Теоретические основы обучения теме «Методика обучения понятию линейной и дробно-линейной функций , их свойствам и графикам» при подготовке школьников к итоговой аттестации.

Теоретические основы обучения теме
«Методика обучения понятию функции: , их свойствам и графикам»
при подготовке школьников к итоговой аттестации.
Логико-дидактический анализ темы
«Методика обучения понятию функции: , их свойствам и графикам»
по УМК Алгебра. 7,8 класс. Мордкович А.Г.
Тема «Методика обучения понятию функции: , их свойствам и графикам» занимает начальное место в систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа. Тема изучается в 7 и 8 классах. Тема рассчитана на 3 часа в 7 классе и на 2 час в 8 классе, включает в себя следующие параграфы: § 9 Линейная функция y=kx (7 класс) и § 18 Функция y=kx, ее свойства и график (8 класс).
Вводятся понятия:  Функциональные понятия - зависимая переменная и независимая переменная, график, линейная функция, прямая пропорциональность, обратная пропорциональность,
закладываются представления о графике, линейной функции, прямой пропорциональности и обратной пропорциональности.
Рассматриваются понятия функций вида , координатной плоскости, построение точек по координатам, формулируется алгоритм построения линейной функции y=kx+b и алгоритм построения функции y=kx, формулируются свойства функции.
Большое внимание уделяется формированию всех фундаментальных понятий и выработке соответствующих навыков, а также изучению конкретных функций с рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами.
Для данного УМК приоритетной является функционально графическая линия, построение материала осуществляется по схеме: функция – уравнения - преобразования. Особенностью курса является то, что он базируется на функционально - графическом подходе. Это выражается в том, что какой бы класс функций, уравнений и выражений не изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жёсткой схеме: Функция – уравнения – преобразования. В восьмом классе реализуется второй год обучения. (в отличие от других учебно-методических комплектов)
Ожидаемые результаты в ходе изучения данной темы:
ученики должны иметь представление:
о существе понятия алгоритма;
приводить примеры алгоритмов;
том как используются математические формулы, уравнения; примеры их применения при решении  математических и практических задач.
Как математически определённые функции  могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания.
ученики должны уметь:
строить функции:
Находить значения  функции, заданной формулой, таблицей, графиком по её аргументу;  находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей.
Определять свойства функции по её графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств.
Логико-математический анализ учебного материала темы
«Методика обучения понятию функции: , их свойствам и графикам»
Компоненты анализа учебника Характерно для УМК
Общая структура
а) характеристика частей а) Материал в учебнике по данной теме представлен во 2 главе в §9 (7 класс) и в 3 главе в §18 (8 класс)
б) структура наименьшей части Представление задачного материала.
а) классификация Задачный материал сгруппирован по двум блокам:
Первый (до черты) содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания средней трудности;
второй блок (после черты) содержит задания уровня выше среднего или задания повышенной трудности;
Число заданий в каждом номере унифицировано: либо одно, либо два а,б, либо четыре а,б,в,г;
Каждая глава в задачнике заканчивается разделом «Домашняя контрольная работа» (в двух вариантах);
Каждая глава в учебнике заканчивается разделом «Основные результаты»;
В конце каждой главы учебника представлены темы исследовательских работ;
В конце каждого параграфа – вопросы для самопроверки.
б) представление текста задачи Все задания однотипны в пределах одного номера, поэтому в классе рекомендовано рассматривать а) и б), а для работы дома предлагать задания в) и г).
Другие структурные особенности При изложении материала используется разный цвет и шрифт, а чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал в учебнике используются на полях значки-символы.
Методические особенности,
характер изложения Для изучения курса алгебры в 7-м и 8-м классе ученики должны иметь две книги: учебник и задачник. В учебнике стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической рутинной лексики оборотами. В то же время изложение характеризуется четкостью, алгоритмичностью, выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания ученика на выделенных этапах.
Использование цвета, особых выделений главного В учебнике используются на полях значки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал, побудить учителя к воспитанию у учеников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале.
