадрат. Фигуры можно пе редвигать только в горизонтальном или вертикальном направ лении на рядом расположенную свободную клетку. На одной клетке не могут одновременно находиться две фигуры.
(Решение. Обозначим номера клеток на карточке 1, 2,3,4,5, 6; фигуры: Т треугольник, К квадрат, 3,, 32,33 звезды.
5
·
6
1
·
4
·
3
·
2
·
1) Т 1 -» 6; 2) К 2 -» 1; 3) 3,3 -» 2; 4) Т 6 3; 5) 33 5 -» 6; 6) 324 -» 5; 7) Т 3 -» 4; 8) 3, 2 -» 3; 9) К 1 2; 10) 33 6 -» 1; 11) 3, 3 - 6; 12) Т 4 -» 3; 13) 32 5-4; 14) 3,6 -5 ; 16)К2-»1;17)ТЗ-»2.)
33. Давным-давно был построен канал, и такой узкий, что встречные пароходы никак не могли разъехаться. На канале был лишь один залив, в который мог встать только один па роход, и тогда другие пароходы могли проезжать мимо него. Однажды шли по каналу два парохода с одной стороны, а на встречу им два другие парохода. Как же разъехаться паро ходам, чтобы они могли идти и дальше по своим направлени ям?
Решение. 1) пароход 1 входит в залив, а в это время парохо ды 3 и 4 проходят вправо за залив и останавливаются перед пароходом 2; 2) пароход 1 выходит из залива и отправляется по своему назначению, в это время пароходы 3 и 4 идут влево, освобождая вход в залив пароходу 2; 3) пароход 2 входит в за лив, а пароходы 3 и 4 отправляются направо по своему марш руту; 4) пароход 2 выходит из залива и продолжает движение за пароходом 1.
Залив
4
3
1
2
4
3
2
1
1
4
3
2
1
4
3
2
34. На полустанке одноколейной железной дороги оста новился поезд в составе паровоза и 5 вагонов, доставивший бригаду рабочих для строительства новой ветки. Пока на этом полустанке имелся только небольшой тупичок, в кото ром, в случае необходимости, едва мог бы поместиться па ровоз с двумя вагонами. Вскоре следом за поездом со стро ительной бригадой подошел сюда пассажирский поезд. Как его пропустить?
(Решение. Для того чтобы разойтись, поезда должны про делать такие маневры: 1) рабочий поезд проходит за стрелку влево, заводит в тупик 3 вагона и отцепляет их; 2) пассажир ский поезд проходит за стрелку, прицепляет из тупика 3 ва гона рабочего поезда и возвращается задним ходом обратно; 3) паровоз с тремя вагонами рабочего поезда заходит в тупик и пассажирский благополучно следует дальше.)
35. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбра сывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тю ков оказались с товарами этого купца. Как были расставлены тюки и с какого тюка был начат отсчет?
(Решение. Поставим по кругу 30 точек - 29 светлых и одну темную (начало отсчета). Будем вычеркивать (начиная с тем ной точки) каждую девятую точку до тех пор, пока не оста нется 15 точек. Это и будут тюки хитрого купца.
36. В трактире стояло 4 стола, по одному вдоль каждой сте ны. Возвращаются с маневров проголодавшиеся солдаты в ко личестве 21 человека. Остановились там пообедать и пригла сили к обеду хозяина. Расселись так: за тремя из столов сели солдаты по 7 человек за каждый стол, а за четвертый сам хозяин. Солдаты уговорились, что платить будет тот, кто ос танется последним при следующем условии: считая по кругу (по часовой стрелке) всех, в том числе и хозяина, освобождать от уплаты каждого седьмого. Каждый седьмой тотчас уходил из трактира к в дальнейшем счете не участвовал. Последним остался хозяин. С кого начали счет?
(Решение. Так же, как и в предыдущей задаче, расставля ем по кругу точки и вычеркиваем каждую седьмую точку. Оставшаяся точка место хозяина. Получаем, что надо на чинать счет с шестого солдата, сидящего по левую руку от хозяина.)
37. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. «Вот тебе меч-кладенец», гово рит ему Баба-яга. Одним ударом ты можешь срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвос та. Но запомни: срубишь один хвост два вырастут, срубишь два хвоста голова вырастет, срубишь голову голова вы растет,
срубишь две головы ничего не вырастет». За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и все хвосты?
