Факультативное занятие Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Задача С 1 или задание 15 представляет собой уравнение или систему уравнений. Ключевым признаком задачи является необходимость отбора полученных в результате решения того или иного уравнения корней в соответствии с вытекающими из условия ограничениями. При э том для решения задачи С 1 необходимо уверенное владение навыками решения всех типов уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и старшей школе: целых рациональных, дробно - рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмичес ких. Существу ю т следующие спос обы отбора корней:  арифметический способ;  алгебраический способ;  геометрический способ;  функционально - графический способ. Учить отбору корней необходимо только в том случае, если решение простейших уравнений по каждому виду не вызывает никаких затруднений. Приводимое решение должно содержать все необходимые пояснения и обоснования и быть понятным не только его автору, но и любому компетентному человеку. Способы отбора корней в тригонометрически х уравнениях. Ӏ. Арифметически й способ . Арифметический способ : а) непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения ; б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней . а) Пример 1 . Найти корни у равнения cos x = 0 ,5 , удовлетворяющие неравенству sin x ≤ 0. Решение. cos x = 0 ,5 , , Проверим выполнение условия sin x ≤ 0 . Для = � sin �0. Первая серия корней является посторонней. Для = � sin 0. Ответ: . б) Пример 2 . а) Решите уравнение cosx + sinx = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) cosx + sinx = 0 | : cosx , , б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Перебирая, подряд значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке с лева и справа от данного промежутка. n = 0, n = 1, n = 2, n =3, Ответ : а ) ; б ) . ӀӀ. А лге браический способ . Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функц ий, входящих в серии решений, не являются табличными, и при решении задач с дополнительными условиями. А лгебраический способ : а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней ; б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами . а) Пример 3 . а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . . Решение. а) Пусть у = cos x , то 6у 2 - 7у - 5=0. =˃ , . =˃ , =˃ корней нет. б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку =˃ при n = 0 , и при n =1 , . =˃ при k = 0 . Ответ: а) , б) . Пример 4 . а) Решите уравнение , б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 1;2 . Решение. а) Найдем решения совокупности уравнений k , n Если записать совокупность в виде . Можно заметить, что решения второй серии содержатся в первой. Поэтому первая серия решений совокупности содержит все корни исходной совокупности уравнений. Следовательно решением уравнения будут к орни . б ) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . , , . Оценив левую и правую часть неравенства, приходим к выводу, что k =2 . Тогда . Ответ: а) , б) . б) Пример 5 . Решить систему уравнений Решение. При решен ии систем тригонометрических уравнений необходимо использовать разные обозначения целочисленных переменных при решении разных уравнений системы. Найдем такие целые значения m и n , при которых решения в получ енных сериях совпадают. Приравнивая выражения для х в обеих сериях, получим , 5 n =1+4 m . 4 m =5 n - 1 , . Для существования целых решений число должно быть целым. Обозначим его буквой k , тогда , n= 4 k+ 1 , . Подставляя в систему значения m и n , получим общее решение Ответ: . ӀӀӀ. Геометрический способ. Геометрический способ дает во зможность иллюстрировать решения простейших тригонометрических уравнений с помощью: а) числовой окружности ; б) числовой прямой ; . а) Пример 6 . а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) с os x = 0 или 2 sinx - 1 = 0 б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Для этого на единичной окружности отметим дугу равную данному отрезку и точки, соответствующие корням данного уравнения. Итак, корнями, принадлежащими данному отрезку, являются числа . Ответ: а) , , б) . б) Пример 8 . а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнен ия, принадлежащие отрезку . Решение. а) Из условия получаем �= Следует исключить те значения параметра k , которые приводят к совпадению корней числителя и знаменателя. Приравняем зн ачения х из системы. Решим диофантовое уравнение через частное решение. | :π 1+2 k =3 n , 3 n - 2 k =1 , частное решение . �= Следовательно , х=π + 2π k , k , k , t б) На числовой прямой рас смотрим промежуток . На числовой прямой отметим черными точками корни, принадлежащие полуинтервалу . Это числа . Ответ: а) х=π + 2π k , k , k , t б) в ) Пример 7 . а ) Решить уравнение cos x = б) Укажите корни этого уравнения, принадл ежащие отрезку Решение. а) cos x = , б) cos x = , Ответ: а) ӀV. Функционально - графический способ . При изображении решений простейших тр игонометрических неравенств иногда используют графики простейших триго нометрических функций. Для нахождения решени я тригонометрического неравенст ва при этом подходе требуется схематичное пос троение графика простейшей три гонометрической функции и применение форму л корней соответствующих уравне ний. Пример 9 . Решить систему Решение.  Неравенству sin x � удовлетворяет одно число . Следовательно, все числа вида . Ответ: Пример 10 . Решить систему Решение.  На промежутке , длина которого 2π, неравенству tgx � 1 удовлетворяет одно число . Следовательно, все числа вида , удовлетворяют данной системе. Ответ: