разработка урока Теорема Виета 8 класс

Тема урока: Теорема Виета и теорема, обратная теореме Виета

Тип урока: комбинированный
Технология: проблемно – диалогическая
Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета

Задачи урока:
Образовательные:
- формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях;
- совершенствовать навык решения квадратных уравнений;
- обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.
Развивающие:
- формировать самостоятельность и коммуникативность;
- создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;
- учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.
Воспитательные:
- воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку);
- воспитывать культуру умственного труда.
Материалы к занятию: презентация, задания на карточках, эталоны и критерии для проверки и оценки, карточки для рефлексии.
Ход урока
I.Организационный момент (1 мин)
- Приветствие учителя.
- Прочитайте высказывание Бернарда Шоу  (ирландский драматург, философ и прозаик): «Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность».
- Как вы понимаете это высказывание?
-Урок не может быть вне деятельности, мы с вами будем трудиться в поисках научной истины. Пожелайте друг другу удачи.

II. Актуализация знаний(5 мин)
- Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения)
- Какие уравнения называются квадратными?
- Какие уравнения называются приведенными квадратными?
- Можно ли неприведенное квадратное уравнение представить в виде приведенного?
- Каким образом?
Реши уравнения:
№
Уравнение
Корни уравнения
Сумма корней
Произведение корней

1.
х2 + х –12 = 0
3 и -4
-1
-12

2.
х2 - 12х – 45 = 0
-3 и 15
12
-45

3.
у2+ 8у +15 = 0
-3 и -5
-8
15

4.
у2- 5у +6 = 0
2 и 3
5
6

5.
z2-10z +21 = 0
3 и 7
10
21

6.
z2- 3z -10 = 0
-2 и 5
3
-10

Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.
Сформулировать и доказать теорему Виета.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, то справедливы формулы 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415. p=-5,q=6.
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415. Значит числа 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415- числа
положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых
равно 6, а сумма равна 5. 13 EMBED Equation.3 1415=2, 13 EMBED Equation.3 1415=3 – корни уравнения.
С её помощью можно:
Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,
Зная один из корней , найти другой,
Определить знаки корней уравнения,
Подобрать корни уравнения, не решая его.
По данным двум числам составлять квадратное уравнение.
4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.
Если числа p, q, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 таковы, что удовлетворяют соотношения 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415 - корни квадратного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
III.Создание проблемной ситуации (2 мин)
- А сейчас я приглашаю вас в сказку «Попадет ли Золушка на бал»?
В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история. Король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой свою падчерицу Золушку.
Мачеха: Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдешь сумму и произведение корней 20 уравнений.
Золушка: Я хорошо решаю уравнения, но за 5 минут мне никак не успеть!!!
Учитель: На помощь Золушке спешит Фея.
Золушка: Здравствуй, дорогая Фея!
Фея: Золушка, не горюй. Я открою тебе секрет, и ты справишься с заданием даже быстрей!
И Фея открыла Золушке секрет. А этот секрет, который вы сами откроете, и будет являться темой нашего урока.
Золушка: Я все поняла, дорогая Фея! Спасибо!
И через 5 минут Золушка дала ответы.А вы сможете найти суммы и произведения корней этих уравнений так же быстро? (Нет)

IV. Выдвижение гипотез (3 мин)
- Почему вы не можете также быстро выполнить это задание? (Не знаем секрета, не знаем быстрого способа определения суммы и произведения корней приведенных квадратных уравнений).
- Как вы думаете, с чем могут быть связаны корни квадратного уравнения? (C коэффициентами).
- Какой у вас возникает вопрос? Что вам предстоит выяснить? (Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?Если да, то какова эта связь?
Сформулируйте цель своей деятельности (Узнать, существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.Если да, то какова эта связь.)
- Предположите, существует связь между корнями и коэффициентами или нет? Какова она? (Выдвижение гипотез, учитель все принимает)
- Если есть версии, нужно их проверить.

Уравнение
х2 + рх + q=0
p
q
Корни
Сумма корней
Произведение корней

х2 + 6х + 5 = 0
6
5
х1= -1, х2= -5
-6
5

х2 – х – 12 = 0
-1
-12
х1= 4, х2= -3
1
-12

х2 + 5х + 6 = 0
5
6
х1= -3, х2= -2
-5
6

х2 + 3х – 10 = 0
3
-10
х1= -5, х2= 2
-3
-10

х2 – 8х – 9 = 0
-8
-9
х1= -1, х2= 9
8
-9








Проверка выполнения заданий в группах и на доске, выводы.
Общий вывод:
- Ваше предположение подтвердилось? (да)
- Сделайте вывод(Связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения существует) .
-Какова она? (Сумма корней равна второму коэффициенту р взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену q).
- Вывод: Утверждение верно для всех уравнений, имеющих корни .
- Это утверждение называется теоремой Виета, названной в честь французского математика Франсуа Виета.
- Послушайте небольшую историческую справку об этом математике. (Выступление ученика, сопровождающееся презентацией с портретом Виета)
Сообщение. Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Занимаясь наукой, Виет пришел к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Иногда, увлекшись каким-нибудь исследованием, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.

- Какой же секрет открыла Фея Золушке (Теорему Виета).
- В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных)
-Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета). Что вы умеете делать с неприведенными квадратными уравнениями?
- Запишите в виде символов в тетрадь.