Решение. Так как по условию задачи, только рубка двух голов Змея одновременно приводит к их полной ликвида ции, необходимо добиться, чтобы у него оставалось только четное число голов. Поскольку Змей имеет три головы, то' следует рубить ему хвосты так, чтобы это привело к полу чению еще трех голов. В связи с этим Иван-царевич может поступить следующим образом: а) первыми тремя ударами Иван-царевич рубит каждый хвост пополам, и тогда у Змея будет 6 хвостов; б) следующими тремя ударами Иван-царе вич рубит хвосты Змея и в результате получает к имеющимся трем хвостам еще три головы; в) наконец, последними тремя ударами Иван-царевич рубит попарно 6 голов Змея, и побеж дает его девятью ударами. Кратко решение задачи запишем следующим образом: гггххх
гггх-хх-хх-х
е-ег-ее-еж
38. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более легкую) монету из 25 монет?
Ответ: Тремя, так как число монет больше 9, но не больше 27.
39. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более тяжелую) монету из 60 монет?
Решение. Четырьмя, так как число монет больше 27, но не больше 81.
на 6.
Ответ: 236 x 504 = 118944.
40. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?
Решение. Первым взвешиванием сравним тысячу монет с другой тысячью монет. Если весы уравновесятся, фальшивая монета – та, которая не попала на весы. Тогда вторым взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты. Если же весы не уравновесятся, то возьмем, например, более легкую тысячу монет и вторым взвешиванием сравним ее половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи, то есть фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая монета среди более легкой тысячи, то есть она легче, чем настоящая.
41. Среди 18 монет есть одна фальшивая, более легкая. Как одним взвешиванием на чашечных весах без гирь отобрать среди этих монет 6 настоящих?
Ответ: Разделив монеты на 3 группы, надо сравнить вес двух шестерок.
42. Одна из 75 одинаковых по виду монет – фальшивая, она несколько отличается по весу от остальных. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить, легче или тяжелее эта монета, чем остальные?
Решение. Разделим монеты на три группы по 25 монет и сравним веса первой и второй группы, а затем – первой и третьей группы.
43. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько нужно установить на сейфе разных замков и как распределить ключи от них, чтобы никакой член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это сделать?
Решение. Нужно добиться, чтобы ни один человек не мог сам открыть сейф, но любой подошедший к нему второй человек мог бы помочь ему это сделать. Для этого требуется, чтобы каждый не мог открыть одного замка, который открывает каждый из двух его товарищей. Не дадим первому ключа от одного замка, второму – ключа от другого замка, третьему – ключа еще от одного замка. Тогда хватит трех замков. (Полезно устроить инсценировку с ключами, нарисовав сейф и замки на доске.)
Ответ: 3 замка, причем: 1-й человек не имеет ключа от замка № 1, но имеет ключи от замков № 2 и № 3; 2-й человек не имеет ключа от замка № 2, но имеет ключи от замков № 1 и № 3; 3-й человек не имеет ключа от замка № 3, но имеет ключи от замков № 1 и № 2.
44. Доктор Айболит должен попасть к больному Бегемоту. Сколько существует кратчайших путей из точки А в точку Б на этом рисунке?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. В точку К Айболит может попасть тремя способами, а значит, он может прибыть к Бегемоту через точку К тремя способами. Через точку М он может прибыть к Бегемоту шестью способами. Итог: из А в Б ведут девять путей.
Ответ: 9.
45. Трое соревновались, кто из них самый сообразительный. Они обратились за решением спора к мудрецу. Тот показал им пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал. Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Как можно об этом догадаться, видя белые колпаки на других, но не видя своего колпака?
Решение. Можно рассуждать так. Я вижу два белых колпака. На мне может быть белый или черный. Если бы на мне был черный колпак, то второй человек видел бы один белый колпак и один черный. Он думал бы, что если на нем черный колпак, то третий должен сразу сказать, что на нем белый: ведь черных колпаков всего два. Но третий не говорит, что на нем белый колпак, значит, думал бы второй, на мне белый. Но поскольку второй молчит, то он не видит на мне черного колпака. Значит, на мне белый.
Ответ: Потому что другие молчат.
46. Если Андреев даст Петрову 300 рублей, то у них будет поровну. На сколько у Андреева денег больше, чем у Петрова?
Ответ: На 600 рублей.
6 глава. Задачи, связанные с понятием множества.
1. В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бу тылке, в банке не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жид кость.
