Статья «Изучение тригонометрии в курсе планиметрии на основе системы практических работ»

ИЗУЧЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ
НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ

УЧЕБНИК: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008 и более поздние издания.


Класс


Глава, параграф, пункт учебника


Изучаемые понятия, свойства,
теоремы

Приобретаемые практические умения
и навыки


8

Глава VII. Подобные треугольники.

§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

П.26. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.







П.27. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°60°.













Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника;
синус, косинус и тангенс как постоянные числовые характеристики острого угла;
связь между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника;
основное тригонометрическое тождество.


Числовые значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.










Вычисление числовых значений синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника;
нахождение числовых значений для синуса, косинуса и тангенса заданного угла по таблицам;
вычисление длин сторон прямоугольного треугольника с помощью числовых значений синуса, косинуса или тангенса острого угла.


Применение таблицы значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° при вычислениях.


9

Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

§1. Синус, косинус, тангенс угла.

П.93. Синус, косинус, тангенс угла.

















П.94. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.







П.95. Формулы для вычисления координат точки.





§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

П.96. Теорема о площади треугольника.






П.97. Теорема синусов.


П.98. Теорема косинусов.


П.99. Решение треугольников.







П.100. Измерительные работы.









Единичная полуокружность;
синус угла
· из промежутка [0°;180°] как ордината точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол
·;
косинус угла
· из промежутка [0°;180°] как абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол
·;
тангенс угла как отношение его синуса к его косинусу;
области значений для синуса и для косинуса углов из промежутка [0°;180°];
значения синуса и косинуса для углов 0°, 90°,180°;
неопределённость тангенса для угла 90° и его значения для углов 0° и 180°.

Основное тригонометрическое тождество для углов из промежутка [0°;180°];
формулы приведения для углов (90°-
·) и (180°-
·).





Формулы для вычисления координат точки, имеющей неотрицательную ординату.








Вычисление площади треугольника как половины произведения двух его сторон на синус угла между ними.





Теорема синусов.


Теорема косинусов. Теорема косинусов как обобщённая теорема Пифагора.

Сущность задачи о решении треугольников. Основные задачи на решение треугольников:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трём сторонам.


Измерение высоты предмета;
измерение расстояния до недоступной точки.









Выявление принадлежности единичной окружности заданных координатами точек;
нахождение синуса, косинуса, тангенса угла по координатам точки единичной окружности.














Применение основного тригонометрического тождества для вычисления значения одной тригонометрической функции по значению другой;
вычисление значения тангенса по значениям синуса и косинуса угла;
простейшие применения изученных формул приведения.

Вычисление координат точки по её расстоянию до начала координат и углу между её радиусом-вектором и положительной полуосью Ох;
вычисление угла между радиусом-вектором точки и положительной полуосью Ох по координатам точки.



Вычисление площади треугольника по формуле;
вычисление длины стороны треугольника с помощью формулы площади треугольника;
вычисление площади параллелограмма как произведения его смежных сторон на синус угла между ними.


Применение теоремы синусов при решении задач.

Применение теоремы косинусов при решении задач.

Выполнение вычислений, связанных с решением треугольников.






Применение навыков решения треугольников при решении практических задач.


























ИЗУЧЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ
НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Учебной программой по математике для 8-11 классов предусмотрено изучение тригонометрии. Тригонометрический материал, являясь самостоятельным, органично вплетается в другие содержательно-методические линии курса школьной математики, обогащая их содержание и усиливая прикладную направленность. В первую очередь это касается таких линий, как функции и графики, уравнения и неравенства, тождественные преобразования, элементы дифференциального и интегрального исчисления, измерение геометрических величин, числовые системы.
Тригонометрическая линия школьного курса математики может быть представлена в виде двух основных частей. Первая часть изучается в курсе планиметрии 8-9 классов. Учащиеся получают первые представления о науке тригонометрии, тригонометрических функциях и их применении. Рассматривается задача о решении прямоугольного треугольника, затем - теоремы, предназначенные для решения произвольных треугольников, которые открывают путь к решению множества задач, связанных с вычислениями элементов треугольника. При изучении стереометрии в 10-11 классах эти знания по тригонометрии создают дополнительные рычаги в решении довольно большого спектра вычислительных задач, обогащают арсенал методов решения стереометрических задач. Знания по тригонометрии, полученные в курсе планиметрии, являются фундаментом, на котором будет построено изучение тригонометрического материала в старших классах.
Тригонометрический материал курса алгебры и начал анализа является второй составляющей тригонометрической линии. Это одно из важнейших и сложных звеньев курса алгебры и начал анализа 10-11 классов. В нём предусмотрено изучение тригонометрических функций, их свойств и графиков, основных тригонометрических формул, применение этих знаний к решению разноплановых задач вычислительного и исследовательского характера. Изучение понятия производной и производных тригонометрических функций открывает дополнительные возможности для исследования тригонометрических функций и применения их свойств в различных задачах. Рассматривается решение простейших тригонометрических уравнений, а затем решение более сложных тригонометрических уравнений, предполагающее наличие у учащихся определённого опыта в решении алгебраических уравнений и навыков в выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений. В связи с необходимостью решения тригонометрических уравнений вводятся обратные тригонометрические функции. Даётся представление о решении систем тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств.
Опыт работы показывает, что большинство учащихся усваивают тригонометрический материал с определёнными трудностями. Основная причина, по всей вероятности, связана со значительным уровнем абстрактности изучаемых понятий и их отдалённостью от жизненного опыта учащихся, со сложностью тригонометрических терминов и обилием формул, свободное владение которыми может быть достигнуто только в результате многократного применения, что практически невозможно осуществить в рамках отведённого программой времени.
Предлагаемые материалы представляют опыт работы по созданию серии практических работ в курсе планиметрии 8-9 классов, которые предназначены для организации изучения начальных представлений о тригонометрических функциях, их значении и применении на практике. Осуществлена попытка представить этот материал с опорой на ранее полученные знания и практические навыки по геометрии и алгебре как органично следующий и востребованный новыми практическими потребностями. Некоторые работы содержат элементы исследовательской деятельности учащихся под руководством учителя. Материалы использовались при работе по учебнику “Геометрия 7-9” авторского коллектива под руководством Л.С.Атанасяна.
Серия работ состоит из двух частей, соответствующих содержанию учебной программы для 8 и для 9 классов. В каждой части – по пять работ, любая из которых может служить основой для урока. Каждая работа направлена на достижение конкретных учебных целей, имеет перечень необходимого для её проведения оборудования. В содержании каждой работы предусмотрены подготовительный этап, практическая часть и самостоятельная обучающая работа для практического применения и закрепления полученных знаний. В приложении даны рисунки наглядно-демонстрационных материалов, используемых в работе. Этим материалам учитель придаёт особое значение, поскольку они помогают добиться более качественного усвоения изучаемого, стимулируют эффект запоминания терминов, понятий, последовательности действий (по сути – алгоритмов) в конкретной практической ситуации.
Приведём перечень этих практических работ с краткими комментариями для получения более полного представления об их тематике и предназначении.

№1.8. Изучение зависимости в прямоугольном треугольнике отношений сторон от величин его острых углов.

Учащиеся получают первое представление о науке тригонометрии и основных тригонометрических функциях. Этому предшествует подготовительная практическая работа, позволяющая убедиться на основании свойства пропорциональности сходственных сторон подобных треугольников в зависимости отношения длин сторон в любом прямоугольном треугольнике только от величины острого угла. В процессе закрепления полученных знаний учащиеся приобретают первичные навыки в работе с таблицами тригонометрических функций.

№2.8. Решение прямоугольных треугольников.

Учащиеся знакомятся с содержанием задачи о решении прямоугольного треугольника, изучают общие приёмы вычисления длин сторон прямоугольного треугольника с помощью значений тригонометрических функций острого угла и величины острого угла по значению одной из тригонометрических функций с помощью таблиц. Рассматриваются основные задачи на решение прямоугольных треугольников в общем виде, составляются алгоритмы их решения. Полученные знания закрепляются в процессе решения конкретных задач.

№3.8. Изучение зависимости между тригонометрическими функциями одного острого угла.

Учащиеся изучают основные зависимости между тригонометрическими функциями одного острого угла, аналитическим путём выводят соответствующие формулы и применяют их для конкретных вычислений.
№4.8. Построение острого угла по заданному значению его тригонометрической функции.

Учащиеся применяют знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике для построения острого угла, заданного значением одной из его тригонометрических функций

№5.8. Вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45°, 60°.

Учащиеся заполняют таблицу значений тригонометрических функций для углов с градусными мерами 30, 45 и 60. Полученные практическим путём значения используются при решении конкретных вычислительных задач.

№1.9. Определение тригонометрических функций для любого угла из промежутка [0°;180°].

Повторив и систематизировав знания о тригонометрических функциях для острых углов, учащиеся убеждаются в целесообразности использования единичной полуокружности для определения тригонометрических функций любого угла из промежутка [0°;180°]. Определив эти функции, учащиеся выводят формулы приведения, применимые к углам из этого промежутка, как одну из возможностей для упрощения тригонометрических вычислений. Полученные знания применяются для вычисления значений тригонометрических функций для углов с градусными мерами 120, 135, 150.

№2.9. Выявление зависимости между числовым значением отношения длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла и длиной диаметра описанной около треугольника окружности. Теорема синусов.

Актуализировав знания о вписанном в окружность угле и его свойствах, навыки построения описанной около данного треугольника окружности, учащиеся выявляют связь между числовым значением отношения длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла и длиной диаметра описанной около треугольника окружности. Выявив закономерности, составляющие сущность теоремы синусов, учащиеся закрепляют полученные знания в процессе решения конкретных задач.

№3.9. Выявление зависимости между длинами сторон треугольника и значениями косинусов его углов. Теорема косинусов.

Актуализировав знания о сложении и вычитании векторов по правилу треугольника, о скалярном произведении векторов и навыки вычисления скалярного произведения, учащиеся выявляют связь между длинами сторон произвольного треугольника и числовыми значениями косинусов его углов, что составляет сущность теоремы косинусов. Рассматривается связь теоремы косинусов и теоремы Пифагора, применение теоремы косинусов для определения вида треугольника по известным длинам его сторон. Полученные знания применяются на практике.

№4.9. Решение косоугольных треугольников.

Актуализировав содержание задачи о решении прямоугольного треугольника как частного случая задачи о решении треугольников, учащиеся повторяют, систематизируют и закрепляют общие приёмы вычислений длин сторон и градусных мер углов в любом треугольнике с применением известных им теорем о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Рассматриваются основные задачи на решение косоугольных треугольников и алгоритмы их решения. Приобретённые знания и умения закрепляются при решении конкретных задач.

№5.9. Практическое применение решения треугольников.

Учащиеся знакомятся с общими приёмами косвенного измерения геометрических величин. Рассматриваются две конкретных практических ситуации: измерение недоступной высоты и недоступного расстояния. Рассмотрев эти ситуации в общем виде, учащиеся выполняют практические работы аналогичного содержания.

После изучения такого мини-курса основ тригонометрии, как показала практика, учащиеся более уверенно применяют полученные знания на практике при решении геометрических задач, лучше усваивают тригонометрический материал в курсе алгебры и начал анализа. В процессе выполнения практических работ учащиеся накапливают материалы и создают для себя, по сути дела, учебно-справочное руководство, которым могут пользоваться в дальнейшем и дополнять его под руководством учителя новыми материалами, которые будут хорошим подспорьем при решении разноплановых тригонометрических задач при подготовке, например, к выпускному экзамену.
В Приложении представлены все демонстрационные таблицы, используемые при проведении практических работ.
































ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №1.8.

Изучение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике от величин его острых углов.

ЦЕЛИ:
1. Используя свойство пропорциональности сходственных сторон подобных треугольников, установить, что отношение длин сторон в любом прямоугольном треугольнике не зависит от длин его сторон и зависит только от величины острого угла.
2. Ввести определения основных тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника.

ОБОРУДОВАНИЕ: Рабочая таблица, демонстрационная таблица с изображением прямоугольного треугольника, демонстрационная таблица с символическим изображением отношений сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов, чертёжные инструменты, цветные стержни или карандаши, микрокалькулятор, учебник, таблицы значений синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов для острых углов.

Подготовительный этап. Фронтальная работа по вопросам.

Изобразите произвольный прямоугольный треугольник. Обозначьте его прямой угол буквой С, а острые углы буквами А и В.
Вспомните, какие специальные названия имеют его стороны.
Какими сторонами образован острый угол А?
Какая сторона лежит против острого угла А?
Какими сторонами образован острый угол В?
Какая сторона лежит против острого угла В?

Учитель сообщает учащимся, что катет, образующий угол, принято называть прилежащим к этому углу, а катет, лежащий против угла – противолежащим этому углу. Введённые термины закрепляются и применяются к изображённому треугольнику.

Используя новые термины, примените их к катету АС в рассматриваемом треугольнике.
Примените новые термины к катету ВС.

Учитель сообщает учащимся, что им предстоит изучить отношения сторон в прямоугольном треугольнике и выявить, как связаны эти отношения с острыми углами этого треугольника.

Вспомните, что такое отношение.
Какие отношения длин сторон прямоугольного треугольника можно составить.

