Урок Радианная мера угла
Урок 2
Радианная мера углов и дуг
Для чего же нужна числовая окружность? Почему она так важна для науки вообще и для нас в частности? Начнем рассматривать области ее практического применения.
Как было сказано, числовая окружность используется, когда точка движется не прямолинейно, например, при изучении вращательного движения.
Движение точки по окружности можно представить двумя способами.
Во-первых, можно сказать, что точка В прошла по окружности путь t.
Во-вторых, можно сказать, что подвижный радиус ОВ образовал с неподвижным радиусом ОА угол t. Поскольку он получен поворотом радиуса ОВ, то он называется «угол поворота».
Результат будет один и тот же.
Кстати, подвижный радиус ОВ называется радиус–вектором точки В.
Таким образом, мы можем измерять движение точки по кругу с помощью угла, на который она повернулась. Т.е. для произвольного числа t мы построили угол t, определяемый двумя лучами – неподвижным и тем, который проходит через построенную точку.
При таком обобщении понятия угла постепенно отходят от его геометрического образа как части плоскости, лежащей между двумя лучами. Фактически слово «угол» становится для нас синонимом слова «число».
Теперь нужно выбрать меру измерения таких новых углов – углов поворота.
Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.
За единицу измерения можно принять любой угол:
на практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята 1/360 часть полного оборота, которую называют градусом;
в технике за единицу измерения принимают полный оборот;
в мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный 1/32 части полного оборота;
в артиллерии за единицу измерения углов принята 1/60 часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (1/100 часть большого деления угломера называют малым делением угломера).
Для измерения новых углов – углов поворота – привычные нам градусы не подходят, потому, что градусами измеряют только углы, а здесь одной меркой должны измеряться и углы, и расстояния.
Выход нашли Ньютон и Лейбниц они стали измерять эти углы этими расстояниями.
Вопрос: «Чем измеряется расстояние на числовой окружности?»,
другими словами,
«Чему равен единичный отрезок числовой окружности?».
Так появилась универсальная мера измерения и углов, и дуг радиусная мера или, как ее чаще называют, радианная мера.
Для закрепления изученного
материала рассмотреть ОК–3.
Ответить на вопросы 3, 4.
Еще раз подчеркнуть универсальность радианной меры, с помощью которой можно измерять и углы, и расстояния (дуги).
3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?
4. Что такое радиан?
Ответить на вопрос 8.
Отсюда истекает сложность, заключающаяся в двойственном применении числа ( – рассмотреть примечание.
8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?
Ответить на вопрос 7.
Дополнительный вопрос:
«А как построить угол, равный числу (–1)?»
7. Почему ошибочна запись ( = 180(?
Помимо того, что радианная мера лучше приспособлена для изучения криволинейного (кругового) движения, она существенно упростила многие расчеты и формулы:
длина дуги окружности: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
площадь сектора: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотреть формулы перехода от градусной меры к радианной и наоборот.
Ответить на вопросы 5, 6.
5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?
6. Выразите в радианах углы, равные 30(, 45(, 60(, 90(, 180(, 270(, 360(.
Решать задачи № 9(пр) – № 14(пр)
При решении № 13(пр) напомнить ученикам о правиле именования дуг, принятое нами на прошлом уроке. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
9. Выразите в радианах:
1) 1(; 4) 10(; 7) 15(; 10) 30(;
2) 45(; 5) 60(; 8) 70(; 11) 90(;
3) 225(; 6) 240(; 9) 320(; 12) 330(.
10. Переведите из градусной меры в радианную:
1) 120(; 3) 220(; 5) 300(; 7) 765(;
2) 210(; 4) 150(; 6) 315(; 8) 675(.
11. Выразите в градусах:
1) 13 EQ \F((;15) 15; 4) 13 EQ \F((;12) 15; 7) 13 EQ \F((;8) 15; 10) 13 EQ \F(7(;9) 15;
2) 13 EQ \F(2(;3) 15; 5) 13 EQ \F(11(;6) 15; 8) 1,5(; 11) 3(;
3) 0,25(; 6) 13 EQ \F(21;4) 15(; 9) – 13 EQ \F(31;6) 15(; 12) 13 EQ \F(101;12) 15(.
12. Переведите из радианной меры в градусную:
1) 13 EQ \F(3(;4) 15; 3) 13 EQ \F(11(;3) 15; 5) 13 EQ \F(6(;5) 15; 7) 13 EQ \F(46(;9) 15;
2) 13 EQ \F(5(;8) 15; 4) 13 EQ \F(7(;12) 15; 6) 13 EQ \F(11(;12) 15; 8) 13 EQ \F(47(;9) 15.
13. Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах сумму дуг:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
14. Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70( меньше угла В и на 10( больше угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.
t
B
A
t
O
A
F
E
D
C
B