Методические указания к внеаудиторной самостоятельной работе для специальности: Техническая эксплуатация подъемно -транспортных, дорожных машин и оборудования


0-505460Департамент образования и науки
Кемеровской области
-20808951765303,5
003,5
-140843114160500-148209014160515
0015

-154495568008515
0015
-123380632385000-185039032511900-192913078168400-192913055371900-140843119812000-1697355679455
005
Государственное профессиональное образовательное учреждение «Мариинский политехнический техникум»
-17227551143005
005

23.02.03 «Техническое обслуживание
и ремонт автомобильного транспорта»
-149479110350500
-19227807112000
-163385512255400-15449551225553
003
-17513302730510
0010

-30689557810500-3068955103505Arial Narrow,
30 п, (Шрифт 7)
00Arial Narrow,
30 п, (Шрифт 7)

-3196590128270Arial Narrow,
20,5 п, (Шрифт 5)
00Arial Narrow,
20,5 п, (Шрифт 5)
-13417556413500
-23355307810500
-21932908382000ЕН. 01 МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания
внеаудиторной самостоятельной работы
-154495617780000-15449551460400
-1544955114307
007
-14338317429500
-158623026669900-18243551333400
-188150614033500
-192913011684010
0010
-172275622225000-204660534544000-3161030222250Arial Narrow,
30 п, (Шрифт 7)
00Arial Narrow,
30 п, (Шрифт 7)
-169735511684010
0010
-188150551054020
0020
-134175611684000
-131699123050500-403352028384500-3373120762000-14084302667000-1506855127015
0015
-2732405114935Arial Narrow,
20,5 п, (Шрифт 5)
00Arial Narrow,
20,5 п, (Шрифт 5)
-149479123685500-149479023685510
0010
2016
-50876208826500-148209015176530
0030
Рассмотрено на заседании Утверждено на заседании
Предметной (цикловой) комиссии методического совета
_____________________________ ГПОУ «МПТ»
_____________________________
_____________________________ _____________________________
(подпись председателя ПЦК) (подпись председателя методического совета)
Протокол № _____ Протокол № _____
от «____» ____________ 201__ г. от «____» ________ 201_г.
Методические указания и задания внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для студентов, обучающихся по специальности -14947912165350023.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»
Методические указания и задания внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» содержат указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ, а также задания самостоятельной работы. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по Математике и предназначены для студентов, обучающихся по программам среднего профессионального образования.
-15449551460400-154495617780000
Организация разработчик: государственное профессиональное образовательное учреждение «Мариинский политехнический техникум»
Разработчики:
О.С. Чугунова, преподаватель ГПОУ «МПТ»;
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
КИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Уважаемые студенты!
Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика ставят своей целью оказать помощь в организации самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений, навыков в объеме действующей программы.
Объем самостоятельной работы определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО).
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом ГПОУ «Мариинский политехнический техникум».
Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью:
- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний;
- углубления и расширения теоретических знаний;
- развития познавательных способностей и активности, самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

п/п Тема Содержание самостоятельной работы Кол-во часов Формы и методы контроля результатов
1 2 3 4 5
1. Теория пределов Выполнение упражнений на раскрытие неопределенностей 6 Письменное решение упражнений и задач
2. Дифференциальное исчисление Решение задач на полное исследование функций 8 Письменное решение упражнений и задач
3 Интегральное исчисление. Решение задач на вычисление неопределенных интегралов и площадей фигур 8 Письменное решение упражнений и задач
4 Дифференциальные уравнения Решение ДУ в частных производных 4 Письменное решение упражнений и задач
5 Элементы теории вероятностей и математической статистики Решение задач на вычисление вероятностей и проверку статистических гипотез 5 Письменное решение упражнений и задач
6 Комплексные числа Выполнение заданий на действия с комплексными числами 3 Письменное решение упражнений и задач
Итого: 34 В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов предусмотрены аудиторные занятия, зачеты, тестирование, практические работы.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
Самостоятельная работа №1.
Тема: Вычисление пределов
Цели:
- повторить способы раскрытия неопределенностей;
- развитие логического мышления;
- воспитание аккуратности, настойчивости.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 6 часов.
Форма контроля: практическая работа.
Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа можно указать такое положительной число , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<, имеет место неравенство |f(x)-b|<
Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.
ТЕОРЕМА 4. Первый замечательный предел равен

