Методическое пособие для учителя Интегральное исчисление и его приложения для решения задач

ГУ «ОТдел образования акимата города костаная»
Методическое пособие
прикладного курса по математике
«Интегральное исчисление и его приложения для решения задач»
для учащихся 11 класса

Учитель сш №1 Фролова Т.Н.

Костанай
2011
Пояснительная записка
Результаты, показанные в ЕНТ выпускниками школ, являются несомненно беспорной оценкой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.
К сожалению, приходится констатировать, что за последние годы результаты тестирования демонстрируют тенденцию по снижению уровня математической подготовки у выпускников средних школ. Статистика такова- выпускники решают 30% тестовых заданий по математике. Большинство учащихся плохо владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют стоить графики элементарных функций, не обладают пространственным воображением и имеют низкие навыки логического мышления.
Материалы методического пособия «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» ориентировано на систематизацию знаний по нахождению первообразной и вычислению определённого интеграла, по приложению интегрального исчисления при решении задач планиметрии и стереометрии и на углубленное изучение интегрального исчисления.
Данное методическое пособие является приложением к прикладному курсу по математике для 11 класса «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач».
Проанализировав тестовые задания, предлагаемые учащимся для единого национального тестирования, мы убедились, что в тестах присутствуют задания не только программного материала средней общеобразовательной школы, но и задачи повышенной сложности, изучаемые в классах с углубленным изучением математики. В данном методическом пособии приведено решение наиболее трудных тестовых заданий по интегральному исчислению, встречающихся в ЕНТ за 1999-2010 годы. Все задания были систематизированы, выбраны наиболее простые и общие методы решения, не выходяшие за рамки школьной программы по математике.
Цель пособия - ознакомить учащихся с типовыми методами решения часто встречающихся задач ЕНТ по математике, а также научить их избегать стандартных ошибок при решении задач, связанных с интегральным исчислением. Умение решать такие задачи определят успешность сдачи ЕНТ.
Задачами данного курса являются:
Повышение математической культуры.
Развитие пространственного воображения и логического мышления.
Углубление знаний учащихся по интегральному исчислению
Развитие умений и формирование навыков решения задач, связанных с интегральным исчисление.
Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся.
Подготовка к единому национальному тестированию и к обучению в вузе.
Методы и принципы обучения:
Научность
Доступность
Вариативность
Опережение программного материала
Постепенного повышения сложности учебного материала
Самоконтроль
Практической направленности курса
Для реализации цели и задач прикладного курса используются такие формы занятий: лекция, практикум по решению задач, индивидуальные домашние задания по вариантам и их защита, в результате которой лежит исследовательская деятельность учащихся.
Содержание
Первообразная функции и её вычисление.
Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Вычисления объемов тел вращения
Вычисление площади поверхности
Приложение определённого интеграла к решению физических задач
Технология работы над тестовыми заданиями
1.Первообразная функции и её вычисление.
До настоящего момента мы рассматривали вопросы нахождения производной известной функции. Но нередко возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстановление функций по их производным, называется интегральным исчислением.
Определение. Функция F(x),заданная на отрезке а;в, называется первообразной для функции f(x), заданной на том же отрезке, если выполнено условие: F´(х)= f(x).
Операция нахождения первообразной заданной функции называется интегрированием.
Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.
Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции дифференцирования) многозначна. Если F(x) - первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообразных для функции f(x) на этом промежутке и все они имеют вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная.
Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно получить из графика одной из них сдвигом вдоль оси Оу. Выбором постоянной С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку, то есть постоянная С удовлетворяла уравнению: F(х0)+С=у0. Множество всех первообразных F(x)+С для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается: fxdx=Fx+С.
Приведём таблицу основных интегралов:
dx= x +C 7. sinxdx=-cosx+C
dxx=lnx+C 8. cosxdx=sinx+Cdxx2=-1x+C 9. dxcos2x=tgx+Cdxx=2x +C 10. dxsin2x=-ctgx+Cexdx=ex+C 11. dxa2-x2 =arcsinxa +C
axdx=axlna +C 12. dxx2+a2=1aarctgx +C
Чтобы найти неопределённый интеграл (то есть множество первообразных для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это удаётся сделать путём преобразования подынтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:
k fxdx= k fxdx, k-постоянная.fx±q(x) dx = fxdx± q(x) dx.
Если fxdx=F(x)+C, то fkx+bdx=1kF(kx+b)+C, где k и b -постоянные, k≠0.
Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:
а) f(x)=4x-14x2+1x3+3б) f(x)= x3+87xв) f(x)=e2x+3(x+1)2-3sin23xг) f(x)=2cos(π4-x3)+35x-2+1(3-2x)3д) fx=37x+1+13xе) fx=xx+1Решение:
а) fx=4x-14x2+1x3+3F(x)= 4x-14x2+1x3+3dx=4xdx-14x2dx+1x3dx+1x3dx+3dx==41xdx-141x2dx+x-3dx+3dx=4lnx+14x-12x2+3x+C. Ответ: а) Fx= 4lnx+14x-12x2+3x+Cб) f(x)= x3+87xF(x) = x3+87xdx=x3dx+87x dx=13xdx+8x17dx=13x22+8x878+C=x26+7x7x+C. Ответ: б) F(x)= x26+7x7x+C.в) f(x)=e2x+3(x+1)2-3sin23x F(x)=(e2x+3(x+1)2-3sin23x)dx=e2xdx+3(x+1)2dx -3sin23xdx=12e2x+3(x+1)33+313ctq3x+C=12e2x+(x+1)3+ctq3x+C+
Ответ: в) F(x)= 12e2x+(x+1)3+ctq3x+Cг) f(x)=2cos(π4-x3)+35x-2+1(3-2x)3F(x)= (2cos(π4-x3)+35x-2+1(3-2x)3)dx=(2cos(π4-x3))dx+35x-2dx+1(3-2x)3dx=2cos(π4-x3)dx+315x-2dx+(3-2x)-3dx=2· (-3) ·sinπ4-x3+3·15·25x-2+3-2x-2-2·-12+C=6 sinπ4-x3+655x-2+14(3-2x)2+C.Ответ: г) F(x)= 6 sinπ4-x3+655x-2+14(3-2x)2+C.д) fx=37x+1+13xF(x)= (37x+1+13x)dx=37x+1dx+13xdx=3dx7x+1+x1-3dx=37·ln7x+1+323x2+CОтвет: д) F(x)= 37·ln7x+1+32·3x2+C.е) fx=xx+1По определению модуля f(x)=x2+x, x>-1 -x2-x, x<-1F(x)=x33+x22+С1, x>-1 - x33-x22+C, x<-1.Поскольку F(x) непрерывна на R, то F(-1)=limх→-1F(x), а значит :-13+12+С1=13 - 12+С, С1=С-13Заменим С1 на разность С-13.Ответ: е) F(x)= x33+x22-13+C, x≥-1 - x33-x22+C, x<-1.2 Задание: Найдите: а) x2x+x2dx
б) cos2x1-sinxdxв) dx1+cosx г)(1+x)2xdx д)cos2x+2cosx-33+cosxdx е)x4x2+4dx
ж)14x+1+4x-2dx Решение:
а) x2x+x2dxПреобразовав подынтегральное выражение, получим:
x2x+x2dx=(2+x22)dx=2dx+12x2dx=2x+12 · x33+C=2x+x36+C.
Ответ: 2x+x36+C.
б) cos2x1-sinxdx=1-sin2x1-sinxdx=(1+sinx)dx=x-cosx+C.Ответ: x-cosx+C.в) dx1+cosx=dx2cos2x2= 12dxcos2x2= 12 ·2·tqx2+C= tqx2+C.
Ответ: tqx2+C.
г)(1+x)2xdx=1+(x)2+2xxdx=1xdx+2dxx+dx=lnx+4x+x+C.Ответ: lnx+4x+x+C. д)cos2x+2cosx-33+cosxdx Решим квадратное уравнение относительно cosx, заменив его на а:cosx=а. Перешли к новой переменной: а2+2а-3=0.Решая его, получим корни 1 и-3. Разложим квадратный трехчлен на множители и получим:
cos2x+2cosx-33+cosxdx=(cosx-1)·(cosx+3)3+cosxdx=(cosx-1)dx= sinx – x + C.
Ответ: sin x – x + C.
е)x4x2+4dx =x4+16-16x2+4dx =x4-16x2+4dx +16dxx2+4=(x2-4)dx+16dxx2+4=x33-4x+16·12·arctqx2+C=x33-4x+8arctqx2+C.Ответ: x33-4x+8arctqx2+C. ж)14x+1+4x-2dx Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, получим:
14x+1+4x-2dx=4x+1-4x-2(4x+1-4x-2)(4x+1+4x-2)dx==4x+1-4x-2(4x+1)2-4x-22dx=4x+1-4x-23dx=134x+112dx-134x-212dx==13·14·4x+13232-13·14·4x-23232+C=118·(4x+1)3-(4x-2)3+CОтвет: 118·(4x+1)3-(4x-2)3 +C.3.Задание:Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А:
а) f(x)=cosx·cos5x, A- π4;124.б) f(x)=6x2-162-x3, A (3; 55).
Решение:
а) f(x) = cosx·cos5x Найдем общий вид первообразной для функции:
Fx=cosx·cos5x dx=12(cos6x+cos4xdx=12cos6xdx +12cos4xdx=112sin6x+18sin4x+C.
Для того, чтобы их всех первообразных выбрать ту, которая проходит через заданную точку, решим уравнение: F(x0)+C=y0.
112sin(-3π2)+18sin4(-π)+C = 124112+C = 124C= - 124.
Ответ: Fx=112sin6x+18sin4x+124.
б) f(x)=6x2-162-x3Fx=(6x2-162-x3)dx=6x2dx-16dx2-x3=6·x3 3 - 1 6·(-3) ·2·2-x3+C=2x3+2-x3+C.
Первообразная проходит через точку А(3;55), значит:
2 ·33+2-33+C=55[
55+С=55, С=0.
Ответ: Fx=2x3+2-x3.
2.Определённый интеграл.
Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке а;в, то определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке равен приращению любой её первообразной Fx на этом отрезке: авf(x)dx=Fxab=Fb-Fa.4. Задание: Вычислите интеграл:
а) 08x3x dx
б) 1eedxxРешение:
а) 08x3x dx= 08x43 dx=x7373 08=37 ·873 - 37 ·073=37·128=5467Ответ: 5467 .б) 1eedxx= lnx|1ee=lne-ln1e=2Ответ: 2.
Основные правила вычисления определённого интеграла:
1.авk·f(x)dx=k·авfxdx2. ав(fx±qx)dx=авfxdx±авqxdx3. авfxdx=аcfxdx+cвfxdx, где с∈а;в4. авfxdx=-ваfxdx5. ааfxdx=05. Задание: Вычислите:
а) 28dx0,5x-5 б) -12(x2-6x+9)dx в) 121-8x31-2xdxг) 122x5-x3-8x3dx д) 0π2sinx3cosx3dx е) 0π4tq2xdx
ж)02πsin2(3π2+x4) dx
Решение:
а) 28dx0,5x-5 = 2ln0,5x-5|28=2ln1-2ln4=-ln16.
Ответ: -ln16.б) -12x2-6x+9dx Решим квадратное уравнение и разложим квадратный трехчлен на множители. Получим два одинаковых корня, равных 3. Тогда имеем интеграл от функции x-3²:
-12x2-6x+9dx =-12x-3²dx=x-333|-12=-13+643=21.Ответ: 21.
в) 121-8x31-2xdx Преобразуем числитель по формулам сокращённого умножения (разность кубов). Имеем функцию: 1-8x3=1-2x∙ (1+2 x+4x2).А теперь найдём первоообразную и ов)тель по формулам сокращённого умножения. вычислим интеграл:121-8x31-2xdx=12(1-2x)∙(1+2 x+4x2)1-2xdx=121+2 x+4x2dx=x+x2+4x33|12=2+4+322-1+1+43=1313.Ответ: 1313.
г) 12 2x5-x3-8x3dx
Разделим числитель на знаменатель почленно, имеем:
122x5-x3-8x3dx = 122xx35dx-12xx33dx -128dxx3= 212x2dx-12dx-812dxx3 =2x33 |12-x|12-4x2 |12=23 .
Ответ: 23 .
д) 0π2sinx3∙cosx3dxПрименив тригонометрическую формулу синус двойного угла, имеем:
0π2sinx3∙cosx3dx = 1 2 0π2sin2x3dx= 12 ∙32 ∙(- cos2x3 ) |0π2=- 34∙cos2x3 |0π2=- 34∙cosπ3+ 34∙∙cos0=38 . Ответ: 3 8.е) 0π4tq2xdx = 0π4sin2xcos2xdx= 0π4 1-cos2xcos2xdx=0π4 (1cos2x- 1)dx= (tqx-x)|0π4 = tqπ4-π4-tq0-0=1-π4 .
Ответ: 1-π4 .
ж)02πsin23π2+x4dx=02πcos2x4dx=12 02π(1+cosx2)dx = 12(x+2sinx2 ) |02π =12(2π+2sinπ ) - 12(2∙0+2sin0 )=π.
Ответ: π.
6.Задание: Вычислить:
а) 019x2-1-3x+13x+1dx б)01ex+e-1ex-1 dx в) 02x2-2x+1 dx г) -21(x+1+x)dx
а) 019x2-1-3x+13x+1dx=019x2-13x+1dx-013x+13x+1dx=013x-1-13x+1dx=(3x22- x-233x+1) |01= (32 -1- 43 ) – (0 – 0 – 23 )=- 16 .Ответ: - 16 . б)01ex+e-1ex-1 dx=01( exex-1+e-1ex-1) dx =01(e+e-x) dx=ex-e-x |01=e-1e+1.
Ответ: e-1e+1.
Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаком модуля, то вычисление определённого интеграла с данными пределами интегрирования можно свести к вычислению суммы определённых интегралов с подынтегральными функциями, не содержащими переменную под знаком модуля.
в) 02x2-2x+1 dx=02x-1dx x-1={x-1. x≥11-x. x<1
Воспользуемся свойством 3определённого интеграла:
02x-1dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx=x-x22|01+x22-x|12=(1-12 - 0)+
+ (2 – 2 - 12 +1) = 1.
Ответ: 1.
г) -21x+1+xdx х+1 _ + +
……………………-1……...…………………0………………………………>х
х _ _ +
x+1+x={-2x-1, x≤-11, -1<x<02x+1, x≥0Воспользуемся правилом 3 определённого интеграла:
-21x+1+xdx =-2-1(-2x-1)dx+-10dx+01(2x+1)dx=(-x2-x)|-2- 1+x|-10+x2+x|01=-1+1+4-2+0+1+1+1-1=5Ответ: 5.
Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием свойств первообразных и интегралов.
7.Задание: При каком значении а выполняется равенство:
а201-2x3dx=-43
Решение:
а201-2x3dx=-43 Имеем уравнение , правая часть которого есть определённый интеграл, левая- число. Правую часть уравнения вычислим относительно параметра а:
а201-2x3dx=13а20(1-2x)dx=13(x-x2)|a20=13a-a2-13a2-a24=2a-3a212Подставим значение интеграла в уравнение, имеем:
2a-3a212=-432a-3a2=-16-3a2+2a+16=0 3a2-2a-16=0a1=-2; a2=83 .
Ответ: a1=-2; a2=8 3 .
8. Задание: Решить неравенство: x2-x-12 - 0xdz<x·0π2cos2xdx.
Решение:
Вычислим каждый интеграл.
1)0xdz=z|0x=x2) 0π2cos2xdx=12sin2x|0π2=12sin2∙π2-sin0=0.
3) x2-x-12 –x<0Решаем методом интервалов:
f(x)= x2-x-12 -x О.Д.З.:-∞;-3∪4;∞.x2-x-12=x, x≥0x2-x-12=x2 →x=-12 – не удовлетворяет условию.
____+________-3________________________4______-_____________
Ответ: x ∈4;∞.9. Задание: Найдите все числа b>1, для которых 1bb-4xdx≥6-5b.Решение:
1bb-4xdx=(bx-2x2) |1b=b2-2b2- b-2= -b2-b+2-b2-b+2≥6-5bb2-4b+4≤0(b-2)2≤0 →b=2Ответ: b=2.
10. Задание: Найдите все числа А и В , при которых функция вида f(x)=A ∙sinπx+B удовлетворяет условиям: f ' (x)=2 и 02fxdx=4Решение:
f(x)=A ∙sinπx+B→: f ' (x)=Аπcosπхf ' (1)=Аπcosπ=2→-Аπ=2→А= - 2π02(A ∙sinπx+B) dx=02((-2π) ∙sinπx+B) dx=- 2π ∙ 1π-cosπх+Вх|02=- 2π2∙-cos2π+2В- - 2π2∙-cos0-0=2В.Тогда : 2В=4, В=2.
Ответ: А= - 2π;В=2.11. Задание: При каких значениях параметра а значение интеграла 0а(1-2x) dx максимально?Решение:
0а1-2x dx =(x-2x22)|0а=а-а2-14+14=-(а-12)2+14. Значение интеграла максимально, при а-12=0, т.е. а=12.Ответ: а=12.

III. Приложения определенного интеграла.

1.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
а) y=x2+1 , y=0 , x=-1 , x=2
б)y=√x, y=0 , x=1 , x=4 5. a) y=√x-1 , y=1 , y=0 , x=0
б) y=1х2, y=1 , y=4 , x≥0
a) y=-x2 , y=0 , x=3
б) y=3√x , y=0 , x=-1 6. y=x2, y=1х2 (x≥0) , y=0 , x=5
a)y=4x-x2 , y=0 , x=0 , x=5
б)y=cosx, y=0 , x=-5π6 , x=π 7. y=√x , y=|x-2|
4. а) y=1х , y=x , x=2
б) y=x+3 , y=x2 + 1
в) y= sinx , y=cosх, x=0
г) y=2х, y=х22 д) y=9/x2 , y=-x-2 , x=-2
е) y=-2+|x|, y= -x2
8.а) y=х3 - 4x , y=0


Вычисления объемов тел вращения
9.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y=√x+1 , x=0 , x=1 , y=0
12. Найдите объем тела , полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью ординат и прямой у=1.
10.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой х∙у=2 , прямыми: х=1 , х=2 и осью абсцисс.
13.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=х2 , у=2-х , у=0.
11.Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: у=х∙|x-2| , x=0 , x=3, y=0.
14.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=√7∙х3 , у=0 , х=-1 и х=1.

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла общим методом.
Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод вычисления площадей фигур.
Определение. Фигура, ограниченная прямыми y=0, x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a;b] функции f(x), называется криволинейной трапецией.
Sф= QUOTE

1.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=x2+1, y=0, x=-1, x=2.
б) y= QUOTE x, y=0, x=1, x=4.
в) y=1(х+1)2 QUOTE , y=0 , x=1, x=2.
Решение:
а) y=x2+1,y=0,x=-1,x=2

Sф =-12(x2+1)dx = QUOTE QUOTE (x33+x)|-12= ( 83 QUOTE + 2) - QUOTE =3+3=6
Ответ: 6.
б) y=x, y=0, x=1, x=4

Sф=14 xdx=23 x32 |14 QUOTE = 23 · (432-1)= 23 ·7=143Ответ: 143 .в) y= QUOTE 1(х+1)2, y=0, x=1, x=2

Sф=121(x+1)2= QUOTE 12(x+1)-2dx= -1x+1| 12 =- 13+12=16. QUOTE
Ответ: 16.
2. Рассмотрим случай, когда у= fx, х∈а,в- неположительная непрерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу:
Sф=-abf(x)dx.
2.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=-x2, y=0 , x=3.y=3x , y=0 , x=-1.Решение:
y=-x2, y=0 , x=3
Sф=-03-x2dx=-03x2dx=x33|03=9.Ответ: 9.
y=3x , y=0 ,x=-1
Sф=-033x dx=34x43|-10=34Ответ : 34.3.Пусть функция f(x) непрерывна на a;b и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае отрезок a;b разбивается на части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак. Затем вычисляются соответствующие этим частям площади по приведённым выше формулам. После этого полученные результаты складываются. Sф=-acfxdx+ cbf(x)dx
3.Задание: Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями :
y=4x-x2, y=0 , x=0 , x=5y=cosx , y=0 , x=-5π6, x=πРешение:
y=4x-x2 , y=0 ,x=0 ,x=5Sφ=-04(4x-x2 )-45(4x-x2 )dx=2x2-x33|04-2x2-x33|45=32-643-0-50-1253-32+643=13
Ответ: 13.
y=cosx , y=0 ,x=-5π6 , x=π
Sф=-5π6π2cosxdx+π2π2cosxdx-π2πcosxdx=-sinx|5π6π2+sinx|π2π2-sinx|π2π=1-12+1+1-0+1=4-12=72Ответ: 72.
4.Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f(x) и g(x) , а так же двумя прямыми x=a и x=b, где f(x)≥g(x) на отрезке [a;b] находиться по формуле: Sф=-ab(fx-g(x))dx
Замечание. Если известно,что график одной из функций f(x ) или g(x) лежит выше другого,то можно не выяснять какой именно, а воспользоваться формулой :
Sф=|-abfx-gxdx|4.Задание: Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями:
a) x=1x, y=x , x=2 б) y=x+3, y=x2+1 в) y=sinx, y=cosx , x=0 г) y=2x , =x22 д) y=9x2, y=-x-2 , x=-2е) y=-2+x, y=-x2Решение:
a)x=1x ,y=x,x=2Найдём точки пересечения графиков заданных линий:
y=1xy=x⇒ 1x=x , x2-1=0, x1=1, x2=-1-не удовлетворяет условиюSф=-12(x-1x)dx=(x22-ln⁡|x|)|12=(2-ln2)-(12-1ln1)=32-ln2Ответ: 32-ln2.б) у=x+3, y=x2+1Найдём точки пересечения графиков заданных линий:
х22x2-x-2=0x1=-1x2=2Sф=-12x+3-x2+1dx==-12-x2+x+2dx=-13x3+12x2+2x|-12=-83-2+4+13+12-2=8-12-3=92Ответ: 92.
в) y=sin x, y=cosx, x=0Решение:
Найдём точки пересечения графиков функций : y=sin x, y=cosxsin x=cosx | ÷cosx≠0 tq x =1 → x=π4.Sф=0π4cosx-sin xdx=(sin⁡x+cosx)|π40=sin π4+cosπ4-sin 0+cos0=22+22-1=2-1.Ответ: 2-1.г) y=2x , у=x22Область определения функции y=2x есть x ∈0; ∞.Найдем точки пересечения графиков функций:
x22=2x→2x=x44 →2x1-x38=0→x1=0, x2=2.Sф=02(2x- x22)dx=(12 ∙2x3232 – x33∙2 )|20 =( 2x323 – x36 )|20 =| 4323 - 236 - 2∙0323 - 036 |=83-86= 43.
Ответ: 43.д) y=9x2, y=-x-2 , x=-2Sф=S1-S2=-3-2(9x2+x+2)dx=( -9x+x22+2x)|-2-3== -9-2+-222+2∙-2- -9-3+-322+2∙-3=-2+3=1. Ответ: 1.
е) y=-2+x, y=-x2Решение:
Sф=2S1=201(-x2+2-x)dx=2∙( -x33+2x-x22)| 10=2∙-13+2-12=2∙76=73.Ответ: 73.5.Если фигура ограничена прямыми : у=с, у=d (d>0), осью Оу и графиком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у=f (x) ( x>0), то её площадь вычисляеися по формуле:Sф=сdφxdx, φx- это обратная функция к у=f x. 5 Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у= x-1 ,у=1, у=0, x=0.
б) у=1x2, у=1, у=4, x≥0.
Решение:
а) у= x-1 ,у=1, у=0, x=0.
Найдём функцию, обратную данной у=x-1 : x2=у-1, у=x2+1-обратная функция.Sф=01(x2+1)dx=( x33+x)| 10=13+1-0=43.Ответ: 43.б) у=1x2 , у=1, у=4, x≥0.
Найдём функцию, обратную данной у=1x2 : х=1у2 , у=1x , x>0.Sф=14dx x=2 x| 41=4-2=2.Ответ: 2.
6.Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.
6. Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=x2, у=1x2 , при условии x≥0,у=0, х=5.
Решение:
Кривые у= x2 и у=1x2 , при условии x≥0 пересекаются в точке х=1.
Sф=S1+S2=01 x2dx+151 x2dx= x33 10-1 x51=13-0-15-1=1715.Ответ: 1715.7.Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х , у=х-2.Решение: По определению модуля имеем: y=х-2, при x≥2y=2-x, при х<2 Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения:
y=х y=х-2 , х=х-21)х=х-2, если х≥2х = х2-4х+4
х2-5х+4=0
х1=4, х2=1<2-не удовлетворяет услолвию.2) х=2-х, при х<2 х2-5х+4=0
х1=1, х2=4>2-не удовлетворяет услолвиюИскомая площадь равна:
Sф=SАВСД-S∆АВЕ-S∆ЕСД=12хdx-122-хdx-24х-2dx=23 ∙х3| 21-(2х-х22) | 21-(х22-2х)| 42=163-23 –4-2-2+12-8-8-2+4=143-12-2=136 ∙Ответ: 136. 8.Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х3-4х, у=0.б) у = 1х+1, у=1, х=- 34, х=0.в) у = х2+2х+2, у= 2+4х-х2
Решение:
у = х3-4х, у=0Найдем нули функции: х3-4х=0=>х∙х2-4=0 =>х1=0, х2=2, х3=-2.Функция у = х3-4х будет иметь постоянный знак на промежутах-2;0 и 0;2.у = х3-4х≥0, если х∈-2;0у = х3-4х≤0, если х ∈0;2. Sф=-20(х3-4х)dx-02(х3-4х)dx=х44-2х20-2-х44-2х2-20=0-4+8-4-8-0=8.Ответ:8
Вычисление объемов тел вращения
Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями Y=f(x) (f(x)>0) , x=a , x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле: V=πabf2xdx27305132080