Решение. Условия, что вода не в бутылке, молоко не в бутылке, лимонад не в банке, вода не в банке занесем в таблицу. Из условия, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, делаем вывод, что лимонад не в кувшине и квас не в кувшине. Атак как стакан стоит около банки и сосуда с молоком, то можно сделать вывод, что делаем вывод, что молоко не в банке и не в стакане. Расставив «+», в итоге получаем, что молоко находится в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке и вода в стакане.
Бутылка
Стакан
Кувшин
Банка
Молоко
-
-
+
-
Лимонад
+
-
-
-
Квас
-
-
+
Вода
-
-
-
-
2. В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и Попугай заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Заяц - 2, Попугай не стал победителем, но в призеры попал, а Удав уступил Мартышке.
(Решение. Занесем условие задачи в таблицу, и, где возмож но, расставим плюсы и минусы:
1 место
2 место
3 место
4 место
Заяц
+ (по усл.)
-
-
Мартышка
-
-
Удав
-
-
Попугай
- (по усл.)
-
+
- (по усл.)
Получилось, что Мартышка и Удав на первом и четвер том месте, но так как по условию Удав уступил Мартышке, то получается, что на первом месте - Мартышка, на втором Заяц, на третьем Попугай и на четвертом Удав.)
3. Вера, Галя и Женя участвовали в соревнованиях по фи гурному катанию и заняли первые три места, получив соот ветственно золотую, серебряную и бронзовую медали. Когда их спросили, какую медаль получила каждая из них, то были получены следующие ответы: 1) Вера получила не золотую, а Женя не серебряную медаль; 2) Галя получила не бронзо вую медаль, а Вера не серебряную. Какую медаль получила каждая из них, если оба ответа правильные?
(Ответ: Вера получила бронзовую медаль, Галя сереб ряную, а Женя золотую.)
4. На новогоднем утреннике три подруги, Аня, Вера и Даша, были активными участницами, одна из них была Снегуроч кой. Когда их подруги спросили, кто же из них был Снегуроч кой, то Аня им сказала: «На ваш вопрос каждая из нас даст свой ответ. По этим ответам вы должны догадаться сами, кто из нас в действительности был Снегурочкой. Но знайте, чтоб Даша всегда говорит правду».«Хорошо, ответил и подруги, послушаем ваши ответы. Это даже интересно».
Аня: «Снегурочкой была я».
Вера: «Я не была Снегурочкой».
Даша: «Одна из них говорит правду, а другая неправду».
Так кто же из подруг на новогоднем утреннике был снегу рочкой?
(Решение. Из утверждения Даши получаем, что среди вы сказываний Ани и Веры оно истинное, а другое ложное. Если ложным будет высказывание Веры, то получим, что и Аня, и Вера были снегурочками, чего быть не может. Значит, ложным должно быть высказывание Ани. В этом случае по лучаем, что Аня Снегурочкой не была, не была Снегурочкой и Вера. Остается, что снегурочкой была Даша.)
5. Три ученицы, Алла, Вера и Даша, на новогодний бал пришли одна в красном платье, другая в белом, третья в синем платье. Среди высказываний: Алла была в красном; Вера не в красном; Даша не в синем платье одно верно,! а два других неверны. В каком платье была каждая из учениц?
(Рассмотрим три случая, когда верным было первое высказывание, второе и третье)
По условию задачи
- Случай 1
Случай 2
Случай 3
Алла в красном
И в красном
Л не в красном
Л не в красном
Вера не в красном
Л в красном
И не в красном
Л в красном
Даша не в синем
Л в синем
Л в синем
И не в синем
Противоречие
Противоречие
Вера в красном Даша в белом Алла в синем
Ответ: Вера в красном, Даша в белом, Алла в си нем.)
6. Три ученика разных школ города приехали на отдых в один лагерь. На вопрос, в каких школах они учатся, каж дый дал ответ. Петя: «Я учусь в школе № 6, а Леня в шко ле № 8». Леня: «Я учусь в школе № 6, а Петя - в школе № 3».Коля: «Я учусь в школе № 6, а Петя в школе № 8». Вожатая удивилась и попросила объяснить, где правда, а где ложь. Тогда ребята признались, что в их ответах одно утверждение верно, а другое - ложно. В каких школах учат ся мальчики?
