Контрольно-измерительные материалы по дисциплине ОДБ.06Математика
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» г. ОРСКА
Рассмотрено Утверждено
на заседании кафедры естественно-математических дисциплин
____________________
Протокол № ______ от
«___» _________20__г.
Зав. кафедрой ________
Зам. директора по учебной работе
_____________________
«____» _________ 20__г
_____________________
Контрольно-измерительные материалы
для проведения промежуточной аттестации
по учебной дисциплине общеобразовательного цикла
ОДБ. 06 «Математика», входящей в структуру ППССЗ
для специальности:
49.02.01 Физическая культура
очной формы обучения
Форма проведения оценочной процедуры:
дифференцированный зачет (в I семестре);
экзамен (II семестр),
дифференцированный зачет (в III семестре);
экзамен (IV семестр)
2015
Разработчики:
ГАПОУ «Педколледж» г.Орска преподаватель математики Ю.В.Деревяшкина
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u
I. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств 1.1. Результаты освоения программы учебной дисциплины PAGEREF _Toc307291357 \h 4II. Оценка освоения учебной дисциплины62.1. Формы и методы оценивания6III. Контрольно-оценочные материалы для дифференцированного зачета63.1. Комплект заданий для студентов63.2. Бланк ответа для студента373.3. Комплект для преподавателя, принимающего дифференцированный зачет17IV. Контрольно-оценочные материалы для экзамена194.1. Комплект заданий для студентов194.2. Бланк ответа для студента384.3. Комплект для преподавателя, принимающего экзамен22V. Контрольно-оценочные материалы для экзамена235.1. Комплект заданий для студентов235.2. Бланк ответа для студента395.3. Комплект для преподавателя, принимающего экзамен29VI. Контрольно-оценочные материалы для экзамена256.1. Комплект заданий для студентов256.2. Бланк ответа для студента396.3. Комплект для преподавателя, принимающего экзамен31
I. Паспорт комплекта оценочных средств
1. 1. Область применения комплекта оценочных средств:
Комплект оценочных средств предназначен для оценки результатов освоения учебной дисциплины общеобразовательного цикла ОДБ. 06 Математика, реализуемой в соответствии основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальности СПО:
49.02.01 Физическая культура
1. 2. Результаты освоения программы учебной дисциплины
В результате освоения дисциплины у обучающегося проверяются следующие знания и умения:
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
знает:
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в тоже время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
УМЕЕТ:
выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
- понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежат знания по данному учебному предмету;
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции
строить графики изученных функций;
описывать по графику И В ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЯХ ПО ФОРМУЛЕ <*> поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
- решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
- вычислять производные И ПЕРВООБРАЗНЫЕ элементарных функций, используя справочные материалы;
- исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов И ПРОСТЕЙШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ с использованием аппарата математического анализа;
- ВЫЧИСЛЯТЬ В ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЯХ ПЛОЩАДИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРВООБРАЗНОЙ;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, ПРОСТЕЙШИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ИХ СИСТЕМЫ;
- составлять уравнения И НЕРАВЕНСТВА по условию задачи;
- использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
- изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- построения и исследования простейших математических моделей;
- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
- вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
- анализа информации статистического характера;
- распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
- описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, АРГУМЕНТИРОВАТЬ СВОИ СУЖДЕНИЯ ОБ ЭТОМ РАСПОЛОЖЕНИИ;
- анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;
- изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
- СТРОИТЬ ПРОСТЕЙШИЕ СЕЧЕНИЯ КУБА, ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ;
- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
- использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
- проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
- вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства;
- понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежат знания по данному учебному предмету:
II. Оценка освоения учебной дисциплины
2.1. Формы и методы оценивания
Предметом оценки освоения учебной дисциплины являются умения и знания.
Контроль и оценка этих дидактических единиц осуществляются с использованием формы очного письменного тестирования.
Оценка освоения учебной дисциплины предусматривает проведение дифференцированного зачета в 1-м семестре, экзаменов во 2-м и 3-м семестрах по учебной дисциплине.
III. Контрольно-оценочные материалы для дифференцированного зачета
3.1. Комплект заданий для студентов
Текст задания: выполните тест.
Инструкция: Тест состоит из двух частей. Часть 1. включает 8 заданий. К каждому заданию дается 4 варианта ответа, один из которых - верный. Часть 2. состоит из 5 заданий, требующих подробного решения и краткого ответа.
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене основными формулами по математике.
Критерии оценки:
В ЧАСТИ 1. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если студент указал код правильного ответа. Во всех остальных случаях (выбран другой ответ; ответ на вопрос отсутствует), задание считается невыполненным.
В ЧАСТИ 2. Задание с решением считается выполненным верно, если правильно записано решение и ответ в задании. Во всех остальных случаях (неправильное решение; ответ на задание отсутствует; нет решения задания), задание считается невыполненным.
