Практическая работа Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными

Практическая работа
Тема: Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными, с тремя неизвестными.
Цель: обобщить знания учащихся по методам решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, применение определителей к решению систем. Расширить, систематизировать, закрепить знания учащихся о решении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Теоретическая часть: 1. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. Метод подстановки заключается в следующем:
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражено через х (или х через у).
Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.
Находят корни этого уравнения.
Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующее значение х (или у).
Пример. Решить систему уравнений
8х-3у=46,5х+6у=13.Решение: 1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:
х =46+3у82) Подставляем это выражение во второе уравнение:
5∙46+3у8+6у=133) Решаем полученное уравнение:
5(46+3у)+48у=104,230+15у+48у=104,
15у+48у=104-230,63у=-126,у=-2.
Найденное значение у=-2 подставляем в выражение х =46+3у8;
получаем: х=46-68, т.е. х=5.Ответ: (5;-2).
2. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения. Метод сложения состоит в следующем:
1) Обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части другого уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну и ту же абсолютную величину.
2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга; этим одно из неизвестных исключается.
3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Подставляем полученное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и находим второе неизвестное.
Пример. Решить систему уравнений
8х-3у=46,5х+6у=13.2
Решение: 1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго –на 1, т.е. оставляем второе уравнение неизменным:
8х-3у=465х+6у=13
+
16х-6у=92,5х+6у=13
21х =105
3) Решаем полученное уравнение:
х =105 21=5.4) Подставляем значение х=5 в первое уравнение;
имеем:
40-3у=46;-3у=46-40;-3у=6;у=-2.
Ответ: (5;-2).
3. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Для того, чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
Пример. Решить графически систему линейных уравнений
3х+2у=5,2х-у=8.Решение:1) Выразим переменную у из первого и второго уравнений
у =5-3х2иу = 2х – 8
2) Построим график уравнения у = 5-3х2 по двум точкамх1 3
у 1 -2
Также строим график уравнения у = 2х – 8

х0 4
у -8 0
2х-у=8
у
Полученные прямые не параллельны,
3
их пересечением является точка М(3;-2).
х0

-2
М

3х+2у=5

Ответ: М(3;-2)
4. Применение определителей к решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными
a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2Определителем второго порядка, составленным из чисел a11,a12, a21, a22 называется число, определяемое равенством
∆=a11a12a21a22=a11∙a22=a21∙a12a11,a22 – элементы главной диагонали
a21, a12 – элементы побочной диагонали
Формулы Крамера: x=∆x∆; y=∆y∆∆x=b1a12b2a22∆y=a11b1a21b2Пример: Решить систему уравнений
3x+4y=18,2x+5y=19Решение:
Найдем определитель ∆=3425=3∙5-2∙4=15-8=7≠0Найдем определители∆x=184195=18∙5-19∙4=90-76=14∆y=318219=3∙19-2∙18=57-36=21Примененим формулы Крамераx=∆x∆=147=2;y=∆y∆=217=3Ответ: (2;3)
5. Применение формул Крамера к решению систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:
a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3Определитель третьего порядка можно вычислить методом разложения по элементам первой строки:
∆=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11∙a22a23a32a33-a12∙a21a23a31a33+a13∙a21a22a31a32Формулы Крамера:x=∆x∆;y=∆y∆;z=∆z∆, где
∆x=b1a12a13b2a22a23b3a32a33,∆y=a11b1a13a21b2a23a31b3a33,∆z=a11a12b1a21a22b2a31a32b3Определитель третьего порядка можно вычислить также так:
а11а12а13а21а22а23а31а32а33=а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а13а22а31 – а12а21а33 – а11а23а32
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:
«+» «-»

Пример: Решить систему уравнений
7x-3y+5z=325x+2y+z=112x-y+3z=14Решение: вычислим определители:
∆=7-355212-13=7∙21-13—3∙5123+5∙522-1=72∙3-1∙-1+35∙3-2∙1+55∙-1-2∙2==7∙7+3∙13+5-9=49+39-45=43≠0∆x=32-35112114-13=32∙21-13—3∙111143+511214-1==326—1+333-14+5-11-28==32∙7+3∙19+5∙-39=224+57-195=86∆y=732551112143=7∙111143-32∙5123+5∙511214==733-14-3215-2+570-22==7∙19-32∙13+5∙48=133-416=240=-43∆z=7-33252112-114=7∙211-114+3∙511214+32∙522-1==7∙28+11+3∙70-22+32∙-5-4==7∙39+3∙48+32∙-9=273+144-288=129Итак, по формулам Крамера имеем:
x=∆x∆=8643=2;y=∆y∆=-4343=-1;z=∆z∆=12943=3Ответ: (2; –1; 3)
6. Решение систем уравнений методом Гаусса.
Численность решений линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х и 3-х уравнений. В случае же большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.
Метод Гаусса состоит в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это действие называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подставок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
умножение и деление коэффициентов на одно и то же число
сложение и вычитание уравнений
перестановку уравнений системы
исключение из системы уравнений, в которых все свободные члены и коэффициенты при неизвестных равны 0.
Пример: Решите систему методом Гаусса
3x+2y+z=5x+y-z=04x-y+5z=3Решение:
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и введем так, называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов данной строки
32111-14-1550311111Поменяем 1-ую и 2-ую строку местами
11-13214-1505311111Умножим 1-ую строку на 3, вычтем ее из 2-ой, затем, умножая 1-ую строку на 4, вычтем ее из 3-ей
1110-140-59053187Изменим знаки во 2-ой строке
11-101-40-590-531-87Умножим 2-ую строку на 5 и сложим с 3-ей
11-101-400-110-5-221-8-33Разделим 3-ю строку на (-11)
11-101-40010-521-83Используя полученную матрицу, преобразуем систему и получим решение
x+y-z=5y-4z=-5z=2x=-1y=3z=2Ответ: (–1; 3; 2)

