Реферат по математике курсанта 2 курса Макаровой

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ГОРОДА МОСКВЫ
«КОЛЛЕДЖ ПОЛИЦИИ»
РЕФЕРАТ
по дисциплине Математика
на тему: «Теорема Эйлера»
Выполнил
Курсант 211 взвода:
Макарова А.А
Проверил преподаватель:
Зайцева О.Н

Москва
2015Содержание:
TOC \o "1-3" \h \z \u 1.Биография Леонарда Эйлера PAGEREF _Toc433041992 \h 32.Основная теорема алгебры PAGEREF _Toc433041993 \h 73.Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера PAGEREF _Toc433041994 \h 154.Теория чисел PAGEREF _Toc433041995 \h 235.Литература PAGEREF _Toc433041996 \h 25
Биография Леонарда Эйлера3481232305700Леонард Эйлер  — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года — профессором); в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания в России, он хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер. Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часе ходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошли первые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности.
20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Посещая дом своего учителя, Эйлер познакомился и подружился с его сыновьями — Даниилом и Николаем, которые также, по семейной традиции, глубоко изучали математику. В 1723 году Эйлер получил (по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду. 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра искусств.
В начале зимы 1726—1727 гг. Эйлер получил известие из Санкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта (помощника профессора) по кафедре физиологии (эту кафедру занимал Д. Бернулли) с годовым жалованьем 200 рублей (сохранилось письмо Эйлера президенту Академии Л. Л. Блюментро от 9 ноября 1726 г. с благодарностью за принятие в Академию). Поскольку Иоганн Бернулли был известным врачом, то в России считали, что Леонард Эйлер как его лучший ученик — тоже врач. Свой отъезд из Базеля Эйлер отложил, однако, до весны, посвятив оставшиеся месяцы серьёзному изучению медицинских наук, глубоким знанием которых он впоследствии поражал своих современников. Наконец, 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию, хотя швейцарское (базельское) подданство сохранил до конца жизни.
22 января (2 февраля) 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской академии. 28 января (8 февраля) 1724 года вышел указ Сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.
В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала «Комментарии Петербургской Академии наук» (на латинском языке). Уже второй том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практически каждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых его работ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера.
17 (28) июля 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.
Огромную популярность приобрели в XVIII веке, а отчасти и в XIX, эйлеровские «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе…» (1768), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках (в том числе 4 издания на русском). Это была научно-популярная энциклопедия широкого охвата, написанная ярко и общедоступно.
1772: «Новая теория движения Луны». Эйлер наконец завершил свой многолетний труд, приближённо решив задачу трёх тел.
В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Николаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс, одарённый математик, сразу же после приезда взял на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет — до самой своей смерти — Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников. В этом же 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Смерть жены была болезненным ударом для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на Саломее-Абигайль, сводной сестре покойной жены.
Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», — и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.
Основная теорема алгебры«Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, — отмечает в своей книге «В мире уравнений» В.А. Никифоровский. — Ее формулировка, состоящая в том, что алгебраический многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение действительных линейных и квадратичных множителей, принадлежит Д'Аламберу и Эйлеру. Эйлер впервые сообщил об этом в письме Николаю I Бернулли (1687—1759) от 1 сентября 1742 года. Отсюда следовало, что корни алгебраических уравнений с действительными коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел».
Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 году Д'Аламбер (1717—1783). Доказательство основной теоремы алгебры, выполненное Д'Аламбером, было, однако, аналитическим, а не алгебраическим. Французский математик воспользовался не оформившимися еще в то время понятиями анализа, такими, как степенной ряд, бесконечно малая. Неудивительно, что доказательство теоремы страдало погрешностями и позднее подверглось разгромной критике Гаусса, а затем было забыто.
Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.
Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.
Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.
Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем и Даниилом — возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.
В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.
Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году — к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году — к «несравненному Леонарду Эйлеру — главе математиков».
В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.
В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.
В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.
В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.
Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».
Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.
Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.
Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа, следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. «Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи».
Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.
Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.
1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.
3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.
Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами...
При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения».
П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.
Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на множители.
Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит «королю математиков» Гауссу.
Карл Фридрих Гаусс родился (1777—1855) в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать — математиком или филологом.
О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду — герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.
В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Осенью того же года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: работы Эйлера и Лагранжа.
«30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения. — пишет Ф. Клейн, — Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника... Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике».
Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс — величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли...» Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». Несомненно, влияние Гаусса и на Галуа.
Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.
30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнадцатиугольника, начинается дневник Гаусса — летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!
Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего 10 дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.
В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. «Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.
В Брауншвейге Гаусс не имел возможности знакомиться с литературой, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры.
Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию под названием «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на действительные множители первой и второй степени».
Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование корней уравнений.
Первое доказательство Гаусса, как и Д'Аламбера, было аналитическим. Во втором доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее предполагается существование корней уравнения.
Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства: «Хотя доказательство о разложении целой рациональной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто аналитических принципах». Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим методом, сегодня именуется алгебраическим.
Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена. Прошло более шестидесяти лет, когда и Л Кронекер усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится к 1848 году.
Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что «алгебраические доказательства основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных методов и приемов».

Выпуклые многогранники. Теорема ЭйлераОбычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение многогранника. Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
При этом понятия тела и поверхности, хотя и имеют наглядный смысл, нуждаются в уточнении. Причем их строгие определения используют основные понятия топологии: внутренняя и граничная точка, внутренность и граница, открытость, замкнутость, связность, ограниченность.
Напомним, что окрестностью Ur(A) точки A пространства радиуса r называется фигура, стоящая из всех точек пространства, удаленных от точки A на расстояние, меньшее r. Таким образом,
Ur (A) = {B| d (A, B) < r}.
Точка A пространства называется внутренней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, целиком содержащаяся в этой фигуре. Точка A пространства называется внешней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, не содержащая точек фигуры Ф, т.е. целиком лежащая в дополнении к этой фигуре. Точка A пространства называется граничной точкой фигуры Ф, если она не является ни внутренней, ни граничной точкой этой фигуры, т.е. в любой ее окрестности если как точки фигуры Ф, так и точки, не принадлежащие этой фигуре.
Внутренностью фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех внутренних точек этой фигуры.
Фигура Ф называется открытой, если каждая ее точка является внутренней или, что-то же самое, фигура Ф совпадает со своей внутренностью.
Границей фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех граничных точек этой фигуры. Фигура Ф называется замкнутой, если все ее граничные точки принадлежат Ф. Фигура Ф называется ограниченной, если она целиком содержится в некоторой окрестности.
Фигура Ф называется линейно связной, если любые две ее точки можно соединить кривой, целиком содержащейся в этой фигуре. Фигура Ф называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре. Ясно, что выпуклая фигура является линейно связной. Обратное неверно.
Открытая линейно связная фигура называется областью. Телом называется ограниченная область вместе со своей границей. Граница тела называется также его поверхностью. Примерами тел являются куб, параллелепипед, пирамида, шар, цилиндр, конус и др. Среди общих свойств фигур нам понадобятся следующие.
Свойство 1. Отрезок, соединяющий внутреннюю и внешнюю точки фигуры Ф, содержит хотя бы одну граничную точку этой фигуры. Доказательство. Пусть A – внутренняя и B – внешняя точка фигуры Ф. Разделим отрезок AB пополам и рассмотрим его середину C1. Она либо принадлежит Ф, либо нет. В первом случае возьмем его правую половину C1B, во втором – левую половину AC1. Разделим полученный отрезок пополам точкой C2 и, повторив описанную выше процедуру, получим отрезок, левый конец которого принадлежит фигуре Ф, а правый нет. Повторяя деление отрезков пополам, получим последовательность отрезков, левые концы которых принадлежат Ф, а правые – нет. Пусть C – точка пересечения всех этих отрезков. Тогда в любой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие фигуре Ф, так и точки, не принадлежащие этой фигуре. Следовательно, C – искомая граничная точка фигуры Ф, принадлежащая отрезку AB.
Свойство 2. Пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой.
Доказательство. Пусть Фa- выпуклые фигуры. Ф = Фa. Если точки A и B принадлежат Ф, то они принадлежат каждой фигуре Фa. В силу выпуклости этих фигур, в них будет содержаться и отрезок AB. Значит он будет содержаться и в пересечении Ф = Фa. Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.
Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников приведены на рисунках 1 и 2, соответственно.