Учащиеся вспоминают определение отношения, затем составляют отношения сторон для рассматриваемого треугольника. Таких отношений получается 6. Учащимся предлагается озвучить каждое из записанных отношений в известных теперь им терминах: гипотенуза, прилежащий катет, противолежащий катет.
Учитель сообщает, что некоторые из рассмотренных отношений имеют в математике особый практический смысл и применяются в различных расчётах. Изучением таких отношений учащимся предстоит заниматься.

Практическая часть.
13 EMBED Equation.3 1415
1. Внимательно изучите рабочую таблицу, которую вам предстоит заполнять.
13 EMBED Equation.3 1415

Подобные треугольники


·АВС, (С=90°



·АВ1С1,(С1=90°,

Тригонометр.
функции
острого угла

Дополнит. результаты

Названия сторон
АС
ВС
АВ
АС1

В1С1
АВ1



Длины
сторон









Отношения сторон для угла А
ВС

·
АВ
В1С1

·
АВ1




АС

·
АВ
АС1

·
АВ1




ВС

·
АС
В1С1

·
АС1




АС

·
ВС
АС1

·
В1С1




АВ

·
ВС
АВ1

·
В1С1




АВ

·
АС
АВ1

·
АС1



Отношения сторон для угла В
ВС

·
АВ
В1С1

·
АВ1




АС

·
АВ
АС1

·
АВ1




ВС

·
АС
В1С1

·
АС1




АС

·
ВС
АС1

·
В1С1




АВ

·
ВС
АВ1

·
В1С1




АВ

·
АС
АВ1

·
АС1



13 EMBED Equation.3 1415
Учащиеся изучают устройство рабочей таблицы. Они должны уяснить, что во вторую колонку первоначально вносятся результаты измерений длин сторон изображённого ими произвольного прямоугольного треугольника АВС. Затем с помощью калькулятора вычисляются значения для указанных отношений сторон и записываются в соответствующие окна таблицы.
В третьей колонке таблицы будут записаны результаты измерений длин сторон некоторого прямоугольного треугольника АВ1С1, подобного треугольнику АВС, а также значения соответствующих отношений сходственных сторон этого треугольника.
В четвёртом и пятом столбцах предстоит разместить дополнительные сведения, которые будут сообщены учащимся после выполнения практической части работы.
Обращается внимание учащихся на то, что отношения сторон для углов А и В повторяются. Учащиеся должны понимать, что за числовым равенством этих отношений стоит их различие по отношению к острым углам А и В.

2. Выполните измерения длин сторон прямоугольного треугольника АВС и занесите их в таблицу.
3. Вычислите значения отношений длин сторон прямоугольного треугольника АВС и заполните соответствующие окна таблицы.

Учитель контролирует самостоятельную работу учащихся, в случае необходимости оказывает помощь. Можно договориться о точности приближений при вычислениях, например, до сотых.
После заполнения второй колонки учащимся предлагается построить на основе треугольника АВС подобный ему треугольник АВ1С1. В результате подготовительной фронтальной работы учащиеся должны чётко представлять себе, как это сделать:1 способ: продолжить стороны угла А, поскольку он является общим у подобных треугольников, отметить на продолжении стороны АС произвольную точку С1 и построить прямой угол АС1В1, причём точка В1 будет лежать на продолжении стороны АС; 2 способ: отметить произвольную точку С1 на стороне АС и построить прямой угол АС1В1, причём точка В1 будет лежать на стороне АС .

4. Постройте прямоугольный треугольник АВ1С1, подобный треугольнику АВС.
5. Выполните необходимые измерения и вычисления и заполните третью колонку таблицы для треугольника АВ1С1.

Начинается самый важный этап практической работы: выполнение исследований на основе полученных результатов.











РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ:
13 EMBED Equation.3 1415

Подобные треугольники


·АВС, (С=90°



·АВ1С1,(С1=90°,

Тригонометр.
функции
острого угла

Дополнит. результаты

Названия сторон
АС
ВС
АВ
АС1

В1С1
АВ1



Длины
сторон









Отношения сторон для угла А
ВС

·
АВ
В1С1

·
АВ1

sin A

(A+(B=90°

sin A=cos B

sin B=cos A





tg A= ctg B

tg B= ctg A



АС

·
АВ
АС1

·
АВ1

cos A



ВС

·
АС
В1С1

·
АС1

tg A



АС

·
ВС
АС1

·
В1С1

ctg A



АВ

·
ВС
АВ1

·
В1С1




АВ

·
АС
АВ1

·
АС1



Отношения сторон для угла В
ВС

·
АВ
В1С1

·
АВ1

cos B 13 EMBED Equation.3 1415



АС

·
АВ
АС1

·
АВ1

sin B



ВС

·
АС
В1С1

·
АС1

ctg B



АС

·
ВС
АС1

·
В1С1

tg B



АВ

·
ВС
АВ1

·
В1С1




АВ

·
АС
АВ1

·
АС1









Исследование полученных результатов. Изучение новых терминов.

Вами получены результаты вычисления отношений длин сторон подобных треугольников. Внимательно рассмотрите результаты полученных вычислений для угла А во второй и в третьей колонках. Выскажите ваше мнение.

Учащиеся должны заметить, что получены равные значения отношений.

Почему же результаты, полученные для двух треугольников с разными длинами сторон, совпадают? С чем это может быть связано?
Вы знаете, что длины сторон у рассматриваемых прямоугольных треугольников имеют произвольную длину, поскольку треугольники изображались произвольные. Однако, независимо от этого, каждый из вас получил совпадающие по величине результаты. С чем это может быть связано?

Учитель помогает учащимся понять, что совпадение результатов отношений связано с их зависимостью только от величины соответствующего острого угла и не зависит от длин сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника.
Аналогичные исследования и рассуждения повторяются для угла В.

Изучите результаты вычислений для угла В и равного ему угла В1. Выполняются ли для этих равных углов те же закономерности? С чем это связано?
Попробуйте заметить некоторые закономерности для углов А и В во второй колонке. Выскажите ваше мнение.
Выполняются ли эти закономерности для углов А и В(В1) в третьей колонке?

Учащиеся должны заметить, что значения отношений повторяются. Теперь это для них уже известный факт.
Учитель сообщает, что независимость отношений длин сторон в прямоугольном треугольнике от длин сторон и, напротив, их зависимость от величины острого угла была замечена математиками ещё в глубокой древности. Они применяли знания об этом для практических вычислений. Поскольку одинаковые для данного прямоугольного треугольника отношения сторон применялись очень часто, для них придумали специальные названия. Постепенно появилась целая наука, которая имеет название “тригонометрия”. Это слово происходит от двух греческих слов: “тригонон”- треугольник и “метрео”- измеряю. Нетрудно понять, что тригонометрия занимается измерением треугольников, то есть выполнением различных расчётов в треугольниках. Учащимся предстоит сейчас узнать, какие термины использует наука тригонометрия.

Откройте учебник на странице 156. Прочитайте заголовок и текст пункта 66 (5 абзацев).
Какие новые слова встретились вам в тексте? Что они обозначают?

Учащиеся сначала называют тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника, затем выясняется смысл каждой из них. Для упрощения работы и усиления эффекта запоминания используется прилагаемая далее демонстрационная таблица. Учащиеся выполняют в тетрадях копии таблицы.
Обращается внимание учащихся на созвучность терминов “синус” и “косинус”. Специальная приставка “ко-“ обозначает “дополнение до угла в 90°”. Учащиеся должны понять это следующим образом: если градусные меры двух острых углов в сумме составляют 90°, то синус одного является значением косинуса другого и наоборот.
Обращается внимание, что после символической записи любой тригонометрической функции обязательно указывается название или градусная мера соответствующего угла.
В классе с хорошей подготовкой не лишним будет дополнительно ввести термин “котангенс” по аналогии с термином “косинус”.

Почему перед работой над текстом пункта 66 вам была предложена практическая часть с вычислением отношений сторон прямоугольного треугольника? Связана ли эта практическая часть с содержанием прочитанного текста?

Учащиеся высказывают своё мнение.

Подберите названия для каждого из полученных в таблице отношений и внесите эти названия в третью колонку таблицы, используя символические записи для обозначения тригонометрических функций.
В четвёртой колонке укажите, как связаны синус и косинус двух острых углов, составляющих в сумме 90°.

Завершается заполнение таблицы. Учитель направляет работу учащихся.
При рассмотрении пары функций тангенс-котангенс можно записать в четвёртую колонку соответствующие равенства.
Учитель обращает внимание учащихся, что в процессе работы установлена зависимость изученных отношений только от величины угла. Но величины углов, выраженные в градусах, не были указаны. Можно ли их указать? Оказывается, что можно, причём с большой точностью. Учащиеся, как правило, предлагают для этого измерить углы в каждом треугольнике с помощью транспортира. Но для чего, в таком случае, вычислялись значения отношений? Учитель сообщает, что с древних времён существуют и успешно применяются на практике специальные таблицы, в которых указаны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для всех острых углов. Учащиеся получают “Четырёхзначные математические таблицы” В.М.Брадиса и под руководством учителя изучают таблицу VIII Синусы-косинусы, затем таблицу IX Тангенсы-котангенсы. Они знакомятся с устройством таблиц и с двумя основными их применениями: 1) для вычисления значений тригонометрических функций острого угла, заданного его градусной мерой; 2) для вычисления градусной меры острого угла, для которого известно значение тригонометрической функции. Для упрощения работы можно остановиться только на углах, измеряемых в градусах, выраженных натуральным числовым значением.

Вычислительная практическая работа.

Найдите с помощью таблицы синусов градусные меры острых углов тех прямоугольных треугольников, которые вы использовали в работе.
Как с помощью таблицы тангенсов убедиться в верности полученных результатов?

Учащиеся сначала находят градусные меры, учитель оказывает помощь в случае необходимости. Затем учащиеся находят по таблице тангенсов значения тангенсов для найденных углов и сверяют их со значениями, полученными при вычислениях.

3. Найдите с помощью таблиц значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла:

1 вариант:
· = 18°; 2 вариант:
· = 7°; 3 вариант:
· = 21°; 4 вариант:
· = 12°.


ОТВЕТЫ:

1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант

sin
·
· 0,3090
cos
·
· 0,9511
tg
·
· 0,3249
ctg
·
· 3,078
sin
·
· 0,1219
cos
·
· 0,9925
tg
·
· 0,1228
ctg
·
· 8,144
sin
·
· 0,3584
cos
·
· 0,9336
tg
·
· 0,3839
ctg
·
· 2,605
sin
·
· 0,2079
cos
·
· 0,9781
tg
·
· 0,2126
ctg
·
· 4,705



Подведение итогов работы.

Учащимся предлагается ответить на вопросы:

О каком треугольнике шла речь на уроке?
Что было предметом изучения в этом треугольнике?
Как связаны отношения сторон прямоугольного треугольника и специальные термины “синус”, “косинус”, “тангенс”, “котангенс”?
Истинно ли высказывание: отношение катета к гипотенузе есть некоторое число, постоянное для каждого острого угла данного треугольника?
Докажите, что значение синуса для любого острого угла меньше 1.
Можно ли сделать аналогичное заключение для косинуса, тангенса и котангенса? Почему?
Зная значение синуса некоторого острого угла, можно считать известным значение косинуса второго угла. Как найти градусную меру второго угла?
Можно ли, зная тангенс некоторого острого угла, указать второй угол, у которого равное числовое значение имеет котангенс?
Представьте, что вам известны значения синуса для двух острых углов. Можно ли сравнить эти углы по величине?
Как сравнить значения синусов двух острых углов, если известно, что один угол больше другого?
Можно ли утверждать, что у острого угла, имеющего большую градусную меру, косинус больше? Тангенс больше? Котангенс больше?
Треугольники имеют катеты с длинами 3 и 4, 6 и 8. Можно ли утверждать, что эти треугольники имеют равные углы и почему? Обладают ли эти треугольники свойством подобия?
Для чего составлены таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов? Какие две основные задачи можно с их помощью решать?
Почему для пары функций синус-косинус или тангенс-котангенс достаточно одной таблицы?
*В математике синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригонометрическими функциями острого угла. Этот термин будет встречаться в учебниках математики и в другой литературе по математике, с которой вам придётся встречаться в дальнейшем. Почему, по вашему мнению, выбран для названия именно термин “функция”?

Учащиеся должны понять, что для любого угла существует единственное значение любой из величин отношений, что является определяющим в понятии функции.

После фронтальной работы по вопросам оценивается работа каждого учащегося.





































ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2.8.

Решение прямоугольных треугольников.

ЦЕЛИ:
1. Изучить сущность задачи о решении прямоугольного треугольника, заключающуюся в вычислении неизвестных его элементов по его известным элементам.
2. Изучить общие приёмы вычислений длин сторон прямоугольного треугольника с помощью тригонометрических функций острого угла.
3. Изучить общие приёмы вычисления градусной меры острого угла по значению одной из его тригонометрических функций.
4. Актуализировать применение теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника при решении прямоугольных треугольников.

ОБОРУДОВАНИЕ: Рабочие таблицы №1 и №2, демонстрационная таблица для запоминания отношений длин сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов, чертёжные инструменты, цветные стержни или карандаши, микрокалькулятор, таблицы значений синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов для острых углов.

Подготовительный этап.
Постановка задачи о решении прямоугольного треугольника.