ТЕОРЕМА 5. Второй замечательный предел равен

Пример 1. Докажем, что

Нужно доказать, что при произвольном найдется такое положительное , что неравенство

будет выполняться, если |x-1|<Но, если x не равно 1, то (1) эквивалентно неравенству

или

Пример 2. Найти предел

Знаменатель и числитель дроби при x стремящемся к 2 стремятся к нулю/ В таких случаях нужно попытаться упростить дробь. Имеем

Это преобразование справедливо при всех значениях x, отличных от 2, поэтому

Пример 3.



Пример 4.
  
чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:
  
Сокращаем числитель и знаменатель на x:
  
Так как по 1-му замечательному пределу
  
окончательно получаем, что
  
Пример 5. Найти предел .
Решение. Вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":
.

Пример 6.
===
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
Вариант 1
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вариант 2
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вариант 3
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вариант 4
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Вычислить предел функции:
.
Самостоятельная работа № 2
Тема: «Дифференциальное исчисление».
Цель:
- повторить дифференциальное исчисление;
- развитие логического мышления;
- воспитание аккуратности, настойчивости.
Знать: условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции, знать схему исследования функции и применять её.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 8 часов.
Форма контроля: практическая работа.
Теоретическии материал.
Признак возрастания функции: Если f/(x)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Признак убывания функции: Если f/(x)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x)убывает.
Признак максимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)>0 на интервале a;x0 и f/(x)<0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)<0 на интервале a;x0 и f/(x)>0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой минимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Схема исследования функции.
Найти область определения;
Вычисляем производную;
Находим стационарные точки
Определяем промежутки возрастания и убывания;
Находим точки максимума и минимума;
Вычисляем экстремум функции;
Данные заносим в таблицу.
На основании такого исследования строится график функции.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.


Вариант 1
1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания.
а) fx=2x2-1.
б) fx=-x2+2x.
в)fx=x3+2x2. г) fx=x3-6x2+9x-1.2.Найти экстремум функции.
а) fx=3x2-2x.
б) fx=cos2x.
3.Исследовать функцию и построить график.
fx=x3-3x2+2.Вариант 2
1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания.
а) fx=-x2+1.б) fx=x2-4x. в) fx=x3+3x2. г) fx=2x3-3x2-12x+5.
2.Найти экстремум функции.
а) fx=3x-5x2.
б) fx=sin3x.3.Исследовать функцию и построить график.
fx=x3+3x2-1.Вариант 3
1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания.
а) fx=-2x2+32.
б) fx=x2-4x.
в) fx=-x3+6x2.
г) fx=2x3-6x2-18x+4.2.Найти экстремум функции.
а) fx=6x-x3.
б) fx=x2∙lx. 3.Исследовать функцию и построить график.
fx=-x3+6x2+2.

Самостоятельная работа № 3
Тема: Интегральное исчисление
Цели: закрепить знания, умения и навыки нахождения интегралов и площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 8 часов.
Форма контроля: практическая работа.
Теоретический материал.
Определение 1: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: fxdx=Fx+C, где Fx- есть некоторая первообразная функции fx на этом промежутке, С – const. При этом знак ∫называется знаком интеграла, fx - подынтегральной функцией, fxdx - подынтегральным выражением, x - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.
Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Таблица неопределенных интегралов:
dx=x+Csinxdx=-cosx+Cdxa2+x2=1aarctgxa+Cxndx=xn+1n+1+Ccosxdx=sinx+Ctgxdx=-lncosx+Cdxx=lnx+Cdxsin2x=-ctgx+Cctgxdx=lnx+Caxdx=axlna+Cdxcos2x=tgx+cdxa2-x2=arcsinxa+Clxdx=lx+Cdx1+x2=arctgx+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+CСвойства неопределенного интеграла:
dFx=Fx+C;
kfxdx=kfxdx;
f(x)±g(x)dx=fxdx±gxdx;fax+bdx=1aFax+b+C;
47745653961130У
Х
0
а
by = f(x)
Рис. 1
00У
Х
0
а
by = f(x)
Рис. 1
Определение 2. Пусть на отрезке [a; b] оси Ох задана непрерывная функция у = f(x), не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1) называют криволинейной трапецией.
Определение 3. Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
S = abf(x)dx,
где abf(x)dx – определенный интеграл непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a; b].
Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно верхним и нижним).
Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и у = F(x) – ее первообразная, то верно равенство:
abf(x)dx = F(b) – F(а).
Найти неопределенный интеграл 
Решение. Введем замену  и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:


