Методические рекомендации по проведению практических занятий по математике для студентов 2 курса СПО по специальности 220703 Автоматизация технологических процессов и производств
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Губернский колледж г. Сызрани»
технический профиль
МЕТОДИЧЕСКИЕ
Р Е К О М Е Н Д А Ц И И
ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Специальность:
190623 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог.
220703 Автоматизация технологических процессов и производств.
Разработала преподаватель Барабанова Л.Н.
Методические рекомендации для студентов СПО разработаны преподавателем для использования их при выполнении практических работ на уроках математики. Практические задания подобраны по уровню сложности: блок А для слабоуспевающих обучающихся; блок В для сильных.
2013 - 2014 учебный год
Успешно решать задачу обучения математике возможно лишь при наличии активной познавательной деятельности и самостоятельности студентов. В результате активной учебной работы учащиеся не только овладевают знаниями, но и развивают умственные способности, знакомятся с методами познания, формируют умственные и физические силы для решения проблемы преемственности в системе непрерывного образования. Для лучшего усвоения теоретического материала математические понятия следует формировать на основе практики, параллельно с процессом абстрагирования.
По дидактическим функциям практические занятия делятся на обучающие, познавательные и проверочные. Эффективность познавательной деятельности учащихся повышается при проведении обучающего практического занятия. В результате такой работы новые знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих учащихся. Практические работы проводятся по учебному плану по темам:
– Вычисление пределов функции. – Вычисление производных. Исследование функций. – Вычисление неопределенных интегралов. – Вычисление определенных интегралов. – Приложение интеграла к решению задач. – Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. – Операции над множествами. – Вычисление вероятностей.
Изучив теоретический материал по данной теме, учащиеся выполняют практическую работу. Она предлагается как сильным ученикам, так и слабоуспевающим. Примеры подобраны по уровню сложности: для слабоуспевающих – блок А, для сильных–блок В. Сам учащийся определяет уровень сложности на первом этапе решения и впоследствии может его изменить. При решении можно пользоваться справочным материалом. Данные работы носят как репродуктивный, так и поисковый характер. Формы работы фронтальная и индивидуальная.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Темеа. Вычисление пределов функции.
Цель: закрепить навыки вычисления пределов функции
Определение. Число в называется пределом функции
·( х ), при х стремящемся к а, если при любом
· > 0 существует такая окрестность точки а, что для любого х
· а из этой окрестности
·
·(х) – b
· <
·. Предел обозначается так: 13 QUOTE 1415 = b
Теорема 1. Если при х 13 QUOTE 1415 а существуют пределы функций
·(х) и g(х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций
·(х) и g(х): 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415.
Теорема 2. Если при х 13 QUOTE 1415 а существуют пределы функций
·(х) и g(х), то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций
·(х) и g(х): 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 · 13 QUOTE 1415.
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела. 13 QUOTE 1415 = k13 QUOTE 1415.
Теорема 3. Если при х 13 QUOTE 1415 а существуют пределы функций
·(х) и g(х), то существует также и предел их отношения, равный отношению пределов функций
·(х) и g(х): 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 / 13 QUOTE 1415.
Пример 1. Найти 13 QUOTE 1415. Решение. По теореме 1 о пределе суммы функций и следствию из теоремы 2 имеем: 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 813 QUOTE 1415 = = 2 ·25 + 8 · 5 = 90.
Фронтальная практическая работа.
Упражнения.
Вычислить пределы функций: 1.1 13 QUOTE 1415 + 313 QUOTE 1415 - х + 5); 1.2 13 QUOTE 1415 ;
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· (Ответы. 1.1. 11. 1.2. - 13 QUOTE 1415 . 1.3. 0,1 1.4. 5.) При решении примеров на отыскание пределов при х 13 QUOTE 1415 следует использовать следующую таблицу простейших пределов, в которых С и а > 0 постоянные.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· = 0, если а < 1. 6. 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415, если а > 1.
7. 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415, если а < 1. 8. 13 QUOTE 1415 = 0, если а > 1.
Пример 2. Найти предел функции 13 QUOTE 1415 .
Решение. 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 1. Упражнения. Найдите предел функции:
1.5 13 QUOTE 1415. 1.6 13 QUOTE 1415 . 1.7 13 QUOTE 1415.