Учащиеся вспоминают о том, что было предметом изучения в предшествующей практической работе: отношения сторон в прямоугольном треугольнике и их названия. Обращается внимание на выявленную закономерность: значения отношений не зависят от длин сторон прямоугольного треугольника и зависят только от величины острого угла, связанного с каждым из отношений. По этой причине давным-давно математики рассчитали значения для таких отношений как синус, косинус, тангенс и котангенс для всех острых углов и составили специальные таблицы, которыми учащиеся уже воспользовались в предыдущей практической работе.

Учитель сообщает, что практические потребности человека привели к необходимости составления таких таблиц и их последующего применения. Это является предметом одной из важнейших задач тригонометрии: задачи о решении треугольников вообще и задачи о решении прямоугольного треугольника в частности. Решение любого треугольника заключается в вычислении его неизвестных элементов по его известным элементам.

Учащиеся вспоминают, какими элементами определён любой треугольник. Затем целесообразно продолжить разговор о решении треугольников и задать вопрос: является ли эта задача абсолютно новой, или учащимся уже приходилось находить неизвестные элементы треугольника при решении каких-то задач? В процессе обсуждения выясняется, что, применяя теорему о сумме углов треугольника, учащиеся вычисляли градусную меру неизвестного угла, а теорема Пифагора является хорошим помощником при вычислении длины любой стороны прямоугольного треугольника с помощью двух других известных его сторон. Очень полезна информация о том, что в прямоугольном треугольнике сумма градусных мер его острых углов равна величине прямого угла.

Учитель сообщает, что знание тригонометрических функций острого угла позволяет не только решать любой прямоугольный треугольник, но и множество практических задач, встречающихся в жизни и деятельности человека. Потребность в решении таких практических задач, как известно, породила науку под названием “тригонометрия” со всеми её формулами и вычислениями.

В процессе выполнения практической работы учащиеся рассмотрят все основные случаи вычисления неизвестных элементов прямоугольного треугольника с помощью его известных элементов.

Практическая часть I.
Применение отношений сторон в прямоугольном треугольнике для вычисления длин его сторон.

1. Внимательно изучите рабочую таблицу №1, которую вам предстоит заполнить.

РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА №1.

Отношение
Применение отношения

1.
ВС

· =
АВ

ВС =


АВ =



ВС =


АВ =

2.
АС

· =
АВ


АС =


АВ =



АС =


АВ =

3.
ВС

· =
АС


ВС =


АС =



ВС =


АС =

4.
АС

· =
ВС

АС =


ВС =



АС =


ВС =


Учащиеся изучают устройство рабочей таблицы №1 и высказывают свои предположения о порядке её заполнения. Обращается внимание, что в зависимости от выбора острого угла, каждое отношение получит два тригонометрических названия.

2. В первой колонке запишите тригонометрические названия каждого из отношений.
3. Используя первое отношение, заполните соответствующую ему строку. Обратите внимание на то, что в этой строке две самостоятельных строчки. В каждую строчку запишите, каким вычислением можно получить нужный результат.
4. Аналогично рассуждая, сделайте записи во второй, третьей и четвёртой строках.

Учитель контролирует и направляет работу по заполнению таблицы и оказывает в случае необходимости помощь отдельным учащимся. После завершения работы каждая строчка озвучивается учащимися в процессе фронтальной работы. Для координации этой работы по озвучиванию целесообразно предложить учащимся рассуждать по схемам:

а) “Для вычисления катета прямоугольного треугольника может быть применена тригонометрическая функция (вставить название) В таком случае необходимо (прокомментировать необходимые практические действия)”;

б) “Для вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника может быть применена тригонометрическая функция (вставить название) В таком случае необходимо (прокомментировать необходимые практические действия) ”

РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ №1:

Отношение
Применение отношения

1.
ВС

· sin A = cos B
АВ

ВС = AB ( sin A


АВ = BC : sin A



ВС = AB ( cos B


АВ = BC : cos B

2.
АС

· cos A = sin B
АВ


АС = AB ( cos A


АВ = AC : cos A




АС = AB ( sin B


АВ = AC : sin B

3.
ВС

· tg A = ctg B
АС


ВС = AC ( tg A


АС = BC : tg A



ВС = AC ( ctg B


АС = BC : ctg B

4.
АС

· ctg A = tg B
ВС

АС = BC ( ctg A


ВС = AC : ctg A



АС = BC ( tg B


ВС = AC : tg B



Практическая часть II.
Основные задачи на решение треугольников и принципы их решения.

Внимательно изучите рабочую таблицу №2, которую вам предстоит заполнить. Найдите в таблице №2 две основных колонки. Какие названия они имеют?
Сколько задач будет рассмотрено?


РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА №2.

№
задачи

ДАНО: (А = 90°

НАЙТИ


1


АВ

(А

(В

ВС

АС


ПЛАН РЕШЕНИЯ











2


ВС

(А

(В

АВ

АС


ПЛАН РЕШЕНИЯ





1







2





3


ВС

АВ

(А

(В

АС


ПЛАН РЕШЕНИЯ





1







2







3





4


ВС

АС

(А

(В

АВ


ПЛАН РЕШЕНИЯ





1







2







3







4






Учащиеся должны уяснить, что в первой основной колонке указаны исходные данные для решаемого треугольника, а во второй – элементы треугольника, которые требуется найти. Все треугольники являются прямоугольными, что также выделено в таблице. Предстоит рассмотреть четыре основных задачи на решение прямоугольных треугольников.
Во вторую колонку предстоит записать решение каждой из задач в общем виде. Для этого будут использоваться результатами первой практической части работы, записанные в рабочей таблице №1.

Составим план решения задачи №1.

Учитель инициирует и направляет действия учащихся. Сначала решается вопрос о вычислении градусной меры неизвестного острого угла. Затем в таблице №1 подбираются подходящие для вычислений результаты. В соответствующих окнах таблицы выполняются записи. Если для вычисления необходимо применить таблицы значений тригонометрических функций, делается соответствующая пометка.

Составим план решения задачи №2.

Учитель обращает внимание учащихся на наличие нескольких решений у задачи.

Составим план решения задачи №3.
Составим план решения задачи №4.

В зависимости от уровня подготовки класса и учебных возможностей каждого учащегося находится уровень предоставляемой им самостоятельности в заполнении таблицы. Можно предложить самостоятельное выполнение работы. По окончании работы проверяются, уточняются и, возможно, корректируются результаты.


РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ №2:


№
задачи

ДАНО: (А = 90°

НАЙТИ


1


АВ

(А

(В

ВС

АС


РЕШЕНИЕ


90°- (А


АВ(sin А
(sin А см. в ТАБЛ.)


АВ(cos А
(cos А см. в ТАБЛ.)



2


ВС

(А

(В

АВ

АС


РЕШЕНИЕ


90°- (А


ВС sin А
(sin А см. в ТАБЛ.)

1
ВС( tg В
(tg В см. в ТАБЛ.)





2
ВС( сtg А
(сtg А
см. в ТАБЛ.)



3


ВС

АВ

(А

(В

АС


РЕШЕНИЕ


sin А = ВС АВ
((А см. в ТАБЛ.)

90°- (А

1
АВ( cos А
(cos А см. в ТАБЛ.)





2
АВ(sin А
(sin А см. в ТАБЛ.)





3
Применить
т. Пифагора



4


ВС

АС

(А

(В

АВ


РЕШЕНИЕ


tg A = BC АС
((А см. в ТАБЛ.)

90°- (А

1
Применить
т. Пифагора





2
ВС sin А
(sin А см. в ТАБЛ.)





3
AС sin B
( sin B см. в ТАБЛ.)





4
ВС cos B
(cos B см. в ТАБЛ.)





Применение полученных результатов.
Самостоятельная обучающая работа.

Решите треугольник АВС, применяя результаты, внесённые в рабочую таблицу №2, если:

1 вариант:
а) АВ = 4; (А =23°; б) ВС = 3; (А = 56°; в) ВС = 3; АВ = 5; г) ВС = 3; АС = 2.

2 вариант:
а) АВ = 3; (А =37°; б) ВС = 4; (А = 62°; в) ВС =4; АВ = 5; г) ВС = 4; АС = 2.

Для ускорения вычислений применяйте микрокалькулятор. При наличии нескольких способов решения выберите наиболее рациональный.
При вычислении длин сторон и использовании таблиц синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов производите округление до сотых.

Учитель координирует и контролирует выполнение работы. Можно организовать работу в группах, разбить задания на большее количество вариантов, если недостаточно времени для выполнения работы в полном объёме.
Проверить результаты быстро позволит таблица результатов (см. ниже).

Подведение итогов работы.
Проверка результатов выполнения самостоятельной работы. Выставление оценок.


ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ:


№ задания


1 вариант

2 вариант


а


(В = 67°; ВС
· 1,56; АС
· 3,68;
sin 23°
· 0,39; cos 23°
· 0,92


(В = 53°; ВС
· 2,4; АС
· 1,80;
sin 53°
· 0,80; cos 53°
· 0,60


б


(В = 34°; АВ
· 3,61; АС
· 2,01;
sin 56°
· 0,83; tg 34°
· 0,67


(В = 28°; АВ
· 4,55; АС
· 2,12;
sin 62°
· 0,88; tg 28°
· 0,53


в


АС = 4; (А
· 37°; (В
· 53°;
sin А = 0,6; sin B = 0,8


АС = 3; (А
· 53°; (В
· 37°;
sin А = 0,8; sin B = 0,6


г


АВ = 13 EMBED Equation.3 1415
· 3,61;
(А
· 56°; (В
· 34°;
tg A = 1,5


АВ = 13 EMBED Equation.3 1415
· 4,47;
(А
· 63°; (В
· 27°;
tg A = 2




ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №3.8.

Изучение зависимости между тригонометрическими функциями одного острого угла.

ЦЕЛИ:
1. Получить формулы, связывающие тригонометрические функции острого угла.
2. Применить полученные формулы для вычислений.

ОБОРУДОВАНИЕ: Демонстрационная таблица с изображением прямоугольного треугольника, демонстрационная таблица с символическим изображением отношений сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов, результаты практической работы №1, оформленные в таблицу, рабочая таблица.

Подготовительный этап.

Учащимся предлагается вспомнить, чем они занимались на практической работе №1, результаты выполнения которой представлены в таблице. Обращается внимание на то, что каждое отношение имеет специальное тригонометрическое название: синус, косинус, тангенс, котангенс. Повторяются определения этих функций острого угла для углов А и В.

Практическая часть.

1. Внимательно изучите рабочую таблицу, которую предстоит вам заполнить (см. далее).

Учащиеся изучают устройство рабочей таблицы. Вместо пропусков в виде многоточий учащиеся под руководством учителя будут делать необходимые записи, преобразования и получать результаты, которые в дальнейшем применят для вычислений. При затруднениях в заполнении некоторых окон рабочей таблицы можно воспользоваться результатами практической работы №1. Для заполнения таблицы потребуется умение выполнять действия с дробями и знание теоремы Пифагора. В процессе работы станет ясно, где и как это применить.

2. Запишите в колонку исходных данных отношения сторон, выражающие синус и косинус угла А.
3. Заполните в таблице окно 1. Для этого выполните необходимые подстановки и выкладки. Сделайте вывод о взаимосвязи тригонометрических функций острого угла А.

Учитель руководит действиями учащихся, в случае необходимости оказывает индивидуальную помощь.
Учащиеся должны получить две основных формулы: выражение тангенса угла как отношения синуса этого угла к его косинусу и выражение котангенса угла как отношения косинуса этого угла к его синусу.

4. Запишите в колонку исходных данных отношения сторон, выражающие синус и косинус угла В.
5. Заполните в таблице окно 2. Для этого выполните необходимые подстановки и выкладки. Сделайте вывод о взаимосвязи тригонометрических функций острого угла В.

Получив некоторый опыт при заполнении окна 1, учащиеся выполняют ещё раз аналогичные записи с целью закрепления. Это поможет им осознать, что данные равенства являются тождествами, то есть выполняются для любого угла.

6. Заполните в таблице окно 3. Для этого сделайте необходимые подстановки и преобразования.
7. Аналогичным образом заполните окно 5.
8. Сравнив результаты заполнения окон 3 и 5, сделайте вывод.

Учащиеся должны озвучить основное тригонометрическое тождество.

9. Заполните окна 4 и 6.
10. Сравнив результаты заполнения окон 4 и 6, сделайте вывод.

Учащиеся должны озвучить тождество, выражающее равенство единице произведения тангенса и котангенса любого угла.
Обращается внимание учащихся на то, что каждая формула связывает значения тригонометрических функций одного и того же угла.

































РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА:


Исходные данные


Результаты



sin A =




cos A =
3

sinІ A + cosІ A =





1

sin A
= ...
cos A

cos A
= ...
sin A


4

tg A ( ctg A =



sin B =




cos B =

5

sinІ B + cosІ B =





2

sin В
= ...
cos В

cos В
= ...
sin В


6

tg В ( ctg В =












РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ:


Исходные данные


Результаты


ВС
sin A =
АВ

АС
cos A =
АВ
3

sinІ A + cosІ A =
= 13 EMBED Equation.3 1415



1

sin A ВС АС ВС
·АВ ВС
= : = = = tg A
cos A АВ АВ АВ
·АС АС

cos A АС ВС АС
·АВ АС
= : = = = сtg A
sin A АВ АВ АВ
·ВС ВС

4
ВС АС
tg A ( ctg A =
· = 1
АС ВС


АС
sin B =
АВ

ВС
cos B =
АВ
5

sinІ B + cosІ B =
= 13 EMBED Equation.3 1415



2

sin В АС ВС АС
·АВ АС
= : = = = tg B
cos В АВ АВ АВ
·ВС ВС

cos В ВС АС ВС
·АВ ВС
= : = = = сtg B
sin В АВ АВ АВ
·АС АС

6
АС ВС
tg В ( ctg В =
· = 1
ВС АС













Исследование полученных результатов. Фронтальная работа по вопросам.