(Решение. Предположим, что верно первое утверждение Пети, тогда ложны второе утверждение Пети и первые ут верждения Лени и Коли. Но при этом истинными должны быть вторые утверждения Лени и Коли. Получили, что Петя учится сразу в трех школах, значит наше предположение о том, что первое утверждение Пети истинно, неверно. Пред положим, что его второе утверждение верно. Тогда ложными будут первые утверждения Лени и Пети и второе утвержде ние Коли. При этом истинным оказалось второе утверждение Лени и первое утверждение Коли. Здесь противоречия нет. Получается, что Леня учится в школе № 8, Петя в школе № 3, Коля в школе № 6.) "
7. Четыре девочки - Маша, Нина, Ольга и Вера - учас твовали в финале легкоатлетического забега. Перед стартом трое болельщиков заявили следующее. Первый: Ольга заняла первое место, Нина - второе. Второй: Ольга - второе, Вера -третье. Третий: Маша - второе, Вера - четвертое. По окон чании соревнований выяснилось, что одно из высказываний каждого предположения верно, а другое нет. Какое место за няла каждая из девочек?
(Решение. Предположим, что первое высказывание перво го болельщика верно:
0-1и Н-2л
0-2л В-Зи
М-2и В-4л
Тогда ложными будут его второе высказывание и первое высказывание второго болельщика. В этом случае второе высказывание второго болельщика истинно, а значит, вто рое высказывание третьего болельщика ложь. Тогда мес та распределились следующим образом: Оля, Маша, Вера, Нина.
Рассмотрим другой случай. Предположим, что верным бу дет второе высказывание первого болельщика.
а-1л Н-2и
О-2л В-Зи
М-2л В-4«
Его первое высказывание О 1 ложное и первые выска зывания второго и третьего болельщиков О- 2 и М - 2 будут тоже ложными. Тогда вторые высказывания двух последних болельщиков должны быть истинными. В этом случае получаем, что Вера заняла сразу третье и четвертое места, чего быть не может. Верным было наше первое пред положение.)
8. В лагере «Орленок» подружились три мальчика Ар тем, Борис и Витя из Москвы, Владимира и Норильска. Один из них увлекался математикой, другой рисованием, а третий литературой. Артем живет не в Москве, Борис * не во Владимире. Москвич не увлекается математикой; тот, кто живет во Владимире, увлекается рисованием. Борис не увлекается литературой. Чем увлекается Витя и откуда он приехал?
(Решение. Так как Борис живет не во Владимире, а жи тель Владимира у влекается рисованием, то можно сделать вывод, что Борис рисованием не увлекается. А так как по условию задачи он не увлекается литературой то следовательно он увлекается математикой).
9. Вике на день рождения подарили книгу Дж. Родари «Приключения Чипполино», а Симе «Приключения Бура-тино». Прочитав эти книги, девочки дали их своим друзьям. Вика дала книгу Поле, Катя взяла у Симы, Оля читала книгу «Приключения Чипполино» после Димы, а Дима брал ее у Поли. Миша читал книгу после Кати, и, прочитав, отдал ее Гале. После Гали книгу читала Аня и отдала ее Яне. Сколь ко человек прочитали книгу «Приключения Чипполино» и сколько - «Приключения Буратино»?
(Решение. Рассмотрим отношение «прочитать книгу рань ше». Поскольку по условию задачи дети читали две книги «Приключения Чипполино» и «Приключения Буратино», то мы получим сразу два графа. Все условия задачи представим графически, после чего один из графов для наглядности вы делим другим цветом. Поскольку Симе подарили «Приключе ния Буратино», то, судя по графу (синего цвета), эту же книгу прочитали еще 5 человек, а «Приключения Буратино» вместе с Викой прочитали еще 3 человека.
10. В нашем лесу каждый занят своим делом: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг у друга. Кот учился у Выдры, Еж у Зайца, Лиса у Волка, а Мышь у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц Белку, а Барсук Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж учи телем Дятла. Лучше всех плетет корзины еж, чем нанимались Заяц, Дятел, волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу, а кто плести корзины?
Решение. Рассмотрим отношение «быть учителем», т.е. стрелку будем ставить от учителя к ученику. На нашем ри сунке получилось сразу два графа: вершинами одного явля ются точки, обозначающие зверей, которые ловят рыбу, а дру гого - точки, обозначающие зверей, которые плетут корзины. Поскольку по условию задачи еж плетет корзины, то вместе с ним плетут корзины Дятел, Барсук, Белка, Мышь и Заяц. Первым научился плести корзины Барсук, так как к нему не приходит ни одна стрелка. Все остальные звери (Кот, Выдра, Медведь, Бобер, Волк) ловят рыбу. Первым научился ловить рыбу Медведь.