(Ответы. 1.5 1. 1.6 1. 1.7 - 13 QUOTE 1415 . )
Индивидуальная практическая работа.
1. Докажите равенство.
Блок А. Блок В
а) 13 QUOTE 1415 = 0. а) 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 .
б) 13 QUOTE 1415= 14. б) 13 QUOTE 1415 = 3.
2. Найдите предел функции.
Блок А. Блок В.
а) 13 QUOTE 1415 ; а) 13 QUOTE 1415 ;
б) 13 QUOTE 1415; б) 13 QUOTE 1415 ;
в) 13 QUOTE 1415 в) 13 QUOTE 1415 ;
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема. Вычисление производных.
Цель:
Производная функции у =
·(х) в точке х0 – это предел отношения приращения функции 13 QUOTE 1415у в этой точке к соответствующему приращению аргумента 13 QUOTE 1415х при 13 QUOTE 1415 0.
у
·(х) = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 .
Производная обозначается у
· («игрек штрих») или f
·(х) («эф штрих от икс») или 13 QUOTE 1415 ( «де игрек по де икс»).
Таблица производных
1
(С)
· = 0, где С – постоянное число
10
(х)
· = 1
2
(
· 13 QUOTE 1415 %)
· =
·
· 13 QUOTE 1415
·
11
(13 QUOTE 1415 )
· = - 13 QUOTE 1415
3
(
·%)
·=
·
·% +
·%
·
12
(13 QUOTE 1415)
· = 13 QUOTE 1415
4
13 QUOTE 1415
· = 13 QUOTE 1415
13
13 QUOTE 1415 )
· = 13 QUOTE 1415
5
(С
·)
· = С
·ґ
14
(sinх)
· = cоs х
6
(13 QUOTE 1415)
· = n13 QUOTE 1415
15
(cоs х)
· = - sin х
7
(13 QUOTE 1415 )
·= 13 QUOTE 1415
16
(tg х)
· = 13 QUOTE 1415
8
13 QUOTE 1415 )
· = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
17
(ctg х)
· = - 13 QUOTE 1415
9
(13 QUOTE 1415)
·= 13 QUOTE 1415
18
Фронтальная практическая работа
1. Найдите производные функций
а) у = 13 QUOTE 1415 - 4х + 3 б) у = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 в) у = 13 QUOTE 1415 г) у = 13 QUOTE 1415
2. Найти производную второго порядка от функции у = х13 QUOTE 1415sinх.
3. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону µ = 313 QUOTE 1415- 15t + 2, равна 0? Найти ускорение тела.
Индивидуальная практическая работа
Найти производную первого порядка :
Блок А Блок В
а) у = ех + е-х а) у = 4 е5х - 1
б) у = 13 QUOTE 1415 + 513 QUOTE 1415 + х б) у = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
в) у = 13 QUOTE 1415 в) у = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415tgх
г) у = 13 QUOTE 1415 sin х + 13 QUOTE 1415 г) у = sin (2х - 1)13 QUOTE 1415еах
2. Решить задачи:
а) Тело движется по закону µ = 13 QUOTE 1415 - 613 QUOTE 1415- 4t – 8(м). Определите скорость тела в конце 5 – ой секунды.
б) Найти ускорение тела, движущего по закону µ = 0,513 QUOTE 1415 sin 2t (м), при t = 13 QUOTE 1415.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема. Исследование функций.
Схема исследования функций:
Найти область определения функции.
Установить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки разрыва и исследовать пределы функции в этих точках.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Исследовать интервалы возрастания и убывания функции.
Для исследования функции на возрастание и убывание находят производную
·
·(х) функции
·(х) определяют ее знак. (Если
·
·(х) 13 QUOTE 1415 0, то
·(х) возрастает; если
·
·(х) 13 QUOTE 1415 0, то
·(х) убывает)
Найти точки перегиба.
Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость.
Найти точки пересечения с осями координат.
Определить промежутки знакопостоянства функции, т.е. промежутки, на которых
·(х) 13 QUOTE 1415 0 и
·(х) 13 QUOTE 1415 0.
Построить график заданной функции.