Пусть вам известны значения синуса и косинуса некоторого угла. Значения каких тригонометрических функций этого угла можно вычислить, располагая этими значениями? Как?
Известно значение тангенса некоторого острого угла. Как найти значение котангенса этого угла? Почему?
Известно значение синуса некоторого острого угла. Можно ли найти по значению синуса значение косинуса этого острого угла? Как?
Пусть вам дан некоторый острый угол
·. Запишите основное тригонометрическое тождество для этого угла.
Запишите, пользуясь этим тождеством, равенство, выражающее квадрат синуса угла
·.
Запишите формулу, по которой можно вычислить синус этого угла.
Сделайте аналогичные записи и получите формулу для вычисления косинуса этого угла по известному значению синуса.
Запишите формулу для вычисления значения тангенса угла
·, считая известными его синус и косинус.
Запишите формулу для вычисления значения тангенса угла
·, считая известным только его синус.
Запишите формулу для вычисления значения тангенса угла
·, считая известным только его косинус.
Запишите равенство, связывающее значения тангенса и котангенса угла
·.
Запишите равенство, с помощью которого можно вычислить значение тангенса по значению котангенса.
Запишите равенство, с помощью которого можно вычислить значение котангенса по значению тангенса.

Учащиеся должны осмыслить полученные формулы и понять их практическое предназначение: по значению одной из тригонометрических функций острого угла можно вычислить значения остальных.

Применение полученных результатов.
Самостоятельная обучающая работа.

Найдите неизвестные значения тригонометрических функций для угла
·, если:

1 вариант: а) sin
· = 13 EMBED Equation.3 1415; б) cos
· =13 EMBED Equation.3 1415.

2 вариант: а) cos
· =13 EMBED Equation.3 1415; б) sin
· =13 EMBED Equation.3 1415.

Подведение итогов работы.

Проверка результатов выполнения самостоятельной работы. Выставление оценок.





ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №4.8.

Построение острого угла по заданному значению его тригонометрической функции.

ЦЕЛЬ:
1. Актуализировать представления учащихся о задачах на построение.
2. Применить знания об отношениях сторон в прямоугольном треугольнике для построения острого угла, заданного одной из его тригонометрических функций.

ОБОРУДОВАНИЕ: Чертёжные инструменты (циркуль, линейка, карандаш), демонстрационная таблица с символическим изображением отношений сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов.

Подготовительный этап. Постановка цели предстоящей работы.

Учащимся предлагается продемонстрировать знания об отношениях сторон в прямоугольном треугольнике. Они называют известные им отношения, показывают, какие измерения необходимо произвести, чтобы вычислить эти отношения, используя демонстрационную таблицу.
Учитель обращает внимание на то, что для любого острого угла существует единственное значение соответствующей тригонометрической функции: синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Применяя таблицы для вычисления градусной меры острого угла по значению одной из этих тригонометрических функций, учащиеся убедились, что существует только одно значение величины этого угла, удовлетворяющее условию задачи.
Оказывается, по значению одной из тригонометрических функций можно не только найти градусную меру угла, но и построить этот угол, то есть увидеть его именно таким, каков он есть на самом деле. Как это сделать практически, предстоит выяснить в процессе выполнения данной работы.
Учащимся предлагается вспомнить об особенностях решения задач на построение, с которыми они познакомились в 7 классе. Для этого организуется работа по учебнику “Геометрия 7-9”авторского коллектива Л.С.Атанасяна и др., стр. 95. Учащиеся записывают в тетрадь схему решения любой задачи на построение:

АНАЛИЗ – составление плана решения.
ПОСТРОЕНИЕ – выполнение намеченного плана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.
ИССЛЕДОВАНИЕ – выяснение вопроса о том, всегда ли задача имеет решение.


Практическая часть.

Примечание. Задачи расположены в порядке возрастания уровня сложности их выполнения. Предполагается постепенное накопление практического опыта учащихся в решении подобных задач, который будет способствовать повышению уровня их самостоятельности и закреплению соответствующих навыков.

Задача 1. Построение острого угла по заданному значению его тангенса: построить острый угол
·, если tg
· =а/b.

АНАЛИЗ. Фронтальная работа по вопросам:

1. Используя демонстрационную таблицу с символическим изображением вычисления тангенса острого угла прямоугольного треугольника, представьте, что изображённый острый угол удовлетворяет условию задачи, то есть тангенс угла равен a/b. Как, в таком случае, это значение тангенса было найдено? Какие измерения в треугольнике были произведены?

Учащиеся объясняют, что для вычисления значения тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике необходимо было измерить длины его катетов и выполнить деление длины катета, противолежащего углу, на длину прилежащего к нему катета. В результате было получено значение a/b.

2. Какой угол образуют катеты любого прямоугольного треугольника?
3. Выскажите ваши гипотезы по поводу дальнейших практических действий, которые помогут решить данную задачу.

Учащиеся выдвигают и аргументируют свои предположения. Учитель организует и направляет ход рассуждений в нужное русло. Учащиеся должны понять, что решение начинается с построения прямого угла. Затем на его сторонах откладываются длины катетов. Заключительный шаг – выбор одного из двух полученных острых углов построенного вспомогательного треугольника.
Обращается внимание учащихся на то, что длины катетов не заданы. Обсуждается вопрос: Как выйти из положения? Учащиеся должны убедиться в том, что длины катетов вспомогательного треугольника могут быть любой длины, но отношение их длин обязательно должно быть равным значению тангенса а/b. Один из простейших вариантов выбора длин катетов таков: один катет длиной а, второй – b.
Учащимся предлагается выполнить построение.

ПОСТРОЕНИЕ. 1. Построить прямой угол.
2. Отложить на его сторонах длины катетов а и b.
3. Соединить концы катетов отрезком.
4. Выбрать острый угол, тангенс которого равен а/b.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО и ИССЛЕДОВАНИЕ.
Устная фронтальная работа.

Учащиеся доказывают, что построенный угол удовлетворяет условиям задачи.
Исследуя задачу, учащиеся убеждаются в том, что она имеет единственное решение при любом заданном значении тангенса. Обращается внимание на то, что значение тангенса может быть любым действительным числом.






Задача 2. Построение острого угла по заданному значению его косинуса: построить острый угол
·, если cos
· =а/b.

АНАЛИЗ. Фронтальная работа по вопросам:

1. Используя демонстрационную таблицу с символическим изображением вычисления косинуса острого угла прямоугольного треугольника, представьте, что изображённый острый угол удовлетворяет условию задачи, то есть косинус угла равен а/b. Как, в таком случае, это значение косинуса было найдено? Какие измерения в треугольнике были произведены?

Учащиеся объясняют, что для вычисления значения косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике необходимо было измерить длину прилежащего ему катета и длину гипотенузы, затем выполнить деление длины прилежащего катета на длину гипотенузы. В результате было получено значение а/b.

2. Какими отрезками образован угол, который предстоит построить? Имеют ли эти отрезки связь с прямым углом рассматриваемого треугольника?
3. Выскажите ваши гипотезы по поводу дальнейших практических действий, которые помогут решить данную задачу.

Учащиеся выдвигают и аргументируют свои предположения. Учитель организует и направляет ход рассуждений в нужное русло. Учащиеся должны понять, что решение, как и в предыдущей задаче, нужно начать с построения прямого угла. Затем на одной из его сторон откладывается длина одного из катетов. Этот катет будет одной из сторон угла, который они должны построить. Один из концов этого катета есть вершина строящегося угла.
Некоторая заминка может возникнуть с построением гипотенузы. Направить дальнейшие действия учащихся можно таким вопросом: Какой чертёжный прибор позволяет изображать множество всех точек, удалённых на заданное расстояние от некоторой зафиксированной точки? В процессе разговора о циркуле и фигурах, которые строят с его помощью, учащиеся должны понять, что с помощью циркуля можно найти точку, лежащую на её пересечении со вторым катетом и удалённую от вершины на расстояние, равное длине гипотенузы. Заключительный шаг – выбор одного из двух полученных острых углов построенного вспомогательного треугольника.
Обращается внимание учащихся на то, что длины прилежащего катета и гипотенузы не заданы. Обсуждается вопрос: Как выйти из положения? Учащиеся должны убедиться в том, что длины могут быть любой длины, но отношение их длин обязательно должно быть равным значению косинуса а/b. Один из простейших вариантов выбора длин таков: прилежащий катет длиной а, гипотенуза – длиной b.
Учащимся предлагается выполнить построение.

ПОСТРОЕНИЕ. 1. Построить прямой угол.
2. Отложить на одной из его сторон отрезок длиной а.
3. Выделить вершину строящегося острого угла. Построить окружность, пересекающую вторую сторону прямого угла, с центром в выделенной вершине и радиусом b.
4. Соединить вершину строящегося угла и точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО и ИССЛЕДОВАНИЕ.
Устная фронтальная работа.

Учащиеся доказывают, что построенный угол удовлетворяет условиям задачи.
Исследуя задачу, учащиеся убеждаются в том, что она имеет единственное решение при любом заданном значении косинуса. Обращается внимание на то, что для значений косинуса острого угла существуют определённые ограничения, выясняется их причина.


Задача 3. Построение острого угла по заданному значению его синуса: построить острый угол
·, если sin
· =а/b.

АНАЛИЗ. Фронтальная работа по вопросам:

1. Используя демонстрационную таблицу с символическим изображением вычисления синуса острого угла прямоугольного треугольника, представьте, что изображённый острый угол удовлетворяет условию задачи, то есть синус угла равен а/b. Как, в таком случае, это значение синуса было найдено? Какие измерения в треугольнике были произведены?

Учащиеся объясняют, что для вычисления значения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике необходимо было измерить длину противолежащего ему катета и длину гипотенузы, затем выполнить деление длины противолежащего катета на длину гипотенузы. В результате было получено значение а/b.

2. Какими отрезками образован угол, который предстоит построить? Имеют ли эти отрезки связь с прямым углом рассматриваемого треугольника?
3. Выскажите ваши гипотезы по поводу дальнейших практических действий, которые помогут решить данную задачу.

Организуется устная фронтальная работа по аналогии с проведённой при решении задачи 2. В зависимости от уровня подготовки класса эта работа может быть проведена учащимися самостоятельно. Более пристальное внимание уделить объяснению построения стороны-гипотенузы. Главное отличие этой задачи от предыдущей: в точке пересечения вспомогательной окружности и стороны прямого угла будет расположена вершина строящегося угла.
Построение может быть выполнено учащимися самостоятельно.


ПОСТРОЕНИЕ. 1. Построить прямой угол.
2. Отметить на одной из его сторон на расстоянии а от вершины точку.
3. Построить окружность с центром в выделенной точке и радиусом b, пересекающую вторую сторону прямого угла.
4. Соединить отрезком центр окружности и точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО и ИССЛЕДОВАНИЕ.
Устная фронтальная работа.

Учащиеся доказывают, что построенный угол удовлетворяет условиям задачи.
Исследуя задачу, учащиеся убеждаются в том, что она имеет единственное решение при любом заданном значении косинуса. Обращается внимание на то, что для значений косинуса острого угла существуют определённые ограничения, выясняется их причина.


Практическое применение полученных знаний и умений.
Самостоятельная обучающая работа.

Постройте острые углы
·, если известны значения их тригонометрических функций:

1 вариант: а) tg
· = 1/3; б) cos
· = 3/4; в) sin
· = 2/3 .

2 вариант: а) tg
· = 1/2; б) cos
· = 2/3; в) sin
· = 3/4 .

В случае необходимости учитель оказывает помощь отдельным учащимся.

Подведение итогов работы.

Проверка результатов выполнения самостоятельной работы. Выставление оценок.



























ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5.8.

Вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45°, 60°.

ЦЕЛИ:
1. Составить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60°.
2. Применить полученные результаты для решения различных задач.

ОБОРУДОВАНИЕ: Рабочая таблица, демонстрационные модели прямоугольных треугольников с углами 30°, 45° и 60°, аналогичные модели для индивидуальной работы каждого учащегося, чертёжные инструменты, таблица результатов практической работы №3.

Подготовительный этап. Постановка цели предстоящей работы.

Учитель сообщает учащимся о том, что значения тригонометрических функций для некоторых острых углов употребляются чаще, чем другие. Озвучиваются градусные меры этих углов. Демонстрируются модели прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° и равнобедренного прямоугольного треугольника. Учащиеся должны понять особое значение углов, имеющих указанные градусные меры, в планиметрии и попытаться высказать свои соображения, пользуясь имеющимися у них представлениями и опытом. Используются модели прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° и равнобедренного прямоугольного треугольника для индивидуальной работы.
Учитель ставит цель предстоящей практической работы: составить таблицу значений тригонометрических функций для углов с градусными мерами 30°, 45° и 60°, поскольку эти значения часто используются в расчётах. Изучается рабочая таблица, которую предстоит заполнить в процессе работы.