Задания для самостоятельного решения:
Вариант-1.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 3х-у=-4,х-3у=-4;б) способом сложения: 3х-2у=1,6х-4у=2;в) графическим способом: 2х-3у=2,4х-6у=3;г) по формулам Крамера: 3х-5у=13,2х+7у=81;Решить системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:5x+8y+z=2,3x-2y+6z=-7,2x+y-z=-5.б) методом Гаусса: 5x-5y-4z=-3,x-y-5z=11,4x-3y-6z=-9.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится: а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится: а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-2.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 4х+9у=21,12х+15у=51;б) способом сложения: х+7у=3,3х-2у=32;в) графическим способом: х-4у=1,2х-8у=2;г) по формулам Крамера: 3х-4у=-6,3х+4у=18;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:2x-3y+z=-7,x+4y+2z=-1,x-4y=-5.б) методом Гаусса: x-4y-2z=0,3x-5y-6z=-21,3x+y+z=-4.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-3.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 8х-у=-15,-х+8у=-6;б) способом сложения: 3х+8у=31,6х-4у=2;в) графическим способом: 2х+2у=7,х+у=3;г) по формулам Крамера: 2х+3у=7,4х-5у=2;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:2x-7y+z=-4,3x+y-z=17,x-y+3z=3.б) методом Гаусса: 2x+3y+4z=15,x+y+5z=16,3x-2y+z=1.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-4.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 10х+27у=10,-25х+12у=-25;б) способом сложения: 4х-3у=23,3х+11у=4;в) графическим способом: 3х-6у=9,х-2у=3;г) по формулам Крамера: 5х+2у=29,3х+4у=23;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:5x-3y+2z=19,4x+5y-3z=31,3x+7y-4z=31.б) методом Гаусса: 10x+y+4z=1,x-2y-7z=-3,2x+y+5z=0.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-5.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 1-4х=у,2-у=х+у;б) способом сложения: 2х+5у=4,9х-2у=-31;в) графическим способом: х-2у=2,4х-8у=8;г) по формулам Крамера: 4х+3у=28,3х-5у=21;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:4x+y-2z=10,-x+3y-z=-1,3x-y+5z=1.б) методом Гаусса: 2x-y+2z=-3,x+2y-z=4,3x+y+3z=3.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-6.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 2х-3у=4,-8х+12у=8;б) способом сложения: 3х+4у=18,2х+5у=19;в) графическим способом: х+у=0,-2х-2у=0;г) по формулам Крамера: 3х+2у=13,4х-3у=6;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:3x+4y+2z=5,5x-6y-4z=-3,-4x+5y+3z=1.б) методом Гаусса: 4x-y-5z=1,x+y-2z=6,3x-2y-6z=-2.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-7.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: х+3=34у,212х+1=113у;б) способом сложения: 4х+9у=11,2х-у=-11;в) графическим способом: 4х-6у=2,х-2у=1;г) по формулам Крамера: 3х-2у=5,4х+у=14;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:3x+2y+z=14,2x+y+4z=12,x+3y+2z=11.б) методом Гаусса: 3x-2y+z=-3,x+y+z=1,5x+y-2z=11.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-8.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 3х-y=3,3х-2y=0;б) способом сложения: 5х-8у=20,3х+2у=-22;в) графическим способом: х=6-у,у=6-х;г) по формулам Крамера: 3х-5у=7,4х+у=17;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:x+y+z=5,x-y+z=1,x+z=2.б) методом Гаусса: 2x-3y+z=-3,x+5y-z=-1,3x+y+4z=11.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-9.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 2х-3у=1,3х+у=7;б) способом сложения: 3х-5у=16,2х+у=2;в) графическим способом: 4х-3у=-1,х-5у=4;г) по формулам Крамера: 5х-3у=16,2х+4у=22;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:x-2y+3z=3,3x+y-6z=-7,9x-2y-z=3.б) методом Гаусса: 5x+y-2z=5,10x+y+z=0,x-y+z=-11.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-10.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки: 2х-3у=11,5х+у=2;б) способом сложения: 3х-2у=16,4х+у=3;в) графическим способом: х+4у=7,х-2у=-5;г) по формулам Крамера: 5х-2у=6,7х-5у=4;Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:5x-5y-4z=-3,x-y-5z=11,4x-3y-6z=-9.б) методом Гаусса: x-4y-2z=0,3x-5y-6z=-21,3x+y+z=-4.Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Основные учебные издания:
Книги одного автора:
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебн. пособие для ссузов.-3-е изд. стер. - М.: Дрофа,2006.-204с.
Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.: Дрофа,2005.-236с.
Стойлова Л.П. Математика: уч. Пособие для студ. Высш. учеб. заведений.-3-е изд., стер. - М: Издательский центр «Академия»,2005.-432с.
Филимонова Е.В.Математика для средних спец. уч.заведений.: учебное пособие.-Изд.4-е,доп.и перераб .-Ростов н/Д:.Феникс,2008.-414с.
Книги двух авторов:
Лисичкин В.Т. ,Соловейчик И.П. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие.3-е изд., стер. - СПб.:Идательство «Лань»,2011.-464с.
Книги трех авторов:
Подольский В.А. Сборник задач по математике: учебное пособие / Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С.-3-е изд., стер.- М.: Высш. Шк.2005.-495с.