Теорема 1. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
Действительно, грань многогранника можно представить, как пересечение многогранника и плоскости, содержащей эту грань. После этого остается только воспользоваться свойством 2.
Заметим, что обратное утверждение неверно. А именно, из того, что гранями многогранника являются выпуклые многоугольники, не следует выпуклость самого многогранника. Попробуйте привести примеры таких многогранников.
Теорема 2. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство. Пусть m – одна из граней выпуклого многогранника M. Предположим, что точки A и B многогранника лежат по разные стороны от плоскости этой грани. Соединим эти точки отрезками со всеми точками m. Получим две пирамиды с вершинами A, B и основанием m. В силу выпуклости многогранника обе пирамиды содержатся в M. Это противоречит тому, что грань m состоит из граничных точек многогранника.
Докажем обратное. Пусть многогранник M лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Для каждой такой плоскости a многогранник определяет полупространство Pa , в котором он находится.
Пусть точка B не принадлежит многограннику M. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку A этого многогранника и соединим ее отрезком с точкой B. По свойству 1, отрезок AB пересекается с одной из граней многогранника M., следовательно, точки A и B лежат по разные стороны от плоскости a этой грани. Но тогда точка B не принадлежит полупространству Pa и, значит, не принадлежит пересечению полупространств.
Таким образом, мы доказали, что все точки многогранника принадлежат пересечению полупространств, и никакая другая точка не принадлежит этому пересечению. Поэтому имеет место равенство . Каждое из полупространств является выпуклой фигурой. Пересечение выпуклых фигур, очевидно, выпуклая фигура. Следовательно, M – выпуклый многогранник.
Теорему Эйлера, доказанную Л. Эйлером в 1752 г., историки математики называют первой теоремой топологии - раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительных склеек. Такие свойства называются топологическими.
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство
В – Р + Г = 2 (*),
где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.
Соотношение Эйлера В – Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут даже искривляться, однако их число, а, следовательно, и соотношение Эйлера при этом не меняются.
Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую Г' = Г – 1 многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), в вершины и Р ребер.
Для этой сетки, как было показано ранее (в курсе планиметрии), справедливо соотношение
В - Р + Г ' = 1.
Поэтому для многогранника справедливо требуемое равенство.
Дадим еще одно доказательство теоремы Эйлера. Рассмотрим какую-нибудь сферу, содержащую данный многогранник, и из внутренней точки многогранника спроектируем его поверхность на эту сферу. Образы ребер многогранника образуют сетку (граф) на сфере. Стянем одно из ребер этой сетки в его вершину. При этом число вершин и ребер уменьшится на единицу, а В – Р + Г не изменится. Будем повторять эту операцию для ребер с двумя вершинами. В результате мы придем к сетке из петель с одной общей вершиной. Будем теперь убирать петли до тех пор, пока не останется одна петля. При этом каждый раз число вершин не меняется, а число ребер и граней уменьшается на единицу. Следовательно, В – Р + Г не меняется. Для одной петли на сфере очевидно имеют место равенства В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, имеем равенство В – Р + Г = 2.
Отметим, что равенство Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников, но и для многогранников, поверхность которых гомеоморфна сфере.
На рисунке 3, а, б изображены многогранники, для которых равенство Эйлера не выполняется.

