: Теорема Виета и теорема, обратная к ней.

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. Урок Тема: Теорема Виета и теорема, обратная к ней. Цель: закрепление поняти я приведенного квадратного уравнения. Формирование теорем ы Виета прям ой и обратн ой . Формировать умение применять теоремы при р ешении квадратных урав нений. Разви вать логическо е мышлени е . Воспитание самостоятельности, аккуратности и активности. Формирование компетентностей: Социальная компетентность : самостоятельное решение задач различными способами и выбор более рациональ ных, самооценка и взаимооценка; Коммуникативная компетентность : стимулирование умения учащихся, комментирование решенных задач, взаимопроверка высказывания собственной точки зрения, Информационная компетентность : использование дополнительной информации; использование таблиц, схем, опорных конспектов; Творческая продуктивная деятельность: использование творческих задач, составление задач, вопросов. Форма проведения урока: урок изучения нового материала . Оборудование: компьютеры, экран, мультимедиа. Девиз урока: "Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы!" С. Коваль. ХОД УРОКА. I. Орг. Момент. Приветствие! Настрой: Сядем ровно, Повернемся, Друг другу улыбнемся, И в работу окунемся. II. Мотивация учебной деятельности. - Ребята, у нас сегодня не совсем обычный урок. Представим себе, что мы - исследователи. А перед нами, исследователями, предстоят следующие задачи: 1.Вывести теорему о свойствах корней квадратно го уравнения; 2. Доказать теорему; 3. Научиться находить корни приведенного квадратного уравнения, используя это свойство. - Успешное решение этих задач зависит от того, как дружно и активно вы будете работать. И в этом нам помогут знания и умения решать квадратные уравнения, которые вы получили раньше. III. Актуализация опорных знаний. Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. (Перед началом урока учащиеся, которые не готовы к уроку, заполняют ©защитный листª, в котором указывают фамилию и причину своей неготовности к уроку или невыполнения домашне го задания). 1. Проверка наличия д.з. (Проверку наличия д.з. выполняют консультанты) 2. Проверка задания по готовым ответам. 3. Задание : если вписать верные слова, то в выделенной строке получится фамилия французского математика Вопросы: 1. Квадратное уравнени е с первым коэффициентом равным 1. 2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. 3. Один из видов квадратного уравнения 4. a , b в квадратном уравнении. при В еденное дискрим И нант н Е полное коэффициен Т В выделенной строке получится фамилия французского математика ВИЕТА. 4. Математический диктант под копирку с проверкой (устное комментирования + взаимопроверка)  Укажите коэффициенты a, b и с квадратног о уравне ния а) Зх 2 - 5у + 1 = 0, б) - x 2 +x - 3 = 0, в) х 2 +2х+1 = 0.  Сколько корней имеет квадратное уравнение а) 5х 2 - х - 7 = 0, б) х 2 + 2х + 1 = 0, в) (х + З) 2 = - 0,25? Запишите формулу корней квадратного уравнения. Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в урав нении 2а для выполнения задания? (Нет, потому что сво бодный член этого уравнения отрицателен при а>0, следовательно, дискриминант положителен , можно применить формулы сокращенного умножения – квадрат суммы ). 5. Заполнить таблицу формул . (Раб ота в паре) – с дальнейшим комментированием и заполнением у доски Таблица 1 Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. IV. Изучение нового материала. Вступительное слово учителя. Сегодня мы с вами продолжаем изучать квадратные уравнения и их корни. Пусть слова Козьмы Пруткова "Зри в кор ень" будут эпиг рафом урока. Отвечая на вопросы в начале урока мы получили фамилию французского математика Виета. Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероят но, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что ©скрытоеª для нас уже открылось. Запишите тему урока "Теорема Виета". Франсуа Виет - французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее - советником французских коро лей Ге нриха III и Генриха II . Однажды он сумел расшиф ровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Ф. Виета называют "от цом буквенной современной алгебрыª. Он доказал тео рему, которую мы будем сегодня изучать. Изучение нового материала в виде практической работы. Ученики выполняют работу в группах (работа возможна в ©домашних © группах). Практическая работа по теме: ‮Теорема Виета  Цель : установить связь между корнями к вадратного уравнения и его коэффициентами. Объект исследования : квадратное уравнение и его корни. ах 2 +вх+с=0, а 0 в=0 с=0 b 0 , с 0 ах 2 +вх=0 D= с 0 х( )=0 х= х= с=0 х 2 = х= � 0 D=0 D0 D�0 Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. Оборудование : шариковая ручка, двойной лист в клетку, линейка, простой карандаш, карточки для дополнительных заданий. Знания, умения и навыки, необходимые для выполнения работы : (т.е. то, что нужно вспомнить и повторить, прежде чем предлагать учащимся данную работу):  понятие полного квадратного уравнения;  умение записать квадратный трехчлен в общем виде;  алгоритм решения квадратного уравнения ( как полного, т ак и приведенного);  умение записать общую формулу корней квадратного уравнения (полного и приведенного). Алгоритм работы в группе:  В течение 5 - 10 минут самостоятельно работайте над заданием;  Поочередно расскажите свое решение;  Подготовьте ответ к защи те;  Оформите свои решения и выводы.  Подготовьте ответы на вопросы: С какой целью было предложено данное задание? Где было трудно при решении, на что следует обратить внимание? Ход работы ( инструкция для ученика). Приведенные квадратные уравнения. 1.1. Решите уравнения: а) х 2 + 4х + 3 = 0; б) х 2 - 10х – 24 = 0. 1.2. Заполните таблицу: Уравнение р q х 1 х 2 х 1 + х 2 х 1 � х 2 х 2 + 4х + 3 = 0; х 2 - 10х – 24 = 0. 1.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами. 1.4. Гипотеза: какую связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами. 1.5. Проверка гипотезы: запишите приведенное квадратное уравнение в общем виде ( х 2 + рх + q = 0 ). 1.6. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения. ( Х 1 = ; X 2 = ) 1.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения. 1.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения. 1.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запи шите в тетрадь. Дополнительный вопрос. Проверь свои выводы, решив уравнение: х 2 – 12х + 36 = 0. Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. 2. Полные квадратные уравнения. 2.1. Решите уравнения: а) 6 х 2 – 5х – 1 = 0; б) 5 х 2 + 9х + 4 = 0. 2.1. Заполните таблицу: Уравнение а в с х 1 х 2 х 1 + х 2 х 1 � х 2 6х 2 - 5х - 1 = 0; 5х 2 + 9х + 4 = 0. 2.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами. 2.4. Гипотеза: какую связь между корнями полного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы з аметили? Запишите ее символами. 2.5. Проверка гипотезы: запишите полное квадратное уравнение в общем виде (ах 2 + bх + с = 0). 2.6. Запишите общую формулу корней полного квадратного уравнения. ( Х 1 = ; X 2 = ) 2.7. Найдите сумму корней квадратного ура внения. 2.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения. 2.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь. (Полученное утверждение называется теоремой Виета) Дополнительный вопрос. Проверь свои выводы, решив уравнение: - 2 х 2 + 8х + 3 = 0. Дополнительное задание. Найдите сумму и произведение корней следующих квадратных уравнений: а) х 2 – 5х + 6 = 0; б) 3х 2 – 4х – 2 = 0; в) х 2 – 6х + 24 = 0; г) 6х 2 – 5х = 0. 2. Проверьте с помощью теоремы Виета: верно ли найдены корни квадр атного уравнения. а) х 2 – 15х – 16 = 0 х 1 = - 1; х 2 = 16. б) 2х 2 – 3х + 1 = 0 х 1 = 1/2; х 2 = 1. 