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
За каждое задание по 1 баллу, за задание Д-2 балла
Число баллов, которое надо набрать для получения оценки
Удовлетворительно
(3) Хорошо
(4) Отлично
(5)
Обязательная часть 11-14 15 16
Дополнительная часть - 2-4 4-5
Итого 11-14 17-19 20-21
1 вариант
Часть 1 В каждом задании выберите один из вариантов ответа.
А1. а)Гleft0рафик какой из функций , у= изображен на рисунке. Определите функцию и
(Д) опишите ее свойства:
А) ; Б) ; В) ; Г) у= .б)
в)
А2.Найдите значение выражения :
А) 0,3; Б) 0,258; В) 0,7; Г) найти невозможно.
А3.Найдите корень уравнения
А) 7; Б) 12; В) 7; Г) 27.
А.4.Упростить выражение :
А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.5.Упростить выражение : А) ; Б) ; В) ; Г) .
А.6.Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: :А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.7.(Д) Решите уравнение :
А) решения нет; Б) –4 или ; В) ; Г) – 4.
А.8. (Д) Упростить выражение : А) а2; Б) а; В) ; Г) другой ответ.
Часть.2
В.1. а)Вычислить: cos π - sin( - 5π / 2) + tg² (4π / 3).
1) √3 2) 3 3) √3 – 2 4) 1
б) Найдите , если и
в) Выразите в радианной мере величину угла в 54о
г) Выразите в градусной мере величину угла в 4π/5
В.2 Найдите корень уравнения:
log3(2x-5)=1.
В.3. Найдите х, если:
lgx=1/2 lg16+2 lg5
В.4 .Упростите выражение и найдите его значение:
√18+√50-2√2
В.5. Найдите значение выражения:
log3 (m3), если log3m=-4,52 вариант
Часть 1.В каждом задании выберите один из вариантов ответа.
left1270А.1. а)График какой из функций , у= изображен на рисунке. Определите функцию и (Д) опишите ее свойства:
А) ; Б) ; В) ; Г) у= .б)
в)
А.2. Найдите значение выражения :
А) 0,5; Б) 0,3; В) 0,159; Г) найти невозможно.
А.3. Найдите корень уравнения :
А) 39; Б) 9; В) 15; Г) 15.
А.4. Упростить выражение :
А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.5. Упростить выражение : А) ; Б) ; В) ; Г) .
А.6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: :А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.7. (Д) Решите уравнение :
А) решения нет; Б) –4 или ; В) ; Г) – 4.
А.8. (Д) Упростить выражение : А) b2; Б) b; В) ; Г) другой ответ.
Часть 2.
В.1.а) Вычислить: 6sin15º cos15º / ( 2 cos² 15º - 1).
1) 3√3 2) 3 3) 1,5√ 2 4) √3
б)Найдите , если и
в) Выразите в радианной мере величину угла в 240о
г) Выразите в градусной мере величину угла в 5π/6
В.2. Найдите корень уравнения:
log3(3x-5)=0.
В.3. Найдите х, если:
lgx=1/2 lg25+ lg20
В.4. Упростите выражение и найдите его значение:
√48+√12-√3
В.5. Найдите значение выражения:
log2 (16m), если log2m=-3,4.
3 вариант
Часть1.В каждом задании выберите один из вариантов ответа.
А.1left0. а)График какой из функций , у= изображен на рисунке. Определите функцию и (Д) опишите ее свойства:
А) ; Б) ; В) ; Г) у= .б)Поставьте в соответствие функцию и ее график функции1) у = 2х - 4
2) у = - 4
х3) у = 2х24) у = 2х + 4
А Б В
в) найдите: 1) область определения , 2)область значения, 3)промежутки убывания и 4)возрастания функции у=f(x),
А.2. Найдите значение выражения :
А) 0,5; Б) 2; В) ; Г) найти невозможно.
А.3. Найдите значение выражения :
А) 5; Б) 125; В) 15; Г) 15.
А.4. Упростить выражение :
А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.5. Упростить выражение : А) ; Б) ; В) ; Г) .
А.6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: :А) ; Б) ; В) ; Г) .
А.7. (Д) Найдите корень уравнения :
А) решения нет; Б) 7 или - 2; В) 7; Г) -2.
А.8. (Д) Упростить выражение : А) b6; Б) b; В) ; Г) другой ответ.
Часть2.
В.1. а)Вычислить: 6sin15º cos15º / ( 2 cos² 15º - 1).
1) 3√3 2) 3 3) 1,5√ 2 4) √3
б) Найдите если и .
в) Выразите в радианной мере величину угла в 320о
г) Выразите в градусной мере величину угла в 3π/4
В.2. Найдите корень уравнения:
log2(4 - x)=7
В.3. Найдите х, если:
lgx=1/2 lg625+ lg2
В.4. Упростите выражение и найдите его значение:
√12+√75-√3
В.5. Найдите значение выражения:
log2 (8m), если log2m=-2,4.
4 вариант
left375285Часть 1. В каждом задании выберите один из вариантов ответа.
А.1. а)График какой из функций , у= изображен на рисунке. Определите функцию и (Д) опишите ее свойства:
А) ; Б) ; В) ; Г) у= .б)Поставьте в соответствие функцию и ее график функции
1) у = - 1 х2 2) у = - 1
х3) у = - х2 - 2
4) у = √х
А Б В
в) Найдите:1) область определения , 2)область значения, 3)промежутки убывания и 4)возрастания функции у=g(x)
А.2. Найдите значение выражения :
А) 3; Б) ; В) ; Г) найти невозможно.
А.3. Найдите корень уравнения : А) 12; Б) 64; В) 64; Г) 12.
А.4. Упростить выражение :
А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.5. Упростить выражение : А) ; Б) ; В) ; Г) другой ответ.
А.6. Осводитесь от иррациональности в знаменателе дроби: :А) ; Б) 2; В) ; Г) .
А.7. (Д) Решите уравнение :
А) 5 или -3; Б) 5 ; В) -3; Г) другой ответ.
А.8. (Д) Упростить выражение : А) а; Б) а2; В) а8; Г) другой ответ.
Часть 2.
В.1.а) Упростите выражение: cos² (π - α) + cos²(3π/2 - α).
1) 1 2) 2 cos²α 3) 2sin²α 4) 0.
б) Найдите , если .
в) Выразите в радианной мере величину угла в 48о
г) Выразите в градусной мере величину угла в 9π/4
В.2. Найдите корень уравнения:
log5(4 + x)=2
В.3. Найдите х, если:
lgx=1/2 lg625- lg5
В.4. Упростите выражение и найдите его значение:
√48+√12-2√3
В.5. Найдите значение выражения:
log2 (32m), если log2m=-5,4.
3.3. Комплект для преподавателя, принимающего дифференцированный зачет
Количество вариантов заданий для студентов: 4
Текст задания: выполните тест.
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене справочными материалами по математике.
Инструкция:
1. Ознакомьтесь с заданиями для студентов.
2. Ознакомьтесь с критериями оценки.
Критерии оценки:
В ЧАСТИ 1. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если студент указал код правильного ответа. Во всех остальных случаях (выбран другой ответ; ответ на вопрос отсутствует), задание считается невыполненным.
В ЧАСТИ 2. Задание с решением считается выполненным верно, если правильно записано решение и ответ в задании. Во всех остальных случаях (неправильное решение; ответ на задание отсутствует; нет решения задания), задание считается невыполненным.
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
За каждое задание по 1 баллу, за задание Д-2 балла
Число баллов, которое надо набрать для получения оценки
Удовлетворительно
(3) Хорошо
(4) Отлично
(5)
Обязательная часть 11-14 15 16
Дополнительная часть - 2-4 4-5
Итого 11-14 17-19 20-21
3. Сверьте ответы студента с предлагаемым ключом:
Бланк ответов на задания теста, вариант 1 Вариант ответа 1.а 1.б 1.в 2 3 4 5 6 7 8 9.а 9.б 9.в 9.г 10 11 12 13
А/1 231 423 + + 0,96 3π/
10 144 21 5 4√3 -0,4
Б/2 + + + В/3 + + Г/4 + + Количество баллов 1+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Бланк ответов на задания теста, вариант 2 Вариант ответа 1.а 1.б 1.в 2 3 4 5 6 7 8 9.а 9.б 9.в 9.г 10 11 12 13
А/1 + 312 342 + + -3 4π/
3 150 2 100 5√3 0,6
Б/2 + + + + В/3 + Г/4 + Количество баллов 1+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Бланк ответов на задания теста, вариант 3 Вариант ответа 1.а 1.б 1.в 2 3 4 5 6 7 8 9.а 9.б 9.в 9.г 10 11 12 13
А/1 432 [-5; 4] + + + 0,25 16π/9 135 -124 50 6√3 0,6
Б/2 + [-2; 4] + В/3 (-5;-1)
(2;4)в + + + Г/4 (-1;2)у + Количество баллов 1+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Бланк ответов на задания теста, вариант 4 Вариант ответа 1.а 1.б 1.в 2 3 4 5 6 7 8 9.а 9.б 9.в 9.г 10 11 12 13
А/1 431 (-2;6) + + -√2/2 4π/15 405 21 5 4√3 -0,4
Б/2 (-3;2) + + + В/3 (0;4)в + + Г/4 + (-2;0)
(4;6)у + Количество баллов 1+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
IV. Контрольно-оценочные материалы для экзамена (II семестр)
4.1. Комплект заданий для студентов
Текст задания: выполните тест.
Инструкция: Тест состоит из двух частей. Часть 1. включает 10 заданий. К каждому заданию дается 4 варианта ответа, один из которых - верный. Часть 2. состоит из 5 заданий, требующих подробного решения и краткого ответа.
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене основными формулами по математике.
Критерии оценки:
В ЧАСТИ 1. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если студент указал код правильного ответа. Во всех остальных случаях (выбран другой ответ; ответ на вопрос отсутствует), задание считается невыполненным.
В ЧАСТИ 2. Задание с решением считается выполненным верно, если правильно записано решение и ответ в задании. Во всех остальных случаях (неправильное решение; ответ на задание отсутствует; нет решения задания), задание считается невыполненным.
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
«2» - если выполнено менее семи заданий
«3» - если выполнены любые семь - десять заданий из А1-А10 и В1-В5
«4»- если выполнены задания А1-А10 и не менее двух заданий из В1-В5
«5» - если выполнены задания А1-А10 и не менее трех заданий из В1-В5.
Вариант 1
Часть 1
А1. Упростите выражение 61,560,31,2 2) 6 3) 61,2 4) 65
А2. Вычислите 462516202) 353) 104) 15
А3. Решите неравенство: х-1(x-2)х-3 0
[1;2] (3;+ ); 2)(-;-2) (1;2]; 3)(-;-2] [1;3]; 4) (1;2) (3;+ ).А4. На рисунке изображён график функции у = f (х), заданной на промежутке (-5; 5). Каким из перечисленных ниже свойств эта функция не обладает:
функция четная;
наибольшее значение функции равно 3;
на множестве (-3; -1) ⋃ (1; 3) функция принимает отрицательные значения;
на (-5; -2] ⋃ [0; 2] – функция убывает.
А5. Найдите cos , еслиsin = - 32, < < 32- 32 2) 323) -0,54) 0,5
А6. Вычислить:
1) 2) 33) 4)
А7. Вычислить:.
2 2) 3 3) 4) 6
А8. Решить уравнение: .
х = 102) х = 8 3) х= -1 4) х= 9
А9. Решите уравнение:3х-2=3
3; 2) -3; 3) 5; 4) 2
А10. Найдите область определения функции: у = 10log3х-4(0; 81] 2) [81; + ) 3) (-; -3] [3; +) 4) [0; 81]
Часть 2
В1. Решите неравенство:
B2. Решите уравнение 4+3х+16 = x
B3. Найдите значение выражения
sin (2 + ) - cos ( - ), если cos = - 0,9
B4. Вычислите х, еслиlog 5 13 + log 5 х = log539
B5. Построить график функции и описать свойства (области определения и значения, ограниченность, четность, периодичность, монотонность, точки пересечения с осями ОХ и ОУ):
у= 2х +1
Вариант 2 Часть 1
А1. Упростите выражение k-5,2 3 k0,830,8 k-4,4 2) 3 k-63) 3 k-4,44) 30,8 k-6А2. Вычислите 50,000322430,182) 0,0063) 3,24) 0,6
А3. Решите неравенство х-2х-3(х-5) 0
[ 2; 3 ] [ 5; + ); 2) ( - ; -5 ] [ -3; 2]; 3) ( -5 ; -3 ] [ 2 ; +); 4) ( -; 2) (3; 5).
А4. На рисунке изображён график функции у = f (х), заданной на промежутке [-5; 5]. Каким из перечисленных ниже свойств эта функция не обладает:
функция нечетная;
функция убывает на промежутке [-5; 5];
наибольшее значение функции равно 4;
на множестве [-5; -3) ⋃ (0; 3) – функция принимает положительные значения.
А5. Найдите sin , если cos = 12 , 3 2 < < 2
– 342) -323) 344) 32А6. Вычислить:
4sinπ2+2tqπ3-3cosπ31) 2) 3) 4)
А7. Вычислить: .
2) 3 3) 4) 9
А8. Решить уравнение: .
х = 82) х = 7 3) х= -7 4) х= 3
А9. Решите уравнение: 5х-1=5
1; 2) -2; 3) 2; 4) 6
А10. Найдите область определения функции y = 6log2х-6(0; 64] 2) [64; + ) 3) (-; -4] [4; +) 4) [0; 64]
Часть 2
В1. Решите неравенство:
B2. Решите уравнение x + 3x+7 = 7
B3. Найдите значение выражения: sin (2 - ) + cos (2 + ), если cos = – 0,4
B4. Вычислите х, еслиlog 6 12 + log 6 х = log624B5. Построить график функции и описать свойства (области определения и значения, ограниченность, четность, периодичность, монотонность, точки пересечения с осями ОХ и ОУ):
у= 2х -1
4.3. Комплект для преподавателя, принимающего экзамен (II семестр)
Количество вариантов заданий для студентов: 2
Текст задания: выполните тест.
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене справочными материалами по математике.
Инструкция:
1. Ознакомьтесь с заданиями для студентов.
2. Ознакомьтесь с критериями оценки.
Критерии оценки:
В ЧАСТИ 1. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если студент указал код правильного ответа. Во всех остальных случаях (выбран другой ответ; ответ на вопрос отсутствует), задание считается невыполненным.
В ЧАСТИ 2. Задание с решением считается выполненным верно, если правильно записано решение и ответ в задании. Во всех остальных случаях (неправильное решение; ответ на задание отсутствует; нет решения задания), задание считается невыполненным.
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
«2» - если выполнено менее семи заданий
«3» - если выполнены любые семь - десять заданий из А1-А10 и В1-В5
«4»- если выполнены задания А1-А10 и не менее двух заданий из В1-В5
«5» - если выполнены задания А1-А10 и не менее трех заданий из В1-В5.
3. Сверьте ответы студента с предлагаемым ключом:
Номера заданий 1 вариант 2 вариант
Часть1Часть1А13 3
А23 4
А3 1 4
А42 2
А5 3 2
А61 1
А73 3
А8 2 3
А91 3
А10 2 2
Часть 2 Часть 2
В1[0; 3] (-∞; +∞)В211 3
В3 -1,8 -0,8
В43 2
В5 Dy:-∞; +∞;Е(у): (1; +∞)возрастает; ограничена х=1; не периодич.;ОХ:нет; ОУ: (0;2) Dy:-∞; +∞;Е(у): (-1; +∞)возрастает; ограничена х=-1; не периодич.;ОХ:нет; ОУ: (0;-1)
5.3. Комплект для преподавателя, принимающего дифференцированный зачет
(III семестр)
Количество вариантов заданий для студентов: 2
Текст задания: выполните задания по вариантам
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене справочными материалами по математике.
Инструкция:
1. Ознакомьтесь с заданиями для студентов.
2. Ознакомьтесь с критериями оценки.
Критерии оценки:
Задание с решением считается выполненным верно, если правильно записано решение и ответ в задании. Во всех остальных случаях (неправильное решение; ответ на задание отсутствует; нет решения задания), задание считается невыполненным.
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
«2» - если выполнено менее девяти заданий
«3» - если выполнены любые 10 – 14 заданий
«4»- если выполнены 15 -16 заданий
«5» - если выполнены задания 18-19 заданий
Вариант № 1 Вариант № 2
1.Решите уравнения
сos2x – 5sinx – 3 = 0
3 – 4cos2x = 0
cos2x + 3sinx = 2
1 – 4sin2x = 0
2.Решите неравенства
sinx < 1/2
cos2x > 0
cosx > – 1/2
sin3x < 0
3.Решите уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
4.Решите неравенства
1)
2)
5.Решите уравнения
6.Решите неравенства
log5(2x + 3) > log5(x – 1)
log1/2(2x – 5) < – 2
log3(1 – x) < log3(3 – 2x)
log1/2(2x + 5) > – 3
7.Найти производные функций
а) f(x) = 5x3 – 3x9
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = 1/6 х3 – 0,5х2 – 3х + 2
а) f(x) = 2x7 + 3x3
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = – 1/6 х3 +1,5х2 +5х – 3
8.Найти значение выражения
а) f '(0,5), если f(x) =
б) f '(– п/4), если f(x) = 3sin2x
а) f '(– 0,5), если f(x) =
б) f '(– 3п/4), если f(x) = 5сos2x
VI. Контрольно-оценочные материалы для экзамена (IV семестр)
6.1. Комплект заданий для студентов
Текст задания: выполните задания
Инструкция: Задание состоит из двух частей. Часть 1. включает 10 заданий. Ответом на задания А1–А10 должно быть целое число или конечнаядесятичная дробь или числовой промежуток или…. Ответ следует записать в листке, указывая номер выполняемого задания. Единицы измерений писать не нужно.
Часть 2. состоит из 5 заданий, требующих подробного решения и краткого ответа.
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене основными формулами по математике.
Критерии оценки:
Задания части 1 оцениваются в 1бал – одно задание
Оценивание заданий части 2 (В1, В2, В3) по критериям:
Содержание критериев Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Получен ответ, возможно неверный, из-за вычислительной ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Оценивание заданий части 2 (В4 и В5) по критериям:
Содержание критериев Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Способ нахождения искомого расстояния (угла) верен, но получен неверный ответ 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
«2» - если выполнено менее семи заданий (менее 7 баллов)
«3» - если выполнены любые семь - десять заданий из А1-А10 и В1-В5(7-12баллов)
«4»- если выполнены задания А1-А10 и не менее двух заданий из В1-В5(13-17баллов)
«5» - если выполнены задания А1-А10 и не менее трех заданий из В1-В5(18-20баллов)
Вариант 1
Часть 1.
Ответом на задания А1–А10 должно быть целое число или конечнаядесятичная дробь или числовой промежуток или…. Ответ следует записать в листке, указывая номер выполняемого задания. Единицы измерений писать не нужно.
А1. Решить уравнение графически: 3х = 1- х
А2. Найти производную функции: f(х)=3х2-5х-2
А3. Вычислите интеграл: 025х-х2dхА4. Решить неравенство: log143х-8<-2А5. Решить неравенство: 72х + 4 ≤ 149А6. Даны точки А (1;2;3), В (0;1;2), С (2;0;3), D (1;2;0). Какая из этих точек лежит в плоскости хОу?
А7. Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
А8. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда В1Д, если АА1=3см, АВ=5см, АД=2
А9. Длина окружности основания цилиндра равна 13. Площадь боковой поверхности равна 65. Найдите высоту цилиндра.
167640111760
А10. Основанием пирамиды является прямоугольник сво сторонами 3 и 4. Её объём равен 84. Найдите высоту пирамиды.
4984756985
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания В1-В5 запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное
решение и ответ.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 - 3х2
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=3х-23-х , х0=2
В3. Решить уравнение: 3sin2 x -sin x·cos x=0
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВД1
В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани . Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
11811042545
Вариант 2
Часть 1.
Ответом на задания А1–А10 должно быть целое число или конечнаядесятичная дробь или числовой промежуток или…. Ответ следует записать в листке, указывая номер выполняемого задания. Единицы измерений писать не нужно.
А1. Решить уравнение графически: 2х = 1-х
А2. Найти производную функции: f(х)=5х2 - 2х+1
А3. Вычислите интеграл: 024-х2dхА4. Решите неравенство: log212-4х>4А5. Решить неравенство: 33х +1 ≥ 19А6. Даны точки А (1;2;3), В (0;1;2), С (2;0;3), D (1;2;0). Какая из этих точек лежит в плоскости уОz?
А7. Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
А8. Найти диагональ параллелепипеда В1Д, если АА1=4см, АВ=5см, АД=22
А9. Высота цилиндра равна 12. Площадь боковой поверхности равна 372. Найдите длину окружности основания цилиндра.
394335135255
А10. Основанием пирамиды является прямоугольник сво сторонами 3 и 4. Её объём равен 60. Найдите высоту пирамиды.
184785115570
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания В1-В5 запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное
решение и ответ.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 +3х2.
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=2х-55-х , х0=4
В3. Решить уравнение: sin2 x -3sin x·cos x =0
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АД1
В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 22, диагональ боковой грани 3. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
32766097790
Вариант 3
Часть 1.
Ответом на задания А1–А10 должно быть целое число или конечнаядесятичная дробь или числовой промежуток или…. Ответ следует записать в листке, указывая номер выполняемого задания. Единицы измерений писать не нужно.
А1. Решить уравнение графически: 13х = х3А2. Найти производную функции: f(х)=7х2-3х-4
А3. Вычислите интеграл: 025х-х2dхА4. Решите неравенство: log53х+1<2А5. Решить неравенство: 53х –5 ≥ 125А6. А (1;2;3), В (0;1;2), С (2;0;3), D (1;2;0). Какая из этих точек лежит в плоскости хОz?
А7. Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
А8. Найти диагональ параллелепипеда В1Д, если АА1=3см, АВ=5см, АД=2
А9. Радиус основания цилиндра равен 5, а его объем – 175π. Найдите высоту цилиндра.
А10. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если её стороны основания равны 3, а площадь поверхности равна 66.
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания В1-В5 запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное
решение и ответ.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 - 3х2
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=1(х+2)3, х0=-3
В3. Решить уравнение: 3sin2 x -sin x·cos x=0
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВД1
В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани . Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания 27051061595призмы.
Вариант 4
Часть 1.
Ответом на задания А1–А10 должно быть целое число или конечнаядесятичная дробь или числовой промежуток или…. Ответ следует записать в листке, указывая номер выполняемого задания. Единицы измерений писать не нужно.
А1. Решить уравнение графически: 12х=3+хА2. Найти производную функции: f(х)=5х2-7х+1
А3. Вычислите интеграл: 024-х2dхА4. Решите неравенство: log23х-1<3А5. Решить неравенство: 33х – 2 ≥ 19А6. Даны точки А (1;2;3), В (0;1;2), С (2;0;3), D (1;2;0). Какая из этих точек лежит в плоскости уОz?
А7. Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
А8. Найти диагональ параллелепипеда В1Д, если АА1=3см, АВ=5см, АД=2
А9. Радиус основания цилиндра равен 6, а его объем – 252π. Найдите высоту цилиндра.
А10. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если её стороны основания равны 5, а площадь поверхности равна 160.
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания В1-В5 запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное
решение и ответ.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 +3х2.
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=14(2х-1)2, х0=1
В3. Решить уравнение: sin2 x -3sin x·cos x =0
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АД1
В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 22, диагональ боковой грани 3. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
42291048260
6.3. Комплект для преподавателя, принимающего экзамен (IV семестр)
Количество вариантов заданий для студентов: 4
Текст задания: выполните задания
Максимальное время на выполнение заданий теста: 120 мин.
Доступ к справочным материалам: студент имеет право воспользоваться на данном экзамене справочными материалами по математике.
Инструкция:
1. Ознакомьтесь с заданиями для студентов.
2. Ознакомьтесь с критериями оценки.
Критерии оценки:
Задания части 1 оцениваются в 1бал – одно задание
Оценивание заданий части 2 (В1, В2, В3) по критериям:
Содержание критериев Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Получен ответ, возможно неверный, из-за вычислительной ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Оценивание заданий части 2 (В4 и В5) по критериям:
Содержание критериев Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 2
Способ нахождения искомого расстояния (угла) верен, но получен неверный ответ 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Критерии оценивания заданий теста (перевод в оценку):
«2» - если выполнено менее семи заданий (менее 7 баллов)
«3» - если выполнены любые семь - десять заданий из А1-А10 и В1-В5(7-12баллов)
«4»- если выполнены задания А1-А10 и не менее двух заданий из В1-В5(13-17баллов)
«5» - если выполнены задания А1-А10 и не менее трех заданий из В1-В5(18-20баллов)
3. Сверьте ответы студента с предлагаемым ключом:
Часть 1
№п/пВарианты заданий
1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
1 0 0 1 -1
2 6х-5 10х-2 14х-3 10х-7
3 7135137135134 (8; +∞)(-∞; -1)(-13; 8) (13; 3)
5 (-∞; -3][-3; +∞) [1; +∞) [0; +∞)
6 D В C В
7 6,5 8,5 6,5 8,5
8 6 7 6 7
9 5 31 5,5 8
10 7 5 7 7
Решения и ответы заданий части 2:
Вариант 1.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 - 3х2
Решение
1. D(f) = (-∞;+∞)
2. f(-х) = (-х)3 – 3 (-х)2 = -х3- 3х2 заданная функция ни четная, ни нечетная
3.Вертикальной асимтоты нет.
Для отыскания горизонтальной вычислим limх→∞f(х).
Имеем limх→∞ (х3 - 3х2) =∞ -горизонтальных асимтот нет
4.Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем
у/ = (х3 - 3х2)/ =3х2 – 6х производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет
3х2 – 6х=0
х=0 или х=2
f(х)↑( -∞;0;2;+∞)f(х)↓0;2хmax=0, уmax=0
хmin =2, уmin=-8
5. Найдем точки пересечения с осями координат.
ОХ: у=0,х=0 и у=0,х=3
ОУ: х=0,у=0.
6. Построим график функции:
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=3х-23-х , х0=2
Касательная задается уравнением:
y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
найдем значение функции: f (x0) = f (2) = 3·2-23-2=4, теперь найдем производную: f ’(x) = (3х-23-х)’ = 9-3х+3х-2(3-х)2=7(х-3)2; значение f'(x0)= f'(2) = 7(2-3)2 = 7. Подставим все значения в уравнение касательной, получим: y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0) =4+7(х-2)=7х-10Это и есть уравнение касательной.
Ответ:у=7х-10
В3. Решить уравнение: 3sin2 x -sin x·cos x=0
Решение: Разделив обе части уравнения почленно на соs2 х ≠0, получим
3tg2х - tg х =0
tg х∙( 3 tg х -) =0
tg х =0 или 3tg х=
х=πn или х = π6 + πn
Ответ: х=πn; х = π6 + πn.
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВД1
47936154618355Решение: Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1. Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
СН=CD1∙BCBD1=23=63 Ответ: 63В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания 4833620210185которой равна 22, диагональ боковой грани 3. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно, угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1.
Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1.
Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=.
Из треугольника HAA1 находим: tg
Отсюда находим: угол A1HA=30o. Ответ. 30о.
Вариант 2.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 +3х2.
Решение
1. D(f) = (-∞;+∞)
2. f(-х) = (-х)3 +3 (-х)2 = -х3+3х2 заданная функция ни четная, ни нечетная
3.Вертикальной асимтоты нет.
Для отыскания горизонтальной вычислим limх→∞f(х).
Имеем limх→∞ (х3 +3х2) =∞ -горизонтальных асимтот нет
4.Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем
у/ = (х3 +3х2)/ =3х2 +6х производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет
3х2 +6х =0
х=0 или х=-2
f(х)↑( -∞;-2;0;+∞)f(х)↓-2;0хmax=-2, уmax=4
хmin =0, уmin=0
5. Найдем точки пересечения с осями координат.
ОХ: у=0,х=0 и у=0,х=-3
ОУ: х=0,у=0.
6. Построим график функции:
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=2х-55-х , х0=4
Касательная задается уравнением:
y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
найдем значение функции: f (x0) = f (4) = 2·4-55-4=3, теперь найдем производную: f ’(x) = (2х-55-х)’ = 10-2х+2х-5(5-х)2=5(5-х)2; значение f'(x0)= f'(4) = 5(5-4)2 = 5. Подставим все значения в уравнение касательной, получим: y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0) =3+5(х-4)=5х-17Это и есть уравнение касательной.
Ответ:у=5х-17
В3. Решить уравнение: sin2 x -3sin x·cos x =0
Решение: Разделив обе части уравнения почленно на соs2 х ≠0, получим
tg2х - 3tg х =0
tg х∙( tg х -3) =0
tg х =0 или tg х=3
х=πn или х = π3 + πn
Ответ: х=πn; х = π3 + πn.
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АД1
Решение: Проведем отрезки СD1 и AC. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD1.
42697401103630Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD1 со стороной2. CH=2∙32=62 Ответ: 62В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания 502412097155которой равна 22, диагональ боковой грани 3. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH
и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно,
угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и
BCA1. Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1. Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=.
Из треугольника HAA1 находим: tg
Отсюда находим: угол A1HA=30o. Ответ. 30о.
Вариант 3.
В1. Исследовать и построить график функции: у = х3 - 3х2
Решение
1. D(f) = (-∞;+∞)
2. f(-х) = (-х)3 – 3 (-х)2 = -х3- 3х2 заданная функция ни четная, ни нечетная
3.Вертикальной асимтоты нет.
Для отыскания горизонтальной вычислим limх→∞f(х).
Имеем limх→∞ (х3 - 3х2) =∞ -горизонтальных асимтот нет
4.Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем
у/ = (х3 - 3х2)/ =3х2 – 6х производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет
3х2 – 6х=0
х=0 или х=2
f(х)↑( -∞;0;2;+∞)f(х)↓0;2хmax=0, уmax=0
хmin =2, уmin=-8
5. Найдем точки пересечения с осями координат.
ОХ: у=0,х=0 и у=0,х=3
ОУ: х=0,у=0.
6. Построим график функции:
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=1(х+2)3, х0=-3
Касательная задается уравнением:
y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
найдем значение функции: f (x0) = f (-3) = 1(-3+2)3=-1, теперь найдем производную: f ’(x) = (1(х+2)3)’ = -3(х+2)4; значение f''(x0)= f''(-3) = -3(-3+2)4 = -3. Подставим все значения в уравнение касательной, получим: y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0) =3+5(х-4)= -1-3(х+3)=-3х-10Это и есть уравнение касательной.
Ответ:у=-3х+10
В3. Решить уравнение: 3sin2 x -sin x·cos x=0
Решение: Разделив обе части уравнения почленно на соs2 х ≠0, получим
3tg2х - tg х =0
tg х∙( 3 tg х -) =0
tg х =0 или 3tg х=
х=πn или х = π6 + πn
Ответ: х=πn; х = π6 + πn.
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВД1
49079155247005Решение: Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1. Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
СН=CD1∙BCBD1=23=63 Ответ: 63В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани . Найти угол 4801870280035между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH
и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно,
угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и
BCA1. Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1. Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=.
Из треугольника HAA1 находим: tg
Отсюда находим: угол A1HA=30o. Ответ. 30о.
Вариант 4.
№21. Исследовать и построить график функции: у = х3 +3х2.
Решение
1. D(f) = (-∞;+∞)
2. f(-х) = (-х)3 +3 (-х)2 = -х3+3х2 заданная функция ни четная, ни нечетная
3.Вертикальной асимтоты нет.
Для отыскания горизонтальной вычислим limх→∞f(х).
Имеем limх→∞ (х3 +3х2) =∞ -горизонтальных асимтот нет
4.Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем
у/ = (х3 +3х2)/ =3х2 +6х производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет
3х2 +6х =0
х=0 или х=-2
f(х)↑( -∞;-2;0;+∞)f(х)↓-2;0хmax=-2, уmax=4
хmin =0, уmin=0
5. Найдем точки пересечения с осями координат.
ОХ: у=0,х=0 и у=0,х=-3
ОУ: х=0,у=0.
6. Построим график функции:
В2. Составьте уравнение касательной к графику функции у=f(x)в точке с абсциссой х=х0, если:
f(x)=14(2х-1)2, х0=1
Касательная задается уравнением:
y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
найдем значение функции: f (x0) = f (1) = 14(2-1)2=1/4, теперь найдем производную: f ’(x) = -44(2х-1)3 = -1(2х-1)3; значение f''(x0)= f''(1) = -1(2-1)3 = -1. Подставим все значения в уравнение касательной, получим: y = f (x0) + f ’(x0) · (x − x0) =1/4-x+1= -x +5/4Это и есть уравнение касательной.
Ответ:у=-x +5/4
В3. Решить уравнение: sin2 x -3sin x·cos x =0
Решение
Разделив обе части уравнения почленно на соs2 х ≠0, получим
tg2х - 3 tg х =0
tg х∙( tg х -3) =0
tg х =0 или tg х=3
х=πn или х = π3 + πn
Ответ: х=πn; х = π3 + πn.
В4. В кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АД1
Решение: Проведем отрезки СD1 и AC. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD1.
4907915303530Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD1 со стороной2. CH=2∙32=62 Ответ: 62В5. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания 509968595250которой равна 22, диагональ боковой грани 3. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH
и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно,
угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и
BCA1. Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1. Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=.
Из треугольника HAA1 находим: tg
Отсюда находим: угол A1HA=30o. Ответ. 30о.