·


30°

45°

60°


sin
·







cos
·







tg
·







ctg
·







Учитель направляет рассуждения учащихся и организует дискуссию о том, как сократить работу по заполнению рабочей таблицы, используя имеющиеся знания и представления об отношениях сторон в прямоугольном треугольнике. Для фронтальной работы могут использоваться примерные вопросы:

Пусть вами найдено значение синуса для угла 30°. Косинус какого угла можно назвать, зная это значение, и почему?
Как найти значение косинуса для угла 30°? Назовите угол, для которого полученное значение косинуса является значением синуса.
Можно ли, располагая значениями для синуса и косинуса угла 30°, вычислить значения остальных тригонометрических функций для углов 30° и 60°? Какие дополнительные вычисления необходимо выполнить для этого?
Справедливо ли утверждение о том, что синус и косинус угла 45° имеют равные числовые значения? Почему?
Можно ли считать справедливым аналогичное утверждение для тангенса и котангенса этого угла?
Справедливо ли утверждение о том, что для заполнения всех клеток таблицы для угла 45° достаточно выполнить всего два расчёта?

Практическая часть.

I. Вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30° и 60°.

Обведите по контуру в тетради модель прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°.
Обозначьте прямой угол буквой С, меньший острый угол буквой А, больший - буквой В.
Назовите гипотенузу и катеты треугольника.
Вспомните, каким важным свойством обладает катет, лежащий против угла 30°.
Какой из катетов изображённого треугольника обладает таким свойством?
Запишите отношение, выражающее синус угла 30°.
Назовите числовое значение синуса угла 30°, применяя свойство катета, лежащего против угла 30°. Внесите его в таблицу.
Запишите основное тригонометрическое тождество для угла 30°. Примените это тождество для вычисления значения косинуса угла 30°. Внесите в таблицу найденное значение косинуса.
Вспомните, как связаны числовые значения синуса, косинуса и тангенса одного острого угла.
Вычислите значение тангенса для угла 30°. Внесите его в таблицу.
Вспомните, как связаны числовые значения синуса, косинуса и котангенса одного острого угла.
Вычислите значение котангенса для угла 30°. Внесите его в таблицу.
Используя полученные результаты, заполните клетки таблицы числовыми значениями тригонометрических функций для угла 60°.

Учитель направляет и координирует работу учащихся, в случае необходимости оказывает помощь отдельным учащимся. Каждое полученное числовое значение озвучивается учащимися по просьбе учителя в целях проверки.




II. Вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45°.

Обведите по контуру в тетради модель равнобедренного прямоугольного треугольника.
Обозначьте прямой угол буквой С, острые углы буквами А и В. Выделите равные стороны треугольника.
Запишите отношения сторон изображённого треугольника, выражающие значения тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс для угла 45°.
Подумайте, значения каких тригонометрических функций можно назвать, не выполняя сложных вычислений. Почему эти значения оказываются равными в данном треугольнике?
Примените к изображённому треугольнику теорему Пифагора и запишите соответствующее равенство.
Обозначьте длины катетов за х и выразите длину гипотенузы через длину катетов.
Используя полученные результаты и отношение сторон для синуса, вычислите числовое значение синуса угла 45°. Внесите это значение в таблицу.
Назовите числовое значение для косинуса этого угла и объясните, почему вы считаете ваш ответ верным. Внесите это значение в таблицу.

Учитель направляет и координирует работу учащихся, в случае необходимости оказывает помощь отдельным учащимся. Каждое полученное числовое значение озвучивается учащимися по просьбе учителя в целях проверки.
В заключение работы демонстрируются результаты заполнения рабочей таблицы в целях проверки.




·


30°

45°

60°



sin
·



13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415



cos
·



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



tg
·



13 EMBED Equation.3 1415


1


13 EMBED Equation.3 1415



ctg
·




13 EMBED Equation.3 1415


1

13 EMBED Equation.3 1415




Практическое применение полученных знаний.
Самостоятельная работа.

1 вариант.

№1. В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 10, а высота 7. Найдите величины углов этой трапеции.

№2. В окружности из одной взятой на ней точке проведены хорда длиной 3 и диаметр. Найдите угол между хордой и диаметром, если радиус окружности равен 3.

2 вариант.

№1. Диагонали ромба равны 13 EMBED Equation.3 1415 и 4. Найдите величины углов ромба.

№2. В окружности из одной взятой на ней точке проведены хорда длиной 13 EMBED Equation.3 1415 и диаметр. Найдите угол между хордой и диаметром, если радиус окружности равен 2.


Указание к задаче №2: Сделайте рисунок к задаче. Найдите на рисунке прямоугольный треугольник.

ОТВЕТЫ:

1 вариант. №1. 45° и 135°. №2. 60°.

2 вариант. №1. 60° и 120°. №2. 45°.






















ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №1.9.

Определение тригонометрических функций для любого угла из промежутка [0°; 180°].

ЦЕЛИ:
1. Повторить и систематизировать знания о тригонометрических функциях синус, косинус, тангенс и котангенс для острых углов.
2. Показать целесообразность использования единичной полуокружности для определения тригонометрических функций синус и косинус для любого угла из промежутка [0°; 180°].
3. Определить тригонометрические функции для любого угла из промежутка [0°; 180°].
4. Рассмотреть формулы приведения, применимые к углам из промежутка [0°; 180°], как одну из возможностей для упрощения тригонометрических вычислений.

ОБОРУДОВАНИЕ: Демонстрационная таблица с изображением прямоугольного треугольника, демонстрационная таблица с символическим изображением отношений сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов, подвижная модель единичной окружности, чертёжные инструменты, цветные стержни или карандаши, микрокалькулятор, учебник, рабочая таблица, таблица значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°, таблицы значений синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов для острых углов.

Подготовительный этап.
Повторение и систематизация знаний о тригонометрических функциях для острых углов. Постановка целей предстоящей работы.

Учитель организует фронтальную работу по повторению и актуализации знаний о тригонометрических функциях острых углов прямоугольного треугольника, используя для этого применявшиеся в курсе 8 класса демонстрационные таблицы. Учащимся предлагается ответить на вопросы:

Какие тригонометрические функции острого угла вам известны?
Как связаны тригонометрические функции острого угла с отношениями длин его сторон? Расскажите о каждой из функций.
Как связаны тригонометрические функции одного угла?
Что вы можете сказать о значениях тригонометрических функций острых углов подобных прямоугольных треугольников?
Градусные меры двух острых углов в сумме составляют 90. Что вы можете сказать о взаимосвязи их тригонометрических функций?

Учащимся предлагается решить задачи, которые станут “перекидным мостиком” на пути к изучению нового материала и позволят органично перейти от тригонометрических функций произвольного прямоугольного треугольника к их аналогам на единичной полуокружности.

ЗАДАЧА 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет длину 1. Докажите, что катеты этого треугольника имеют длины, совпадающие с числовыми значениями синуса и косинуса его острых углов.

ЗАДАЧА 2. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 поместили в координатную плоскость, причём вершина одного из острых углов совпала с началом координат, а прилежащий к этому углу катет лежит на оси абсцисс. Докажите, что координаты вершины второго острого угла являются тригонометрическими функциями синус и косинус первого острого угла.

Учащиеся решают задачу 1, проводя устные рассуждения по рисунку. Они должны убедиться в том, что самый простой способ “увидеть” значения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике заключается в рассмотрении подобного ему треугольника с гипотенузой 1.

Расположив рисунок к задаче 1 в координатной плоскости соответствующим условию задачи 2 образом, учащиеся проводят рассуждения, приводящие к решению задачи 2.

Учитель инициирует направление дальнейших рассуждений учащихся в нужное русло: с тригонометрическими функциями острых углов вопрос ясен, а как найти значения тригонометрических функций для других углов, например, для тупых или равных 180°, 90°, 0°? Ведь такие градусные меры могут быть результатами измерения углов. По логике математических рассуждений эти значения должны существовать и иметь аналогичное зрительное представление.

С помощью подвижной модели, аналогичной рисунку к задаче 2, учитель демонстрирует, как будут выглядеть различные треугольники, расположенные в координатной плоскости и имеющие одну из сторон длиной 1, с зафиксированной в начале координат вершиной. Вращающийся вокруг начала координат единичный отрезок (одна из сторон произвольного треугольника) образует углы с градусными мерами 0, 90, 180, произвольные острые, тупые углы.

В результате такой фронтальной работы учащиеся будут подготовлены к рассмотрению единичной полуокружности с центром в начале координат как удобной модели для введения определения тригонометрических функций синус и косинус любого угла из промежутка [0°; 180°]. Убедившись, что для острых углов синус и косинус угла являются ординатой и абсциссой точки единичной окружности, они смогут по аналогии определить синус и косинус для любого угла из промежутка [0°; 180°].

Изучение нового материала.

Практическая работа I.
Определение тригонометрических функций угла из промежутка [0°; 180°].

1. Изобразите прямоугольную систему координат Оху.
2. Постройте в этой системе координат окружность радиуса 1, считая единичным отрезок длиной 10 клеток тетради.
3. Отметьте на координатной плоскости точку (1;0). Какой угол образует радиус окружности, проведённый в эту точку, с положительной полуосью абсцисс? Принадлежит ли эта точка единичной окружности?
4. Отметьте на координатной плоскости точку (0;1). Какой угол образует радиус окружности, проведённый в эту точку, с положительной полуосью абсцисс? Принадлежит ли эта точка единичной окружности?
5. Отметьте на координатной плоскости точку (-1;0). Какой угол образует радиус окружности, проведённый в эту точку, с положительной полуосью абсцисс? Принадлежит ли эта точка единичной окружности?
6. Отметьте на единичной окружности в первом координатном угле произвольную точку А. Какой угол образует радиус окружности, проведённый в эту точку, с положительной полуосью абсцисс?
7. Найдите координаты точки А. Как называются эти координаты?

Учащиеся должны увидеть, что координатами точки в первой полуокружности являются известные им синус и косинус угла, образованного единичным радиусом ОА и положительным направлением оси абсцисс. Это соответственно ордината и абсцисса точки на единичной окружности, которые выражены положительными числами. Соответствующая запись в тетрадях:

ХА = sin
·А > 0 , YА = cos
·А > 0 ,
·А – угол между радиусом ОА = 1 и положительным направлением оси абсцисс.

8. Отметьте на единичной окружности во втором координатном угле произвольную точку В. Какой угол образует радиус окружности, проведённый в эту точку, с положительной полуосью абсцисс?

Учащиеся должны увидеть тупой угол между единичным радиусом ОВ и положительным направлением оси абсцисс.

9. Какие названия вы дали бы координатам точки В, используя аналогию?

Многие учащиеся понимают, что координатами точки единичной окружности из второй четверти по аналогии также будут значения синуса и косинуса угла, образованного радиусом ОВ и положительным направлением оси абсцисс. К остальным понимание этого факта придёт в процессе закрепления изучаемого материала.

10. Можно ли, используя полученные результаты, назвать точные значения для синуса и косинуса угла величиной 0°, 90°, 180°?

Учащиеся пытаются назвать значения функций. Учитель оказывает помощь в случае необходимости.

11. Внимательно изучите рабочую таблицу.


Угол
·


0°

0° <
· < 90°,
0° 90°


90°

90° <
· < 180°,
90° 180°

180°




Синус
·




< sin
· <
0 1





< sin
· <
1 0







Знак





Знак







Косинус
·




< cos
· <
1 0





< cos
· <
0 -1







Знак





Знак




Учащиеся изучают рабочую таблицу, задают вопросы для уточнения отдельных деталей.

12. Заполните рабочую таблицу, используя полученные результаты.

Учитель руководит заполнением таблицы, направляет работу учащихся и оказывает адресную помощь в случае необходимости. Результат заполнения демонстрируется с целью уточнения и проверки.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что использованная для работы окружность имеет в тригонометрии особое значение и получила название единичной окружности. Её уравнение имеет вид хІ + уІ = 1, так как координаты центра этой окружности х = 0 и у = 0, а радиус r = 1.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ:


Угол
·


0°

0° <
· < 90°,
0° 90°


90°

90° <
· < 180°,
90° 180°

180°




Синус
·



0

0 < sin
· < 1,
0 1



1

0 < sin
· < 1,
1 0


0




Знак


+


Знак

+





Косинус
·


1

0 < cos
· < 1,
1 0



0

-1 < cos
· < 0,
0 -1


-1




Знак


+


Знак

-



13. Откройте учебник на странице 252. Прочитайте заголовок и текст пункта 93.
14. Соответствует ли содержание прочитанного результатам заполнения рабочей таблицы?
15. Имеется ли в пункте 93 информация, не отражённая в таблице?

Учащиеся должны заметить, что в пункте 93 определён тангенс угла из промежутка [0°; 180°] уже известным им образом: как отношение тригонометрических функций синус и косинус этого угла. Для угла с градусной мерой 90 значение тангенса не определено, что является следствием обращения в нуль значения косинуса этого угла. Указаны значения для тангенсов углов с градусными мерами 0 и 180. Для функций синус и косинус указаны множества принимаемых ими значений.
Кроме того, учащиеся должны заметить, что в учебнике рассматривается единичная полуокружность, удовлетворяющая условию у
· 0. Учитель поясняет, что для известных углов пока достаточно рассмотрения такой полуокружности. Но, поскольку угол, например, угол поворота вокруг точки, может быть любым и превосходить по величине 180°, единичная окружность в подобных случаях будет удобной моделью. Это вопрос, который будет изучен на уроках математики в перспективе.

16. Вспомните, какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством и какой формулой его записывают.
17. Справедливо ли, по вашему мнению, это тождество для углов из промежутка [0°; 180°]? Можно ли его доказать, используя выполненный вами чертёж единичной окружности? Каким образом?