- Для закрепления теоремы Виета я предлагаю вам послушать стихотворение «Теорема Виета».
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а;
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b, в знаменателе а.

- Существует и теорема, обратная теореме Виета.
VI. Применение новых знаний (18 мин)
Задание №1 (5 мин)
- Теперь вы сможете также быстро, как Золушка, найти суммы и произведения корней 20 уравнений? (Да).
- Что будете применять? (Теорему Виета). Сумму и произведение корней первых 10 уравнений находите, работая в паре, а оставшихся 10 решаете самостоятельно.

№
x2 + pх + q = 0

x1 + x2
x1 · x2

1.
x2 + 17x - 38 = 0



2.
x2- 16x + 4 = 0



3.
3x2 + 8x - 15 = 0



4.
7x2 + 23x + 5 = 0



5.
x2 + 2x - 3 = 0



6.
x2 + 12x + 32 = 0



7.
x2- 7x + 10 = 0



8.
x2- 2x -3 = 0



9.
- x2 + 12x + 32 = 0



10.
2x2- 11x + 15 = 0



11.
3x2 + 3x - 18 = 0



12.
2x2- 7x + 3 = 0



13.
x2 + 17x -18 = 0



14.
x2-17x -18 = 0



15.
x2-11x + 18 = 0



16.
x2 + 7x - 38 = 0



17.
x2-9x + 18 = 0



18.
x2- 13x + 36 = 0



19.
x2- 15x +36 = 0



20.
x2- 5x - 36 = 0




Эталон для самопроверки задания №1
x1 + x2 = -17; x1 x2 = -38.
x1 + x2 = 16; x1 x2 = 4
3. x1+ x2 = -8/3 ; x1 x2 = -5.
x1 + x2 = -23/7; x1 x2 = 5/7.
x1 + x2 = - 2; x1 x2 = -3.
x1 + x2 = -12; x1 x2 = 32.
7. x1 + x2 = 7; x1 x2 = 10.
8. x1 + x2 = 2; x1 x2 = -3.
9. x1 + x2 = 12; x1 x2 = 32.
10. x1 + x2 = 5,5; x1 x2 = 7,5.
x1 + x2 = -1; x1 x2 = -6.
x1 + x2 = 3,5; x1 x2 = 1,5.
x1 + x2 = -17; x1 x2 = -18.
x1 + x2 = 17; x1 x2 = -18.
x1 + x2 = 11; x1 x2 = 18.
x1 + x2 = -7; x1 x2 = -38.
x1 + x2 = 9; x1 x2 = 18.
x1 + x2 = 13; x1 x2 = 36.
x1 + x2 = 15; x1 x2 = 36.
x1 + x2 = 5; x1 x2 = -36.

- Выполните самопроверку по эталону и поставьте отметку по критериям:
«5» - правильно найдены суммы и произведения в 9 - 10 уравнениях
«4» - правильно найдены суммы и произведения в 7 -8 уравнениях
«3» - правильно найдены суммы и произведения в 5 - 6 уравнениях
«2» - правильно найдены суммы и произведения менее 5уравнений.

- А теперь поставьте себе отметку за весь урок, основываясь на теотметкив листах самооценки, которые вы ставили себе на протяжении урока.
Давайте еще раз сформулируем теорему Виета:

Теорема Виета. Нет формул важней
Для приведенного уравнения:
р - это сумма его корней,
q - его корней произведение.

Решение упражнений.

Тест (по карточкам, с проверкой)
Задание. Выпишите цифры, стоящие возле правильных ответов. (В результате должны получиться годы жизни Франсуа Виета: 1540-1603).
1 вариант
1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
Зх2 - 7х + 6 = 0 (5),
х2 - Зх - 2 = 0 (1),
-х2 - 2х + 1 = 0 (4).
2. Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является
х2 + 2х - 3 = 0 (5),
-х2 -2х + 3 = 0 (6),7х + 14x-21= 0 (7).
3. Сумма корней уравнения х2 - 5х - 6 = 0 равна
-6 (2),
-5 (3),
5 (4).
4. Произведение корней уравнения х2 + х - 2 - 0 равно
-1 (2),
2 (1),
-2 (0).
5. Какое из уравнений имеет корни противоположныхзнаков?
х2 - 0,4х -1=0 (-),
х2 + 4х + 0,2= 0 (+),
х2 - Зх + 48 = 0 (*)?
2 вариант
1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
4х2 - 17х +1 = 0 (5),
х2 + 8х – 2 = 0 (1),
-х2 - х + 1 = 0 (4)?
2. Для уравнения 8х2-24х+ 16= 0 приведенным является
х2 - Зх + 2 = 0 (6),
-х2 +3х - 2 = 0 (5),
-8х2 + 24х - 16 = 0 (7).
3. Сумма корней уравнения х2 + 8х -7 - 0 равна
-7 (2),
-8 (0),
8 (4).
4. Произведение корней уравнения х2 -2 х - 3 = 0 равно
-3 (3),
4 (1),
-2 (0).
5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков
х2 + 57х + 15,1 = 0 (-),х2-4,1х + 3,5 = 0 (+),
х2 - 18х - 0,48 = 0 (.)?