Методы решения тригонометрических уравнений и отбор корней.

Методы решения тригонометрических уравнений и отбор корней.
Учитель высшей категории МБОУ г. Иркутска СОШ №38 Кокоурова Анна Николаевна.
Первый метод решения тригонометрических уравнений-метод введения новой переменной. Для того чтобы свести уравнение к квадратному относительно тригонометрической функции, можно использовать основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1 и формулы:
cos2x=cos2x-sin2x=1-2sin2x, cos2x2=1+cosx2 , sin2x2=1-cosx2 .
Второй метод решения тригонометрических уравнений-метод разложения на множители. Если уравнение fx=0 удается преобразовать к виду
f1x∙f2x=0, то либо f1x=0 , либо f2x=0 . В подобных случаях обычно говорят: задача сводится к решению совокупности уравнений:
f1x=0;f2x=0. Встречается в С1 однородное тригонометрическое уравнение первой степени, которое решается делением обеих частей уравнения на cosx≠0 , а также однородное тригонометрическое уравнение второй степени, которое решается делением обеих частей уравнения она cos2x≠0 и последующим введением новой переменной z=tgx. Предположим, что cosx=0. Получается, что и cosx=0, то и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках. При интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а поэтому можно обе части уравнения разделить почленно на cosx и cos2x .
Отбор корней можно провести:
На тригонометрической окружности.
На графике соответствующей тригонометрической функции.
Решая неравенства с целочисленными параметрами.
Перебором.
1. Корни отбираем с помощью числовой окружности.
а) Решите уравнение sin2x+3sinx=0 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π2;7π2.
Решение.
а) Применим формулу синуса двойного угла и метод разложения на множители, получим:
2sinxcosx+3sinx=0<=> sinx∙(2cosx+3)=0. Значит, или sinx=0 , откуда x=πn,n∈Z, или cosx=-32 ,
откуда x=±5π6+2πn, n∈Z. 
 б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие
323854031702π
3π5π27π217π619π6о002π
3π5π27π217π619π6о отрезку 5π2;7π2 . Получим числа: 3π-π6=17π6;3π;3π+π6=19π6. 
 
Ответ: а) x=πn , ±5π6+2πn, n∈Z. б)17π6;3π; 19π6. 
2. Корни отбираем с помощью графиков тригонометрических функций.
а) Решите уравнение 7tg2x-1cosx+1=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -5π2;-π.
Решение.
а) ОДЗ: cosx≠0, x≠π2+πn,n∈Z.
Применим тригонометрическое тождество tg2x+1=1cos2x и получим уравнение вида 7cos2x-1cosx-6=0, а затем методом введения новой переменной 1cosx=t, получим 7t2-t-6=0, найдем корни данного уравнения.
Имеем, 1cosx=1 или 1cosx=-67. Значит, cosx=1 , откуда x=2πn, n∈Z или cosx=-76, уравнение не имеет решение, так как -76<-1.б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -5π2;-π с помощью графика функции y=cosx.
Ответ: а) x=2πn, n∈Z. б) -2π.
416947711145
3. Корни отбираем аналитически, решая неравенства с целочисленными параметрами.
а) Решите уравнение sinx+sin2x2=cos2x2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -2π;-π2.
Решение.
а) Перенесем cos2 x2 в правую часть уравнения и применим формулу косинуса двойного угла, получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени sinx-cosx=0. Разделим обе части уравнения на cosx≠0, получим tgx=1, откуда x=π4+πn,n∈Z. При найденных решениях cosx≠0.
б) Замкнем корни уравнения в отрезок -2π;-π2, имеем:
-2π≤π4+πn≤-π2, n∈z, получаем неравенство -2,25≤n≤-0,75, где n=-1 и n=-2 являются целочисленными решениями этого неравенства. Подставляя -1 и -2 вместо n в корни данного уравнения, получим x=π4-π=-3π4 и
x=π4-2π=-7π4.
Ответ: а)x= π4+πn,n∈Z.б) -3π4; -7π4.
4. Отбор корней с помощью перебора.
а) Решите уравнение 2sin2x-3sinx2cosx+1=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2.
Решение.
а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем cosx≠-12, x≠±2π3+2πn,n∈Z. Числитель дроби должен быть равен нулю:
2sin2x-3sinx=0 <=> sinx(2sinx-3)=0.
Значит,sinx=0.sinx=32.<=>x=πn,x=π3+2πn,x=2π3+2πn,n∈Z.Учитывая область допустимых значений множество корней x=2π3+2πn,n∈Z необходимо исключить. Получим ответ: πn;π3+2πn, n∈Z.
б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2 с помощью перебора.
1) x=πn,n∈Z,
При n=0, x=0 не принадлежит 2π;7π2,
При n=1, x=π не принадлежит 2π;7π2,
При n=2, x=2π ∈ 2π;7π2,
При n=3, x=3π ∈2π;7π2 ,
При n=4, x=4π не принадлежит 2π;7π2,
При n=-1, x=- π не принадлежит 2π;7π2.
2) x=π3+2πn,n∈Z ,
При n=0, x=π3 не принадлежит 2π;7π2,
При n=1, x=π3+2π=7π3 ∈2π;7π2 ,
При n=2, x=π3+4π=13π3 не принадлежит2π;7π2,
При n=-1, x=π3-2π=-5π3 не принадлежит2π;7π2.
Ответ: а)πn, π3+2πnn∈Z, б) 2π,7π3,3π.