Урок по математике на тему Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Три пути ведут к знанию:
путь размышления-это путь
самый благородный,
путь подражания-это путь
самый легкий
и путь опыта-это путь
самый горький.
Конфуций
Тема урока: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Цели урока:
Образовательная
Систематизировать , расширять знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения дифференциальных уравнений второго порядка;
2) Развивающая
Развивать: а) умение анализировать математические ситуации ;
б) умение выделять главное;
в) умение сравнивать, обобщать, классифицировать ;
3) Воспитывающая
Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, самоанализу своей деятельности;
Тип урока: комбинированный
Оборудование урока: интерактивная доска, лист успешности учащегося, деформированные задания, тест
Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным листом успешности
Лист успешности учащегося
Фамилия, Имя___________________________________________________
Этапы урока
Задания
Достижения
Оценка
I
Знать основные определения теории дифференциальных уравнений, уметь различать виды дифференциальных уравнений и методы их решения
II
Знать алгоритм нахождения общего решения линейного однородного диф. уравнения второго порядка
III
Уметь решать линейные однородные диф. уравнения второго порядка с комплексными корнями
IV
Проверить свои знания в решении диф. уравнений
Ход урока:
I. Постановка целей урока
II. Актуализация опорных знаний
1) Закончить формулировку определения:
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются.(дифференциальными)
Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют ..(обыкновенным)
Функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество называется.(решением уравнения)
Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение называется(порядком уравнения)
Уравнение вида F(х,у,13 EMBED Equation.3 1415)=0 называется ..(диф. уравнением 1-го порядка)
Уравнение вида f(x,y)dx=13 EMBED Equation.3 1415(x,y)dy называется..(однородным)
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415= f1(x) f2(y) называется..(диф. уравнением с разделяющимися переменными)
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 +Р(х)у=Q(x) называется..(линейным диф. уравнением 1-го порядка)
Уравнение вида F(х,у,13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415)=0 называется(диф. уравнением второго порядка)
Процесс отыскания решения диф. уравнения называется.(итегрированием)
2) Классификация дифференциальных уравнений по их видам:
1. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415sin2x
2. (6у+3)dx=213 EMBED Equation.3 1415dy
3. (x2-y2)dx+2xydy=0
4. 13 EM
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3) Классификация дифференциальных уравнений по методам их решения
№
Уравнения
№ метода
Методы
1
(х+у)dx – xdy =0
4
1. Метод четырехкратного интегрирования
2
(1+x2)13 EMBED Equation.3 1415 –xy=2x
5
2. Метод разделения переменных
3
13 EMBED Equation.3 1415
2
3. Метод двукратного интегрирования
4
13 EMBED Equation.3 1415=6x4-12x2+13 EMBED Equation.3 1415
3
4. Метод сведения ДУ к уравнению с разделяющимися переменными
5
y13 EMBED Equation
·.3 1415=2cos2x
1
5. Метод подстановки у=uv
6
13 EMBED Equation.3 1415+413 EMBED Equation.3 1415+8y=0
6
6. Метод замены ДУ характеристическим уравнением
4) Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка
III. Формирование практических умений и навыков:
1) Найти ошибку в решении дифференциального уравнения третьего порядка:
13 EMBED Equation.3 1415 = 9х2+4-2 cos4x
13 EMBED Equation.3 1415= 3x3+4x- 13 EMBED Equation.3 1415sin4x+c1
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
y=13 EMBED Equation.3 1415
2) Найти пары: «Уравнение-его решение»
Уравнения
Решения
А
у=е13 EMBED Equation.3 1415(с1+с2х)
Б
у=с1е13 EMBED Equation.3 1415+с2е-6х
В
у=е13 EMBED Equation.3 1415(с1+с2х
Г
у=с1+с2е9х
1
13 EMBED Equation.3 1415+813 EMBED Equation.3 1415+16у=0
+
2
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415у=0
+
3
13 EMBED Equation.3 1415-913 EMBED Equation.3 1415=0
+
4
13 EMBED Equation.3 1415+513 EMBED Equation.3 1415-6у=0
+
3) Решить дифференциальные уравнения с комплексными корнями:
а) 13 EMBED Equation.3 1415+413 EMBED Equation.3 1415+8у=0 б) 13 EMBED Equation.3 1415-213 EMBED Equation.3 1415+2у=0
k2+4k+8=0 k2 -2k+2=0
Д=16-32=-16 Д= -4
Д1=Д/4= -4 k1/2= -13 EMBED Equation.3 1415 Д1=Д/4= -1
k1/2= -2 13 EMBED Equation.3 1415 k1/2= 1 13 EMBED Equation.3 1415
y=e-2x(c1cos2x+c2sin2x) y=ex(c1cosx+c2sinx)
IV. Выполнение теста
1 вариант
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415-4у-3=0- это уравнение:
А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;
В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;
Уравнение (х2-у2)dy-(xy-y2)dx=0 - это уравнение:
А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;
В) однородное диф. уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;
Найти общее решение диф. уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е2х(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е4х(с1cos2x+c2sin2x)
13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1+c2x) Б) у=е-х(с1+c2x) В) у=е2х(c1+c2x) Г) у=е4х(с1+c2x)
13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е2х(c1cos3x+c2sin3x) Г) у=е-3х (с1cosx+c2sinx)
2 вариант
1. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415- это уравнение:
А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;
В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 - это уравнение:
А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;
В) однородное уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;
Найти общее решение диф. уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е-4х (с1cos2x+c2sin2x) В) у=е2х(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е4х(с1cos2x+c2sin2x)
13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1+c2x) Б) у=с1е2х+c2е4х В) у=c1ех+c2е-4х Г) у=е4х(с1+c2x)
13 EMBED Equation.3 1415
А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е-х(c1cos13 EMBED Equation.3 1415x+c2sin13 EMBED Equation.3 1415x )
Г) у=е-3х (с1cosx+c2sinx)
Ключи к тесту:
Вариант
1
2
3
4
5
1
Б
В
В
Б
Г
2
Б
А
Б
В
В
V. Домашнее задание:
Составить три диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения четвертого порядка;
Решить эти уравнения;
Рефлексия, итоги урока
ДУ с разделяющимися переменными
Линейное ДУ первого порядка
ДУ третьего порядка
Однородное ДУ первого порядка
Линейное однородное ДУ второго порядка
ДУ второго порядка
Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка
нужно:
Если k113 EMBED Equation.3 1415k2, то
у=c1ek13 EMBED Equation.3 1415x + c2ek13 EMBED Equation.3 1415х13 EMBED Equation.3 1415
1
Если k1 = k2, то
у= еkx(c1 +c2x)
2
Если k1 и k2 – комплексные числа, то у=еах(с1cosbx +c2sinbx)
3
Заменить у11, у1, у на k2, k,1
4
5
Составить характеристическое уравнение вида: k2+px+q=0
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native