Пример 1. Исследовать функцию у = 13 QUOTE 1415 и построить ее график. Решение. Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 1, поэтому, D(у) = (-13 QUOTE 14151) 13 QUOTE 1415 (1; +13 QUOTE 1415). * Так как у (-х) = 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415 , то функция ни четная и ни нечетная. * Так как у(х + Т) = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 ни при каком Т 13 QUOTE 14150, то данная функция не периодическая. * Строим прямую х = 1. В случае, когда х приближается к 1 слева, значения функции стремятся к – 13 QUOTE 1415, а в случае, когда х приближается к 1 справа, значения функции стремятся к + 13 QUOTE 1415. Так как у = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = х + 1 + 13 QUOTE 1415 , то при |х| 13 QUOTE 1415 график этой функции приближается к графику функции у1 = х +1. * Находим производную у
· = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 и из уравнения 13 QUOTE 1415- 2х – 3 = 0 определяем критические точки: х1 = - 1 и х2 = 3. Так как для точек интервала ( - 13 QUOTE 1415; - 1) производная имеет знак «+», а для точек интервала ( - 1; 1) производная имеет знак «-», то точка х1 = -1 является точкой максимума функции. Аналогично убеждаемся, что точка х2 = 3 является точкой минимума функции. * Так как уравнение х2 + 3 = 0 не имеет действительных корней, то график функции не пересекает ось 0х. * На интервале (- 13 QUOTE 1415; - 1) функция возрастает, на интервале ( - 1; 1) – убывает, на интервале (1; 3) вновь убывает, на интервале (3; + 13 QUOTE 1415) – возрастает. Найдем точки графика при х1 = - 1 и х2 = 3; А ( - 1; - 2); В (3; 6). * Найдем точки пересечения графика функции с осью 0у: у(0) = - 3. * Построим график исходной функции.
у
6 В у = х + 1
-1 1 3 Х
А -2
-3
х = 1
Фронтальная практическая работа
Исследуйте функцию и постройте ее график
1. у = 13 QUOTE 1415+ 2х. 2. у = 3х - 13 QUOTE 1415.
3. у = 13 QUOTE 1415 . 4. у = х + 13 QUOTE 1415 .
5. у = х13 QUOTE 1415 – 6х. 6. х3 – 6 х2.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Вычисление вероятностей.
Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События бывают достоверными, невозможными и случайными.
Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.(Например: выпадение от 1 до 6 очков при бросании игральной кости)
Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.(Например: выпадение 7 очков при бросании игральной кости)
Случайное событие – это событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти. (Например: выпадение от 1 до 6 очков при бросании игральной кости)
События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. (Например: при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки)
События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого. (Например: при игре в карты появление валета и масти пик).
Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу n: Р(А) = 13 QUOTE 1415 .
10. Теорема сложения вероятностей. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = В(А) + Р(В).
Если события А и В совместны, то Р(А + В) = В(А) + Р(В) – Р(АВ).
20. Теорема умножения вероятностей. Если события А и В независимы, то
Р(АВ) = Р(А) 13 QUOTE 1415 Р(В).
30. Вероятность противоположного события
· вычисляется по формуле
Р(
·) = 1 – Р(А).
· – событие, противоположное событию А (читается «не А»)[событие, состоящее в ненаступлении события А]
Пример 1. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).
Решение.
Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: m = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: n = 20. Тогда :
Р(А) = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 =0,5.
Пример 2. Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.
Решение.
Событие А – выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = 13 QUOTE 1415 . Событие В(А) – вы- падение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = 13 QUOTE 1415 . События несовместные, поэтому
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415 .
Пример 3. В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго – 15, из 30 вопросов третьего – 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.
Решение.
Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые события А, В, С, а их вероятности соответственно равны: Р(А) = 13 QUOTE 1415.
Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(К) находим по формуле
Р(К) = Р(А) 13 QUOTE 1415 Р(В) 13 QUOTE 1415 Р(С) = 13 QUOTE 1415 =0,125.
Фронтальная практическая работа.
В урне 12 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 8 черных 4 белых. Из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?
Из 600 наудачу взятых деталей 12 оказались бракованными. Найти частоту появления бракованных деталей.
На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой, 15 – второй и 10 – третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.
В одной урне 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Операции над множествами.
Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Множество состоит из элементов (множество студентов колледжа, рациональ- ных чисел). Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами а, b, с, ,у. Пример 1. Если N – множество натуральных чисел, то 2 13 QUOTE 1415, 10 13 QUOTE 1415 N, но - 5 13 QUOTE 1415 N. Пример 2. Пусть А – множество всех стран Европы, тогда Англия 13 QUOTE 1415 А, в то время как Индия 13 QUOTE 1415 А.
Объединением множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А1 , А2 .
Пересечением множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А1 и множеству А2 одновременно.
Разностью множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее только из тех элементов множества А1 , которые не содержатся в множестве А2.
Дополнением (до U) множества А называется множество
· всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих универсальному множеству U.
Фронтальная практическая работа.
Запишите множество А, элементы которого суть делители числа 24.
Найдите множество целых корней уравнения 9х2 – 1 = 0.
Найдите пересечение множеств А = {0, 1, 2,3}, В = { -1,2, 3, 4, 5, 6}.
Пусть Х – это множество государственных предприятий с годовым оборотом b не ниже а. Пусть Y – это множество предприятий с годовым оборотом b не выше с. (Пусть, а13 QUOTE 1415 с). Определить пересечение множеств Х 13 QUOTE 1415 Y.
Найдите разность множеств А = { 2n – 1, n 13 QUOTE 1415 N} и В = {4m + 1, m 13 QUOTE 1415 N}.
Даны множества А1 = {а, b, с}; А2 = {с, d, e, f}; U = { а, b, c, d, е,f }. Осуществите над множествами операции а) объединения;
б) пересечения;
в) разности;
г) дополнения.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Вычисление неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл функции у = f(х) – это совокупность всех первообразных функций F(х) + С для функции f(х). Обозначается символом 13 QUOTE 1415= F(х) + С, где 13 QUOTE 1415знак интеграла; f(х) – подынтегральная функция; f(х) dх – подынтегральное выражение; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; х – переменная интегрирования.
Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.
Геометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются путем параллельного переноса вдоль оси 0у.
у
С1 Кубическая парабола у = 13 QUOTE 1415dх = 13 QUOTE 1415 + С;
С2 0 х
С3
Основные свойства неопределенного интеграла
d 13 QUOTE 1415 = f(х) + С.
13 QUOTE 1415 = f(х) + С.
13 QUOTE 1415 = С 13 QUOTE 1415 – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 - интеграл суммы равен сумме интегралов.
Основные способы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования, который заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл 13 QUOTE 1415.
Решение. Используя 3 и 4 свойства неопределенного интеграла и таблицу интегрирования, получаем (таблица прилагается) 13 QUOTE 1415 = 3 13 QUOTE 1415 + 2 13 QUOTE 1415 = 3 13 QUOTE 1415- 2cоs х + С.
Метод подстановки или метод введения новой переменной.
Это самый эффективный прием сведения неопределенного интеграла к табличному виду.
Пример 2. Найти неопределенный интеграл 13 QUOTE 1415.
Решение. Положим х + 1 = t, тогда х = t – 1; 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415. Продифференцировав х + 1 = t, получим dх = dt. 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 213 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 213 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415 =
13 QUOTE 1415 - 2 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 + С = 13 QUOTE 1415+ 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 + С.
Метод интегрирования по частям. Пусть функция u = u(х) и v = v(х) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: 13 QUOTE 1415= uv - 13 QUOTE 1415.
Пример 3. Найти 13 QUOTE 1415 .
Решение. Обозначим u = 13 QUOTE 1415; dv = dх, 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 ,т.е. v = х; du = (13 QUOTE 1415)' dх. По формуле (1) получаем: 13 QUOTE 1415 = х 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415 = х 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415 = х 13 QUOTE 1415 - х + С = х (13 QUOTE 1415)+ С.
Фронтальная практическая работа.
Найти неопределенный интеграл:
13 QUOTE 1415. 2. 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415. 4. 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 . 6. 13 QUOTE 1415.
7.13 QUOTE 1415. 8. 13 QUOTE 1415 .
9. 13 QUOTE 1415. 10. 13 QUOTE 1415
Индивидуальная практическая работа
Найти неопределенный интеграл:
Блок А Блок В
13 QUOTE 1415. 1. 13 QUOTE 1415 . 2. 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415. 3. 13 QUOTE 1415. 4. 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 . 5. 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 . 6. 13 QUOTE 1415. 7. 13 QUOTE 1415 .