Сделаем обратную замену

Ответ. 
Задание. Вычислить неопределенный интеграл 
Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

Внесем  под знак дифференциала:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

В результате получим

Ответ. 
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у = 1; х = 2.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.
Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.
Используя формулу S = ʃаb f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:
{у = х3,{у = 1.
Таким образом, имеем х1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.
Итак, S = SDACE – SDABE = ʃ12 x3 dx – 1 = x4/4|12 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.
Вариант 1
Вычислить интегралы:
1. 2.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. fx=16-x2, fx=0.
2. fx=1+x2, y= 2.
3. fx=x-12, y=0, x=3.
4. fx=5cosx, fx=3cosx.
5. fx=x2+2, fx=3x+2.
Вариант 2
Вычислить интегралы:
1. 2 .
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. fx=9-x2, fx=0.
2. fx=3+x2, y= 4.
3. fx=x-22, y=0, x=3.
4. fx=5sinx, fx=3sinx.
5. fx=x2+3, fx=2x+3.
Контрольные вопросы:
Как записывается формула Ньютона-Лейбница;
Какое действие обратно интегрированию?
Какие существуют три способа нахождения неопределенного интеграла?

Самостоятельная работа № 4
Тема: Дифференциальные уравнения
Цели: - приобретение базовых знаний для решения дифференциальных уравнений;
- развитие логического мышления;
- воспитание аккуратности, настойчивости.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 4 часа.
Форма контроля: практическая работа.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: 1) независимую переменную ;2) зависимую переменную  (функцию);3) первую производную функции: .
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.
Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид  ( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию 
Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем производную в нужном виде:
Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:
Интегрируем уравнение:
Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:
Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
Если  – это константа, то  – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.
Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .
Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:То есть, 
Стандартная версия оформления:
Теперь в общее решение  подставляем найденное значение константы : – это и есть нужное нам частное решение.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделяющимими переменными  .
Решение.
Проинтегрируем обе части равенства: .  где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции, которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция  является общим решением исходного дифференциального уравнения.
Найти все решения дифференциального уравнения .
Решение.
Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:
Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными :
В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С.
Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.
Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения (по вариантам)
1)(1+y)dx=(1-x)dy; y=3 при х=-2.
2)(2+y)dx=(3-x)dy; y=1 при х=-1.
3)y’=2x, y=4 при х=5.
4)2у’=x, y=2 при х=-2.
Вопросы для самоконтроля:
1. Какие уравнения называются дифференциальными?
2.Какие уравнения называются дифференциальными переменными с разделяющимися переменными?

Самостоятельная работа № 5
Тема: Элементы теории вероятностей и математической статистики
Цели:
- закрепление навыков решения вероятностных и статистических задач;
- развитие логического мышления;
- формирование ПК;
- воспитание аккуратности, настойчивости.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 5 часов.
Форма контроля: практическая работа.
Число всех возможных исходов – N
Все исходы равновозможны
Количество благоприятных исходов – N(A)
P(A) – вероятность события А
P(A) =
Задача 1:
Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события «выпало четное число очков».
Решение: N = 6; N(A) = 3; P(A) = 36=12 .
Задача2: В школе 20 хулиганов, из них 5 человек попались директору на глаза. Какова относительная частота случайного события?
Решение: (5/20=1/4)
Задача 3: В одной комнате общежития живут Антон, Борис и Василий. Нужно регулярно назначать дежурного по комнате. Юноши подбрасывают две монеты и в зависимости от результата определяют дежурного:
- если выпали орёл и решка, дежурит Антон,
- если выпали два орла, дежурит Борис,
- если выпали две решки, дежурит Василий.
Справедлив ли такой подход к выбору дежурного?
Решение задачи:
Таблица исходов испытаний
1 монета 2 монета
о р
орёл ооор
решка роррТакой подход не является справедливым, так как вероятность появления орла и решки (ОР или РО) равна 1/2 (два благоприятствующих из четырёх возможных исходов), а вероятности появления двух решек или двух орлов одинаковы и равны 1/4. Так как 1/2/1/4 = 2, то можно сказать, что Антону, по всей вероятности, придётся в 2 раза чаще дежурить, чем каждому из его друзей.
Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Генеральной совокупностью называется достаточно большое, быть может, бесконечное подмножество элементарных событий.
Случайной величиной называют функцию от элементарного события.
Экспериментом называется функция, принимающая значение на пространстве элементарных событий.
Статистическая моделью называется совокупность законов, которым подчиняется процедура эксперимента.
Случайной выборкой1 или просто выборкой1 объема n называется набор некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при серии из n одинаковых экспериментов
Выборкой 2 объема n называется набор 1,…,n случайных величин, определенных на натуральных числах 1,…,n, k-я с.в. принимает значение исхода ki-го эксперимента на числе i, при условии, что все эксперименты одинаковы.
Все указанные типы средних величин можно получить из формул степенной средней. Если имеются варианты , то среднюю из вариант можно рассчитать по формуле простой невзвешенной степенной средней порядка :