Наглядность Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.
Повторение В задачнике чересчур много упражнений, это сделано сознательно, чтобы у учителей была возможность выбора, т.е выбора упражнений на повторение в том числе.
Выводы, достоинства В данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий функции: , а так же на отработку свойств функции: . Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям.
Недостатки Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применение новой темы, так как в учебнике не приведено ни одного примера подобной задачи. 
Логико-математический анализ задачного материала темы
Логико-математический анализ задач по теме включает:
Формулировка утверждения Структура утверждения Форма формулировки Вид утверждения Достаточное, необходимое условие Опорные знания
Графики двух линейных функций y=kx+b и y=k1x+b1 пересекаются, если k≠k1Разъяснительная часть: Линейные функции
y=kx+b и y=k1x+b1условие k≠k1Заключение – графики пересекаются Категоричная  простое необходимое условие Понятие линейной функции, пересечения
Графики двух линейных функций y=kx+b и y=k1x+b1 параллельны, если k=k1Разъяснительная часть: Линейные функции
y=kx+b и y=k1x+b1условие k=k1Заключение – графики параллельны Категоричная Простое необходимое условие Понятие линейной функции, параллельности
Вывод: представленные в теме утверждения рассматриваются как свойства функции, выражают необходимое условие. Данные утверждения простые и явно выделены в тексте. Всем утверждениям дается обоснование.
В явном виде алгоритм построения графика линейной функции не представлен.Выделим основную последовательность действий при построении графика y=kx+b:
Найти координаты двух точек графика
Отметить данные точки на координатной плоскости
Провести через полученные точки прямуюДанный алгоритм обладает свойствами:
Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любую линейную функцию;
Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;
Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;
Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;
Результативность, так как алгоритм дает результат.
Опорные знания: понятие линейной функции, координатной плоскости, построение точек по координатам.Также можно выделить алгоритм построения графика функции y=kx:
Найти координату одной точки графика, отличную от точки (0,0)
Провести через полученную точку и точку начала координат прямую.
Данный алгоритм обладает свойствами:
Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любой график функции y=kx;
Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;
Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;
Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;
Результативность, так как алгоритм дает результат.
Опорные знания: понятие функции вида y=kx, координатной плоскости, построение точек по координатам.Вывод: основным материалом темы «Линейная функция, ее свойства и график» является понятие линейной функции, ее свойства и график. Материал темы представлен последовательно и очень доступно.
Логико-дидактический анализ задач.
№ задач По
способу
задания По характеру требований По сложности (I, II, III уровни) По способу решения По дидактической цели
№9.1,№ 9.2, № 18.1, № 18.2, № 18.3 текстовые Построить график функции; найти угловой коэффициент; сделать вывод о взаимном расположении построенных графиков I алгоритмические Отработка алгоритма построения графиков
№ 9.8 - № 9.9 и № 18.5- № 18.8 текстовые Построить график функции; с помощью графика ответить на вопросы II смешанные Отработка свойств функции
№ 9.4 - № 9.7 и № 18.9 - № 18.10 текстовые Выяснить принадлежность точки графику II смешанные отработка умения работать с формулой функции
№ 9.10 - № 9.13 и № 18.11 - № 18.12 текстовые Найти наибольшее и наименьшее значения функций I алгоритмические Отработка свойств функции
№ 9.14 - № 9.19 текстовые задачи с рисунком Задать формулой, определить знак коэффициентов k и m,выяснить в № 9.17, составить уравнение прямой в № 9.18, 9.19 III смешанные Отработка понятия линейной функции
№ 18.4 - № 18.19 текстовые Реши графически уравнение, систему уравнений III смешанные Отработка графического метода решения уравнений и систем
№ 18.22 - № 18.23, № 18.30 - № 18.31 текстовые Найти значение функции III смешанные отработка умения работать с формулой функции
№ 18.24, № 18.25,№ 18.36 текстовые Построить кусочно-заданную функцию III тренировочные Отработка умения построения кусочно-заданной функции
№ 18.33, №18.34 текстовые Докажите III смешанные отработка умения работать с формулой функции