13 QUOTE 1415 . 6. 13 QUOTE 1415 . 8. 13 QUOTE 1415. 9.13 QUOTE 1415.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Вычисление определенного интеграла.
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(х) на отрезке [а, b]. Определенный интеграл обозначается: 13 QUOTE 1415, где f(х) – подынтегральная функция; х – переменная интегрирования; число а называется нижним пределом интеграла, b – верхним; [а, b] – промежуток интегрирования.
Если F(х) – первообразная функция для непрерывной функции у = f(х), т.е. F'(х) = f(х), то имеет место формула: 13 QUOTE 1415 = F(х)|13 QUOTE 1415= F(b) – F(а). Это формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так: Определенный интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(х) при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Разница между определенным и неопределенным интегралами: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – это функция.
Основные свойства определенного интеграла
При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415.
Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
13 QUOTE 1415 = 0.
Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Определенный интеграл от алгебраической суммы(разности) функций равен алгебраической сумме(разности) их определенных интегралов:
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
13 QUOTE 1415 = С 13 QUOTE 1415.
Если функция f(х)13 QUOTE 14150 всегда на отрезке [а,b], то 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Если f(х) 13 QUOTE 1415 g(х) всюду на отрезке [а,b], то 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b и частью графика функции у = f(х), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна у b
Геометрическая интерпретация а определенного интеграла.
х
Пример 1. Вычислите: 13 QUOTE 1415.
Решение. Применим формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного интеграла:
13 QUOTE 1415 = 3 13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415|32 = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 = 27 – 8 = 19.
Пример 2. Вычислите: 13 QUOTE 1415 .
Решение. Обозначим 4х + 3 = z, откуда 4dх = dz или dх = 13 QUOTE 1415 ; при х = – 1, tн = – 4 + 3 = – 1; при х = 1, tв = 4 +3 = 7. Следовательно,
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415 .
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную графиками функций у = 13 QUOTE 1415 и у = х.
Решение. Построим графики данных функций, найдя предварительно точки их пересечения путем решения системы: у = х2, у = х. Решив систему, получим точки О (0; 0) и А (1; 1).
у = х2 у Взяв f(х) = х, вычислим площадь 13 QUOTE 1415ОАВ, а
взяв f(х) = х2 , вычислим площадь криво-
у = х линейного 13 QUOTE 1415 ОАВ. Затем из первого
А результата вычтем второй. Итак,
В х 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415|13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 – 0 = 13 QUOTE 1415 ;
0 1 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415|13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 – 0 = 13 QUOTE 1415. Следовательно, площадь S фигуры, ограниченная заданными линиями S = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 (кв.ед.)
Фронтальная практическая работа.
Вычислите:
13 QUOTE 1415. 2. 13 QUOTE 1415. 3. 13 QUOTE 1415. 4. 13 QUOTE 1415 . 5. 13 QUOTE 1415.
6. Определить площадь полуволны синусоиды.
7. Определить площадь, ограниченную графиками функций у = х2 и у = 3х.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 – 6х2 + 11х – 6, осью 0х и прямыми х = 0 и х = 4.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Приложение интеграла к решению задач.
Определенный интеграл находит широкое применение при решении физико-технических задач различного характера. С его помощью можно вычислить работу, производимую силой; давление жидкости; путь, пройденный телом; центр тяжести фигуры; объемы тел по площадям сечений и многие другие величины.
При всем их разнообразии эти задачи объединяет общность метода решения, а именно: во всех задачах необходимо вычислить предел суммы растущего числа малых слагаемых.
Применение определенного интеграла к решению задач прикладного характера проводится по следующим правилам.
Выбирают независимую переменную, искомую величину разбивают на как угодно малые части, постепенно увеличивая их число так, что величина каждой стремится к нулю.
Отбрасывая, бесконечно малые более высокого порядка малости, заменяют каждую из бесконечно малых частей искомой величины эквивалентной, так называемой элементарной, ее частью f (х)13 QUOTE 1415х.
Независимая переменная изменяется в пределах от а до b, и потому искомая величина равна 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415.
Вычисление работы, производимой силой.
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси 0х материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле А = 13 QUOTE 1415.
Пример 1. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из бассейна, имеющего форму полуцилиндра, длина которого a = 25 м, а радиус R = 20 м.