11. На карточке нарисованы отрезок, круг, треугольник, \ звезда и квадрат. В каком порядке они нарисованы, если из-1 вестно, что: отрезок не рядом с треугольником; треугольник не рядом с кругом; круг не рядом со звездой, а звезда не рядом с отрезком; треугольник не рядом с квадратом, а квадрат не рядом с кругом; звезда располагается рядом с квадратом и на ходится справа от него?
(Решение. Начнем с условия, что звезда располагается ря дом с квадр атом и находится справа от него. По условию рядом с квадратом не треугольник и не круг, остается, что рядом с квадратом (слева от него) находится отрезок. Рядом с отрезком не треугольник; остается, что слева от отрезка находится круг, а справа от звезды - треугольник. В итоге получили, что геометрические фигуры расположены в сле дующем порядке: круг, отрезок, квадрат, звезда, треуголь ник.)
12. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?
Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12. А если друзей пятеро, то фотографий нужно 20 (см. последний рисунок). Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 5.
13. Друзья при встрече обменялись рукопожатиями. Рукопожатий было 15. Сколько было друзей?
Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то рукопожатие было бы всего одно. Если бы их было трое, то рукопожатий было бы три, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из второго рисунка видно, что рукопожатий было бы 6. Если друзей пятеро, то рукопожатий 10 (см. третий рисунок). А если их шестеро, то рукопожатий 15 (см. последний рисунок).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 6.
14. В классе причесанных девочек столько же, сколько непричесанных мальчиков. Кого в классе больше, девочек или непричесанных учеников?
Решение. Очевидно, класс состоит из причесанных девочек, причесанных мальчиков, непричесанных девочек и непричесанных мальчиков. Число девочек в классе есть сумма числа причесанных девочек и числа непричесанных девочек. Число непричесанных учеников есть сумма числа непричесанных мальчиков и числа непричесанных девочек. Но первые слагаемые этих сумм равны по условию, а вторые слагаемые совпадают (см. рисунок).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: Одинаково.
7 глава. Комбинаторные задачи.
1. Есть краски зеленого, красного, синего, желтого, оран жевого цветов. Сколькими способами можно раскрасить трехэтажные домики в три цвета, при условии, что цвета не должны повторяться.
Решение. Проведем рассуждения для домика, верхний этаж которого покрасили зеленой краской. Итак, если верх ний этаж зеленый, то второй этаж можно покрасить в любой из оставшихся четырех цветов, т.е. от верхней точки прово дим четыре отрезка. Если верхний этаж зеленый, а второй, например, красный, то третий этаж может быть одним из оставшихся трех цветов, т.е. от точки «к» второго этажа вниз проводим три отрезка. Таким образом, если верхний этаж дома покрашен в зеленый цвет, то имеющимися красками его этажи можно покрасить 12 способами. Если же верхний этаж дома покрасим, например, красным цветом, то все даль нейшие рассуждения будут такими же, как и в предыдущем случае, т.е. дом также можно будет покрасить 12 способами. Поэтому можно ограничится построением графа только для случая покраски верхнего этажа дома каким-либо одним цветом. Если при покраске верхнего
этажа определенным цветом получается 12 вариантов, а верхний этаж, в свою очередь, можно покрасить 5 способами, то всего имеющимися краска ми дом можно раскрасить 60 способами.
о ж с о к с о к ж к с ж
2. Как можно расположить цвета радуги в другом порядке, если 2 первых и 2 последних цвета оставить на своих местах. Сколько всего таких вариантов?
Решение. На первом месте стоит полоса красного цвета, на втором оранжевого. Поскольку синий и фиолетовый цвета будут располагаться на последних местах, то на третьем месте может быть желтый, зеленый и голубой цвета, следовательно, от точки о вниз проводим три отрезка. А так по условию зада чи цвета не повторяются, то от каждой точки, обозначающей цвет третьей полосы, проводим вниз два отрезка. По графу видно, что всего можно получить 6 вариантов, которые легко восстановить, рассматривая все пути прохождения по этому «дереву».
з г ж г ж з
. . . . . .
с с с с с с
ф ф ф ф ф ф
3. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу?
Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков. То есть к любой паре брюк можно подобрать четыре варианта "пиджак + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:
А еще лучше сделать такой рисунок.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 12.
4. Сколько кратчайших путей ведет из домика Кенги в домик Совы по этим дорожкам?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Из точки К в точку А ведет один путь. Точно то же можно сказать о точках Б, В, Г, Д и Е. В точку Ж ведут из К два пути: один через точку А, другой – через Д. В точку Н ведут 3 пути, в точку О – 6 путей, в точку И – 4 пути, в точку М – 5 путей, в точку П – 10 путей. В точку С ведет 15 путей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 15.
5. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, другой – в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в этом турнире?
Решение. Чтобы понять условие, нужно разобраться, какие игры и в каких городах проведет каждая команда. Начнем, например, с команды Москвы. Она проведет две игры с петербуржцами: одну в Москве, одну в Санкт-Петербурге. Она проведет две игры с Великим Новгородом: одну у себя, другую в гостях – и т. д. Результатом такого рассмотрения становится рисунок, на котором изображено пять стадионов и отмечено, какие команды приедут в гости на эти стадионы. Теперь ясно, что в каждом городе состоится по 4 матча, а всего матчей будет 5 x 4 = 20. Полезно спросить, сколько было бы матчей на каждом стадионе и сколько всего, если бы команд было 10. А самые сильные ученики могут придумать формулу n x (n – 1), обозначающую число встреч в двухкруговом турнире с n участниками.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: по 4 на каждом стадионе; всего 20.
8 глава. Задачи с геометрическим содержанием
1. Сколько на чертеже треугольников?
(Ответ: а) 28; б) 22; в) 27; г) 27; д) 35.)
2. Переложи 3 палочки так, чтобы рыбка поплыла в дру гую сторону.
Ответ:
3. Сколько на чертеже квадратов?
(Ответ: 19 квадратов по 1 квадратику, 10 квадратов по 4 квадратика и 3 квадрата по 9 квадратиков. Всего 32 квадрата.)
4. Начерти фигуры одним росчерком.
5. Найди на рисунке девятиугольник и обведи его.
6.Прямоугольный лист бумаги размером 8x4 разрезали на 4 равные части, а затем из них составили квадрат. Как это сделали?
Решение. Площадь прямоугольника 32 кв. ед., следователь но, составить квадрат, сторона которого выражалась целым числом, мы не можем. Поэтому делить по линиям клеток смысла не имеет. Разделим прямоугольник вначале на 2 квад рата, а затем каждый квадрат разделим по диагонали на 2 рав ных треугольника.
7. Ваня начертил квадрат, провел в нем два отрезка. У него получилось 8 треугольников. Как он сумел это сде лать?
(Ответ: Ваня провел диагонали, т.е. отрезки, соединяю щие противоположные вершины квадрата, получилось 8 тре угольников.)
8. Раздели прямоугольник на 3 прямоугольника так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
9. Разрежь квадрат на 3 части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое больше другой.
10. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.
Ответ: 1-й способ
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2-й способ
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
11. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.
12. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Попытка обвести фигуру, начиная, например, с точки А, не приведет к цели. А начав с точки В или с точки С, мы можем решить задачу. Все дело в том, что из точки В ведут три пути и из точки С – тоже три. Если выйти из точки А, то точку В придется проходить так: войти в нее по первому пути, выйти по второму, войти по третьему, и уже не выйти из нее, так как больше путей нет, а дважды проходить один и тот же путь нельзя. То есть если начинать из точки А, то в точке В нужно завершить обход фигуры. Но то же можно сказать и о точке С: ее тоже нельзя пройти, и если начать движение из А, то нужно лишь закончить обход в С. Однако мы не можем завершить обход в двух разных точках: в В и в С. Если же начать путь в В, то можно завершить его в С. А если начать путь в С, то можно завершить его в В.
Ответ: Из точки В или из точки С.
14. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: Из точки А или из точки D.
15. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: Из точки В или из точки D.
16. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
17. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. С какой точки можно начать обводку?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: С точки А или с точки В.
18. Докажи, что эту фигуру нельзя обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. На фигуре больше двух точек, в которых сходится нечетное число путей. Поэтому нельзя начать обводку в одной из них и закончить в другой. Придется проходить через третью точку, что невозможно.
19. Перечеркни эти девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.
Решение дано на рисунке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
20. Переложи две спички, чтобы равенство стало верным:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
21. Сложи из шести спичек четыре треугольника.