9.Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y=x+1, x=0, x=1, y=0
Решение:


Воспользуемся формулой объема тела вращения:
V=π01(x+1)2dx=π01x+1dx=π(x22+x) |01=π12+1=3π2.Ответ: 3π2.10.Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy=2, прямыми х=1 , х=2 и осью абсцисс.
Решение:
-17780019685
V=π12(2x)2dx=4π12dxx2= 4π∙(-1x)|12=4π∙-12+1=2π.Ответ: 2π.11.Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: y=x|x-2| , x=0 , x=3 , y=0.
Решение:
V= π03(xx-2)2dx=π03x2(x-2)2dx=π03(x2-2x)2dx=π03(x4+4x3+4x2)dx=πx55-x4+4x33|03=π2435-81+36=3,6π.Ответ: 3.6 π.12.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью ординат и прямой у=1.
Решение:
22225375920
Искомый объем состоит из разности объемов цилиндра, полученного вращением квадрата ОАВС вокруг оси Ох и фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью Ох и прямой х=1.
Поэтому: V=π0112dx-π01x4dx=πx-πx55|01=π-π5=4π5Ответ: 4π5.13.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=х 2 , у=2-х, у=0.
Решение:
-31178545720
V=V1+V2=π01x4dx+π12(2-x)2dx=π(x55|01-(2-x)33|12)=π15-0-0+13=8π15.Ответ: 8π15.14.Задание: Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=√7∙х3 , y=0 , x= -1 и х=1.
Решение:
-30670514605
V=2∙V1=2π017x6dx=2π∙7∙17|01=2π∙7∙x77|01=2π∙x7|01=2π.Ответ: 2π.4.Приложение определённого интеграла к решению физических задач
IV. Технология работы над тестовыми заданиями.