Средний квадрат отклонения, или дисперсия (обозначается ) наиболее часто применяется как мера колеблемости признака. Дисперсии невзвешенную и взвешенную вычисляют по формулам

Таким образом, дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов отклонений вариант от их средней арифметической.Квадратный корень из дисперсии  называется среднеквадратическим отклонением.
Задача4: В целях изучения стажа работников мехпарка проведена 36%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Стаж, число лет Число рабочих, чел.
до 5 12
5 -10 18
10 -15 24
15 -20 32
20 -25 6
свыше 25 8
Итого: 100
На основе этих данных вычислите:
1) средний стаж рабочих мехпарка;
2) средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратичное отклонение.
Решение:
Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот.

2) Вычислим дисперсию, среднее квадратичное отклонение:

.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.
№1 Для каждого из следующих событий введите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.
а) В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наугад вынимается два шара. Какова вероятность того, что они будут белыми?
б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
в) Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом убирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
№2 Определить вероятности следующих событий:
A={при бросании монеты выпал «орел»};
B={при бросании кубика выпала тройка};
C={при бросании кубика выпало четное число};
D={из колоды карт вытянули туза };
E={из колоды карт вытянули шестерку};
F={из колоды карт вытянули не туза};
№3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:
Х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Р 0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025
Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.
№4. . Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 2.
Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид
Х 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Р 0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025
Вопросы самоконтроля:
1) Что такое вероятность?
2) Какие задачи называются статистическими?
2) Какие формулы используются для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения?
Самостоятельная работа № 6
Тема: Выполнение заданий на действия с комплексными числами.
Цели:
- углубить и обобщить знания в области комплексных чисел;
воспитание целеустремленности, настойчивости, аккуратности.
- формировать ОК-2,3,7 и ПК;
Количество часов- 3 часа.
Форма контроля: практическая работа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i2 = - 1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 - a2b1) i.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причемb – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и  z = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.Числа z1 и z2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
 
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
 
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.Числа z1 и z2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.
2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.
4º. Z1 ·Z2  = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
 
4) Деление.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда
    .
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное  .
1 способ.
.
 
2 способ.
 .
 
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i2 i2 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i4 i2 = -1,
i7 = i5 i2 = -i,
i8 = i6 i2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4)9 = 19 = 1,
i 17 = i 4× 4+1 = (i 4)4× i = 1 · i = i.
i 23 = i 4× 5+3 = (i 4)5× i3 = 1 · i3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i)3
(4 + 2i)3 = 43 + 3× 42× 2i + 3× 4× (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Пример 6. Решите уравнение:
а) x2 – 6x + 13 = 0;    б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формулеD = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ.
1. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
1) (3 + 5i) + (7 – 2i).2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).4) (5 – 4i) + (6 + 2i).5) (3 – 2i) + (5 + i).6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i).7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).
2. Произведите умножение комплексных чисел:
9) (2 + 3i)(5 – 7i). 10) (6 + 4i)(5 + 2i).11) (3 – 2i)(7 – i). 12) (– 2 + 3i)(3 + 5i).13) (1 –i)(1 + i).14) (3 + 2i)(1 + i).15) (6 + 4i)3i.16) (2 – 3i)(– 5i).
3. Выполните действия:
17) (3 + 5i)2.18) (2 – 7i)2.19) (6 + i)2.20) (1 – 5i)2.21) (3 + 2i)3.22) (3 – 2i)3.23) (4 + 2i)3.24) (5 – i)3.
4. Выполните действия:
25) (3 + 2i)(3 – 2i). 26) (5 + i)(5 – i). 27) (1 – 3i)(1 + 3i). 28) (7 – 6i)(7 + 6i).29) (a + bi)(a – bi).30) (m – ni)(m + ni).
31. Выполните деление:

5. Решите уравнения:
32) x2 – 4x + 13 = 0.33) x2 + 3x + 4 = 0. 34) 2,5x2 + x + 1 = 0.35) 4x2 – 20x + 26 = 0.
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:
- уровень освоения обучающимся учебного материала;
- умение обучающегося использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
- сформированность общеучебных умений;
- обоснованность и четкость изложения ответа;
- оформление материала в соответствии с требованиями.
Для отметки надо выполнить все задания и любых правильно выполненных заданий должно быть:
- «5» (отлично, необходимо ≥90%);
- «4» (хорошо, необходимо ≥80%);
- «3» (удовлетворительно, необходимо ≥70%);
Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все задания выполнены верно, работа оформлена подробно и аккуратно;
Оценка «4» ставится при в основном верно выполненных заданиях, имеются небольшие погрешности вычислительного характера, работа оформлена подробно и аккуратно;
Оценка «3» ставится при наличии не критических ошибок, выполнена не до конца или не полностью, работа может быть сдана не в срок;
Оценка «2» ставится, если самостоятельная работа выполнена неверно.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Башмаков, М. И. Математика: Учебник для НПО и СПО [Текст]/ М. И. Башмаков. – Москва.: Академия, 2013 –256с.
2.Богомолов, И. В. Математика: учебник для ССУЗов [Текст] / И.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 11-е изд., стереотип. – Москва.: Дрофа, 2011. – 395 с.: ил.
3.Богомолов, И. В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ССУЗов [Текст] / Н. В. Богомолов. – 11-е изд., стереотип. – Москва.: Дрофа, 2011. – 204 с., ил.4.Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа.: Учеб. для 10-11 классов [Текст] / А. Н. Колмогоров.17-е изд., – Москва.: Просвещение, 2013. – 384 с.
5.Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. .: Учебник. Базовый и профильный уровень [Текст] / Ю. М. Колягин. – Москва.: Просвещение, 2015. – 384 с.
6.Нелин Е.П. Геометрия. 10 класс.: Учебник Базовый и профильный уровень[Текст] / Е.П. Нелин – Москва.: Илекса, 2015. – 304 с.
7.Дадаян, А.А. Математика: Учебник [Текст] / А.А. Дадаян. – 3-е изд.- Москва.: Форум: НИЦ ИНФРА – Москва, 2013. – 544 с.
8. Филимонова, Е. В. Математика и информатика: Учебник [Текст] / Е. В. Филимонова. – 3-е изд. – Москва.: Издательство – торговая корпорация «Дашков и К», 2010. – 480 с.
9.Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа.10 класс. Книга для учителя. Профильный уровень [Текст] / М.Я. Пратусевич – Москва.: Просвещение, 2012. – 302 с.
10. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа.11 класс. Книга для учителя. Профильный уровень [Текст] / М.Я. Пратусевич – Москва.: Просвещение, 2012. – 288 с.
11.Лисичкин В.Т, Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебник [Текст]/Лисичкин В.Т, Соловейчик И.Л. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар, 2011г. –334 с.
Интернет-ресурсы
Общероссийский математический портал [Электронный ресурс]: математический институт имени В.А. Стеклова РАН- Режим доступа www.mathnet.ru свободный.- Загл. с экрана.
«Квант» [Электронный ресурс]: Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов - Режим доступа http://www.kvant.info/links_m.htm свободный.-Загл. с экрана.
«Мир математических уравнений» [Электронный ресурс]: Международный научно-образовательный сайт EqWorld-Режим доступа http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm свободный.-Загл. с экрана.