Решение дано на рисунке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
22. Сделай рисунок симметричным:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Список литературы.
1. Берёзина Л.Ю. Графы и их применение: пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979 г.
3. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике логического характера. – М.: Просвещение. Учебная литература, 1996 г.
4. Ившин Д.К. Затейник. – Ижевск, 1970г.
6. Лихтарников Л.М.Занимательные логические задачи для учащихся начальной школы. - СПб.: Лань МИК, 1996 г.
7. Лихтарников Л.М. Числовые ребусы для учащихся начальной школы. - СПб.: Лань МИК, 1996 г.
8.Мазаник А.А. Реши сам.- М.: Народная света, 1980г.
9.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка.- М.: Просвещение, 1988г.
10.Русанов В.Н. математические олимпиады младших школьников: Книга для учителя. Из опыта работы. - М.: Просвещение- 1990 г.
11.Сахаров И.П, Аменицкий Н.Н. Забавная арифметика. - СПб.: Лань МИК, 1996 г.
12.Свечинков А.А., Сорокин П.И. Числа, фигуры, задачи. – М.: 1977г.
13.Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике. –М.: Просвещение, 1967г.
14.Трутнев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе: пособие для учителей. –М.: Просвещение 1975г.
15.Трутнев В.П. Считай, смекай, отгадывай: Пособие для учащихся начальной школы. 4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1980 г.
16. Керова Г.В. Нестандартные задачи по математике: 1-4 классы.- М.: ВАКО, 2006 г.
17. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах / Под ред. С.И. Шварцбурда.- М.: Просвещение, 1974 г.
Рецензия на сборник «Нестандартные задачи по прикладной математике 4 класс»
Составитель: Пак Н.Ю.
Многолетний опыт работы в школе подсказал, что нельзя ограничивать детей только решением типовых задач. Надо раскрепостить мышление ученика, использовать те богатейшие возможности, которые дала ему природа. Решение нестандартных задач поможет ученикам сделать первые в их жизни открытия, даст возможность развитию творческой инициативы, разовьет интерес к науке. Развитие логики на уроках математики при решении нестандартных задач позволяет учителю знакомить детей с важными в познавательном отношении факта- ми, тем самым осуществляется их интеллектуальное развитие, расширяется кругозор, устанавливается тесная связь между обучением и жизнью. Велико и воспитательное значение задач.
Данное пособие включает нестандартные задачи всех видов, изучаемые на уроках прикладной математики в 4 классе. Такая работа вызывает большой интерес на уроках прикладной математики. Этот материал не только помогает в интересной форме знакомить учащихся с учебным материалом, но и воспитывает интерес к предмету Кроме того, нестандартный материал позволяют ребенку потренировать внимание, память, формировать саморегуляцию, контроль над своей деятельностью. Цель в том, чтобы ребенок учился именно потому, что ему хочется учиться, чтобы он испытывал удовольствие от самого учения. Задачи современного обучения заключаются не только в том, чтобы обеспечить усвоение школьниками программ, но и в том, чтобы продвинуть их в развитии. Особенное значение работа над развитием детей имеет в начальных классах являющейся фундаментом дальнейшего становления личности школьника. В младшем школьном возрасте игра и ее роль постепенно отодвигаются на второй план, ведущей деятельностью становится учение. В процессе использования данного материала на уроках прикладной математики учащиеся незаметно для себя выполняют задания, где им приходится тренироваться, решать познавательные задачи. Такой материал ставит ученика в условия поиска, пробуждает интерес, а отсюда – стремление быть быстрым, собранным, ловким, находчивым, уметь четко выполнять задания. Материал распределен согласно календарно-тематическому планированию учебного материала и получения запланированных результатов.
В процессе использования данного пособия осуществляются межпредметные связи, что способствует пониманию и умению использовать изучаемые языковые явления курса.
В пособии имеются необходимые разделы: пояснительная записка с обязательным целеполаганием, основное (тематическое) содержание, планируемые результаты обучения, методические рекомендации, список литературы.
Рецензируемое пособие «Сборник нестандартных задач по прикладной математике 4 класс» может быть рекомендовано для использования в 4-х классах гимназии №45, а так же всех общеобразовательных школ.
Учитель начальных классов высшей категории Незнамова Н.В..
13PAGE \* MERGEFORMAT14215
Рисунок 1 Заголовок 113‡ђ Заголовок 2 Заголовок 315