Статья об отборе корней при решении тригонометрических уравнений для старшеклассников и молодых учителей

Статья
«Как отобрать корни»
Автор статьи: Кочергина Анна Ивановна, учитель I категории, МБОУ Школы №24 г.о.Самара
2016
Как отобрать корни?
Этот материал будет полезен выпускникам школ и молодым учителям математики.
При всем разнообразии тригонометрических уравнений, включенных в КИМы, число их видов невелико. Но тем не менее, наибольшие трудности у учащихся возникают именно в решении тригонометрических уравнений, и особенно в отборе корней.
Часть уравнений имеют вид f(ax+b)=m, где f - одна из тригонометрических функций, или легко сводятся к уравнению такого вида. Другая часть тригонометрических уравнений легко приводится к виду f(x)*g(x)=0, после чего рассматривается равносильная ему совокупность уравнений f(x)=0 или g(x)=0 на области допустимых значений переменной. В конечном итоге решение всех тригонометрических уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и отбору корней.
Примеры:
Укажите наибольший отрицательный корень уравнения tg(30˚+3x)=√3-10˚;2)-70˚3)-30˚4)-50˚
Укажите число корней уравнения tg2x-tgx=0 на промежутке (-π2;π)
Найдите число корней уравнения tg5x*sin10x+cos10x-cos20x=0 на промежутке [0;2π]
Решите уравнение 2cos2x+cosx-1-sinx=0Решите систему уравнений 3sinx=cos2x+1y2+6y+6cosx=0Решите уравнение 6sin2x+cosx-5=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [2π;3π].
Существует 4 способа отбора корней:
«Перебор по параметру»
Найти те корни уравнения sin2x=12, которые принадлежат отрезку [0;π]
2x=(-1)n*π6+πn, n∈Zx=(-1)n*π12+πn2, n∈ZОтбор корней:
Придадим параметру n последовательность значений 0;±1;±2;… и подставим эти значения в общую формулу решений.
Если n=0, то x=π12∈[0;π];
Если n=1, то x=5π12∈[0;π];
Если n=2, то x=13π12∉[0;π];
Если n=-1, то x=-7π12∉[0;π].
Ответ: π12; 5π12.
«Двойное неравенство»
Решить уравнение 3sin23x-23sin3x*cos3x+5cos23x=2 и выделить те его корни, которые принадлежат интервалу (-π;π).Решение уравнения сводится к решения простейшего уравнения
tg3x=33x=arctg3+πn, n∈Zx=π9+πn3, n∈ZИз найденной серии корней выбрать те корни, которые принадлежат заданному интервалу (-π;π). Так как -π<x<π , то
-π<π9+πn3<π-9<1+3n<9-10<3n<8-103<n<83, n∈Z. ⇒n={-3;n±2; ±1;0}Если перечисленные значения подставить в формулу x=π9+πn3 вместо n, то получим ответ: 8π9; -5π9; -2π9; π9; 4π9; 7π9.
«С помощью числовой окружности»
Решите уравнение 6tg2x+5tgx-1=0 и укажите корни, принадлежащие отрезку [-π;π2].
Уравнение сводится к решению совокупности двух простейших тригонометрических уравнений tgx=-1 или tgx=6.
x=-π4+πn, n∈Z или x=arctg6+πk, k∈Z
Рисунок 1
Отбор корней.
Ответ: -π4; arctg6; -π+arctg6.
2sinx+3*log2tgx=0ОДЗ:tgx>0cosx≠02sinx=-3 ;sinx=-32.Или
log2tgx=0 ;tgx=1;x=π4+πk, k∈Z
Рисунок 2
Ответ: π4+πk; 4π3+2πn, k,n ∈Z.
При решении систем уравнений можно воспользоваться этим же приемом.
cosy*sinx=02sin2x=2cos2y+1ОДЗ: sinx≥0y∈Rcosy=02sin2x=1 или sinx=0cos2y=-12 ⇒ ∅нет решений
sin2x=12
sinx=22 или sinx=-22 Не удовлетворяет ОДЗ.
x=(-1)n*π4+πn, n∈Z
cosy=0
y=π2+πn, n∈Z
Рисунок 3
Ответ: (-1)n*π4+πn, π2+πn, n∈Z6cos2x-5cosx-4*-4+tgx=0ОДЗ: -tgx≥0tgx≤0cosx≠0Решая уравнение, получаем:
cosx=13cosx=-12 нет решений
или tgx=0
x=πn, n∈Zx=±2π3+2πk, k∈ZОтбор корней:

Рисунок 4
Ответ: πn, n∈Z; 2π3+2πk, k∈Z«Отбор корней с помощью графика»
Многие учащиеся при отборе корней отдают предпочтение графическому способу. Он нагляден и ученику легче записать ответ.
Рассмотрим несколько примеров.
Решите уравнение 6sin2x+cosx-5=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [2π;3π].
Решение уравнения сводится к решению совокупности уравнений cosx=12,cosx=-13, x=±π3+2πn, n∈Zx=±π-arccos13+2πk, k∈ZОтбор корней произведем с помощью графика функций у=cosx
Ответ: 7π3; 3π-arccos137sin2x+4sinxcosx-3cos2x=0x∈[3π2;5π2]Решая уравнение заменой переменной, получим совокупность простейших уравнений
tgx=-1
x=-π4+πn, n∈Z
или
tgx=37x=arctg37+πk, k∈ZОтбор корней с помощью графика y=tgx
Ответ: 7π4; 2π+arctg37.
Заключение
Каждый выпускник школы, выходя на экзамен по математике должен уметь решать тригонометрические уравнения и 4 способа отбора корней; применять наиболее удобный из них в зависимости от задания.
Литература
А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. «Алгебра и начала математического анализа», 10 класс, в двух частях, часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). Москва. Мнемозина, 2014;
А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. «Алгебра и начала математического анализа», 10 класс, Методическое пособие для учителя (профильный уровень). Москва. Мнемозина, 2014;
М.Ю.Шуба. «Учимся творчески мыслить на уроках математики». Москва. Просвещение, 2012;
И.Т.Бородуля. «Тригонометрические уравнения и неравенства». Москва. Просвещение, 1989.