Технологическая карта к уроку Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей Занятие 3
№ п/п Этапы урока Вопросы и задачи Вид деятельности
Составление конспекта Изучение нового материала Прочитайте п.2. Составьте конспект.
Теоретическое обоснование   опорных знаний с практическим применением Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом
А1+А2+ … +Аn.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
или
Следствие 1. Если событие А1, А2, … ,Аn образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.
.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.
.
Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
.
Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.
Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
, т.е. .
Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.
Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому
, т.е .
Теорема умножения вероятностей независимых событийПри совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:
Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?
Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.
Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число .
Обозначив условную вероятность , получим формулу
, .
Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.
Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.
Тогда , и по формуле находим
.
Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле
.
Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.
Так как , , то по формуле находим
.
Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.
Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).
а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,
.
б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :
;
.
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,
.
Деятельность обучающихся по самостоятельному применению знаний и умений решения заданий Решите задачи самостоятельно. Решение запишите в тетрадь
Задача 1. В первой урне находится 7 черных и 5 белых шара, во второй- 4 черных и 8 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными.
Задача 2. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,3; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,4. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.
Домашнее задание
Подберите две задачи по изученной теме.