Решение. Примем за х высоту, на которую надо поднять воду, чтобы выкачать ее из бассейна. Разобьем объем бассейна на слои, параллельные поверхности воды, толщина которых dх, длина а, ширина 213 QUOTE 1415. Назовем их элементарными слоями. Объем элементарного слоя, находящегося на глубине х, dV = 2 а13 QUOTE 1415.
Для подъема этого слоя воды на высоту х необходимо выполнить элементарную работу dА = 13 QUOTE 1415gхdV = 13 QUOTE 1415g ах13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 – плотность воды.
Значит, вся работа по выкачиванию воды из бассейна А = 13 QUOTE 1415 а13 QUOTE 1415g 13 QUOTE 1415. = – а13 QUOTE 1415g 13 QUOTE 1415|13 QUOTE 1415 = = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415gа13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415g2513 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415g.
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: F = kх, где F – сила, Н; х – абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F; k – коэффициент пропорциональности, Н/м.
Пример 2. Вычислить работу силы F при сжатии винтовой пружины на 0,04м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила 10 Н.
Решение. Так как х = 0,01м при F = 10 Н, то по закону Гука 10 = k13 QUOTE 14150,01, откуда k = 1000 Н/м. Значит F = 1000 k, т.е. f(х) = 1000 х. Искомую работу найдем по формуле А = 13 QUOTE 1415, полагая а = 0, b = 0,04;
А = 13 QUOTE 1415 = 50013 QUOTE 1415|13 QUOTE 1415 = 0,8 Дж.
Вычисление пути, пройденного материальной точкой.
Если точка движется по некоторой линии и ее скорость 13 QUOTE 1415 = f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1; t2], S = 13 QUOTE 1415.
Пример 3. Найти путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд от начала движения со скоростью 13 QUOTE 1415 = 0,1 13 QUOTE 1415 м/с.
Решение. S = 13 QUOTE 1415 = 0,113 QUOTE 1415 |13 QUOTE 1415 = 0,113 QUOTE 1415 – 0 = 250м.
Фронтальная практическая работа.
Скорость движения точки по закону % = (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой эа 10 секунд от начала движения.
Скорость движения точки % = (9t2 – 8t) м/с. Найти путь, пройденной точкой за четвертую секунду.
Скорость движения точки % = (12t – 3t2) м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из полусферического сосуда, диаметр которого 20м.
Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1м?
Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Тема: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения широко используются для решения прикладных задач. Многие производственные процессы достаточно просто и полно описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому весьма важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь в каждом конкретном случае, исходя из чисто практических нужд, составлять эти уравнения. Составление дифференциального уравнения по условию задачи состоит обычно в определении математической зависимости между переменными величинами, фигурирующими в условии задачи, и их приращениями, которые обычно заменяются соответствующими дифференциалами.
Общими положениями при составлении дифференциального уравнения по условию задачи являются следующие.
В результате анализа условия задачи установить, какую из величин надо принять за аргумент, а какую – за функцию.
Установит, какой конкретный смысл имеет производная искомой функции или дифференциалы аргумента и функции.
Найти соотношения, связывающие производную искомой функции (или дифференциалы), т.е. составить дифференциальное уравнение, соответствующее условию задачи.
Определить начальные условия.
Пример 1. Найти закон движения тела по оси 0х, если оно начало двигаться из точки М (4;0) со скоростью % = 2t + 3t2.
Решение. При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через х, имеем % = 13 QUOTE 1415 ; тогда 13 QUOTE 1415 = 2t +3t2, или dх = (2t + 3t2) dt. Проинтегрировав, получим х = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 + С. Используя начальные условия, найдем С. Так как х = 4 при t = 0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С = 4. Итак, закон движения тела имеет вид х = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 + 4.
Пример 2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4х – 3.
Решение. Согласно условию задачи, имеем 13 QUOTE 1415 = 4х -3, или dу = (4х -3) dх. Проинтегрировав, получим у = 2х2 – 3х + С. Используя начальные условия х = 2 и у = – 3, находим С = – 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид у = 2х2 – 3х – 5.
Индивидуальная практическая работа.
Подобрать (задать) условие задачи на составление дифференциального уравнения.
эмблема колледжаРисунок 1эмблема колледжа15