Учащиеся вспоминают основное тригонометрическое тождество, его применение для вычислений, затем рассматривают доказательство этого тождества с помощью уравнения окружности, как в учебнике, либо с помощью теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику с гипотенузой 1.

Практическая работа II.
Формулы приведения для углов из промежутка [0°; 180°].

ПРИМЕЧАНИЕ. Учащиеся выполняют практическую работу в тетрадях, а учитель (параллельно, с небольшой задержкой) – на демонстрационной модели. Это позволяет направлять и своевременно проверять и корректировать действия каждого учащегося. Для проверки результатов работы можно применить по окончании её элементы игры в домино: предложить учащимся составить из имеющихся заготовок на табличках верные тригонометрические формулы. Перечень этих заготовок таков: знак “=”- 6 штук,
“sin
·”- 2 штуки, “-sin
·”- 1 штука, “cos
·”- 2 штуки, “-cos
· ”- 1 штука, “cos(90°-
·)”- 1 штука,”sin(90°-
·)” – 1 штука, ”cos(90° +
·)”- 1 штука, ”sin(90° +
·)”- 1 штука, ” cos(180°-
·)”- 1 штука,”sin(180°-
·)”- 1 штука.

1. Изобразите в прямоугольной системе координат единичную окружность, считая единичным отрезок длиной 10 клеток тетради.
2. Отметьте на единичной окружности точку А в первой координатной четверти.
3. Обозначьте угол, образованный радиусом ОА и положительным направлением оси абсцисс,
·. Определите вид угла
·.
4. Найдите на рисунке синус и косинус для угла
·. Обозначьте эти точки на рисунке с помощью специальных символов для тригонометрических функций угла
·. Выделите синим карандашом значение синуса, а красным – значение косинуса.

Учащиеся находят на рисунке координаты, соответствующие значениям синуса и косинуса угла
· и делают соответствующие метки sin
· и cos
· на осях координат.

5. Отметьте на единичной окружности точку В, удовлетворяющую следующему условию: единичный радиус ОВ образует с положительным направлением оси абсцисс угол 90°-
·.
6. Найдите на рисунке синус и косинус для угла 90°-
·. Обозначьте эти точки на рисунке с помощью специальных символов для тригонометрических функций угла 90°-
·.
7. Сравните значения синуса угла
· и косинуса угла 90°-
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.
8. Сравните значения косинуса угла
· и синуса угла 90°-
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.

Учащиеся выполняют предлагаемые задания и убеждаются в справедливости тригонометрических равенств: sin (90°-
·) = cos
·, cos(90°-
·) = sin
·.

9. Отметьте на единичной окружности точку С, удовлетворяющую следующему условию: единичный радиус ОС образует с положительным направлением оси абсцисс угол 90°+
·.
10. Найдите на рисунке синус и косинус для угла 90°+
·. Обозначьте эти точки на рисунке с помощью специальных символов для тригонометрических функций угла 90°+
·.
11. Сравните значения синуса угла
· и косинуса угла 90°+
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.
12. Сравните значения косинуса угла
· и синуса угла 90°+
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.

Учащиеся выполняют предлагаемые задания и убеждаются в справедливости тригонометрических равенств: sin (90°+
·) = cos
·, cos(90°+
·) = - sin
·.

13. Отметьте на единичной окружности точку D, удовлетворяющую следующему условию: единичный радиус ОD образует с положительным направлением оси абсцисс угол 180°-
·.
14. Найдите на рисунке синус и косинус для угла 180°-
·. Обозначьте эти точки на рисунке с помощью специальных символов для тригонометрических функций угла 180°-
·.
15. Сравните значения синуса угла
· и косинуса угла 180°-
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.
16. Сравните значения косинуса угла
· и синуса угла 180°-
·. Сделайте вывод и обоснуйте его справедливость, применяя знания о равенстве прямоугольных треугольников. Запишите соответствующее тригонометрическое равенство.

Учащиеся выполняют предлагаемые задания и убеждаются в справедливости тригонометрических равенств: sin (180°-
·) = sin
·, cos(180°-
·) = - cos
·.
Учитель сообщает учащимся, что эти формулы имеют в тригонометрии большое значение и часто применяются для упрощения вычислений. Учащиеся должны заметить и понять, что эти формулы позволяют перейти при вычислениях от значений тригонометрических функций для любых углов к значениям тригонометрических функций для острых углов. Эти формулы называют формулами приведения, поскольку позволяют “приводить” вычисления с любыми углами к вычислениям с острыми углами. В классе с хорошей подготовкой можно предложить дополнительное задание: с помощью формул приведения для функций синус и косинус получить формулы приведения для функций тангенс и котангенс.

Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа с элементами исследования.

Учащимся предлагается вспомнить, для чего предназначены таблицы значений тригонометрических функций, которые они использовали в 8 классе. На конкретных примерах они показывают, как применяют таблицы на практике.

Учитель возвращает учащихся к практической части 1 и предлагает каждому найти с помощью удобного для этих целей рисунка единичной окружности с единичным радиусом в 10 клеток приближённые значения тригонометрических функций синус и косинус острого угла
· с точностью до сотых. Затем, имея эти значения, учащиеся находят градусные меры острых углов на своих чертежах. Можно взять целые значения градусных мер для упрощения дальнейшей работы. Подчёркивается, что учащиеся располагают значениями синуса и косинуса некоторого острого угла.

Учащимся предлагается ответить на вопрос:

Почему в таблицах синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов указаны значения только для острых углов? Как вы убедились, не только острые углы имеют числовые значения синуса и косинуса. Где их найти, если того требует задача?

В процессе дискуссии учащиеся должны понять, что, используя числовые значения синуса и косинуса острого угла
·, можно с помощью формул приведения находить значения тригонометрических углов (90°±
·) и (180°-
·). Учащиеся, располагая данными о градусной мере острого угла
· на своём рисунке, называют градусные меры углов, для которых можно быстро найти значения тригонометрических функций синус и косинус с помощью формул приведения.

Задание.

Найдите значения тригонометрических функций синус и косинус для углов (90°±
·) и (180°-
·), используя ваши данные.
Найдите значения тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс для углов 120°, 135°, 150°. Полученные результаты внесите в таблицу:



·


120°

135°

150°



sin
·






cos
·






tg
·






ctg
·







ПРИМЕЧАНИЕ. Практическая работа 1.9 может быть разделена на две самостоятельные работы, совпадающие по содержанию с содержащимися в ней Практической работой 1 и Практической работой 2.



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №2.9.

Выявление зависимости между числовым значением отношения длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла и длиной диаметра описанной около треугольника окружности. Теорема синусов.

ЦЕЛИ:
1. Актуализировать знания о вписанном в окружность угле и его свойствах.
2. Актуализировать навыки построения окружности, описанной около данного треугольника.
3. Выявить связь между числовым значением отношения длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла и длиной диаметра описанной около треугольника окружности.
4. Выявить закономерности, связывающие длины сторон произвольного треугольника и значения синусов противолежащих углов, составляющие сущность теоремы синусов.
5. Применить теорему синусов к решению задач.

ОБОРУДОВАНИЕ: Модель для демонстрации вписанного в окружность угла и его свойств, чертёжные инструменты, цветные карандаши или стержни, учебник.

Подготовительный этап.

1. Повторение и систематизация знаний о вписанном угле и его свойствах.

1. Изобразите окружность произвольного радиуса и проведите в ней хорду АВ произвольной длины.
2. Отметьте на окружности точку С, отличную от точек А и В, и постройте вписанный угол с вершиной в этой точке.
3. Вспомните, как измеряется вписанный угол. Запишите, как измеряется угол АСВ.

Учащиеся вспоминают, что любой вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Учитель дублирует их действия с помощью демонстрационной модели для координации совместных действий и оказания адресной помощи отдельным учащимся.

4. Отметьте на окружности точку С1, отличную от изображённых на ней точек, и постройте ещё один вписанный угол, опирающийся на дугу АВ.
5. Связаны ли, по вашему мнению, величины углов АСВ и АС1В? Как вы пришли к такому выводу?
6. Сколько можно построить вписанных углов, стороны которых проходят через точки А и В, обладающих таким же свойством?
7. Может ли быть стороной одного из таких вписанных углов диаметр окружности? Продемонстрируйте этот случай с помощью соответствующего построения.

2. Повторение и систематизация знаний об окружности, описанной около треугольника.

1. Изобразите произвольный треугольник АВС.
2. Вспомните, какая окружность называется описанной около треугольника.
3. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?
4. Представьте, что около данного треугольника описали окружность, причём известно расположение её центра. Каким свойством обладает центр окружности по отношению к вершинам треугольника?
5. Можно ли утверждать, что описание окружности около треугольника связано, в первую очередь, с поисками её центра?
6. Как найти множество всех точек, равноудалённых от вершин треугольника А и В?
7. Как найти множество всех точек, равноудалённых от вершин треугольника А и С?
8. Выполните необходимые построения и изобразите эти множества точек.
9. Можно ли утверждать, что полученная точка пересечения равноудалена от всех вершин треугольника и является центром описанной окружности?
10. Опишите окружность около треугольника АВС.

Практическая часть с элементами исследования.

1. Выделите цветным карандашом сторону ВС изображённого треугольника.
2. Найдите на чертеже дугу ВС и угол треугольника, опирающийся на эту дугу. Назовите этот угол.
3. Является ли угол А вписанным в окружность и почему?
4. Что вы можете сказать о его градусной мере?
5. Докажите, что существует множество вписанных в данную окружность углов, опирающихся на дугу ВС. Объясните, где располагаются вершины всех этих углов и как связаны их величины.
6. Среди множества вписанных углов, равных углу А, найдите тот, стороной которого является диаметр ВА1 описанной окружности, и изобразите его на чертеже. Обозначьте вершину этого угла А1.
7. Докажите, что треугольник А1ВС является прямоугольным. Назовите его катеты и гипотенузу.
8. Запишите отношение сторон треугольника А1ВС, выражающее синус угла А1.
9. Запишите это же отношение, используя следующие обозначения:

ВС = а, ВА1 = 2R, (А = (А1 =
·.

10. Выразите из полученного отношения удвоенный радиус окружности.
11. Выделите цветным карандашом сторону АС изображённого треугольника.
12. Аналогично действуя и рассуждая, выразите сначала синус угла В, затем удвоенный радиус окружности. Используйте следующие обозначения:

АС = b, СВ1 = 2R, (В = (В1 =
·.

13. Ещё раз повторите аналогичные действия применительно к углу С, используя следующие обозначения:

АВ = с, ВС1 = 2R, (С = (С1 =
·.

14. Проанализируйте полученные результаты и выскажите ваши мнения.

Учитель дублирует действия учащихся на демонстрационной модели с целью координации совместных действий класса, оказывает адресную помощь в случае необходимости отдельным учащимся.
В процессе анализа результатов работы учащиеся должны увидеть закономерность, связывающую отношения длин сторон произвольного треугольника к синусам противолежащих этим сторонам углов: в любом треугольнике отношение любой его стороны к синусу противолежащего этой стороне угла есть число, постоянное для данного треугольника, причём оно равно удвоенному радиусу (диаметру) описанной около треугольника окружности.

15. Откройте учебник на странице 256 и прочитайте название пункта 97 и первый его абзац.
16. Формулировка какой теоремы приведена в этом пункте?
17. Можно ли, располагая полученными результатами, доказать сформулированное утверждение?
18. Прочитайте пункт 97 до конца.
19. Какие отличия в подходе к доказательству теоремы синусов вы видите?
20. Прочитайте замечание в конце пункта 97. Доказано ли в процессе выполненной вами работы записанное в нём равенство?
21. Запишите двойное равенство, выражающее содержание теоремы синусов. Дополните его сведениями о связи отношения любой стороны к синусу противолежащего ей угла с диаметром описанной около треугольника окружности.
22. Для каких вычислений, по вашему мнению, может применяться теорема синусов?

В процессе работы по вопросам закрепляется понимание смысла теоремы синусов, рассматриваются основные возможности её применения. Учащиеся убеждаются в наличии нескольких подходов и, соответственно, способов доказательства теоремы. Они должны увидеть преимущество доказательства, проведённого в процессе выполнения практической работы, перед доказательством, приведённым в учебнике: последнее не устанавливает равенства между отношением стороны треугольника к синусу противолежащего угла и диаметром описанной около треугольника окружности.

Применение полученных знаний.
Самостоятельная обучающая работа.

№1. а) Найдите диаметр и радиус окружности, описанной около треугольника, у которого сторона длиной 10 (12) см лежит против угла величиной 30°.
б)* Докажите, что в любом треугольнике сторона, лежащая против угла в 30°, равна радиусу описанной около этого треугольника окружности.

№2. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, (А = 45°, (В =30° ( (А = 30°, (В = 45°). Найдите сторону ВС.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415см (13 EMBED Equation.3 1415см).

№3. В параллелограмме АВСD сторона АВ равна 13 EMBED Equation.3 1415, диагональ BD имеет длину 12, (А = 60°. Найдите угол, который образует диагональ BD со стороной AD.

Ответ: 30°.








ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №3.9.

Выявление зависимости между длинами сторон треугольника и значениями косинусов его углов. Теорема косинусов.

ЦЕЛИ:
1. Актуализировать знания о сложении и вычитании векторов по правилу треугольника.
2. Актуализировать знания о скалярном произведении векторов и навыки вычисления скалярного произведения векторов.
3. Выявить связь между длинами сторон треугольника и числовыми значениями косинусов его углов, составляющую сущность теоремы косинусов.
4. Выявить взаимосвязь теоремы косинусов и теоремы Пифагора.
5. Применить теорему косинусов к решению задач.

ОБОРУДОВАНИЕ: Демонстрационная таблица по теме “Векторы”, чертёжные инструменты, цветные карандаши или стержни, учебник.

Подготовительный этап.

ПРИМЕЧАНИЕ. Предполагается, что понятие скалярного произведения векторов было изучено сразу же после рассмотрения тригонометрических функций для любого угла из промежутка [0°; 180°].

Повторение сложения векторов по правилу треугольника, вычитания векторов и скалярного произведения векторов.

1. Изобразите произвольный треугольник АВС.
2. Изобразите векторы13 EMBED Equation.3 1415.
3. Представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде суммы двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
4. Используя полученное равенство, представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде разности двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
5. Повторите изображение треугольника АВС.
6. Изобразите векторы 13 EMBED Equation.3 1415.
7. Представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде суммы двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
8. Используя полученное равенство, представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде разности двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
9. Ещё раз повторите изображение треугольника АВС.
10. Представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде суммы двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
11. Используя полученное равенство, представьте вектор 13 EMBED Equation.3 1415 в виде разности двух других векторов и сделайте необходимые пояснения.
12. Вспомните, что такое скалярное произведение двух векторов. Как вычислить скалярное произведение двух векторов?
13. Вспомните, что такое скалярный квадрат вектора? Как вычислить скалярный квадрат вектора?

Практическая часть с элементами исследования.

1. Изобразите произвольный треугольник АВС.
2. Выразите вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Прокомментируйте полученную запись.
3. Возведите в квадрат обе части полученного равенства. Примените формулу квадрата разности в правой части равенства.
4. Упростите запись, применяя знания о скалярном произведении векторов и о скалярном квадрате вектора.
5. Введите условные обозначения длин сторон треугольника:

АВ = с, ВС = а, АС = b.

6. Введите условные обозначения для величин углов треугольника:

(А =
·, (В =
·, (С =
·.

7. Упростите запись, применяя условные обозначения.

Учащиеся получают равенство: сІ = аІ + bІ - 2ab
·cos
·. (1)

8. Выразите вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Прокомментируйте полученную запись.
9. Возведите в квадрат обе части полученного равенства. Повторите ещё раз преобразования полученного равенства, применяя знания о скалярном произведении векторов, скалярном квадрате вектора и введённые условные обозначения длин сторон и углов треугольника.

Учащиеся получают равенство: аІ = bІ + cІ - 2bc
·cos
·. (2)

10. Аналогичные действия выполните, выразив вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

Учащиеся получают равенство: bІ = аІ + cІ - 2ac
·cos
·. (3)

11. Внимательно изучите полученные равенства 1, 2 и 3. Какие закономерности вами замечены?

Учащиеся высказывают свои мнения. Обращается внимание на то, что любое равенство связывает длины трёх сторон треугольника и значение косинуса угла, противолежащего одной из сторон.

12. Откройте учебник на странице 257 и прочитайте название пункта 98 и первый его абзац.
16. Формулировка какой теоремы приведена в этом пункте?
17. Можно ли считать, что в процессе выполненной вами работы доказана теорема косинусов?
18. Прочитайте пункт 98 до конца.
19. Какие отличия в подходе к доказательству теоремы косинусов вы видите?
20. Какому доказательству вы отдаёте предпочтение и почему?
21. Прочитайте замечание в конце пункта 98.
22. Вспомните формулировку теоремы Пифагора. Почему, по вашему мнению, теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора? Докажите, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.
23. Для каких вычислений, по вашему мнению, может применяться теорема косинусов?

В процессе работы по вопросам закрепляется понимание содержания теоремы косинусов, рассматриваются основные её применения:

для вычисления длины неизвестной стороны треугольника по двум другим и углу между ними.
для вычисления косинуса угла, противолежащего заданной стороне, и последующего нахождения градусной меры этого угла.

Учащиеся убеждаются в наличии нескольких подходов и, соответственно, способов доказательства теоремы.

Рассматривается ещё одно важное применение теоремы косинусов: для определения вида треугольника по длинам трёх его сторон. На примере треугольника со сторонами 3,4,5 выявляется наличие у него прямого угла и формулируется теорема, обратная теореме Пифагора. Затем учащимся предлагается устно доказать, что, если угол
· – острый, с – противолежащая ему сторона, а и b – две другие его стороны, то справедливо неравенство: сІ ( аІ + bІ; если угол
· – тупой, то, соответственно, справедливо неравенство: сІ ( аІ + bІ. В процессе такой подготовительной работы учащиеся готовы к размышлениям над вопросом: Можно ли, зная длины трёх сторон треугольника, определить его вид? В процессе возникающей по этому поводу фронтальной дискуссии учащиеся должны убедиться, что для ответа на поставленный вопрос достаточно сравнить квадрат большей стороны треугольника с суммой квадратов двух других его сторон и на основании полученного результата сделать соответствующий вывод:

квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон – треугольник остроугольный;
квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон – треугольник тупоугольный;
квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон –треугольник прямоугольный.

Применение полученных знаний.
Самостоятельная обучающая работа.

№1. В треугольнике АВС угол А (угол В) равен 60°, стороны АВ и АС (АВ и ВС) имеют соответственно длины 2 и 3 (4 и 3). Найдите длину стороны ВС (АС).

Ответ: ВС = 13 EMBED Equation.3 1415(АС = 13 EMBED Equation.3 1415).

№2. Стороны треугольника имеют длины 2, 3, 4.
а) Найдите косинус угла, лежащего против стороны длиной 2 (3).
б)* Докажите, что угол, противолежащий стороне длиной 4, является тупым.

№3. В параллелограмме со сторонами 4 и 5 острый угол равен 60°. Найдите длины его диагоналей.

Ответы: №2. соs
· = 13 EMBED Equation.3 1415 ( соs
· =13 EMBED Equation.3 1415 ). №3. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ №4.9.

Решение треугольников.

ЦЕЛИ:
1. Актуализировать содержание задачи о решении прямоугольного треугольника как частного случая задачи о решении произвольного треугольника.
2. Повторить и систематизировать общие приёмы вычислений длин сторон и градусных мер углов в любом треугольнике с помощью известных теорем о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
3. Произвести классификацию основных видов задач на решение треугольников и составить соответствующие алгоритмы их решения.

ОБОРУДОВАНИЕ: Рабочая таблица, ранее заполненная рабочая таблица №2 и демонстрационная таблица для запоминания отношений длин сторон в прямоугольном треугольнике и соответствующих тригонометрических терминов (см. Практическую работу №2.8), демонстрационная таблица по теме “Решение треугольников”, полоски-заготовки из цветного картона для быстрых демонстраций, чертёжные инструменты, цветные стержни или карандаши, микрокалькулятор, таблицы значений синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов для острых углов.

Подготовительный этап.
Постановка задачи о решении произвольного треугольника.

Фронтальная устная работа по вопросам:

1. Является ли задача о решении треугольников для вас новой?
2. Используя заполненную рабочую таблицу №2 практической работы №2.8, расскажите, какие задачи о решении прямоугольного треугольника вам известны и уже решались.
3. Какие знания и умения применяли вы для решения прямоугольных треугольников?
4. Для решения прямоугольного треугольника, как вы убедились на практике, необходимо иметь какие-то данные о нём. Какими могут быть эти данные и каким обязательным требованиям они должны удовлетворять?
5. Сформулируйте задачу о решении любого треугольника, используя имеющийся у вас практический опыт и знания.
6. Какие причины, по вашему мнению, не позволяли нам рассмотреть задачу о решении любого треугольника раньше, например, вместе с задачей о решении прямоугольного треугольника?
7. Можно ли, по вашему мнению, рассмотреть задачу о решении треугольника теперь и почему?

Учащиеся повторяют учебный материал, связанный с решением прямоугольных треугольников, основные приёмы вычислений с применением тригонометрических функций острого угла, теорему о сумме углов треугольника и теорему Пифагора.
Учитель подводит учащихся к необходимости расширения представлений о решении любого треугольника и поиска индивидуальных теоретических и практических рычагов для осуществления этой задачи.
Решая прямоугольные треугольники, учащиеся рассматривали несколько основных случаев (вариантов) этой задачи. Следуя аналогии, учащиеся могут высказать свои мнения по поводу основных случаев задачи о решении произвольного треугольника. Учащиеся убеждаются, что для осуществления расчётов необходимы данные о трёх элементах треугольника, среди которых есть хотя бы одна сторона. Теоремы синусов и косинусов являются теми рычагами, которых недоставало для решения любого треугольника.
В классе с хорошей подготовкой можно предложить учащимся выделить основные варианты задачи на решение треугольников, используя задачи на построение треугольников по трём элементам, изученные в 7 классе (Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника, §4, стр. 84-86.). Задачи на решение треугольников и на построение треугольников по заданным элементам имеют аналогичное содержание. Оба типа задач имеют аналогичные исследования на наличие решения, количество возможных решений, невозможность решения отдельных таких задач.

В процессе выполнения практической работы учащиеся рассмотрят все основные варианты задачи о вычислении неизвестных элементов треугольника с помощью его известных элементов.

Практическая часть.
Основные виды задач на решение треугольников.

1. Внимательно изучите рабочую таблицу, которую вам предстоит заполнить.
2. Сколько задач будет рассмотрено?
3. Что объединяет эти задачи?
4. В пустом окне таблицы, под данными задачи 1, изобразите треугольник АВС и выделите цветными карандашами известные в нём длину стороны и два угла.
5. Продумайте план решения этой задачи. Выскажите ваши предложения.

Учащиеся должны увидеть, что градусную меру угла В можно вычислить с помощью теоремы о сумме углов треугольника. Длины сторон АВ и ВС можно вычислить с помощью теоремы синусов.

6. Впишите в соответствующее окно таблицы формулу, с помощью которой будете вычислять градусную меру угла В.
7. Впишите в соответствующие окна таблицы пропорции, с помощью которых будете вычислять соответственно длины сторон ВС и АВ.

Учащиеся работают самостоятельно, учитель оказывает помощь отдельным учащимся, в случае необходимости. Результаты заполнения таблицы демонстрируются по окончании работы для фронтальной проверки.
Учащимся предлагается ответить на вопрос: Всегда ли можно решить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам? Учащиеся должны прийти к выводу, что данная задача имеет единственное решение, если сумма заданных углов не превышает 180°.

8. Продумайте план решения задачи 2. Сделайте рисунок к задаче в пустом окне под данными к ней и выделите цветными карандашами известные в треугольнике длины сторон и угол. Выскажите ваши предложения о последовательности действий при решении данной задачи.
9. Запишите в соответствующее окно таблицы формулу для вычисления квадрата стороны а.




№ задачи


ДАНО

..НАЙТИ


1


(
·=
·

(С=
·

АС=b

(В=
·

ВС=a

АВ=с


ПЛАН
РЕШЕНИЯ















2


(
·=
·

АС=b

АВ=с

(В=
·

(С=
·

ВС=a


ПЛАН
РЕШЕНИЯ














3


(С=
·

АС=b

АВ=с

(
·=
·

(В=
·

ВС=a


ПЛАН
РЕШЕНИЯ















4


ВС=a

АС=b

АВ=с

(
·=
·

(В=
·

(С=
·


ПЛАН
РЕШЕНИЯ
















10. В соответствующем окне запишите пропорцию и вытекающую из неё формулу для вычисления синуса угла
·. Сделайте пометку о том, что градусная мера угла
· будет найдена с помощью таблицы синусов.
11. В соответствующее окно таблицы внесите формулу для вычисления градусной меры угла
·, последнего неизвестного элемента

Учащиеся работают самостоятельно, в случае необходимости учитель оказывает помощь отдельным учащимся. Результаты заполнения таблицы демонстрируются для фронтальной проверки по окончании работы.
Учащимся предлагается ответить на вопрос: Всегда ли можно решить треугольник по двум сторонам и углу между ними? Учащиеся должны прийти к выводу, что данная задача имеет единственное решение при любых исходных данных.

12.* (Задача 3 выделяется как самостоятельная в классе с хорошей подготовкой.) Продумайте план решения задачи 3. Сделайте рисунок к задаче в пустом окне под данными к ней и выделите цветными карандашами известные в треугольнике длины сторон и угол. Выскажите ваши предложения о последовательности действий при решении данной задачи.
13. Запишите в соответствующем окне таблицы пропорцию и следующую из неё формулу для вычисления синуса угла
·. Сделайте пометку о том, что градусная мера угла
· будет найдена с помощью таблицы синусов.
14. Запишите в соответствующем окне, как будет вычислена градусная мера угла А.
15. Запишите в соответствующем окне таблицы пропорцию и вытекающую из неё формулу для вычисления стороны а.

Учащиеся работают самостоятельно, в случае необходимости учитель оказывает помощь отдельным учащимся. Результаты заполнения таблицы демонстрируются для фронтальной проверки по окончании работы.
Учащимся предлагается ответить на вопрос: Всегда ли можно решить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них?
Учащиеся должны понять, что данная задача, образно говоря, таит подводные камни. Её решение зависит от соотношения длин заданных сторон и величины заданного угла. Подробно все возможные случаи представлены в Приложении к данной практической работе.