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=х2-4, отрезком -1;2 оси Ох и прямой х=-1.Решение:
1)График функции у=х2-4можно получить, построив параболу у = х2-4 и симметрично отразив ту часть графика, которая лежит ниже оси абсцисс Ох относительно данной оси. 2)Функцию f(x)=|x2-4| можно переписать в виде:
F(x)=x-424-x2еслиеслих ∈ -∞;-2∪[2;∞)х ∈ -2;2Из условия задачи следует, что нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной функцией у=4-2 ∙x2 на отрезке [-1;2];
S=-12(4-2∙x2)dx=4x-13x3|-12 =8- 83=-4- -13=12 - 83 - 13 =9
Ответ: 9.
2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х , у=4-х , у=0
Решение:
Построим схематично графики данных функций в одной системе координат.
Вычислим абсциссы точек пересечения графиков функций:
х=4-х Х=2
Найдем площадь фигуры:
S=s1+s2=02хdx+244-хdx=23xx|02+- 23(4-x) 4-х|27= 423 - 23(0-22)=823Ответ:8233. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой х=0, графиком функции у=4х-х2 и касательной к этому графику в точке с абсциссой х0=3
Решение:
1)Найдем касательную к графику функции у=4х-х2 в точке с абсциссой х0=3
У(3)=12-9=3
у'(х)=4-2х =>у'34-6=-2Уравнение касательной: у=-2(х-3)+3=-2х+9
2) Схематично изобразим графики функций у=4х-х2 и у=-2х+9.
S=03(-2x+9)dx-034x-х2dx=03(-2x+9-4x+х2)dx=03(х2-6x+9)dx=03(x-3)2dx=(x-3)23|03=0-(-9)=9
Ответ: 9.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=х2-2x+1 и графиком ее производной f'(x)Решение:
1)f'x=2х-2 2)Найдем точки пересечения графиков функций f(x) и f'(х):
х2-2х+1=2х-2х2-4х+3=0х1=1 ;х2=3 Точки пересечения (1;0) и (3;4).
3)Схематично изобразим графики функций у=х2-2x+1 и у=2х-2
S=132x-2dx-13(х2-2x+1)dx=13(2x-1-(x-1)2)dx=(x-1)2-(x-1)33|13=4 -83 = 43Ответ: 435. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=3х2,у=5-2х2Решение:
1)Найдем точки пересечения графиков функций:
3х2=5-2х2х2-1=0х 1,2=±1
Точки пересечения (-1; 3)и(1;3).
2)Схематично изобразим графики функций у=3х2 и у=5-2х2.S=-115-2х2-3х2dx=-11(5-5х2)dx=201(5-5х2)dx=10-11(1-х2)dx=
=10x-х33|01=101-13=203Ответ: 2036.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2+2х+3, у=3-х
Решение:
1)Найдем точки пересечения графиков функций:
-х2+2х+3=3-1х2-3х=0х 1,=0; х 2=3
Точки пересечения: (0;3)и(3;0).
2)Схематично изобразим графики функций у=-х2+2х+3 и у=3-х
S=03-х2+2х+3dx-03(3-х)dx=03(-х2+2х+3-3+х)dx=03(3х-х2)dx=3х22- х33|03=2712-13=27*16 = 92Ответ: 927.При каких значениях параметра а верно равенство:
0аcosxdx=1?Решение:
1)Найдем интеграл: 0аcosxdx=sinx|0a=sina
2)Решим тригонометрическое уравнение:
Sina=1
a=π2+2 πn; n∈zОтвет: a=π2+2 πn; n∈z.
8.При каких значениях параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями у=х3,у=0,х=a (a>0) равна 4?
Решение:
1)Площадь фигуры, ограниченной линиями у=х3 и х=a (a>0) есть интеграл
0ах3dx=x44|0a=a442)Решим уравнение:
a44=4a4=16 =>a = ±2Согласно условиям задачи a>0,следовательно а=2
Ответ: 2.
9.При каких значениях параметра а верно неравенство 0аsinxdx>0?Решение:
1)Найдем интеграл:0аsinxdx=(-cosx)|0a=-cosa+1=1-cosa.
2)Решим неравенство:
1-cosa>0 =>cosa<1
Поскольку функция cosx принимает только значения из интервала -1≤cosx≤1,
полученное неравенство равносильно соотношению:
cosa≠1 =>a≠2πn ; n∈ZОтвет: а≠2πn; n∈Z.
10.При каких значениях параметра а значение интеграла 0а(1-2х)dx максимально?Решение.
1)Найдем интеграл: 0а(1-2х)dx=(х-х2)|0a=а-а2.
2)Определим точки максимума функции f(a)=a-а2,приняв ее первую производную
f'(a)=1-2a к нулю:
1-2а=0 => a=123)Исследовав знак производной, получаем, что a=12 – точка максимума
Ответ:12 Для решения следующих задач воспользуемся свойством:
Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x) (f(x)≥0),x=a, x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляете по формуле:
V=πabf2(x)dx
11.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=x+1 , x=0, x=1, y=0.
Решение:
По формуле объема тела вращения:
V=π01(x+1)2dx=π01(х+1)dx=πx22+x|01=π32=3π2Ответ:3π212.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=х2, х=1, х=2, у=0.
Решение:
По формуле объема тела вращения:
V=π12(х2)2dx=π12х4dx=π x55|12=π32-15=31π5Ответ: 31π513.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=1-х2, у=0
Решение:
Парабола у=1-х2пересекает ось Ох при х=-1 и х=1, поэтому объем тела вращения равен:
V=π-11(1-х2)dx= 2π01(1-х2)2dx=2π01(1-х2+x4)dx=2πx-23х3+х55|01=2π1-23+15=16π15Ответ: 16π1514.Вычислите интеграл 02х2-2x+1 dxРешение:
02х2-2x+1 dx=02(х-1)2dx=02x-1dx=011-xdx+12x-1dx=x-х22|01+х22-x|12=12+0--12=1
Ответ: 1.