Многогранник на рисунке 3, а получен вырезанием маленького куба внутри большого куба. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 4. Многогранник на рисунке 3, б получен вырезанием в кубе сквозного прямоугольного отверстия. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.
Задача. Приведите примеры невыпуклых многогранников, поверхности которых гомеоморфны сфере.
Задача. Приведите пример многогранника, поверхность которого не гомеоморфна сфере, но для которого выполняется равенство В – Р + Г = 2.
Рассмотрим несколько следствий теоремы Эйлера о выпуклых многогранниках.
Следствие 1. В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично, обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г3 + Г4 + Г5 + … . Посчитаем число ребер Р многогранника. Имеем: 3В3 + 4В4 + 5В5 + … = 2Р, 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … = 2Р. По теореме Эйлера выполняется равенство 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя вместо В, Р и Г их выражения, получим
4В3 + 4В4 + 4В5 + … – (3В3 + 4В4 + 5В5 + …) – (3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …) + 4Г3 + 4Г4 + 4Г5 + … = 8.
Следовательно, В3 + Г3 = 8 + В5 + … + Г5 + … , значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
Следствие 2. В любом выпуклом многограннике имеется грань с числом сторон, меньшим шести.
Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично, обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Предположим, что у многогранника нет граней с числом сторон, меньшим шести. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г6 + Г7 + Г8 + … . Посчитаем число ребер Р многогранника. Имеем: 3В3 + 4В4 + 5В5 + … = 2Р, 6Г6 + 7Г7 + 8Г8 + … = 2Р. Из этих равенств следует выполнимость неравенств 3В 2Р и 6Г 2Р, из которых получаем: 3В – 3Р + 3Г 0, а по теореме Эйлера должно выполняться равенство 3В – 3Р + 3Г = 6. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение об отсутствии граней с числом сторон, меньшим шести. Значит, в выпуклом многограннике обязательно найдется грань с числом сторон, меньшим шести. Задача. Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется многогранный угол с числом ребер, меньшим шести.
Следствие 3. Для любого выпуклого многогранника имеет место формула
2 = 180(Г – 2 ) + ,
где 2 – сумма двугранных углов, - сумма многогранных углов этого многогранника.
Доказательство. Ранее мы доказали, что для многогранного угла SA1…An и его двугранных углов SA1, …, SAn имеет место формула
SA1 + … +SAn= 180(n – 2)
Пусть  n1, ..., nв - количества ребер, сходящихся в вершинах данного многогранника. Тогда, суммируя соответствующие равенства по всем вершинам многогранника, и учитывая, что при этом каждый двугранный угол считается дважды, получим равенство
22 = 180(n1 – 2) + ... + 180(nв – 2) + 2,
где 2,  - суммы двугранных и многогранных углов данного многогранника. Заметим, что n1 + ... + nв = 2Р. Следовательно, будем иметь равенство
2 = 180(Р – В) + ,или, окончательно
2 = 180(Г – 2 ) + .
Еще одной важной теоремой о выпуклых многогранниках является теорема Коши, доказанная им в 1813 г. и называемая теоремой о жесткости выпуклого многогранника. Она утверждает, что если два выпуклых многогранника, имеют соответственно равные грани, составленные одинаковым образом, то эти многогранники равны. При этом, слова «составленные одинаковым образом» означают, что если две грани одного многогранника имеют общее ребро, то и соответствующие им грани другого многогранника также имеют общее ребро.
Теория чиселТеорема Эйлера в теории чисел гласит:
Если и взаимно просты, то , где — функция Эйлера.
Частным случаем теоремы Эйлера является малая теорема Ферма (при простом m). В свою очередь, теорема Эйлера является следствием теоремы Лагранжа.
Доказательства
Пусть  — все различные натуральные числа, меньшие и взаимно простые с ним. Рассмотрим все возможные произведения для всех от до . Поскольку взаимно просто с и взаимно просто с , то и также взаимно просто с , то есть для некоторого . Отметим, что все остатки при делении на различны. Действительно, пусть это не так, то существуют такие , что

или

Так как взаимно просто с , то последнее равенство равносильно тому, что
или .Это противоречит тому, что числа попарно различны по модулю .Перемножим все сравнения вида . Получим:

или
.
Так как число взаимно просто с , то последнее сравнение равносильно тому, что

или

С помощью теории групп
Рассмотрим кольца вычетов . Её порядок равен согласно определению функции Эйлера. Поскольку число взаимно просто с , соответствующий ему элемент в является обратимым и принадлежит . Элемент порождает циклическую подгруппу, порядок которой, согласно теореме Лагранжа, делит , отсюда .
ЛитератураАдамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз;
Александров А.Д. Выпуклые многогранники. – М.-Л.; 1950;
Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников;
ru.wikipedia.org;
geometry.ru