3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. Найдите с помощью теоремы, обратной теореме Виета корни квадратного уравнения: а) х 2 + 11х – 12 = 0; б) 2 х 2 + 9х + 8 = 0; в) - 3х 2 – 6х = 0; Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. г) х 2 – 6 = 0. Учащиеся снова делают вывод, ответив на вопрос: Существуют ли другие способы решения приведенных квадратных уравнений? Учитель: К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душ е. Давайте еще раз сформулируем теорему Виета: Теорема Виета. Нет формул важней Для приведенного уравнения: р - это сумма его корней, q - его корней произведение. V. Решение упражнений. Тест (по карточкам, с проверкой) Задание. Выпишите цифры, стоящие возл е правиль ных ответов. (В результате должны получиться годы жиз ни Франсуа Виета: 1540 - 1603). 1 вариант 1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное. Зх 2 - 7х + 6 = 0 (5), х 2 - Зх - 2 = 0 (1), - х 2 - 2х + 1 = 0 (4). 2. Для уравнения 7х 2 + 14х - 21 =0 приведенным является х 2 + 2х - 3 = 0 (5), - х 2 - 2х + 3 = 0 (6), 7х + 14x - 21 = 0 (7). 3. Сумма корней уравнения х 2 - 5х - 6 = 0 равна - 6 (2), - 5 (3), 5 ( 4). 4. Произведение корней уравнения х 2 + х - 2 - 0 равно - 1 (2), 2 (1), - 2 (0). 5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков? х 2 - 0,4х - 1=0 ( - ), х 2 + 4х + 0,2= 0 (+), х 2 - Зх + 48 = 0 (*)? 2 вариант 1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное. 4х 2 - 17х +1 = 0 (5), х 2 + 8х – 2 = 0 (1), - х 2 - х + 1 = 0 (4)? 2. Для уравнения 8х 2 - 24х+ 16= 0 приведенным является х 2 - Зх + 2 = 0 (6), Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. - х 2 +3х - 2 = 0 (5), - 8х 2 + 24х - 16 = 0 (7). 3. Сумма корней уравнения х 2 + 8х - 7 - 0 равна - 7 (2), - 8 (0), 8 (4). 4. Произведение корней уравнения х 2 - 2 х - 3 = 0 равно - 3 (3), 4 (1), - 2 (0). 5. Какое из уравнений имеет корни противоположных з наков х 2 + 57х + 15,1 = 0 ( - ), х 2 - 4,1х + 3,5 = 0 (+), х 2 - 18х - 0,48 = 0 ( . )? ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ: Задание для групп: Номер группы Задание Решение зад а ние. Задание для 1 группы Найдите сумму и произведение корней ура в нения, не решая его, ответ объясните: • х 2 + 5х - 6 = 0 • х 2 - 0,4х - 1=0 • - х 2 - 7х + 10 = 0 • 10х 2 - 4х - 10= 0 Задание для 2 группы Зная один из корней, найти другой: • х 2 + 10х - 11 = 0 , х1= 1 • х 2 - х - 6=0 , х1= - 2 • х 2 - 25х +100 = 0 , х1=5 Задание для 3 группы Определите знаки корней уравнения: • х 2 + 5х - 6 = 0 • х 2 - 7х +1 2=0 • х 2 + х - 6 = 0 Задание для 4 группы Подберите корни уравнения, не решая его.  х 2 + 8х - 9 = 0  х 2 - 3х - 4=0  х 2 + 5х + 6 = 0  х 2 - х - 6 = 0 VI. Домашнее задание. ( ЗАДАНИЯ ПО УЧЕБНИКУ: Алгебра 8 класс, авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полон ский, М.С. Якир, Харьков, ©Гимназияª, 2008 г. ) Разобрать теорему Виета и обратную теорему к ней: п. 19 Подготовила: учитель ОШ № 4, Ткаченко Е.С. Решать задания: (разноуровневые) №№ 668, 670(1), 674 Дополнительное задание: №682, 686(1) Творческое задание : Подготовить дополнительную информацию п ро Франсуа Виета. VII. Подведение итогов урока В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому - нибудь нужно". Зачем же нужна теорема Виета? С ее помощью можно: - найти сумму и произведение корней квадратного урав нения, не решая его (устно № ____); - зн ая один из корней, найти другой (устно № _____); - определить знаки корней уравнения (устно № _____); - подобрать корни уравнения, не решая его (№ ______). VIII. Рефлексия. 1. Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных дет ей, работа в группе, работа в паре, выполнение практической работы, уровень самоорганизации, прилежание) 2. Учащимся предлагается закончить предложения:  Сегодня на уроке……  Мне запомнилось ……….  Хотелось бы отметить ………. 3. Покажите ваше настроение: Дайте оценк у своей работы на уроке: 4. – понял, но еще нужна помощь 5. – понял все; 6. – понял и могу оказать помощь товарищам. Учитель: По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни – и др обь уж готова. В числителе c , в знаменателе a , А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь, что за беда, В числителе b , в знаменателе a . Спасибо за урок!