Резюме
«Основы математического анализа» - единственный раздел математики, изучаемый в школе, который не относится к элементарной математике. Основным объектом изучения данного раздела является числовая функция. В пособии вы ознакомились с первообразной функции f(x) и её применением, нахождением неопределённого интеграла, с определённым интегралом и его приложениями при решении задач.
В начале пособия описаны методы нахождения первообразной и неопределённого интеграла. Подробно с многочисленными примерами, изложены методы вычисления табличных интегралов. При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к «табличным». В заключительной части дано приложение определённого интеграла к решению задач.
Особенность математического анализа - кинематический подход к функции, где основной акцент делается на изучение изменения функции в независимости от изменения аргумента. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традиционных курсах ВУЗов. Такой подход должен облегчить преемственность перехода от школьной программы к методике изложения математического анализа в ВУЗах.

Глоссарий по дисциплине
Список принятых сокращений
в. (вв.) — век (века)
г. (гг.) — год (годы) др. — другой, другие
и т.п. — и тому подобное
лат. — латинский
мин — минута
млн — миллион
млрд — миллиард
пр. — прочий
с — секунда
с. — страница
т. — том
т.е. — то есть
т.к. — так как
т.н. — так называемый
А
Аксиома – предложение, не требующее доказательства.
Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира, который даёт законченное, логически стройное построение научной теории.
Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными
величинами и решение различных уравнений, связанных с этими действиями.
Алгебраическое уравнение– это уравнение вида Р(x,z,.,…,к,е)=0, где Р – это многочлен, х,у,…е – переменные.
Алгоритм – это точное предписание определяющее процесс перехода от исходных данных к искомому результату.
Асимптота кривой -это прямая, в которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.
В
Вероятность – числовая характеристика возможности появления случайного события в определённых условиях, которые могут быть воспроизведены.
Теория вероятностей – наука о вычислении вероятностей случайных событий.
Выпуклая фигура – эта фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые её две точки.
Г
Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами, некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.
Группа – одно из основных понятий математики.
Множество G , в котором задана некоторая операция, соответствующая двум элементам а, в из этого множества G некоторый элемент а * в того же множества G, наз. группой, если выполняются следующие свойства:
1. а* (в* с)= (а * в ) *с, для любых а, в, с из G
2.существует нейтральный элемент е из G, такой, что а * е =а и е* а = а, для любого а.
3. существует обратный элемент аֹ из G, такой, что а* аֹ = е и аֹ* а = е, для любого а.
Д
Делимость. Говорят, что целое число а делится на число в, если существует целое число с, что а = в · с.
Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.
Е
Единица – это первое число натурального ряда чисел, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Евклида алгоритм – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.
К
Комбинаторика – раздел математики, который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Комплексные числа - числа вида а + в · i , где а и в- действительные числа, i- мнимая часть, где i · i= -1.
Л
Логика – это наука, изучающая такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предположения.
М
Математическая индукция – метод доказательства, при котором используются индуктивные рассуждения (от частных заключений переходим к общим).
Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений.
Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования (отвлечения) от всех других свойств.
Многоугольник – часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной A¸ В , С ¸ …, М¸ не имеющей точек самопересечения. Звенья ломаной – отрезки- стороны многоугольника; точки А,В,С…,М – вершины многоугольника; - углы многоугольника.
Многогранники – простейшие тела в пространстве.
Множество – это неопределяемое понятие. Математик Кантор о нём сказал так,
« Множество- это многое, мыслимое как единое целое».
Н
Наибольший общий делитель (НОД) – это наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из целых чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) - это наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел.
Необходимое и достаточное условие – форма записи и осмысления математической теоремы.
Неравенство – это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: «> - больше», «< - меньше», «- больше или равно», « - меньше или равно».
О
Объём – величина, характеризующая размер геометрического тела.
Окружность и круг. Кругом с центром в точке О и радиусом r наз. множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние не больше r. Круг ограничен окружностью - множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние равное r.
Определение – математическое предложении, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий.
Определитель – число, поставленное по определённому правилу в соответствие квадратной матрице.
П
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр.
Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры.
Поле – множество элементов, для которых определены арифметические операции.
Последовательность - считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие элемент х(п) некоторого множества.
Пропорция – равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин.
Процент – сотая часть числа.
Р
Расстояние – длина отрезка между заданными точками.
Ряд – это выражение вида , составленное из чисел х, , которые называются членами ряда.
С
Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.
Софизм – это доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована.
Т
Теорема – это высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства.
Тождество – это запись вида АВ, где А,В – выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М.
У
Уравнение – это выражения, соединённые знаком равенства.
ФФакториал – так называют встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Обозначается она: п! = 1·2·3·4·5·…·п.
Формула – комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.
Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Ц
Цифры – условные знаки для обозначения чисел.
Ч
Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения.
Рекомендуемые сборники задач и упражнений
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.
Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.
Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.
Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.
Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.
Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.
Список рекомендуемой литературы
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.
Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.
Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.
Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.
Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.
Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.