16. Изучите условие задачи 4. Сделайте соответствующий рисунок в окне под данными задачи с использованием цветных карандашей.
17. В треугольнике известны три стороны. Подумайте, какая теорема может быть применена при решении задачи и для каких вычислений?
18. Запишите в соответствующем окне формулу, выражающую квадрат стороны, противолежащей углу А. Выразите из этой формулы косинус угла А. Сделайте пометку о том, что градусная мера угла А будет найдена с помощью таблицы косинусов.
19. Аналогичным образом запишите в соответствующем окне формулу, выражающую квадрат стороны, противолежащей углу В, и выразите из этой формулы косинус угла В. Сделайте пометку о том, что градусная мера угла В будет найдена с помощью таблицы косинусов.
20. Заполните окно для вычисления величины угла С.

Учащиеся работают самостоятельно, в случае необходимости учитель оказывает помощь отдельным учащимся. Результаты заполнения таблицы демонстрируются для фронтальной проверки по окончании работы.
Учащимся предлагается ответить на вопрос: Всегда ли можно решить треугольник по трём сторонам? Они должны вспомнить правило треугольника, озвучить соответствующие рассуждения и убедиться в том, что данная задача всегда имеет единственное решение, если большая из заданных сторон решаемого треугольника меньше суммы двух его других сторон.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ТАБЛИЦЫ:


№ задачи


ДАНО

НАЙТИ


1


(
·=
·

(С=
·

АС=b

(В=
·

ВС=a

АВ=с


ПЛАН
РЕШЕНИЯ



1)
90°-((А+(С)
2)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
(т. синусов)

3)
;
13 EMBED Equation.3 1415
(т. синусов)



2


(
·=
·

АС=b

АВ=с

(В=
·

(С=
·

ВС=a


ПЛАН
РЕШЕНИЯ


2)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
(т.синусов)
(В=
·–
по ТАБЛ.
3)
90°-((
·+(B)
1)
aІ=bІ+cІ-2bc
·cos
·;

а=13 EMBED Equation.3 1415
(т. косинусов)


3


(С=
·

АС=b

АВ=с

(
·=
·

(В=
·

ВС=a


ПЛАН
РЕШЕНИЯ


2)
90°-((В+(С)
1)
;
13 EMBED Equation.3 1415
(т.синусов)
(В=
·–
по ТАБЛ.

3)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
(т. синусов)



4


ВС=a

АС=b

АВ=с

(
·=
·

(В=
·

(С=
·


ПЛАН
РЕШЕНИЯ


1)
aІ=bІ+cІ-
2bc
·cos
·;
(т. косинусов)
сos
·=
13 EMBED Equation.3 1415
(
·=
·
по ТАБЛ.
2)
bІ=aІ+cІ-
2ac
·cos
·;
(т. косинусов)
cos
·=
13 EMBED Equation.3 1415
(B=
·
по ТАБЛ.
3)
90°-((A+(B)


Применение полученных знаний.
Самостоятельная обучающая работа.

Решите треугольник АВС, применяя полученные результаты, если:

1 вариант: 2 вариант:

1) (А = 70°, (В = 50°, АВ = 5; 1) (А = 80°, (В = 40°, АВ = 5;
2) (А = 75°, АВ = 2, АС = 3; 2) (А = 65°, АВ = 2, АС = 3;
3) АВ = 2, ВС = 3, АС = 4. 3) АВ = 2, ВС = 4, АС = 5.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ,
ПРОТИВОЛЕЖАЩЕМУ ОДНОЙ ИЗ НИХ

ПРИМЕЧАНИЕ. Для наглядных демонстраций различных случаев этой задачи удобно использовать цветные картонные полоски различной длины – стороны треугольника и цветные кнопки с крупными головками – вершины углов, в дополнение к демонстрационной таблице, на которой изображены все возможные ситуации, которые могут иметь место при решении данной задачи.

СЛУЧАЙ 1.

Пусть заданы длины сторон АС и АВ и угол С, причём АС(АВ. Очевидно, что в данном случае задача имеет единственное решение, независимо от того, тупым, острым или прямым будет угол С.

СЛУЧАЙ 2.

Пусть заданы длины сторон АС и АВ и угол С, причём АС=АВ. Изобразим треугольник, удовлетворяющий заданным условиям. Очевидно, что он – равнобедренный, причём равны его углы В и С. В данном случае задача имеет единственное решение только в том случае, когда угол С – острый, прямым или тупым угол С быть не может.

СЛУЧАЙ 3.

Пусть заданы длины сторон АС и АВ и угол С, причём АС(АВ. Очевидно, что в данном случае угол С не может быть ни прямым, ни тупым, так как в противном случае угол В, лежащий против большей стороны, должен быть, как минимум, тупым, что невозможно. Следовательно, заданный угол С обязательно должен быть острым. В таком случае, для угла В возможны три варианта: острый, прямой или тупой.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5.9.

Практическое применение решения треугольников.

ЦЕЛИ:
1. Ознакомить учащихся с общими приёмами косвенного измерения геометрических величин как одной из сфер практического применения решения треугольников.
2. Рассмотреть две практические задачи, связанные с косвенным измерением геометрических величин, решение которых основано на решении треугольников: 1) измерение недоступной высоты; 2) измерение недоступного расстояния.
3. Применить полученные знания и умения, связанные с косвенным измерением геометрических величин, на практике.

ОБОРУДОВАНИЕ: демонстрационные таблицы для изучения ситуаций, связанных с косвенным измерением геометрических величин, чертёжные инструменты, цветные стержни или карандаши, микрокалькулятор, таблицы значений синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов для острых углов, измерительные инструменты для практической работы на местности ( рулетка, транспортир).

ЗАДАЧА 1. Измерение недоступной высоты.

Подготовительный этап.
Изучение ситуации 1.

Учитель напоминает учащимся, что знания по тригонометрии изначально развивались в связи с практическими потребностями человека, поэтому эти знания открывают путь к решению множества практических задач. Одна из таких задач – задача об измерении недоступной высоты. Демонстрируется (моделируется с помощью заготовок) на доске рисунок, на котором изображена изучаемая ситуация: требуется найти высоту изображённого объекта, не прибегая к непосредственному измерению.

1. Внимательно рассмотрите рисунок и представьте ситуацию: вы находитесь вблизи некоторого объекта, высоту которого нужно определить.
2. Объясните, как вы понимаете слова: “недоступная высота”.

Практическая работа с элементами исследования 1.

3. Изобразим изучаемую ситуацию на чертеже. Для этого объект представим вертикальным отрезком АН, поверхность, на которой он расположен – горизонтальной прямой НС. Место расположения человека, занимающегося измерениями, отметим точкой В.
4. Какие измерения, по вашему мнению, могут считаться доступными в данной ситуации?
5. Предложите последовательность измерений и вычислений, необходимых для решения задачи.

Учащиеся высказывают свои предложения. В процессе дискуссии они должны прийти к выводу: зная расстояние от измерителя (т. В) до основания объекта (т.Н) и градусную меру угла АВН, можно решить прямоугольный треугольник АВН и найти высоту объекта как неизвестный катет этого треугольника. Учащиеся выполняют необходимые записи:

Измеряем расстояние ВН.
Измеряем градусную меру угла АВН. Находим в таблице тангенсов-котангенсов значение тангенса для угла АВН.
Вычисляем высоту объекта, используя найденное значение тангенса:

13 EMBED Equation.3 1415.

Подготовительный этап.
Изучение ситуации 2.

6. Представьте более сложную ситуацию: необходимо измерить высоту того же объекта, но подойти к нему нельзя, можно только отойти от объекта дальше. Изобразим изучаемую ситуацию на чертеже. Как и ранее, объект изобразим вертикальным отрезком АН, первоначальное место расположения измерителя – точка В, новое место расположения – точка С. Как, по вашему мнению, следует поступить в этом случае?

Учащиеся высказывают свои предложения. В процессе дискуссии они должны понять: решение данной задачи основано на решении треугольника АВС. Длину стороны ВС, градусные меры углов АВН и АСН можно измерить. Вычислив сторону треугольника АВ, можно вычислить высоту АН, решив прямоугольный треугольник АВН.

Практическая работа с элементами исследования 2.

7. Предложите последовательность измерений и вычислений, необходимых для решения задачи.

Учащиеся высказывают свои предложения, учитель направляет рассуждения в нужное русло. Последовательность измерений и вычислений записывается в тетрадях:

1) Зафиксировав на поверхности точки В и С, измерим расстояние ВС, градусные меры углов АВН и АСН: ВС = ; (АВН =
·; (АСН =
·.
2) Вычислим градусную меру угла ВАС:

(ВАС = 180° - ((АВС +(АСН);
(АВС = 180° - (АВН = 180° -
·; (ВАС = 180° - (180° -
· +
·) =
· –
·.

3) Применяя теорему синусов, составим пропорцию:

13 EMBED Equation.3 1415, откуда получим: 13 EMBED Equation.3 1415.

4) Выполним вычисления в прямоугольном треугольнике АВН:

13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.



ЗАДАЧА 2. Измерение расстояния до недоступной точки.

Подготовительный этап.
Изучение ситуации.

Учитель предлагает учащимся объяснить, что такое “недоступный объект”. Затем учащимся сообщается, что задача об измерении расстояния до недоступной точки также может быть решена с помощью тригонометрии и решение её зародилось в глубокой древности. В повседневной жизни можно обойтись без подобных вычислений, но для конкретных ситуаций, которые иногда возникают, умение решать подобные задачи становится необходимым. Например, задача вычисления расстояния до космических объектов, звёзд, планет, всегда была интересна человеку. Измерять такие расстояния непосредственно, используя измерительные инструменты вроде рулетки, нереально, однако, человек давно справился с подобными измерениями. На местности также приходится измерять расстояние до недоступной точки. Например, человек, находящийся на берегу большой реки, может заинтересоваться величиной расстояния до противоположного берега, до какого-то интересующего его объекта: острова, постройки, катера и т.п.
Демонстрируется (моделируется с помощью заготовок) на доске рисунок, на котором изображена изучаемая ситуация: требуется найти расстояние до изображённого объекта, не прибегая к непосредственному измерению.

Практическая работа с элементами исследования.

1. Представьте себя в качестве человека, заинтересованного данной ситуацией и её разрешением. Каков ваш план действий?

Учащиеся высказывают свои мнения. Имея опыт решения задачи о вычислении недоступной высоты, они придут (направляемые учителем) к выводу о необходимости рассмотрения некоторого треугольника, в котором непосредственным измерением можно найти длину одной из сторон. Из концов этой стороны недоступный объект виден под определёнными углами, градусные меры которых можно измерить. Это углы, прилежащие к этой стороне. Таким образом, поставленная практическая задача становится задачей о решении треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, которая рассмотрена в Практической работе 4.9 под номером 1.

2. Сделайте рисунок к задаче. Изобразите на нём недоступный объект в виде точки и обозначьте её буквой С. Доступную сторону треугольника, который предстоит решить, обозначьте АВ.
3. Предложите последовательность измерений и вычислений, необходимых для решения задачи.

Учащиеся высказывают свои предложения, учитель направляет рассуждения в нужное русло. Последовательность измерений и вычислений записывается в тетрадях:

1) Зафиксировав на поверхности точки А и В, измерим расстояние АВ, градусные меры углов А и В: АВ = ; (А =
·; (В =
·.
2) Вычислим градусную меру третьего угла треугольника АВС:

(С = 180° - ((А + (В) = 180° - (
· +
·).

3) Применяя теорему синусов, составим пропорцию:

13 EMBED Equation.3 1415, где АС – искомое расстояние;
отсюда находим: 13 EMBED Equation.3 1415.

Применение полученных знаний.
Самостоятельная практическая работа на местности.

ПРИМЕЧАНИЕ. Возможна организация практической работы в группах, состоящих из 2-3 учащихся. В классе со слабой подготовкой это даже целесообразно. Подготовительный этап, состоящий в получении числовых данных путём непосредственных измерений, они выполняют вместе, а вычисления каждый учащийся выполняет самостоятельно.

ЗАДАНИЕ.

Найдите высоту данного объекта (телеграфного столба, дерева, здания) и расстояние до этого объекта от зафиксированного места.

1 этап. Измерения на местности.

Используя полученные знания, составьте план практических действий, которые необходимо выполнить для решения данной задачи.

2 этап. Выполнение вычислений.

Используя полученные результаты измерений и записи последовательности вычислений к каждой из задач, выполните необходимые вычисления.

Учитель помогает учащимся организовать работу: выбрать объект, зафиксировать точки, из которых будет производиться измерение углов и базовых расстояний, и оказывает при необходимости адресную помощь отдельным учащимся при выполнении измерений и вычислений.
При выполнении измерений углов можно использовать приспособленный демонстрационный транспортир: в месте расположения метки транспортира закрепляется вращающаяся металлическая спица или любое другое приспособление в виде стрелки часов.
При вычислении расстояния до объекта достаточно рассмотреть одну из возможностей (основание объекта доступно или основание объекта недоступно), можно эти варианты оговорить и распределить заранее, либо учащиеся самостоятельно выбирают одну из них. Выше оценивается определение расстояния до объекта с недоступным основанием.








ПРИЛОЖЕНИЕ.









ТАБЛИЦА 1. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника.



















ТАБЛИЦА 2. Решение прямоугольных треугольников.




















ТАБЛИЦА 3. Решение треугольников.











Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native